Dinˆ amica molecular cl´ assica

A evolu¸c˜ao dinˆamica de um sistema molecular ´e descrita por uma equa¸c˜ao de Schr¨odin- ger dependente do tempo. Entretanto, esta descri¸c˜ao ´e computacionalmente custosa e desnecess´aria em muitos casos. Para simula¸c˜ao da dinˆamica de macromol´eculas, as equa¸c˜oes da mecˆanica cl´assica s˜ao suficientes para tratar a maioria dos problemas sendo que corre¸c˜oes para efeitos quˆanticos (como tunelamento ou energia do ponto-zero) podem ser adicionadas a posteriori. Assim, a hamiltoniana cl´assica, H, pode ser descrita pela energia cin´etica e potencial do sistema[24, §8.2]:

H(pi, ri) = N X i=1 1 2mi p2_i +V(ri) (1.66)

onde p_i ´e o momento da part´ıcula i, mi sua massa e V ´e o potencial efetivo, como

descrito na _{§1.6.1 para o caso de simula¸c˜oes moleculares. Portanto, a hamiltoniana para} N part´ıculas ´e uma fun¸c˜ao de 3N posi¸c˜oes de coordenadas e 3N momentos. Podemos derivar as equa¸c˜oes de movimento:

∂p_i ∂t = − ∂H ∂ri = −∂V ∂ri = Fi (1.67) ∂ri ∂t = ∂H ∂p_i = pi mi (1.68)

que s˜ao equa¸c˜oes diferenciais de primeira-ordem com rela¸c˜ao ao tempo t ou as chamadas equa¸c˜oes de Hamilton. Da equa¸c˜ao 1.68 notamos que p_i = mi∂ri/∂t, substituindo esta

movimento de Newton:

mi

∂2

ri

∂t2 = Fi (1.69)

onde Fi ´e for¸ca sobre a part´ıcula i do sistema, derivada da energia potencialV.

A simula¸c˜ao da dinˆamica molecular pode ser feita pela integra¸c˜ao, a partir de valores iniciais (t = 0), das equa¸c˜oes de primeira-ordem (1.67 e 1.68) ou de segunda-ordem (1.69). Esta integra¸c˜ao ´e um outro exemplo de um problema matem´atico bastante estudado com uma grande variedade de algoritmos e m´etodos de solu¸c˜ao num´erica existentes. A inte- gra¸c˜ao das equa¸c˜oes de primeira-ordem resulta em m´etodos mais acurados para evolu¸c˜ao dinˆamica, mas a integra¸c˜ao da equa¸c˜ao de Newton ´e computacionalmente mais eficiente. Um dos esquemas de integra¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.69 ´e o de velocidade de Verlet[176, §3.2.1], que pode ser derivado a partir de uma expans˜ao de Taylor truncada das posi¸c˜oes atˆomicas do sistema, R, no tempo t + τ , resultando em[24, p. 137]:

R(t + τ ) = R(t) + τ V(t) + τ 2 2M −1_{F(t) (1.70)} V(t + τ ) = V(t) + τ 2M −1_{[F(t) + F(t + τ )] (1.71)}

onde τ ´e o tamanho do passo temporal segundo o qual as equa¸c˜oes de movimento s˜ao integradas, V(t) ´e a matriz de velocidades das part´ıculas do sistema, M ´e uma matriz com a massa de cada part´ıcula e F(t) ´e a matriz de for¸cas sobre as part´ıculas do sistema.

Termos al´em de Fi podem ser inclu´ıdos na equa¸c˜ao 1.69[177]:

mi ∂2 ri ∂t2 = Fi+ miγi ∂ri ∂t +Ri(t) (1.72)

O segundo termo do lado direito da equa¸c˜ao indica uma for¸ca de fric¸c˜ao contr´aria ao movimento, proporcional `a velocidade e determinada para cada part´ıcula i pelo coeficiente de fric¸c˜ao γi. O termo Ri indica uma for¸ca randˆomica e rapidamente flutuante, cuja

m´edia ´e zero e que relaciona-se `a temperatura e ao coeficiente de fric¸c˜ao pelo teorema de flutua¸c˜ao-dissipa¸c˜ao[178, §VIII.8]:

hRi(t)· Ri(t′)i =

2kBT γi

mi

δ(t_{− t}′_{) (1.73)}

onde δ ´e a fun¸c˜ao δ de Dirac, e h· · ·i significa uma m´edia no espa¸co de configura¸c˜oes (§1.6.3). A for¸ca Ri ´e usualmente definida como um barulho branco gaussiano[178, §VIII.8].

Os dois termos adicionais em 1.72 podem representar o efeito de mol´eculas n˜ao inclu´ıdas explicitamente no sistema simulado ou o acoplamento das part´ıculas a um banho t´ermico.

gevin, pode ser integrada da mesma forma que 1.69. O esquema resultante, chamado de

velocidade de Verlet-Langevin, ´e constitu´ıdo por equa¸c˜oes semelhantes a 1.70 e 1.71, onde

os termos do lado direito s˜ao multiplicados por constantes que dependem de γi[176, §9.3].

Este esquema de integra¸c˜ao possibilita um melhor controle de temperatura e uma melhor amostragem do espa¸co de configura¸c˜oes do que a integra¸c˜ao da equa¸c˜ao de Newton (1.69). No entanto, as propriedades dinˆamicas obtidas em simula¸c˜oes pelo esquema de velocidade de Verlet-Langevin n˜ao representam corretamente as propriedades dinˆamicas do sistema.

A acur´acia num´erica da integra¸c˜ao das equa¸c˜oes de movimento pode ser verificada pela conserva¸c˜ao de certas propriedades do sistema, como a energia e o momento total. O tamanho do passo temporal, τ , ´e limitado pelo menor per´ıodo de vibra¸c˜ao do sistema, normalmente, uma liga¸c˜ao C−H, para assegurar que as equa¸c˜oes de movimento sejam integradas corretamente. Assim, o m´etodo de simula¸c˜ao de dinˆamica molecular pode ser

definido pelo seguinte algoritmo:

1. Definir a composi¸c˜ao do sistema (tipos e n´umeros de ´atomos, massas e campo de for¸ca), tamanho do τ e dura¸c˜ao total da simula¸c˜ao;

2. Atribuir as posi¸c˜oes R(t = 0) e velocidades V(t = 0) iniciais;

3. Calcular as for¸cas iniciais F(t = 0) e seguir nos passos:

a) Calcular as posi¸c˜oes no passo t + τ usando a equa¸c˜ao 1.70; b) Calcular as for¸cas no passo t + τ ;

c) Calcular as velocidades no passo t + τ usando a equa¸c˜ao 1.71; d) Realizar qualquer tipo de an´alise ou impress˜ao do presente passo;

e) Se o tempo t ´e menor que a dura¸c˜ao total da simula¸c˜ao, incrementar t de τ e retornar ao item (a), sen˜ao ir para o item (4)

4. Finalizar a simula¸c˜ao

Duas aproxima¸c˜oes adicionais devem ser abordadas quando simulamos sistemas ex- tendidos em fase condensada, como l´ıquidos, cristais ou mol´eculas solvatadas. As contri- bui¸c˜oes n˜ao ligantes para o campo de for¸ca s˜ao avaliadas para todos os pares de part´ıculas presentes na simula¸c˜ao (§1.6.1). Isto implica que o n´umero destas intera¸c˜oes aumenta como O(N2_{), o que inviabiliza a simula¸c˜ao de milhares de ´atomos (como tipicamente}

observado em simula¸c˜oes enzim´aticas). Uma das maneiras de lidar com o escalonamento quadr´atico ´e a soma de Ewald[24, §9.8] que ´e exata dentro de uma determinada precis˜ao

adotada. Outra maneira ´e diminuir o n´umero de intera¸c˜oes calculadas, modificando a express˜ao de potencial, principalmente a eletrost´atica (equa¸c˜ao 1.64), que tem o decai- mento mais lento. A modifica¸c˜ao mais comum ´e a truncagem da intera¸c˜ao eletrost´atica ap´os um raio de corte, rc, realizada por uma fun¸c˜ao de corte, S(r > rc), multiplicada

ao potencial original (equa¸c˜oes 1.64 e 1.65) para cada par de centros atˆomicos ij. Esta fun¸c˜ao pode ser abrupta, como numa fun¸c˜ao degrau[24, p. 165], o que resulta em mudan¸cas abruptas na energia e nas for¸cas calculadas durante a dinˆamica, levando a artif´ıcios inde- sejados (como, por exemplo, aquecimento do sistema). Uma maneira mais apropriada ´e o esquema de truncagem com mudan¸ca da for¸ca (“force-switching”), em que a fun¸c˜ao de corte[24, p. 166][179]: S(r) =            1 r≤ ron (r2 of f−r 2 )2 (r2 of f+2r 2 −3r2 on) (r2 of f−r 2 on)3 ron < r≤ rof f 0 r > rof f (1.74)

tem dois raios de truncagem definidos, ron < rof f, e multiplica a for¸ca, S(r)F (r), garan-

tindo que a energia e a for¸ca calculadas ser˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas e diferenci´aveis. Portanto, a forma funcional do potencial (eletrost´atico e LJ) ´e modificada[24, p. 170]:

V′ =          V(r) + δV r≤ ron −Rr rof f dw S(w)F (r) ron< r≤ rof f 0 r > rof f (1.75)

A energia absoluta do potencial em r < ron ´e alterada por δV (que depende apenas dos

valores de rone rof f, fixos no in´ıcio da simula¸c˜ao). Naturalmente, as energias relativas (que

s˜ao as quantidades de interesse numa simula¸c˜ao com campos de for¸ca) s˜ao preservadas.

Outra aproxima¸c˜ao necess´aria para simula¸c˜ao de sistemas extendidos em fase conden- sada ´e a suposi¸c˜ao de condi¸c˜oes de contorno peri´odicas (PBC), em que uma pequena parte (caixa central) do sistema total ´e escolhida para simula¸c˜ao e replicada infinitamente. A periodicidade significa que uma part´ıcula que sai da caixa central num determinado passo de simula¸c˜ao, entra imediatamente no lado oposto da caixa. A caixa replicada ´e tipica- mente c´ubica ou ortorrˆombica e suas dimens˜oes devem ser escolhidas (ao lado dos raios de corte do m´etodo de truncagem) de modo que cada part´ıcula interaja diretamente ape- nas com a c´opia mais pr´oxima das outras part´ıcula do sistema peri´odico, empregando a chamada conven¸c˜ao de imagem m´ınima. De qualquer forma, a suposi¸c˜ao de PBC imp˜oe

uma ordem artificial ao sistema completo que pode influir nas propriedades dinˆamicas e estruturais obtidas da simula¸c˜ao.