Diophantus, al-Kharazmi e o desenvolvimento da Álgebra

O seguinte problema no Rhind Papyrus*_{, do Museu britânico em Londres, foi escrito por volta}

do ano 1650 a.C.:

Divida 100 pães entre 10 homens, incluindo um barqueiro, um capataz e um vigia, os quais recebem uma dupla porção cada. Quanto cabe a cada um? [Bow94]

Isto naturalmente pode ser resolvido usando-se Álgebra.

O primeiro tratado de Álgebra foi escrito pelo grego Diophantus (200 - 284), da cidade de Alexandria, por volta do ano 250. O seu Arithmetica, composto originalmente por 13 livros dos quais somente 6 se preservaram, era um tratado “caracterizado por um alto grau de habilidade matemática e de engenho: quanto a isto, o livro pode ser comparado aos grandes clássicos da idade alexandrina anterior” [Boy74]. Antes de Diophantus, toda a

* _{Juntamente com o papiro de Moscou é uma das principais fontes de informação relativa às formas de notação e operações} aritméticas em uso durante a primeira época da civilização egípcia

‘álgebra’ que havia, incluindo problemas, operações, lógica e solução, era expressada sem

simbolismo − palavra chave sobre a qual ainda se voltará a falar −; ele foi o primeiro a introduzir

o simbolismo na matemática grega. Para uma quantidade desconhecida usava um símbolo (chamado arithmos), que caracterizava um número indefinido de unidades. Pela ênfase dada em seu tratado à solução de problemas indeterminados, tal tratado tornou-se conhecido como

análise diofantina, que em geral faz parte da disciplina de Teoria dos Números*_{. Seu trabalho,}

contudo, não é suficiente para lhe conferir o título de pai da Álgebra†_.

Mas é com os persas e principalmente com os árabes que a Álgebra poderá ser efetivamente chamada de ciência. É interessante notar que ao se falar que a Geometria é uma ciência grega ou que a Álgebra é uma ciência árabe, está se afirmando algo mais do que a “casualidade” de terem sido gregos ou árabes seus fundadores ou promotores. Ordinariamente tendemos a pensar que o conhecimento científico independe de latitudes e culturas: uma fórmula química ou um teorema de Geometria são os mesmos em inglês ou português ou chinês e, sendo a comunicação, à primeira vista, o único problema, bastaria uma boa tradução dos termos próprios de cada disciplina. Mas não é assim.

Na verdade a evolução da ciência está repleta de interferências histórico-culturais, condicionando metodologias, o surgimento de novas áreas do saber, e assim por diante. Os juristas árabes referem-se à Álgebra como “o cálculo da herança”, segundo a lei corânica, uma problemática importante dentro do Islam, e aí já temos um exemplo de condicionamento histórico-cultural. Não foi por mero acaso que a Álgebra surgiu no califado abássida (“ao contrário dos Omíadas, os Abássidas pretendem aplicar rigorosamente a lei religiosa à vida cotidiana” [AG81]), no seio da “Casa da Sabedoria” (Bayt al-Hikma) de Bagdá, promovida pelo califa Al-Ma’amun; uma ciência nascida em língua árabe e antagônica da ciência grega. Embora hoje a Álgebra possa parecer objetiva e axiomática, com uma sintaxe de estruturas operatórias e destituída de qualquer alcance semântico, ela é o resultado da evolução da velha

al’jabr, “forjada por um contexto cultural em que não são alheios elementos que vão desde as

estruturas gramaticais do árabe à teologia muçulmana da época” [Lau97].

Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi (780 - 850), matemático e astrônomo persa, foi membro da “Casa da Sabedoria”, a importante academia científica de Bagdá, que alcançou seu resplendor com Al-Ma’amun (califa de 813 a 833). A ele, Al-Khwarizmi dedicou seu Al-

Kitab al-muhtasar fy hisab al-jabr wa al-muqabalah (“Livro breve para o cálculo da jabr e da muqabalah”). Al-jabr, que significa força que obriga, restabelecer‡_{, precisamente porque a Álgebra é}

“forçar cada termo a ocupar seu devido lugar”. Já no começo do seu Kitab, Al-Khwarizmi distingue seis formas de equação, às quais toda equação pode ser reduzida (e, canonicamente resolvida). Na notação atual:

* _{Neste sentido foi o matemático grego que maior influência teve sobre a moderna teoria dos números. Em particular Fermat} foi levado ao seu ‘último’ teorema quando procurou generalizar um problema que tinha lido na Arithmetica de Diophantus: dividir um dado quadrado em dois quadrados (ver F.E. Robbins, P.Mich. 620: A Series of Arithmetical Problems,Classical Philology, pg 321-329, EUA, 1929).

† _{Apenas sob certo aspecto isto se justificaria. Em uma visão um tanto arbitrária e simplista poderíamos dividir o} desenvolvimento da álgebra em 3 estádios: (1) primitivo, onde tudo é escrito em palavras; (2) intermediário, em que são adotadas algumas simplificações; (3) simbólico ou final. Neste contexto, Arithmetica deve ser colocada na segunda categoria. ‡ _{Restabelecer, por algo no seu devido lugar, restabelecer uma normalidade. Como observa [Lau97] a palavra tajbir significa}

ortopedia e jibarath significa redução, no sentido médico (por o osso no devido lugar) e na Espanha, no tempo em que os barbeiros acumulavam funções, podia-se ver a placa “Algebrista e Sangrador” em barbearias.

1. ax2 _{= bx} 2. ax2 _{= c} 3. ax = c 4. ax2 _{+ bx = c} 5. ax2 _{+ x = ax}2 6. bx + c = ax2

Al-jabr é a operação que soma um mesmo fator (afetado do sinal +) a ambos os

membros de uma equação, para eliminar um fator afetado pelo sinal -. Já a operação que elimina termos iguais de ambos os lados da equação é al-muqabalah que significa estar de frente, cara a cara, confrontar. Por exemplo: em um problema onde os dados podem ser colocados sob a forma 2x2 _{+ 100 – 20x = 58, Al-Khwarizmi procede do seguinte modo:}

2x2 _{+ 100 = 58 + 20x (por al-jabr)}

Divide por 2 e reduz os termos semelhantes: x2 _{+ 21 = 10 x (por al-muqabalah)}

E o problema já está canonicamente equacionado.

Figura 6: Representação de Al-Kharazmi

Al-Kharazmi introduziu a escrita dos cálculos no lugar do uso do ábaco. De seu nome derivaram as palavras, como já citado acima na história do desenvolvimento do conceito de número, algarismo e algoritmo*_[Kar61].

Embora não muito visível ainda, deve-se chamar a atenção para essa disciplina da Álgebra, que deve ser colocada entre as ciências que fundamentaram o desenvolvimento da

* _{A palavra algoritmo na matemática designa um procedimento geral de cálculo, que se desenvolve, por assim dizer,} automaticamente, poupando-nos esforço mental durante o seu curso; este termo será depurado e aproveitado dentro da Computação. Dele se tornará a falar mais à frente

Computação. Pois o computador e todos os instrumentos que o precederam (réguas de cálculo, máquina de Pascal, a calculadora de Leibniz, a máquina analítica de Babbage, etc.) são somente as manifestações práticas que foram surgindo, com naturalidade, em resultado da busca pelo homem de reduzir os problemas a expressões matemáticas, resolvendo-as segundo regras. E isto, há muitos séculos, já tinha tomado o nome de Álgebra, a “arte dos raciocínios perfeitos” como dizia Bhaskara, o conhecido matemático hindu do século XII. Com os árabes, depois de relativo obscurecimento da cultura grega, dá-se continuidade ao processo que proporcionará as bases fundamentais para o raciocínio automatizado, fundamental na Ciência da Computação.