Elementos exprimíveis

Estamos novamente em ZF e, como antes, denotamos por U = hD, rιi uma estrutura, por ε(D) sua escala, por s um elemento de ε(D) e por lµ(µ < kD) uma sequência de objetos de ε(D). Sobre estas condições definimos, por indução, a relação “s é exprimível em lµ na estrutura clássica U” através das seguintes cláusulas (DA COSTA e RODRIGUES, 2007):

1. s é definível em sentido estrito na estrutura U para os quais adicionamos os termos de lµ como novas relações primitivas;

2. se s não é um indivíduo, então s é exprimível em lµ na estrutura U quando todo elemento de s é expremível em lµ em U; e

3. se s é exprimível pela sequência bα de elementos de ε(D) da estrutura U, e todo elemento de bα é exprimível em lµ na estrutura U, então s é exprimível em lµna estrutura U.

De forma resumida, para ZF, intuitivamente pode então ser dito que um elemento s de ε(D) é exprimível no conjunto S de elementos de ε(D) na estrutura U se s é exprimível por uma sequência bα cuja imagem é S em U. Não obstante, o problema aqui é que se estivermos trabalhando com estruturas quase-conjuntistas em que o domínio é composto por m-átomos indistinguí- veis do mesmo tipo, novamente uma sequência lµ de objetos de ε(D) não irá conseguir definir univocamente a relação s como já comentado. Sendo assim, neste caso, não conseguiremos definir — como acima — que uma relação s seja exprimível em lµ em uma quase-estrutura U: de certo modo, as cláusulas supra citadas são todas dependentes da primeira cláusula, a saber, na qual a sequência s se torna definível em sentido estrito na estrutura U para a qual adicionamos os termos de lµ como novas relações primitivas(definição esta que já foi mostrada inoperante para o caso dos qsets). Com efeito, como vi- mos, o fato de adicionarmos novas relações primitivas numa quase-estrutura não irá conseguir definir a sequência s de um modo unívoco exatamente por causa da indistinguibilidade dos elementos da relação e, assim, não consegui- mos definir propriamente uma relação específica para um objeto específico (de modo que a cláusula 1 acima não pode assim se realizar). Outrossim, caso isso acontecesse, a noção de identidade poderia ser preterida frente à no- ção de ordenação e uma poderia ser ‘substituída’ pela outra, mas já vimos que com efeito esta última também não é erigível na teoria de quase-conjuntos.

Não obstante, poderíamos pensar que do mesmo modo como acima edificamos uma noção de quase-definibilidade, talvez também pudéssemos aqui conceber uma possível noção de ‘quase-expressabilidade’, a qual pode-

ria ser erigida do seguinte modo. Do modo já definido, apenas para diferen- ciar passamos agora a denotar por P = hD, rιi uma quase-estrutura, sendo D um qset puro de elementos indistinguíveis, ε(D) sua escala, s um elemento de ε(D) e lµuma sequência (não ordenada) de objetos de ε(D). Dizemos que a relação “s é quase-exprimível em lµ na quase-estrutura P” se:26

1. s é quase-definível em sentido estrito na estrutura P para a qual adi- cionamos os termos de lµ como novas quase-relações primitivas e na qual, dado uma aridade n para a quase-relação s, tais novas relações introduzidas mantêm a aridade da relação s.

Todavia, de pronto já se percebe que tal definição não tem nenhuma eficácia. Com efeito, o fato de adicionarmos os termos de lµ como novas quase-relações primitivas não faz diferença pelo motivo acima aventado: com a ausência da noção de identidade para os objetos da sequência, nada nos prova que a introdução de novas quase-relações primitivas nos leve a definir (ou expressar) este ou aquele objeto em particular do domínio! Como con- clusão, pode-se afirmar que uma possível noção de ‘quase-expressabilidade’, mesmo adaptada, não pode ser construída (ou nao surtiria efeito) na teoria dos quase-conjuntos. O que importa disso é que a partir de tais resultados conseguimos concluir que na teoria de quase-conjuntos não se pode provar o seguinte teorema de da Costa e Rodrigues ((DA COSTA e RODRIGUES, 2007), teorema 3.1): “em U = hD, rιi, o objeto s ∈ ε(D) é definível em sen- tido extenso em U com a ajuda de uma sequência lµ de elementos de ε(D) see s é exprimível em U com respeito a lµ”.27

Além disso, uma última característica que advém das noções de defi- nibilidade e de expressabilidade para a teoria de conjuntos clássica é a que diz que quando s é definível em sentido extenso em termos de uma sequência lλ, então existe um operador φ que expressa s em função de lλ, de forma que assim é possível escrever s = φ (lλ). Se l

0

λ é outra sequência, de modo que para toda λ os tipos de lλ e l

0

λ são os mesmos, então φ também relaciona s0 a l0

λ, onde s 0_{= φ (l}0

λ) (DA COSTA e RODRIGUES, 2007). Novamente, para Q, tal afirmação não é possível de ser enunciada. Com efeito, a noção de quase-definibilidade acima proposta não permite que haja nesta teoria um operador φ que expressa a quase-relação s em função da sequência λ , pois como já afirmamos a sequência não é unívoca. Sendo assim, um operador φ do modo acima definido não levaria necessariamente a sequência numa quase-relação de um objeto específico, mas sim em qualquer deles que esti- vesse em uma quase-relação de mesma aridade. Além disso, se tivermos uma

26_{Adaptaremos e tomaremos como caso de estudo apenas a cláusula clássica 1 acima.} 27_{Lembramos que todos esses conceitos (e a ausência deles para o caso da teoria Q) serão} necessários à prova de que uma quase-estrutura não pode ser rigidificada via relações de primeira ordem, tal como acontece no caso clássico.

outra sequência l0

λ, tal que para todo λ os tipos de lλ e l 0

λ são os mesmos, em Q não necessariamente deveria φ relacionar s0 com l0

λ, pois novamente não temos necessariamente o mesmo objeto na quase-relação. Com efeito, tal como vimos no capítulo anterior, isso é o que está expresso na definição de quase-função para os quase-conjuntos, a qual intuitivamente reza que se x e ysão qsets, dado uma quase-relação R, se um par hu, vi pertencer a f e um par hu0, v0i também pertencer a f , se u for indistinguível de u0_{, a única coisa} que ocorre é que v também será indistinguível de v0, sem assim ‘indicar’ a qual v0 em particular a quase-função deve levar (já que, com efeito, como indistinguíveis, qualquer v0pode ser ‘utilizado’).