Semântica

O primeiro ponto a ser expugnado é relacionado à verdade das sen- tenças. Como se sabe, pode-se interpretar mesmo as linguagens infinitárias que têm por base ZFC,11 em estruturas clássicas da forma U = hD, rιi, de modo que as constantes perfazem o domínio D e as relações rιsão ‘lugares’ na escala ε da estrutura. Um teorema de da Costa e Rodrigues (DA COSTA e RODRIGUES, 2007) demonstra que toda linguagem infinitária pode ser interpretada em uma linguagem de teoria de primeira ordem e, sendo assim, permaneceremos neste texto em linguagens de primeira ordem apenas. Se ϕ é uma sentença, dada uma certa interpretação podemos então dizer — de modo usual — que ϕ é verdadeira (ou falsa) na estrutura U = hD, rιi: para expressar que ϕ é verdadeira em U, escrevemos U |= ϕ (respectivamente, U 2 ϕ, se ϕ for falsa).

Aqui já temos a primeira questão delicada na relação destes concei- tos com a teoria quase-conjuntista. Como bem pontuado em um artigo de da Costa e Bueno (DA COSTA e BUENO, 2009), a semântica da lógica está 11_{O que são linguagens infinitárias se tornará claro abaixo. Por enquanto pedimos indulgência} ao leitor.

intimamente atrelada à noção de identidade dos objetos. Para ver como esse vínculo acontece, vamos considerar a noção tarskiana usual (ou seja, para objetos clássicos e formulada na teoria de conjuntos clássica) de satisfatibili- dadepara uma fórmula quantificada universalmente no cálculo de predicados de primeira ordem. Do modo habitual, seja I uma interpretação do cálculo de predicados de primeira ordem com o domínio D (onde D é um conjunto não-vazio ‘clássico’), e seja s uma sequência denumerável de elementos de D. Dizemos que s satisfaz ∀xiβ se, e somente se, toda sequência que difere de s em no máximo o i-ésimo componente satisfaz β (para detalhes, veja (MENDELSON, 1979, p. 50-58)). Claramente, a linguagem na qual pode- mos caracterizar tal noção necessita da identidade: primeiro, porque a noção de quantificação sobre cada sequência assume que as sequências, por si mes- mas, são ‘objetos’ que podem ser distinguidos de outras sequências de modo que cada uma delas está subordinada à quantificação de um modo particular. Segundo, as sequências são tidas como para diferirem uma das outras com respeito ao seu i-ésimo componente. Como dito, claro se vê que a questão da identidade está permeando toda essa construção, pois se os elementos da sequência (e assim a própria sequência) não tiverem identidade, nada há do que diferir! Na verdade, temos aqui um ‘sistema binário’: o fato de termos diferentesobjetos no domínio (ênfase em “diferentes”) é o que permite reco- nhecermos tais sequências como distinguíveis uma das outras (ou seja, duas sequências diferem se elas diferem em pelo menos um de seus componentes). Por fim, dado que o domínio de interpretação é um conjunto clássico, cada um dos seus elementos é tido como sendo entidades com condições de iden- tidade bem definidas. Além disso, devido ao axioma da extensionalidade da teoria de conjuntos clássica, já vimos também que dois conjuntos (no caso, o domínio D) com os mesmos membros são iguais: novamente, a identidade transparece em todo o argumento.

Desta forma, pode-se facilmente concluir que a lógica reflexiva com identidade tem um papel essencial na caracterização das noções semânticas como a satisfatibilidade (essencial à definição de verdade), advindo tal papel, entre outros motivos, das ‘regras’ de uso do quantificador universal. É por isso que para da Costa e Bueno (DA COSTA e BUENO, 2009), “a partir da lógica não-reflexiva, o problema é o de como podemos dar sentido a uma quantificação sem identidade. Apesar de tudo, sem invocar a identidade, não está claro como a quantificação poderia sair do chão [coult get off the groud]”. Deste modo, tudo levaria a crer que devido a tal carência para os objetos do nosso domínio, não conseguiríamos definir em nossa teoria uma noção de satisfatibilidade (e assim de verdade) de um modo coerente, o que faria com que uma semântica para Q também permanecesse inviável. Desta feita, se tornaria questão primária entender qual seria enfim o valor de uma teoria

assim posta, a saber, na qual não se pode falar de verdade ou falsidade para sentenças das linguagens das teorias elaboradas em Q.

Não obstante, a problemática relativa à quantificação sem identidade, que a primeira vista pode parecer sem solução, pode ser sim resolvida: em um artigo chamado Quantifiers and the foundations of quasi-set theory,12 Are- nhart e Krause mostram como isso pode ser feito, tendo por base os trabalhos de Ebbinghaus, et al.13_{No trabalho de Ebbinghaus, et al., é desenvolvido um} sistema de lógica clássica de primeira ordem dentro de ZF, tal que ambas sua semântica e sintaxe são feitas usando uma metalinguagem clássica: a saber, a de ZF propriamente. Arenhart e Krause, por sua vez, utilizam o mesmo procedimento para desenvolver um sistema de lógica não-reflexiva em que ambas semântica e sintaxe são feitas usando como metalinguagem a teoria de quase-conjuntos (que, como vimos, tem como base uma lógica não-reflexiva). Não adentraremos aos detalhes de tal construção aqui, haja vista que nosso objetivo é apenas dar uma visão geral da problemática relativa à semântica quase-conjuntista, mas todavia é bom enfatizar que da Costa e Bueno, em sua crítica, parecem desconhecer o trabalho de Arenhart e Krause onde a questão da quantificação sem identidade parece sim tomar forma.

Em sentido consoante, o outro problema mencionado por da Costa e Bueno (op. cit.), a saber, o de que se tivermos apenas uma lógica não- reflexiva R, esta não poderá ser usada para oferecer uma semântica genuína para R (pois sendo não-reflexiva, R não possuirá os recursos para expressar a identidade; algo que como visto é essencial para a semântica), também pode ser resolvido. Segundo esses autores, como já enfatizado, as críticas apresentadas para uma quantificação sem identidade se transfeririam natu- ralmente para o caso de uma semântica quase-conjuntista, pois dado que a noção tarskiana de verdade é formulada em uma teoria de conjuntos clássica — onde existe o conceito de identidade — permanece um problema ainda em aberto, dizem eles, formular uma noção de quase-satisfação (e, desta forma, de quase-verdade no contexto dos quase-conjuntos) que se dê de um modo satisfatório. Todavia, tais noções para a teoria Q também podem sim ser construídas: Otávio Bueno mostra como isso pode ser feito em um artigo pu- blicado em 2000 (BUENO, 2000). Desta vez, daremos alguns detalhes gerais de tal construção.

Para estabelecermos uma semântica de uma linguagem fundamentada em uma teoria de quase-conjuntos (e, desta forma, alicerçada em uma ló- gica não-reflexiva), concebendo assim a noção de sentença quase-verdadeira a partir de um conceito de quase-satisfação, é necessário primeiramente de-

12_{Principia13(3): 251-68 (2009).}

13_{Ebbinghaus, H. D.; Flum, J.; Thomas, W., Mathematical logic. New York: Springer-Verlag,} 1994.

finir a ideia de relações parciais.14 Quando investigamos um certo domínio do conhecimento, ∆, formulamos um arcabouço conceitual que nos ajuda a sistematizar e organizar a informação que obtemos acerca de ∆. Usualmente, representamos este domínio por um conjunto D de objetos e passamos a es- tudar as relações que existem entre os objetos de tal domínio. Muitas vezes, não sabemos se uma dada relação R definida sobre D (ou n-uplas de D) está ou não relacionada a certos objetos de D, apesar de sabermos que outras rela- ções R0estão relacionadas, e que outras, R00, não estão. R representaria então a ‘incompletude’ de nossa informação sobre ∆, e é formalmente acomodada pelo conceito de relação parcial.15 Uma relação n-ária parcial R sobre D (não-vazio) é definida como sendo uma tripla hR1, R2, R3i, onde R1, R2e R3 são conjuntos disjuntos (com R1∪ R2∪ R3= Dn), e tal que R1é o conjunto das n-uplas que sabemos que pertencem a R; R2o conjunto das n-uplas que sabemos que não pertencem a R; e R3o conjunto das n-uplas para as quais não está definido se elas pertencem a R ou não (se R3for vazio, R se torna uma relação n-ária usual que pode ser identificada com R1).

Agora podemos passar a definir a noção de quase-verdade para uma linguagem elaborada na linguagem de Q, de modo que poderá ser visto que mesmo tendo por base uma lógica não-reflexiva ainda assim podemos falar de verdade (ou, melhor dizendo, de quase-verdade) das sentenças. É óbvio que se estivermos lidando apenas com objetos ‘clássicos’, dado que existe uma ‘cópia’ de ZFU em Q, simplesmente utilizamos em Q as noções semân- ticas Tarskianas usuais. Não obstante, o caso mais interessante é exatamente quando estamos tratando de objetos não-clássicos. Vejamos, grosso modo, como se dá tal construção (cf. BUENO, 2000).

A primeira noção que precisamos definir é a de quase-modelo, o qual será restringindo apenas ao caso de quase-conjuntos que são similares, tal qual definido no capítulo anterior. Sendo assim, um quase-modelo é um par ordenado hD, Ii, onde D é um quase-conjunto não vazio e I uma quase- 14_{Seguiremos aqui a construção que consta do artigo de Otávio Bueno acima citado, o qual faz} uso da noção de relações parciais (bem como a de quase-satisfação). Não obstante, no intuito de definirmos apenas a noção de quase-verdade, poderíamos nos abster das relações parciais e ficar- mos restritos apenas a relações totais sobre o domínio (isto é, quando sabemos todas as relações que valem ou não valem no domínio, de um modo que ficará claro abaixo). Mas, como a constru- ção de Bueno é mais ampla, assimilando outros conceitos e concepções filosóficas importantes, preferimos nos ater à forma apresentada pelo autor em seu artigo.

15_{Sobre a ideia de relações parciais e sua vinculação com a prática científica, veja (MIKEN-} BERG, et. al., 1986; DA COSTA e FRENCH, 2003; DA COSTA, 1986; DA COSTA e FRENCH, 1989; e DA COSTA e FRENCH, 1990) só para citar alguns trabalhos mais importantes. Nes- tes artigos, também é desenvolvida a ideia de quase-verdade a partir das relações parciais. Não obstante, Silvestrini (SILVESTRINI, 2011) mostra que a proposta de Bueno que apresentaremos no decorrer destatese é, na verdade, uma outra forma de quase-verdade, exatamente por agora assimilar a noção de quase-satisfação, algo não presente na definição original de da Costa, et al.

função, tal que: (1) para cada constante c da linguagem, I(c) ∈ D; e (2) para cada símbolo de predicado F_inda linguagem, I(F_in) =EhIT(Fin), IF(Fin), IU(Fin)i, onde (i) IT(Fin), IF(Fin), IU(Fin) ⊆ Dnsão dois a dois disjuntos; e (ii) IT(Fin) ∪ IF(Fin) ∪ IU(Fin) =EDn, onde Dné o quase-conjunto das n-uplas de objetos de D. Intuitivamente falando, IU corresponde àquelas n-uplas que não sabe- mos se valem ou não, IT àquelas que sabemos, e IFàquelas que sabemos que não valem, de modo paralelo ao que foi definido para as relações parciais.

Da mesma forma que na noção Tarskiana de verdade em que primei- ramente é introduzido a noção de satisfação, aqui se faz necessário definir primeiramente a noção de quase-satisfação. Sendo assim, seja s uma quase- função de modo que para cada variável individual vi, exista um elemento d de D tal que s(vi) ≡ d, e para cada constante c, s(c) ≡ I(c). Esta quase- função é dita ser uma quase-sequência em hD, Ii. Usamos a notação s ≈vs0 para expressar que as quase-sequências s e s0 concordam em todas as va- riáveis, exceto possivelmente vj, isto é, para todo i 6=E j, s(vi) ≡ s0(vi). A definição “a relação s quase-satisfaz uma fórmula α em hD, Ii” é feita indu- tivamente, tal qual o caso Tarskiano: (1) s quase-satisfaz F_int1...tnem hD, Ii, see hs(t1), ..., s(tn)i ∈ IT(Fin) ∪ IU(Fin); (2) s quase-satisfaz ¬A em hD, Ii, see snão quase-satisfaz A em hD, Ii; (3) s quase-satisfaz A ∨ B em hD, Ii, see squase-satisfaz A em hD, Ii, ou s quase-satisfaz B em hD, Ii; (4) s quase- satisfaz A ∧ B em hD, Ii, see s quase-satisfaz A em hD, Ii e s quase-satisfaz B em hD, Ii; (5) s quase-satisfaz A → B em hD, Ii, see s não quase-satisfaz A em hD, Ii ou s quase-satisfaz B em hD, Ii; (6) s quase-satisfaz ∃vA em hD, Ii, see para algum s0, s ≈vs0e s0quase-satisfaz A em hD, Ii; e (7) s quase-satisfaz ∀vA em hD, Ii, see para todos s0_{, s ≈}

vs0e s0quase-satisfaz A em hD, Ii.16 Por fim, tendo estabelecido a noção de quase-satisfação, podemos es- tabelecer a noção de quase-verdade para os elementos dos quase-conjuntos também seguindo o modelo Tarskiano. Desta forma, uma fórmula α será quase-verdadeiraem hD, Ii se, e somente se, A é quase-satisfeita em hD, Ii por todas as sequências em hD, Ii.

Não adentraremos mais a este debate aqui pois não é o nosso objetivo neste texto: o que objetivamos apenas foi mostrar que a noção de fórmula verdadeira (ou quase-verdadeira) a partir de uma estrutura quase-conjuntista não necessariamente carece de significado quando estamos tratando de obje- tos indistinguíveis (que era exatamente a crítica de da Costa e Bueno em (DA COSTA e BUENO, 2009)). O mesmo caso acontece com a noção de modelo (ou quase-modelo, neste caso) a partir de um conjunto de sentenças. Isso trará

16_{É claro que na construção em apreço existe um componente I}

U, presente na condição (1), que permite que se leve em conta àquelas relações que não estão (ainda) definidas sobre o do- mínio. Como já dito acima, poderíamos estabelecer a noção de quase-satisfação de uma quase- sequência sem a condição (1), mas como a construção descrita por Bueno encapsula esse fato, caracterizando-se assim como algo mais amplo, preferimos seguir as ideias do autor do artigo.

implicações para a noção que definibilidade que veremos em sequência, onde daremos uma explicação intuitiva da proposta de Bueno acima exposta.