FUNDAMENTOS DA MECÂNICA DE FRATURA

A mecânica de fratura descreve o comportamento de trincas ou outros defeitos quando um corpo é carregado. A mecânica da fratura foi desenvolvida visando prevenir o fenômeno da fratura. Esta é a disciplina de engenharia que quantifica as condições sob as quais um corpo submetido a uma carga pode falhar

devido ao avanço de uma trinca dominante contida naquele corpo. Sendo a área da engenharia que estuda o comportamento mecânico de materiais e estruturas na presença de trincas ou descontinuidades assemelhadas a trincas, a mecânica da fratura mostra-se capaz de quantificar a relação existente entre as propriedades dos materiais, o nível de tensão, a presença de defeitos geradores de trincas e os mecanismos de propagação de trincas (Huang tl al., 1996).

Uma trinca constitui uma descontinuidade dentro de um corpo. Na fronteira da descontinuidade, geralmente são observadas tensões locais muito altas, o que provoca alterações no campo de tensões na sua vizinhança. O mais importante efeito dessas alterações é o aumento da componente de tração do estado de tensão nas proximidades dos defeitos, os quais são por esse motivo chamados concentradores de tensão. As trincas são importantes concentradores de tensão e o aumento da tensão na ponta de uma trinca irá controlar a sua propagação (Schön, 2008).

A Mecânica da Fratura pode ser estudada dividindo-a em dois grandes grupos. A Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE), que estuda o crescimento de trincas e a fratura do material em condições essencialmente linear elásticas; e a Mecânica da Fratura Elasto-plástica (MFEP), que se aplica a materiais que apresentam comportamento não-linear, como a deformação plástica.

Para o comportamento linear elástico existem dois métodos de estudo principais para a MFLE: o critério da energia, denominado taxa de liberação de energia; e o critério do fator de intensidade de tensões.

O requisito fundamental para a propagação de uma trinca é que a tensão na ponta da trinca deve exceder a resistência coesiva teórica do material. Entretanto, não é fácil medir a tensão na ponta de uma trinca.

Em uma placa infinita contendo uma trinca vazante, Inglis mostrou que a tensão aplicada σméd era aumentada nas extremidades da elipse, como mostrada na

Figura 23. Trinca vazante elíptica em uma placa infinita.

onde σmáx é a tensão máxima nessa extremidade.

Considerando o raio de curvatura, ρ, na extremidade da elipse muito menor que o tamanho da trinca, a relação pode ser simplificada para:

O termo 2 √(a/ρ) é definido como o fator de concentração de tensões KT e descreve o efeito da geometria da trinca no nível de tensões na ponta da trinca. Em uma primeira análise, significa que as trincas, se presentes, devem ser mantidas com o menor tamanho possível e que, quanto maior o raio de curvatura, menor a severidade relativa da concentração de tensões. Desta forma valores de KT podem ser obtidos pela relação:

Analisando a relação 20 percebe que, quanto mais próximo a 1 for o valor de KT menor é a severidade relativa ao concentrador de tensão.

Um critério equivalente, proposto por Griffith é mais útil e prevê a tensão que precisa ser aplicada a um corpo contendo uma trinca para que ocorra a propagação da trinca e estabelece que a força motriz para a fratura vem da energia que é liberada pelo crescimento da trinca. Tal crescimento viola a continuidade no interior do corpo e resulta no estado final de energia sendo menor do que o inicial. O critério de Griffith é chamado de Taxa de liberação de energia e é baseado num balanço de energia e designado por G, que é a taxa de liberação de energia de deformação (Meyers & Chawla, 1999; Dowling, 1999).

Figura 24. Taxa de liberação de energia durante o crescimento da trinca em material com comportamento elástico linear mostrado pela área sombreada.

Fonte: Kausch & Williams, 2004.

O balanço de energia do critério de Griffith é mostrado na Figura 24, para um material que apresenta um comportamento linear elástico e que o crescimento da trinca é iniciado no ponto A. A trinca crescente e reduz a rigidez da amostra, o que resulta numa redução da carga P e um aumento na deformação (no ponto A'). A energia inicial armazenada corresponde à área 0AF e que após o crescimento da trinca passa a ser 0A'F'. Durante o crescimento da trinca, trabalho externo foi fornecido é dado por AA'F'F. A energia que é liberada pelo sistema, dU, corresponde à área sombreada 0AA' e é dada por (Kausch & Williams, 2004):

onde u é a deformação na direção da carga aplicada.

A taxa de libertação de energia G (dU / Bda) é expressa por:

onde a é o tamanho da trinca. Apresentando a compliance C da curva, que é uma função do comprimento da trinca, como:

Assim, G pode ser determinada a partir da carga e da deformação do crescimento da trinca, desde que C seja conhecido (Kausch & Williams, 2004).

Um exemplo importante de mecânica da fratura refere-se à estabilidade de uma trinca de comprimento 2a numa placa infinita submetida a uma tensão constante σ, como mostrado na Figura 25.

Figura 25. Uma placa infinita submetida a um carregamento axial, σ, apresentando uma trinca de comprimento 2a.

Fonte: Kausch & Williams, 2004.

A taxa de liberação de energia G para essa geometria é dada como:

onde E é o modulo de Young, σ é a tensão aplicada e a é a metade do comprimento da trinca.

Sob carregamento a energia potencial de um corpo elástico linear aumenta monotonicamente com o aumento da carga. Entretanto, a energia potencial no corpo não pode aumentar indefinidamente. Em um determinado instante a trinca avançará, criando novas superfícies de trinca. À criação das novas superfícies está associada uma redução na energia potencial. O início do crescimento da trinca ocorre quando a energia requerida para criar as novas superfícies se iguala ao decréscimo da energia potencial, ou seja, quando G se iguala à resistência do material, designada por GC que é dado por (Kinlock & Young, 1995; Huang et al. 1996, Kausch &

Williams, 2004):

Figura 26. Estado de tensões próximo à ponta da trinca e equações para cálculo das tensões atuantes no plano XY.

A Figura 26 mostra em forma esquemática um elemento na vizinhança da ponta da trinca em material elástico. Na mesma figura são apresentadas as equações que calculam as tensões atuantes no plano XY para Modo I do plano de carregamento (Modo de abertura), em função da posição em relação à origem, dado pelo vetor r e o ângulo θ. Cada componente da tensão no ponto examinado é proporcional ao fator KI. Se este fator é conhecido, toda a distribuição de tensões perto da fissura pode ser calculada com as equações da Figura 26. Esta constante, chamada fator de intensidade de tensões, caracteriza o estado de tensão próximo à ponta da trinca. É definido para materiais elásticos lineares e depende do tamanho da trinca (a), da tensão aplicada (σ) e de aspectos geométricos, conforme a seguinte relação:

onde γ representa um parâmetro ou função adimensional que depende tanto dos tamanhos quanto das geometrias da trinca e do corpo, assim como da maneira da aplicação da carga (Meyers & Chawla, 1999; Callister Jr., 2008).

Demonstra-se que o estado de tensão [σij] próximo à ponta da trinca é dado em coordenadas polares, pela expressão:

onde r é a distância da ponta da trinca, θ é o ângulo medido a partir do plano da trinca e fij é uma função que depende unicamente de θ.

Um material pode resistir a uma trinca sem que sofra uma fratura frágil se KI for inferior a um valor crítico KC, o qual é uma propriedade do material chamada tenacidade à fratura. Os valores de KC são afetados pela temperatura, taxa de

carregamento e pela espessura do corpo. Em particular, no modo de abertura e sob domínio de um estado plano de deformação a tenacidade à fratura é indicada por KIC (Dowling, 1999).

A falha do material acontecerá quando KI = KIC.

Neste caso, KI é a carga que induz à fratura, e KIC é a medida da resistência do material. Assim como GC, as propriedades de similitude devem ser aplicadas ao KIC, ou seja, o valor de KIC deve ser independente da geometria e o tamanho.

Existem algumas limitações para o emprego da mecânica da fratura linear elástica. Entre elas está a deformação plástica sofrida pelo material próximo a trinca. Se isso ocorre a zona plástica da fratura mostra-se grande o suficiente para impedir a aplicação da mecânica elástica linear (Schön, 2008).

Figura 27. Modelo de Irwin: Pequena zona plástica cercada por um campo elástico (Domínio de K).

A análise elástica prevê tensões infinitas na ponta da trinca, mas em materiais reais, as deformações plásticas levam a um relaxamento das tensões na ponta da trinca, e a análise puramente elástica torna-se mais inexata à medida que o tamanho da região plastificada cresce. Irwin modelou esta situação por uma pequena zona plástica local cercada por uma zona elástica exterior (Figura 27). Para um estado de tensão como em chapas finas ou na superfície de chapas espessas, o raio da zona plástica ry pode ser derivado a partir da equação 27 como sendo aproximadamente

As tensões elásticas na zona externa podem ser calculadas a partir do modelo de Irwin atribuindo um comprimento fictício de a + ry para a trinca.

Se a zona plástica for suficientemente pequena, existirá uma região externa a ela onde as expressões matemáticas para o campo de tensões elásticas ainda se aplicam. Essa região é denominada região de Domínio de KI. A existência dessa região é necessária para que a mecânica da fratura elástica linear seja ainda aplicável. A região de Domínio de KI engloba e controla o comportamento da zona

plástica e a área da ponta da trinca. Dessa forma KI ainda continua a caracterizar o estado de tensão nas proximidades da ponta da trinca, apesar da ocorrência de alguma plasticidade limitada. Entretanto, se a zona plástica for extensa demais, de forma a anular o campo de Domínio de KI, então KI não é mais aplicável. Numa visão prática, é necessário que a zona plástica seja pequena comparada com a distância entre a ponta da trinca e qualquer extremidade ou contorno do corpo. Em dimensões planares, o seguinte critério pode ser empregado para limitar o emprego da mecânica da fratura elástica linear (Dowling, 1999):

onde a é o tamanho da trinca, w é a largura do corpo de prova, B é a espessura do corpo de prova e σ é o limite de escoamento do material.

Se a espessura do corpo de prova não for suficientemente grande comparada com a zona plástica, a contração de Poisson na direção da espessura ocorrerá livremente ao redor da ponta da trinca, resultando em escoamento em planos de cisalhamento inclinados através da espessura. Entretanto, para corpos espessos, a restrição geométrica limita a deformação principal na direção da espessura. Devido a estas limitações o raio da zona plástica é muito menor (Kausch & Williams, 2004):

Com base em observações empíricas, tem sido geralmente aceito que a condição de deformação plana é plenamente atingida quando a seguinte relação é satisfeita:

Onde, B é a espessura do corpo de prova.

Se o critério expresso pela relação (30) não for satisfeito, então a mecânica da fratura elástica linear não é mais aplicável devido ao excessivo escoamento. Nesse caso KI não mais caracteriza corretamente o estado de tensão em torno da ponta da trinca.

Em função das limitações da mecânica da fratura elástica linear, geralmente é adotado seguir a análise linear elástica e realizar alguns ajustes para considerar complicações como a deformação plástica, dentro de determinados limites muito estreitos. Assim, KI pode ser modificado para considerar determinada extensão da

zona plástica, de forma a estender os limites da mecânica da fratura elástica linear para níveis de tensão um pouco além dos limites fixados pela expressão (30). Entretanto, situações de escoamento muito amplo não podem ser analisadas dessa forma porque as aproximações seriam muito questionáveis se as tensões aproximassem de um nível tal que pudesse ocorrer o escoamento total através da região não fraturada do corpo de prova. Pois neste caso o campo de tensões seria consideravelmente alterado em relação ao dado pela Equação 27.

No caso de materiais que apresentam comportamento elástico não linear as hipóteses da mecânica da fratura linear elástica são violadas, e não valem para materiais dúcteis como a grande maioria dos polímeros, nos quais a fratura geralmente é acompanhada de significativa deformação plástica. Mecânica da Fratura Elasto-Plástica (MFEP) surgiu em função das limitações na aplicação do critério de KIC da Mecânica da Fratura Linear Elástica em materiais dúcteis, onde a existência de uma zona plástica de tamanho significativo em relação à espessura invalida as considerações de tensões elásticas na ponta da trinca controlando o processo de fratura (Tjong, 2000; Peres & Schön, 2004).

O estudo de polímeros é tradicionalmente desenvolvido no campo da mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP), cujas principais abordagens são Integral-J (J-Integral) e Trabalho Essencial de Fratura (Essential Work of Fracture –

EWF) (Anderson, 1995).

A J-integral que é uma integral de contorno, independente do caminho, que descreve as tensões, deformações e deslocamentos,de qualquer caminho de uma

trinca isolada com deformação elástica linear ou não-linear, que precedem o crescimento da trinca. Rice foi o primeiro a aplicar o J-integral para materiais elasto- plásticos e desenvolveu os conceitos como um meio de analisar os problemas de fratura (Anderson, 1995).

O ensaio de integral J é muito interessante, mas bastante complexo. Além de envolver medidas tendiosas do crescimento de trinca, raramente é possível sua aplicação em ensaios de impacto, impossibilitando a caracterização do comportamento de fratura a altíssimas taxas deformacionais. Outro ponto observado é que a maioria dos polímeros é muito dúctil a temperatura ambiente, por esse motivo, necessita de uma grande energia para que todo o material a frente do entalhe escoe (Peres, 2005).

Frente às dificuldades apresentadas pelo método da integral-J, apresenta-se como melhor alternativa o método do trabalho essencial de fratura (EWF) para a verificação da tenacidade à fratura de polímeros dúcteis.

2.11.1 Tenacidade à fratura em estado plano de deformação (KIC)

O material é capaz de suportar solicitações sem que ocorra a fratura, dada certo comprimento de trinca e uma determina geometria do corpo, desde que a tensão aplicada seja inferior ao valor crítico Kc. Esse valor é uma propriedade do material para uma determinada espessura de corpo. Em particular, no estado de plano de deformação e no modo de abertura, essa propriedade passa a ser independente da espessura e é conhecida com tenacidade à fratura em estado plano deformação, sendo simbolizada por KIC (Perez, 2009).

A determinação dessa propriedade para materiais poliméricos segue a norma técnica ASTM D 5045-99 e o protocolo de ensaio ESIS. Nesses ensaios um corpo de prova padronizado contendo uma pré-trinca é carregado em uma máquina de ensaios mecânicos, a velocidade constante, registrando-se os valores de força e a deslocamento até a ruptura.

A Figura 28 apresenta as duas configurações de corpos de prova padronizados, incluindo as principais dimensões: flexão de três pontos (single- edgenotch bending – SENB) e compacto de tração (compact tension – CT).

Figura 28. Configuração dos corpos de prova para ensaio de KIC de materiais poliméricos: (a) flexão

de três pontos (SENB) e (b) compacto de tração (CT) Fonte: Norma ASTM D 5045-99.

O avanço da trinca é monitorado por meio do comportamento da curva força (P) versus deslocamento (u). Os principais tipos estão apresentados na Figura 29, que mostra que pode ocorrer um comportamento bem variável. No caso ideal de um corpo elástico linear, a curva de carregamento do ensaio é uma reta desde a origem até o crescimento instável final da trinca, quando ocorre uma súbita e definitiva queda do valor da carga. Esse comportamento é ilustrado na curva tipo III da Figura 29 (Anderson, 1995).

Figura 29. Tipos de curvas força versus deslocamento em um ensaio de KIC.

Fonte: Anderson, 1995. tipo I

Para determinar o valor de KIC e necessário seguir um procedimento para obtenção de um valor provisório nomeado KQ, e então verificar se esse valor satisfaz as restrições geométricas apresentadas na equação 33 (Anderson, 1995; Peres, 2005; Souza, 2011).

onde, a = tamanho da trinca, B = espessura do corpo de prova, W = largura do corpo de prova e σe = tensão de escoamento do material.

O primeiro passo para a determinação de KQ consiste em traçar um reta que melhor represente o módulo de flexibilidade (compliance) inicial do corpo de prova (reta AB na Figura 30). Uma segunda reta (AB’) é traçada de forma que a tangente do ângulo θ’ seja 5% maior que a tangente do ângulo θ. Se o valor da carga máxima atingida durante o ensaio (Pmáx) encontra-se entre as retas AB e AB’, então o valor de Pmáx e diretamente utilizado para a determinação de KQ. Caso Pmáx esteja situado acima da reta AB’ é necessário obter o valor da carga PQ, sendo essa correspondente ao ponto de intercessão entre a reta AB’ e a curva do carregamento. Para Pmáx/PQ > 1,10 o ensaio é considerado inválido, porque é possível que KQ não seja representativo de KIC (Anderson, 1995; Peres, 2005; Souza, 2011).

Figura 30. Perfil do gráfico força versus deslocamento obtidos em ensaio de tenacidade à fratura KIC

utilizado para verificação da carga para o cálculo de KQ.

Após a determinação de PQ, o valor de KQ pode ser calculado usando a seguinte equação:

onde, f(a/W) é um polinômio tabelado para cada configuração de corpo de prova (Anderson, 1995).

2.11.2 Trabalho essencial de fratura (EWF)

A teoria na qual basea-se o método EWF propõe que quando um sólido dúctil fraturado está sendo solicitado, o processo de fratura e a deformação plástica ocorrem em duas regiões distintas, denominadas zona de processo de fratura (ZPF) e zona plástica externa à ZPF (Wu & Mai, 1996). Essas zonas são apresentadas na Figura 31.

Figura 31. Esquema de amostra de fratura frágil apresentando a zona de processo de fratura (ZPF) e a zona plástica.

Fonte: Yamakawa, 2007.

Durante a propagação da trinca, o trabalho de fratura dissipado na zona plástica não é diretamente associado com o processo de fratura. Somente aquele trabalho absorvido dentro da zona de processo de fratura é uma constante do material. Portanto, o trabalho de fratura total, Wf, deve ser separado em duas partes,

isto é, trabalho essencial de fratura (We) e trabalho não-essencial de fratura (Wp). O

trabalho essencial de fratura é a energia dissipada na zona de processo de fratura, enquanto que o trabalho não essencial de fratura é a energia dissipada na zona plástica (Yamakawa, 2007; Báránya, Czigánya & Karger-Kocsis, 2010).

Portanto o trabalho total de fratura é calculado a partir da área sob a curva força versus deslocamento em ensaios de tração e pode ser dado por (Báránya, Czigánya & Karger-Kocsis, 2010):

We pode ser compreendido com uma energia superficial, e para uma dada

espessura, este é proporcional ao comprimento de ligamento, l, ou seja, a porção não fraturada da amostra. Enquanto que Wp é uma energia volumétrica e

proporcional a l2. Supondo-se que tanto a zona de processo de fratura quanto a zona

externa à ela estejam dentro do ligamento o trabalho de fratura total e dado com (Yamakawa, 2007; Báránya, Czigánya & Karger-Kocsis, 2010):

E o trabalho de fratura total específico, wf, é dado por:

onde:

we e wp são o trabalho essencial específico de fratura e trabalho não-

essencial específico de fratura, respectivamente;

β é o fator de forma da zona plástica; t é a espessura do corpo de prova; l é o ligamento

Se assumirmos que we é uma constante do material e que wp e β são

independentes de l então, quando wf é posto em um gráfico em função de l de

acordo com a Eq. 37, deve existir uma relação linear entre wf e l. Pela extrapolação desta reta para comprimento de ligamento igual a zero, we pode ser determinado da

intersecção no eixo Y, e a inclinação desta reta fornece βwp (Figura 32). Mas, se β

muda com a geometria da zona de processo e o comprimento inicial de trinca, uma relação linear entre wf e l somente poderá ser obtida se a similaridade geométrica for mantida para todos os comprimentos de ligamento. (Yamakawa, 2007).

Figura 32. Gráfico esquemático da relação entre wf e l.

Fonte: Yamakawa, 2007

2.11.2.1 Critérios de validade para aplicação do método EWF

A primeira tentativa de padronizar o método EWF foi liderada por Gray em uma comissão 1993. Neste ato se estabeleceu critérios básicos para a validade da aplicação do método. Essa avaliação foi estabelecida pela observação de resultados apresentados por longas pesquisas. Denominou-se esse apanhado de “regras” de Protocolo da ESIS (EUROPEAN STRUCTURAL INTEGRITY SOCIETY'S) (Karger- Kocsis & Mouzakis, 1999). Nesse protocolo foram estabelecidas as seguintes recomendações para validade da aplicação do método EWF para polímeros.

 10

- Amostras testadas para diferentes comprimentos de ligamento devem apresentar deslocamentos semelhantes.

 20

- Completo escoamento do ligamento deve ocorrer antes da propagação da trinca.

 30

- Os ligamentos devem estar em um estado plano de tensão.

Esses critérios são recomendados para assegurar que a maior parte do trabalho de fratura seja consumida antes da propagação da trinca. A importância do 10 criterio basea-se no fato de obter uma boa linearidade na curva wf vs l, ou seja, o