Introdução a Geometria Fractal

Esta oficina foi implementada, no decorrer de três aulas, pelo grupo A. Na Sala 1 estavam presentes os alunos E1, E2, E3, E4 e E5, na Sala 2, E6, E7, E8, E9 e E11.

Iniciou-se a oficina explanando para os alunos, com a utilização de slides, o que é um fractal e a história da Geometria Fractal. Com exceção do aluno E8, todos estavam interessados no assunto e prestando atenção no que estava sendo exposto.

comprimento da linha de costa da Grã-Bretanha (Blog WordPress)12. Observe a Figura 20.

Figura 20: Mapa da Grã-Bretanha.

Fonte: Pikabay – imagens gratuitas 13

Este problema proposto por Bernoit Mandelbrot, em um artigo em 1967, foi abordado na oficina, com o objetivo de deixar claro para os alunos a ideia de infinidade, presente nos fractais. Inicialmente, os alunos ficaram sem saber o que responder, então as acadêmicas explicaram, pedindo para que imaginassem um homem caminhando pelo litoral, e a cada passo deixando uma pegada, quando reencontrar o ponto de origem, a linha que une todas as suas pegadas representará o comprimento da costa. Então perguntaram: e se fosse um animal

menor que o homem que fizesse esse trajeto? Um lagarto, por exemplo, como ficaria o comprimento?

E6: maior ainda, pois eles precisariam dar mais passos que o homem. A1: exatamente isso que queria que percebessem.

Continuaram com a analogia, indagando: se fosse um animal menor ainda, como

ficaria esse comprimento? E11: Uma formiga?

A2: Sim, e se fosse uma formiga?

E8: Ficaria maior ainda o comprimento.

E6: ficaria mesmo, pois o passo dela é ainda menor que o do lagarto.

Os acadêmicos ainda completaram o pensamento dos alunos, dizendo que a linha descrita pelo lagarto será mais irregular e mais longa que a do homem e, ainda mais extensa será a linha da formiga, pois quanto menor for o animal, mais objetos e obstáculos irá encontrar, o que aumentará o comprimento. Quanto maior o número de obstáculos percebidos, maior a extensão da costa, e que, no limite, tenderá ao infinito, observe a Figura 21.

12 _{Disponível em:< https://filosofiadacienciaufabc.wordpress.com/2010/11/15/benoit-mandelbrot-matematico-}

dos-fractais-parte-2-de-3/> acesso em: 06/06/2017.

70 Figura 21: Comprimento da costa da Grã-Bretanha

Fonte: Plataforma WordPress14

Os alunos compreenderam o que estava sendo exposto e comentaram:

E6: imagina uma bactéria agora. E11: E se fosse um átomo?

Ficou evidente na Sala 2, que os alunos E6, E9 e E11 conseguiram estabelecer relações com o que estava sendo proposto. Assim, como apontam Maitra e Sharma (1999) alunos com AH/SD em matemática se destacam na facilidade para compreensão de conceitos abstratos, na rapidez na construção de novos conhecimentos, na facilidade de compreensão abstrata e na habilidade com o pensamento visual e espacial.

O demais alunos da Sala 2, embora não tenham participado ativamente da construção do conhecimento, demonstraram entender o que estava sendo proposto. Na Sala 1, somente o aluno E5 não participou ativamente da construção do conceito de infinitude dos fractais, ele compreendia o que estava sendo proposto, porém era muito tímido e não se manifestava.

Nesta atividade ficou constatada a aprendizagem significativa, por meio da assimilação, pois o conceito de infinitude dos fractais foi assimilado com base no conceito subsunçor comprimento, que os alunos já tinham bem estabelecido em sua estrutura cognitiva e, ao relacionar esses dois conceitos, promovem a modificação no conceito de comprimento, gerando uma nova unidade que é o conceito subsunçor modificado, e assim os alunos conseguiram compreender significativamente o que é o conceito de infinitude nos fractais.

Na sequência, foram abordadas as propriedades autossimilaridade, complexidade infinita e dimensão, utilizando imagens ilustrativas. Neste momento os alunos prestavam atenção em tudo que era exposto, pois eram conhecimentos novos, e não queriam perder nada das explicações.

14 _{Disponível em:< https://filosofiadacienciaufabc.wordpress.com/2010/11/15/benoit-mandelbrot-matematico-}

Na próxima atividade, foram mostrados fractais encontrados na natureza. Os alunos ficaram maravilhados, pois conseguiam perceber nas imagens projetadas, as propriedades que haviam aprendido. Algumas das imagens projetadas podem ser observadas na Figura 22.

Figura 22: Fractais: (a) Brócolis Romanesco, (b) Náutico (c) Egito visto do espaço (d) Cristais de bismuto Fonte: Site Metamorfose Digital15

Quando observada a Figura 22(b), E6 mencionou sobre o “número de ouro”16, dizendo que já havia estudado que existia essa relação na concha do náutico, pois seu crescimento acontece de acordo com a razão áurea, e que essa relação vinha do retângulo áureo e estava inclusive relacionado com a existência de Deus. Os alunos da Sala 2 ficaram interessados na fala de E6 e decidiram pesquisar sobre isso.

Na Sala 1, quando foi apresentada a Figura 22(d), as alunas E3 e E4 exclamaram que achavam lindo, e perguntaram para os colegas se eles sabiam que o bismuto era um elemento químico.

Também nesta oficina, foi construído um cartão fractal triângulo de Sierpinski, mostrado na Figura 23.

15 _{Disponível em: <http://www.mdig.com.br/index.php?itemid=30380> Acesso em 5/06/17.} 16

O número de ouro ou relação áurea é um número irracional que pode ser obtido a partir de um segmento de reta qualquer. Dividindo este segmento em dois segmentos menores e de modo que a razão entre o comprimento do segmento dividido pelo comprimento do segmento seja igual à razão do comprimento de dividido pelo comprimento de .

72 Figura 23: Cartão fractal triângulo de Sierpinski

Fonte: Estudantes, 2017

Na construção do cartão fractal, tanto na Sala 1 quanto na Sala 2, constatou-se que os alunos com AH/SD em Matemática, assim como Machado (2013) já havia afirmado, possuíam alta capacidade de generalização e automatização do pensamento, pois apresentando os passos para construir o primeiro nível do cartão eles construíram os demais. Já os alunos E2 e E4 precisaram de auxílio em cada um dos níveis construídos.

Com esta atividade os alunos mostraram autonomia ao gerenciar seu conhecimento, se destacando na elevada capacidade de processar informações e fazendo uso do pensamento abstrato e lógico dedutivo, conseguiram generalizar o processo, construindo sozinhos mais três níveis do cartão fractal.

A última atividade desenvolvida nesta oficina envolvia a generalização do triângulo de Sierpinski. Na Figura 24, aparece a generalização do cálculo do perímetro e da área feita por E5.

Figura 24: Generalização do triângulo de Sierpinski Fonte: Estudante E5. 2017

Nesta atividade, E5 se sobressaiu se comparado com os demais alunos, pois assim como Heid (1983) afirma, foi constatado que alunos com AH/SD em Matemática formulam suas ideias e conceitos sem necessidade de instrução formal.

Com exceção de E2 e E8, os outros estudantes também concluíram a atividade, utilizando o pensamento algébrico para generalizar a situação problema. No entanto alguns precisaram de orientações para buscar em sua estrutura cognitiva, como calculava área e perímetro de triângulos, e com a utilização do pensamento algébrico e lógico dedutivo, conseguiram generalizar as fórmulas até o nível “n.”. Os alunos E2 e E8 desistiram da atividade, pois estavam encontrando muita dificuldade e não aceitaram que os acadêmicos os ajudassem.

6.2.4.1. Conclusão da análise

Durante grupo focal realizado após a aplicação das oficinas nas Salas 1 e 2, os acadêmicos relataram que nas duas salas, os alunos mostraram-se igualmente interessados e motivados ao aprender sobre uma outra Geometria Não-Euclidiana. Apresentaram bastante curiosidade e se envolveram com o conteúdo mostrado.

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Novamente foi notória a satisfação dos acadêmicos com os resultados da aplicação da oficina, pois perceberam que com exceção dos alunos E2 e E8 que apresentaram muitas dificuldades, os demais conseguiam com facilidade construir o pensamento algébrico e generalizar resultados, como ficou evidente na generalização do triângulo de Sierpinski (Figura 22). Também, entenderam o conceito de infinitude nos fractais e ficou nítido que haviam compreendido sobre as propriedades de autossimilaridade, complexidade infinita e dimensão, pois conseguiam identificá-las justificando cada uma delas nas imagens que eram projetadas, e, inclusive, mencionavam outras que nem tinham sido projetadas, o que deixa evidente que houve uma aprendizagem.

A Tabela 6 resume o comportamento dos alunos no decorrer da oficina, de acordo com as categorias criadas.

Alunos Criatividade Comprometimento com a tarefa Pensamento abstrato Lógica dedutiva Aprendizagem Significativa E1 X X X X X E2 X X X X X E3 X X X X X E4 X X X X X E5 X X X X X E6 X X X X X E7 X X X X X E8 X X X X X E9 X X X X X E11 X X X X X

Tabela 6: síntese da quarta oficina. (destacados, em negrito, os alunos com AH/SD em Matemática).

Embora os estudantes E2 e E8 não tenham concluído a última atividade, as características ficaram evidenciadas em outros momentos da oficina, como por exemplo, na construção do conceito de infinitude, que foi abordado com a problemática do cálculo da costa da Grã-Bretanha e também com na construção do cartão fractal.

Os alunos demonstraram notável motivação e comprometimento com a tarefa, se empenhando, demonstrando interesse, curiosidade e participação no decorrer de toda a oficina.

Ficou também evidenciado o elevado nível de criatividade, principalmente destacado pela grande imaginação, independência de pensamento e ideias, clareza e organização de

elementos matemáticos na construção do conceito de infinitude dos fractais, na construção do cartão fractal e na generalização do triângulo de Sierpinski.

O pensamento abstrato e lógico dedutivo foi principalmente evidenciado na construção do conceito de infinitude dos fractais, na construção do cartão fractal e na generalização do triângulo de Sierpinski.

A aprendizagem significativa ficou destacada principalmente na construção do conceito de infinidade dos fractais e generalização do Triângulo de Sierpinski, pois a partir dos conceitos subsunçores de área perímetro e representações algébricas, a maioria dos alunos conseguiu fazer as generalizações solicitadas.

Nesta oficina, a categoria que mais se sobressaiu foi o pensamento abstrato.

Esta oficina trouxe muitos resultados positivos, foi possível ensinar alguns conceitos de mais uma Geometria Não-Euclidiana, e os alunos se demonstram muito receptivos a novos conteúdos que extrapolam o currículo escolar, pois os possibilita ver que na Matemática existe uma diversidade de conteúdos que podem ser explorados.