O método da TIR consiste em calcular a taxa que zera o valor presente (valor presente líquido) dos fluxos de caixa das alternativas. Os investimentos nos quais a TIR é maior que a TMA (taxa mínima de atratividade) são considerados rentáveis e passíveis de análise.
O método da TIR é, normalmente, utilizado em projetos de implantação ou expansão industrial como comparação com os índices normais do setor a que o projeto se referir.
Deve-se no entanto referir que este método não é um método de fácil aplicação, sobretudo manualmente, para um número de fluxos de caixa futuros superior a quatro fluxos de caixa. Nessas condições, apenas se torna possível o cálculo com recurso ao uso de calculadoras científicas, que já têm introduzidas dentro delas determinadas funções próprias para esse efeito, e acabam calculando a TIR a partir da introdução de determinados parâmetros. Ou, alternativamente e sob essas mesmas condições, o cálculo da TIR acaba sendo feito através do excel, e não de forma manual.
Mas, continuando, o que a TIR pretende determinar é: qual é a taxa de desconto a que os fluxos de caixa líquidos futuros precisam ser descontados para o instante zero do projeto, de forma a que o VPL (=VP) do projeto seja igual a zero.
Ora, o valor presente líquido resulta de colocar no instante zero do projeto uma série de fluxos líquidos de caixa futuros no tempo (suponha-se anualmente, para maior facilidadede raciocínio), descontando-os a uma determinada taxa (taxa de desconto, que usualmente aparece designada por i, ou j (e que faz as vezes/equivale à taxa mínima de atratividade).
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Assim sendo, e pela própria definição da TIR (taxa de desconto a que os fluxos de caixa líquidos futuros necessitam ser descontados para o instante zero para que o VPL seja zero), resulta matemáticamente a expressão
VPL = F0 + F1 / (1 + i) + F2 /{(1 + i)^2} + F3 /{(1 + i)^3} + ...+ Fn /{(1 + i)^n}
(Equação 1)
Tem-se então que resolver a equação 1 em termos de TIR.
Tome=se então a seguinte igualdade: x = 1 / (1 + TIR) TIR = (1/x) - 1 Fazendo então a substituição na equação 1, vem:
0 = F0 + F1 * x+ F2* x^2 + ... + Fn * x^n (polinômio de grau n)
O problema torna-se assim num problema de achar as raízes de um polinômio de grau n, e depois, com o conhecimento de x, pode-se determinar a TIR (ou a(s) TIR, caso existam várias raízes da equação.
Considere-se inicialmente a situação em que n = 2 (ou seja, só se tem dois períodos de tempo, e dois fluxos de caixa líquidos futuros, que são F1 e F2).
2 períodos (n=2) => | 0 = F0 + F1 * x + F2 * x^2
| TIR = (1/x) - 1
Aplicando a fórmula de Báskara vem que as raízes são as que constam a seguir: | - F1 (+ ou -) {F1^2 – (4*F2*F0)}^1/2/(2*F2), sendo que Δ = F1^2 – (4*F2*F0)
| (a) Se Δ > 0 => tem-se duas raízes reais | (b) Se Δ = 0 => tem-se 1 raiz real única
| (c) Se Δ < 0 => tem-se duas raízes complexas (o que em termos econômicos/financeiros não faz sentido)
Suponha – se o seguinte exemplo: F0 = -3 ; F1 = 2 ; F2 = 2 ; nessa situação e aplicando a fórmula de Báskara tem-se que: x = [ (-2 (+/-) { ( 4 + 4*6) }^1/2 ) / 4) ] => x = [-2
(+/-) (28^1/2)] / 4
Donde resulta que x1 = 0,82276 e x2 = -1, 82288 ; Como TIR = (1/x) – 1 vem que TIR1 = 0,215 (21,5%) e que TIR2 = -1, 549 (o que não faz sentido). Ou seja, neste caso, para uma situação de dois fluxos futuros apenas, foi possível determinar o valor da TIR que resultou igual a 21,5%.
O problema é que até existem expressões que dão as raízes para polinómios de 3° e 4° grau, mas a partir daí, qualquer resolução de polinômios de grau 5 ou maior que 5
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envolvem a aplicação de métodos numéricos como o método de Newton-Raphson, os quais inclusive tendem para encontrar uma única solução/raiz, quando podem existir mais que uma. Esta é portanto uma limitação considerável do método da TIR.
Uma outra limitação da TIR é que ela não apenas apresenta dificuldades de cálculo como apresenta também dificuldades de interpretação, quando é o caso em que existe mais do que uma raíz real para a equação genérica:
0 = F0 + F1 / (1 + TIR) + F2 /{(1 +TIR)^2} + F3 /{(1 + TIR)^3} + ...+ Fn /{(1 +
TIR)^n}
Existem até situações de alguma inconsistência quando se usa a TIR para comparação de projetos de investimentos alternativos. Senão, veja-se a seguinte situação: suponha-se o gráfico da figura 30 que compara dois investimentos alternativos, o investimento 1 e o investimento 2, para uma taxa de desconto j.
Figura 30 - Determinação da TIR para os investimentos 1 e 2 (Fonte: o autor) A linha em azul representa o VPL (=VP) do investimento 2 para uma taxa de desconto j, e a linha a vermelho representa o valor/andamento do VPL (=VP) do investimento 1 para a mesma taxa de desconto. Os pontos em que essas linhas cruzam o eixo dos xx (eixo da taxa de desconto j) representam as taxas internas de retorno (TIR) dos dois investimentos (TIR1 e TIR2). São os pontos em que os respetivos valores líquidos presentes se igualam a zero.
Uma análise mais superficial poderia sugerir que, pelo fato da taxa interna de retorno do projeto 1 (TIR1) ser maior que a TIR2, que esse projeto 1 seria melhor que o projeto 2. Mas isso não acontece sempre dessa forma. Neste caso, só acontece para pontos à direita daquela linha a tracejado vertical que passa pela interseção das duas linhas referentes aos projetos. Nessa situação (pontos à direita), aí sim o VPL do projeto 1 é sempre maior que o VPL do projeto 2. Mas para valores de j (taxa de desconto) inferiores ao valor de j que corresponde a essa linha vertical a tracejado, a situação inverte-se, ou seja, para valores de
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j (taxa de desconto) inferiores aos do j em que as linhas dos VPL dos dois projetos/investimentos se cruzam, é o projeto 2 que é mais atrativo, pois apresenta valores de VPL sempre superiores aos do projeto 1.
Em resumo: para valores de j acima do j de cruzamento das linhas dos VPL dos dois projetos, o projeto 1 é mais vantajoso que o projeto 2; para valores de j abaixo do j de cruzamento das linhas dos VPL dos dois projetos, o projeto 2 passará a ser mais vantajoso que o projeto 1 (apresentará sempre valores de VPL maiores que os do projeto 1).
Pode-se também dizer que a TIR, taxa interna de retorno, é a taxa que iguala o retorno do investimento ao custo do investimento inicial do capital.