As frações no 5.º ano de escolaridade: Que conhecimentos revelam os alunos?
METODOLOGIA DE INVESTIGAÇÃO
O estudo aqui apresentado segue uma abordagem qualitativa e interpretativa (Erickson, 1986), ten- do como objetivo compreender que conhecimentos revelam os alunos relativamente aos significados das frações e às suas operações (adição e subtração), através de um teste diagnóstico aplicado antes de estes iniciarem o estudo dos números racionais. Este teste foi construído na sequência de um estudo-piloto aplicado anteriormente a alunos de uma turma do 4.º ano de escolaridade e com base numa revisão de literatura sobre o tema em estudo. O estudo-piloto envolvia aspetos centrais na aprendizagem dos números racionais, nomeadamente as suas representações, os seus significados (operador, quociente, medida e parte-todo) e as suas operações (adição e subtração), em situações contextualizadas e não contextualizadas. Tinha como objetivo identificar os conhecimentos prévios dos alunos relativamente aos números racionais.
Os participantes deste estudo são 4 alunos de uma turma do 5.º ano de uma escola pública que integra um agrupamento de escolas que funciona como Território Educativo de Intervenção Prio- ritária (TEIP). O agrupamento de escolas encontrase inserido num meio socioeconómico e cultural desfavorecido, tendo uma população escolar que apresenta níveis de insucesso, indisciplina e aban- dono escolar elevados. Os alunos que integram este estudo foram selecionados com base nas suas produções escritas, por recorrerem a procedimentos representativos dos restantes colegas da turma na resolução das questões e pela diversidade de género. A recolha de dados decorreu no ano letivo de 2017/2018, no mês de dezembro, e envolveu observação participante, recolha documental e a reali- zação de entrevistas semiestruturadas individuais aos 4 alunos. Durante as entrevistas, gravadas em áudio, foi pedido aos alunos que explicassem a forma como pensaram para a resolução de cada uma das questões apresentadas. A análise dos dados envolveu a organização das informações obtidas em categorias, sendo considerados para esta comunicação o domínio dos significados e das operações.
RESULTADOS
SIGNIFICADOS
Apesar do significado parte-todo ser o mais frequente em tarefas envolvendo números racionais, os alunos ainda demonstram alguma dificuldade na sua compreensão. Quando este significado surgiu em contextos discretos, em que o número total de objetos coincidiu com o denominador da fração, os
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alunos não demonstraram dificuldade afirmando “pintei só uma porque é , então pintei um de cinco” ou “porque são cinco figuras e está a pedir para pintar uma”. Por outro lado, e tal como referem Behr e Post (1992) e Llinares e Sánchez (1997), uma das dificuldades evidenciadas pelos alunos relaciona- va-se com o significado parte-todo envolvendo grandezas discretas, em que o número de objetos era superior ao denominador da fração, sendo necessário considerar subconjuntos equivalentes dentro da mesma unidade. Esta situação verificou-se numa questão em que os alunos tinham que recons- truir pictoricamente a unidade com base nas suas partes, sendo apresentada aos alunos uma imagem constituída por dois objetos e a respetiva quantidade fracionária
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. Esta questão revelou-se parti- cularmente difícil sendo que, dos 4 alunos entrevistados, nenhum a conseguiu fazer corretamente. David, Nara e Ana Maria (figuras 1a, 1b e 1c, respetivamente) consideraram que o denominador 3 representava o total de luas, desenhando apenas mais uma. Referiram que, quando as grandezas são discretas, é mais confuso porque “ não podem ser duas coisas”. As justificações de David “acrescentei uma lua porque assim é que dava três” e Nara “Estavam duas e a gente acrescentava só mais uma para dar três”, demonstram alguns equívocos com este significado envolvendo este tipo de grandezas.Figura 1. Resoluções de David (a), Nara (b) e Ana Maria (c).
Miguel (figura 2) resolveu a questão corretamente, no entanto, quando questionado, a sua justifica- ção demonstrou igualmente uma conceção errada relativamente a esta questão. O aluno considerou que o denominador indicava o número total de luas na parte inferior, pelo que acrescentou mais duas para obter três, e que o numerador indicava o número de luas pintadas na parte superior, pelo que acrescentou novamente mais duas, ficando apenas pintada uma delas. Esta situação reforça a ideia expressa anteriormente de que os alunos consideram as frações como dois números distintos. Professora: Eu disse que duas luas representavam . Por que acrescentaste estas quatro?
Miguel: Como aqui tem um três [denominador] e estava aqui em baixo só uma, eu acrescentei mais duas. E como é só um para pintar [numerador] eu acrescentei aqui mais estas duas para ficar só um pintado. Eu pensei que estes estavam separados.
Figura 2. Resolução de Miguel.
Outra situação em que os alunos tinham que considerar subconjuntos dentro da mesma unidade foi no sombreamento de 25% de uma figura constituída por oito retângulos, pela existência de um distrativo percetual (Behr & Post, 1992). Ana Maria e Nara (figura 3), bem como a maior parte dos alunos da turma, tiveram dificuldade em considerar quatro grupos de dois retângulos. Para Ana Ma- ria “um quadradinho é equivalente a 25%”, e é deste valor que vai depender a percentagem total da figura e não ao contrário, chegando a afirmar que “isto dava 200%!”. Nara, por sua vez, justificou de imediato o sombreamento de cinco quadrados “porque na tabuada do 5 tem 25”, demonstrando mais uma vez a influência dos números inteiros em tarefas que envolvem números racionais.
Figura 3. Resoluções de Ana Maria e Nara, respetivamente.
David e Miguel fizeram corretamente a questão embora tenham utilizado diferentes estratégias. Da- vid demonstrou alguma flexibilidade na conversão entre as diferentes representações do número
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racional, o que o ajudou nesta questão ao reconhecer que 25% correspondia a da figura. Por outro lado, Miguel considerou subconjuntos de dois retângulos confirmando posteriormente se quatro ve- zes 25% dava 100%. O significado parte-todo envolvendo grandezas contínuas, surgiu na reconstrução pictórica da unidade sendo dada uma das suas partes e a respetiva representação fracionária (). Os resultados foram mais positivos, sendo que todos os alunos entrevistados compreenderam que a repre- sentação pictórica fornecida correspondia a uma das partes, num total de quatro partes iguais a essa. O significado de medida, em que os alunos demonstraram lacunas substanciais na sua compreensão, esteve presente numa situação na qual teriam que determinar as frações que representam o compri- mento de duas barras, tendo outra como referência, bem como a respetiva quantidade fracionária (). Para resolver a questão, Nara (figura 4) considerou que o numerador da fração dada (1) deveria manter-se nas restantes por representar a unidade de medida, e que os denominadores correspon- deriam ao número de centímetros que cada barra tinha, entretanto verificados pela aluna com uma régua, embora de forma imprecisa. Ana Maria (figura 4) começou por dividir a unidade de medida em duas partes iguais uma vez que o denominador da fração era dois. Depois, foi dividindo suces- sivamente uma das barras em partes mais ou menos de igual tamanho e verificou quantas vezes as partes que obteve cabiam nesta. O número de partes obtidas colocou como denominador da fração e, como numerador, manteve o número um, tal como Nara.
Figura 4. Resoluções de Nara e Ana Maria, respetivamente.
Por outro lado, Miguel verificou que a barra inicial cabia três vezes na barra a medir, pelo que indi- cou a fração . Quando questionado relativamente ao significado dos termos da sua fração, respondeu que “o um é o espaço todo que está pintado [barra inicial] e o três é quantas vezes é que o azul cabe no amarelo”. David verificou que a barra inicial cabia três vezes na barra a medir, pelo que adicio- nou três vezes, adicionando os numeradores e os denominadores, de forma independente. Estes resultados sugerem que, de um modo geral, os alunos demonstraram um desempenho e compreen- são inadequados relativamente à identificação da unidade, ao tamanho das frações e ao significado parte-todo implícito uma vez que não consideraram que as subdivisões deveriam ser congruentes. O significado quociente das frações surgiu numa situação contextualizada, através de uma situação de partilha equitativa de grandezas contínuas/discretas, considerada uma atividade fundamental para o aluno desenvolver compreensão sobre os números racionais, nomeadamente das relações parte-todo (Lamon, 2006). Pretendia-se que os alunos dividissem igualmente três tartes entre qua- tro pessoas, associando a operação de divisão de um número natural por outro a uma fração, esta- belecendo a equivalência entre e 0,75, o que não se verificou. Todos os alunos recorreram a uma representações pictórica, da qual demonstraram total dependência, para chegar ao resultado, repre- sentando três tartes e realizando divisões nas mesmas. Por exemplo, Nara, a partir das suas repre- sentações, indicam corretamente o número de fatias que cada pessoa recebe (figura 5), no entanto, não indica que fração representa essa quantidade.
Figura 5. Resolução de Nara.
Quando questionada acerca desse aspeto, Nara sugere que seria “porque cada pessoa come uma fatia das três tartes”. A aluna encara a fração como uma relação parte-todo mas envolvendo grandezas distintas, neste caso, fatias e tartes. Ana Maria atribuiu uma tarte a cada adulto e a terceira, dividiu
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igualmente entre os netos. No entanto, no momento da entrevista foi questionada e sugeriu “partir ao meio” as tartes. Acabou por dividir ao meio duas tartes, atribuindo metade a cada pessoa e na última tarte dividiu em quatro partes iguais, atribuindo mais uma dessas partes a cada pessoa. David tentou atribuir metade de cada tarte a cada pessoa e, verificando que sobrava tarte, optou por dividi- -las em quatro fatias. Deste modo, indicou a fração pois cada pessoa iria receber três fatias de uma tarte dividida em quatro fatias (figura 6).
Figura 6. Resolução de David.
David e Nara recorreram à estratégia da distribuição (Lamon, 2006), realizando o mesmo número de divisões em todas as tartes e, posteriormente, distribuindo essas partes a cada pessoa. Miguel, por sua vez, tentou realizar a divisão do número de tartes pelo número de pessoas, no entanto, aca- bou por abandonar a sua estratégia por não conseguir resolver a operação. Apesar dos alunos terem conseguido realizar as subdivisões nas grandezas, demonstraram dificuldade em nomear as partes fracionárias.
O significado operador das frações esteve presente numa situação contextualizada através de uma fração não unitária. Pretendia-se que os alunos determinassem uma quantidade a partir de outra, sabendo que a primeira representava da segunda, sendo este o operador em causa. Nara (figura 7) subtraiu a fração do valor total (180 euros), subtraindo o numerador e depois o denominador e apresentou a sua justificação:
era 180 e ela gastou e a nossa professora ensinou-nos sempre a fazer 180 menos 2 e depois é 180 menos 3, e a gente punha o que dava aqui. E os 5 euros era o que faltava para os 180.
Figura 7. Resolução de Nara.
David e Miguel demonstraram um bom desempenho nesta questão embora tenham recorrido a di- ferentes estratégias. David encontrou uma fração que representasse uma unidade inteira (), que cor- responderia ao valor inicial (180 euros). Justificou que “se for um sobre três era 60 porque 60 vezes 3 dá 180. Por isso fiz 60 vezes 2 e deu-me 120”. Miguel fez a regra de dividir o valor total pelo denomi- nador da fração (que funcionou como divisor) e, de seguida, multiplicar esse valor pelo numerador. No entanto, esta questão foi realizada com a ajuda do professor, pelo que não é possível constatar se, de facto, o aluno compreendeu o processo. Ana Maria não conseguiu resolver a questão, mesmo após alguma insistência da minha parte durante a entrevista.
OPERAÇÕES
As operações com números racionais, nomeadamente adição e subtração, estiveram presentes numa situação contextualizada na qual se pretendia que os alunos adicionassem três frações com diferentes denominadores, representando cada uma delas uma determinada distância já percorrida de um per- curso. Verificaramse dificuldades consideráveis nestas operações a nível da compreensão concetual dos alunos, sendo que a operação de subtração registou os piores desempenhos. Na adição de frações os alunos identificaram de imediato a operação a utilizar, contudo, para a sua realização, David, Nara e Ana Maria adicionaram os numeradores e os denominadores, de forma independente (figura 8). Quando questionados sobre se seria possível adicionar as frações com os denominadores diferentes, mostraram total estranheza demonstrando graves lacunas no seu sentido de número racional (Hoff et al., 2017).
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Figura 8. Resolução de Nara.
Numa situação que solicitava a diferença entre duas frações, Nara recorreu à mesma estratégia da adição, subtraindo numeradores e denominadores de forma independente (figura 9). Ana Maria re- presentou ambas as frações em modelos retangulares distintos (figura 9) salientando como diferença o facto de uma quantidade ser menor do que a outra. Miguel e David não interpretaram corretamente a questão subtraindo o número de quilómetros percorridos em vez das quantidades fracionárias.
Figura 9. Resoluções de Nara e Ana Maria, respetivamente.
Podemos verificar que a operação de subtração é mais difícil de identificar por parte dos alunos ou, quando identificada, estes tendem, uma vez mais, a aplicar os conhecimentos que têm de números inteiros, obtendo respostas sem sentido.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este estudo tinha como objetivo analisar a forma como os alunos do 5.º ano compreendem os di- ferentes significados das frações e também que compreensão revelam das operações de adição e subtração nesta representação. Quanto ao primeiro aspeto, os resultados sugerem que os alunos têm um fraco domínio dos diferentes significados das frações. O significado de medida é o que apresenta maiores obstáculos aos alunos, que no qual demonstraram não compreender os significados de nu- merador e do denominador. Por outro lado, e tal como seria expectável, o significado parte-todo le- vou a um maior nível de sucesso. No entanto, os alunos mostraram muitas dificuldades em situações que envolvem grandezas discretas, em que o número total de objetos é superior ao denominador da fração (unidades compostas), o que se revelou incompreensível para eles. Podemos ainda concluir que a representação pictórica, da qual os alunos demonstraram grande dependência, é fundamental para iniciar o trabalho das frações com o significado quociente uma vez que estes não associam um contexto de partilha a uma situação de divisão de dois números
Relativamente ao segundo aspeto, verifica-se que os alunos encaram o símbolo da fração como en- volvendo dois números inteiros separados por um traço e não estabelecem uma relação multiplica- tiva entre numerador e denominador (tal como indicado por Behr & Post, 1992), operando com os referidos números de acordo com o seu conhecimento de números inteiros. Os resultados eviden- ciam ainda que o significado do denominador é uma das principais dificuldades na compreensão dos números racionais pelos alunos, o que os leva a dar respostas sem sentido, demonstrando lacunas no seu sentido de número racional e no seu sentido de operação (Huinker, 2002; Vos, 2012). Deste modo, o presente estudo, realizado com alunos que concluíram o 4.º ano segundo os programas presentemente em vigor em Portugal, mostram sérias incompreensões e dificuldades, que devem ser tidas em conta pelos professores na lecionação do 5.º ano.
AGRADECIMENTOS
Este trabalho foi elaborado com o apoio financeiro da Fundação para a Ciência e a Tecnologia no
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