Perpetuidade crescente

Uma perpetuidade crescente é aquela em que o valor da prestação cresce a cada período de tempo. Existem várias formas possíveis de crescimento, mas as mais comuns são crescimento

linear e crescimento exponencial. O crescimento linear é chamado na Matemática de progressão aritmética (PA), já o crescimento exponencial é chamado de progressão geométrica (PG).

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Em uma progressão aritmética (PA), todos os termos são iguais ao termo anterior mais uma constante, chamada de razão. Assim, o valor das prestações aumenta sempre a partir de um mes-mo valor. É comum que a razão seja designada pela letra G, pois a palavra crescimento em inglês é growth.

Figura 3 – Perpetuidade crescente em progressão aritmética PMT₁ PMT₁ PMT₂ PMT₃ PMT₄ 1 2 3 4 G G G ...

Fonte: Elaborada pelo autor.

Na Figura 3, cada prestação foi dividida em partes. A primeira prestação é chamada de PMT₁, todas as outras podem ser escritas em função da primeira:

PMT₂ = PMT₁ + G PMT₃ = PMT₁ + 2G …

PMT_n = PMT₁ + (n–1)G …

Agora, para encontrar o valor presente da perpetuidade, será utilizado um artifício. É impor-tante observar na figura que todas as prestações são a soma da prestação 1 (PMT₁) com algum valor. Desse modo, é possível começar encontrando o valor presente de infinitas prestações de valor PMT₁. Esse valor é o valor presente de uma perpetuidade constante, que é:

P₁ = PMT1

i

Da prestação 2 em diante aparece, além da prestação 1 (PMT₁), um outro valor, que é G. Soma-se o primeiro G assim:

P₂ = ^G

[i . (1 + i)]

Seria comum pensar que o valor presente de uma sequência de prestações, todas com valor G, seria simplesmente G/i, no entanto, esse é o valor da sequência no instante 1. No instante 0 o seu valor será G/i dividido por (1 + i).

É importante levar em consideração que existe uma prestação de valor G que ocorre da pres-tação 2 em diante. O valor presente dessa prespres-tação será:

P₃ = ^G

[i . (1 + i)2]

Essa sequência de valores pode ser generalizada ao observar que cada valor presente pode ser escrito da seguinte maneira:

P_n = ^G

Perpetuidade e série de pagamentos constantes e variáveis 127

Assim, conclui-se que o valor presente de uma perpetuidade crescente em progressão aritmética é dado por: P = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + … P = PMT1 i ⁺ G [i . (1 + i)] ⁺ G [i . (1 + i)2] ⁺ G [i . (1 + i)3] ^{+ ...} Além do valor PMT₁/i, há uma sequência que é escrita como:

G i i n    _  (1 )

Trata-se de uma perpetuidade em que o valor de cada prestação é G/i. O valor presente dessa perpetuidade é dado por:

P = PMT1

i ^{+ G}i2

O exemplo a seguir também envolve o cálculo de perpetuidade que engloba uma progressão aritmética (PA):

Uma perpetuidade paga um valor mensalmente. O primeiro valor pago é de R$ 100,00, depois disso, a cada mês é paga uma prestação que é sem-pre R$ 10,00 a mais que a anterior. Sabendo que a taxa de juros é de 1% ao mês, qual é o valor presente?

Para calcular o valor da perpetuidade, utiliza-se a seguinte expressão: P = PMT1 i ^{+ G}i2 P = R$ 100,00 0,01 ^{+ R$ 10,00}(0,01)2 P = R$ 10.000,00 + R$ 100.000,00 P = R$ 110.000,00

Uma perpetuidade que pague prestações com crescimento em progressão aritmética não é muito real. Entretanto, é comum a existência de perpetuidades que paguem valores com cresci-mento em progressão geométrica.

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Em uma progressão geométrica (PG), todos os termos são sempre iguais ao produto do anterior por um número chamado de razão. É possível pensar em uma série de pagamentos em que os valores das prestações são:

PMT₁ = R$ 100,00 PMT₂ = R$ 105,00

PMT₃ = R$ 110,25 …

PMT_n = R$ 100,00 . (1,05)n

…

É possível notar que os termos dessa série sempre crescem. Um termo sempre é igual ao produto do anterior por (1,05). Assim, essa é uma série com crescimento de 5% ao período. O cres-cimento costuma ser representado pela letra g, pois crescres-cimento em inglês é growth.

Essa série é dada por:

PMT₂ = (1 + g) . PMT₁ = (1 + g) . PMT₁ PMT₃ = (1 + g) . PMT₂ = (1 + g)2 . PMT₁ …

PMT_n = (1 + g) . PMT_n-1 = (1 + g)n-1 . PMT₁ …

É razoavelmente fácil calcular o valor presente de uma perpetuidade que apresenta um crescimento do tipo progressão geométrica (PG). O valor presente da perpetuidade pode ser escrito como:

P = PMT1

(1 + i) ^{+ PMT}(1 + i)²2 + PMT3

(1 + i)3 + ...

Agora é necessário escrever todas as parcelas em função da primeira. Para tanto, basta se lembrar de que todas as parcelas podem ser escritas como:

PMT_n = (1 + g) . PMT_n-1 = (1 + g)n-1 . PMT₁

Assim, o valor presente dessa perpetuidade infinita será:

P = PMT1 (1 + i) ^{+ PMT1} . (1 + g) (1 + i)2 + PMT1 . (1 + g)2 (1 + i)3 + ... + PMT1 . (1 + g)n-1 (1 + i)n + ...

As contas são um pouco complicadas para simplificar essa equação. Para isso, é necessário utilizar a fórmula da soma de uma progressão geométrica (PG) infinita. Mas depois de simplificada a expressão, o valor presente da perpetuidade com crescimento geométrico é:

P = PMT1

(i – g)

É imprescindível salientar que essa equação somente é válida quando a taxa de crescimento é menor do que a taxa de juros. Portanto, a taxa de crescimento nunca pode ser igual ou maior que a taxa de juros; se isso acontecer, o valor presente será infinito, o que é impossível.

O valor presente de cada termo da série de pagamentos é escrito como:

P = PMT1 . (1 + g)n-1

(1 + i)n

Quando a taxa de juros é maior que a taxa de crescimento das prestações, à medida que a prestação ocorre em um instante de tempo mais ao futuro, o valor presente das prestações se

Perpetuidade e série de pagamentos constantes e variáveis 129

tornará cada vez menor. Logo, a soma de termos que ficam cada vez menores resultará em um valor finito.

Todavia, quando a taxa de crescimento é maior que a taxa de juros das prestações, à medida que a prestação ocorre em um instante de tempo mais ao futuro, o valor presente das prestações se tornará cada vez maior. Dessa forma, a soma de infinitos termos que ficam cada vez maiores resultará em um valor infinito. O exemplo a seguir retrata essa questão:

Uma ação paga anualmente um valor crescente, em razão de parte dos lucros serem reinvestidos, o que contribui para o crescimento de uma determinada empresa. O valor da primeira prestação (dividendo) é de R$ 1.000,00. A taxa de crescimento dos pagamentos é de 5% ao ano, enquanto a taxa de juros de mercado é de 10% ao ano. A ação paga as prestações infinitamente. Qual é o valor presente da ação?

Substituindo os valores na equação tem-se: P = R$ 1.000,00

(0,10 – 0,05) P = R$ 20.000,00

Nesse exemplo, é importante observar que, se todas as prestações (dividendos) tivessem o mesmo valor (R$ 1.000,00), o valor presente seria PMT / i = R$ 10.000,00. Mas como houve um crescimento no valor das prestações (dividendos), o valor presente desse fluxo de caixa foi de R$ 20.000,00.

É muito comum utilizar uma perpetuidade crescente para avaliar uma empresa que esteja em crescimento. Entretanto, não é muito realista considerar que uma empresa apresente um crescimento ao longo de toda a sua vida. O mais comum é considerar que uma empresa tenha um crescimento ao longo de um período de tempo e que depois disso pare de crescer. Como ela para de crescer, os divi-dendos pagos também param de crescer. Portanto, mesmo quando uma empresa está em crescimen-to, é comum considerar uma série de pagamentos crescentes seguida de uma perpetuidade constante.