Taxas de juros variáveis

As taxas de juros variam com o tempo. Muitas vezes uma empresa faz uma dívida e a re-nova ao longo do tempo; a cada vez que a dívida é rere-novada, a taxa de juros cobrada pelo banco é diferente.

Assim, é interessante conhecer a taxa de juros acumulada cobrada na operação como um todo e descobrir qual é a taxa de juros média cobrada nessa operação financeira.

3.3.1 Taxa de juros acumulada

Para entender a taxa de juros acumulada, veja o exemplo:

A eletrônica Curto Circuito precisa de recursos para financiar seus pro-jetos. Por isso, fez um empréstimo no banco pelo prazo de um ano com taxa de juros de 25% ao ano. Após esse período, a eletrônica precisou renovar a dívida por mais um ano, porém, a taxa de juros foi de 20% ao ano. A eletrônica continuou renovando a dívida por mais alguns anos. A tabela a seguir resume todas as taxas de juros cobradas pelo banco ao longo de 5 anos. Ano Taxa 1 25% 2 20% 3 22% 4 20% 5 18%

Com base nesses valores, veja a taxa de juros acumulada paga pela eletrônica. Já que não se co-nhece o valor do empréstimo, ele será chamado de P. Sabe-se que após um ano o valor da dívida será:

F₁ = P . (1 + i₁)1

F₁ = P . (1 + 1,25)1

No cálculo anterior, a taxa de juros do ano 1 é chamada de i₁.

Após mais um ano, o valor da dívida será F₁ corrigido por mais um período: F₂ = F₁ . (1 + i₂)1

F₂ = F₁ . (1 + 1,20)1= P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) Em que i₂ é a taxa de juros do ano 2.

Continuando para os demais anos: F₃ = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22)

F₄ = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20)

F₅ = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)

Agora é fácil verificar que a cada ano o valor da dívida é corrigido pela nova taxa de juros. Suponha que existe uma única taxa de juros que transforme o valor presente (P) no valor futuro (F₅). A taxa de juros é i_Ac, pois ela é chamada de taxa de juros acumulada. Então:

F₅ = P . (1 + i_Ac)

Observe que não é preciso elevar o termo (1 + i) à quinta potência. Isso porque essa taxa não está expressa ao ano, mas ao período de cinco anos. Portanto, ela não produz o valor futuro depois de um ano, mas sim o valor futuro após cinco anos. As duas expressões anteriores produzem o valor futuro após cinco anos. Comparando-as:

(1 + i_Ac) = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)

Reescrevendo-a:

i_Ac = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18) – 1

Agora, é possível calcular a taxa de juros acumulada, ou seja, a taxa de juros que produz o mesmo efeito que a composição das outras cinco taxas de juros:

i_Ac = 1,59128

i_Ac = 159,128% ao período de cinco anos

Se a eletrônica pagar a dívida somente ao final de cinco anos, a taxa de juros acumulada cobrada pelo banco será de 159,128% ao período de cinco anos. Assim, se o empréstimo fosse de R$ 1.000,00, o valor a ser pago ao final de cinco anos seria de R$ 2.591,28.

Resumindo, o valor futuro de uma dívida ou de um investimento após um período de tempo é:

Taxas de juros 47

Foi adotado o índice 1 na taxa de juros para indicar que se trata da taxa de juros no período 1. No período 2 a taxa de juros é i₂. Assim, o valor futuro será:

F₂ = F₁ . (1 + i₂) = P . (1 + i₁) . (1 + i₂)

Seguindo esse raciocínio, após cinco períodos de tempo o valor futuro da dívida (ou do investimento) será:

F₅ = P . (1 + i₁) . (1 + i₂) . (1 + i₃) . (1 + i₄) . (1 + i₅)

Se a taxa de juros ao período de cinco anos fosse conhecida (i_Ac), a expressão para obtenção do valor futuro poderia ser escrita como:

F = P . (1 + i_Ac)

Comparando as duas expressões, pode-se realizar cinco capitalizações anuais, ou apenas uma para o período de cinco anos, de qualquer forma se chegará ao mesmo valor. Portanto, essa única capitalização para o período completo deve ser igual ao produto das capitalizações anuais, ou seja:

(1 + i_Ac) = (1 + i₁) . (1 + i₂) . (1 + i₃) . (1 + i₄) . (1 + i₅)

Agora que a expressão para a taxa de juros acumulada é conhecida, veja o exemplo a seguir: Bernardo fez uma dívida pós-fixada, assim ele não sabe qual será o valor

a pagar até que chegue a data do pagamento. Essa dívida é baseada na variação cambial, ou seja, na taxa de variação do dólar em relação ao real, conforme tabela a seguir:

Mês Taxa Mês Taxa 1 0,7% 7 –0,9% 2 0,7% 8 2,4% 3 0,5% ₉ 0,6% 4 2,8% 10 3,0% 5 1,6% ₁₁ –0,6% 6 3,3% 12 –0,5%

Qual taxa de juros acumulada será paga por Bernardo em um ano?

A taxa de juros que será utilizada para o empréstimo é a taxa de variação do dólar e, com base nela, é possível calcular a variação da dívida de Bernardo.

A equação para a taxa de juros acumulada é dada por: (1 + i_Ac) = (1 + i₁) . (1 + i₂) . (1 + i₃) . (1 + i₄) . (1 + i₅) . (1 + i₆) . (1 + i₇) . (1 + i₈) . (1 + i₉) . (1 + i₁₀) . (1 + i₁₁) . (1 + i₁₂)

Substituindo os valores:

(1 + i_Ac) = (1 + 0,007) . (1 + 0,007) . (1 + 0,005) . (1 + 0,028) . (1 + 0,016) . (1 + 0,033) . (1 – 0,009) . (1 + 0,024) . (1 + 0,006) . (1 + 0,030) . (1 – 0,006) . (1 – 0,005)

A conta é um pouco extensa, mas não é difícil. Antes de realizá-la, observe que algumas taxas de variação do dólar são negativas. Assim, em alguns termos do cálculo da taxa de juros acu-mulada aparece uma subtração.

Calculando a taxa de juros acumulada obtém-se:

i_Ac = 14,35% ao ano

Observação: vale ressaltar que Bernardo estava correndo um risco.

Sempre que se trabalha com taxa de juros pós-fixada, existe o risco de não acontecer o que se espera. Quando Bernando assumiu uma dívida baseada no dólar, ele acreditava que o valor do dólar não iria subir, ou subiria pouco nesse período, mas não é possível ter certeza. Nem mesmo os grandes bancos sabem o valor da taxa de câmbio entre o real e o dólar para uma data futura. Considerando o contrário, quando um aplicador investe em dólares, ele está assumindo que o valor do dólar irá subir. E, quanto mais subir, mais rentável será para ele.

3.3.2 Taxa média de juros

Assim como a taxa de juros acumulada, a taxa de juros pode variar ao longo do tempo. É in-teressante conhecer a taxa de juros média, por meio dela pode-se ter uma boa ideia do que ocorreu no passado.

Em relação ao exemplo da eletrônica Curto Circuito, calcular a taxa de juros de cada ano e calcular a taxa média de juros parece uma tarefa fácil, no entanto, é preciso tomar cuidado, pois o cálculo da taxa média não é o mesmo que calcular o valor médio de qualquer outra coisa. Não se deve simplesmente somar todos os valores das taxas de juros e dividir pelo total, como seria feito para calcular a média de altura dos alunos de uma classe. Veja o exemplo e observe a diferença:

A eletrônica Curto Circuito está com necessidade de recursos e fez um empréstimo por um ano. Como ela não tem condições de pagar esse valor antes de cinco anos, a renovação da dívida se torna inevitável. Todavia, cada vez que a dívida é renovada, a taxa de juros cobrada pelo banco é outra, conforme tabela:

Taxas de juros 49 Ano Taxa 1 25% 2 20% 3 22% 4 20% 5 18%

A taxa de juros acumulada ao longo desses cinco anos já foi encontrada, agora é preciso encontrar a taxa de juros média, ou seja, uma taxa de juros constante, que proporcione o mesmo valor futuro que essas cinco diferentes taxas (a qual deverá ser elevada a cinco).

F₅ = P . (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)

Utilizando a taxa de juros média obtém-se:

F₅ = P . (1 + i_m)5

Em que a taxa de juros média é chamada de i_m. Considera-se a ocorrência de uma taxa de juros igual a i_m em cada ano.

Como a capitalização do valor presente por cinco períodos deve produzir o mesmo valor futuro, usar a capitalização média é equivalente a utilizar as cinco capitalizações. Assim:

(1 + i_m)5 = (1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18) Resolvendo a equação: [(1 + i_m)5]¹5 = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]¹5 (1 + i_m) = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]¹5 i_m = [(1 + 0,25) . (1 + 0,20) . (1 + 0,22) . (1 + 0,20) . (1 + 0,18)]¹5 – 1 i_m = 20,98% ao ano

Ou seja, se o banco tivesse emprestado à eletrônica o mesmo capital a uma taxa de juros de 20,98% ao ano, pelo prazo de cinco anos, o valor que a eletrônica teria de pagar após cinco anos seria o mesmo. É por isso que essa taxa é chamada de taxa média de juros.

Na maioria das contas realizadas diariamente para considerar um valor médio, somam-se todos os valores e divide-se o resultado da soma pela quantidade total de termos. Essa conta é cha-mada de média aritmética.

Existe, ainda, um outro tipo de média, chamada de média geométrica. Essa média é pouco utilizada no dia a dia, mas é muito comum na Matemática Financeira. A média geométrica de n termos consiste em multiplicar todos os termos e depois elevar o resultado a 1/n, exatamente como foi feito no exemplo anterior.

Generalizando para n taxas de juros:

(1 + i_m) = [(1 + i₁) . (1 + i₂) . . . . . (1 + i_n-1) . (1 + i_n)]¹n

Para fixar esse conceito, pode-se analisar o exemplo de Bernardo, que fez um empréstimo baseado na taxa de câmbio do dólar, ou seja, uma taxa de juros pós-fixada.

Bernardo fez uma dívida baseada na variação cambial. A tabela a seguir apresenta a taxa de variação do dólar em relação ao real para o período da dívida. Mês Taxa Mês Taxa 1 0,7% 7 –0,9% 2 0,7% ₈ 2,4% 3 0,5% 9 0,6% 4 2,8% ₁₀ 3,0% 5 1,6% 11 –0,6% 6 3,3% 12 –0,5%

Qual foi a taxa média de juros que Bernardo teve de pagar nesse período?

A taxa de juros utilizada para o empréstimo é a taxa de variação do dólar. A equação para a taxa média de juros é dada por:

(1 + i_m) = [(1 + i₁) . (1 + i₂) . (1 + i₃) . (1 + i₄) . (1 + i₅) . (1 + i₆) . (1 + i₇) . (1 + i₈) . (1 + i₉) . (1 + i₁₀) . (1 + i₁₁) . (1 + i₁₂)]12¹ Substituindo os valores: (1 + i_m) = [(1 + 0,007) . (1 + 0,007) . (1 + 0,005) . (1 + 0,028) . (1 + 0,016) . (1 + 0,033) . (1 – 0,009) . (1 + 0,024) . (1 + 0,006) . (1 + 0,030) . (1 – 0,006) . (1 – 0,005)]12¹

Algumas taxas de variação do dólar são, novamente, negativas. Assim, em alguns termos do cálculo da taxa de juros acumulada aparece uma subtração.

Calculando a taxa média de juros obtém-se:

i_m = 1,12% ao mês