Taxas de juros equivalentes

Taxas de juros

Este capítulo concentra-se nas taxas de juros, essenciais para a Matemática Financeira. A disciplina trata do valor do dinheiro no tempo e, para isso, utiliza a remuneração do capital, ou seja, o juro que remunera um capital depende do seu valor. Já a taxa de juros não tem essa característica, ela serve como balizador, independentemente da quantidade de capital que é investido ou tomado emprestado.

A comparação de investimentos ou empréstimos, pode sempre ser feita diretamente pela taxa de juros. É comum aplicar dinheiro em investimentos que proporcionem maior taxa de juros, assim, é possível receber maior remuneração pelo capital.

Analogamente, ao realizar um empréstimo é natural optar por aquele que cobra a menor taxa de juros, uma vez que se paga o menor valor pelo capital emprestado.

As taxas de juros também são assunto deste capítulo. Comparar taxas que são apresentadas em diferentes períodos de tempo, assim como conhecer algumas particularidades que ocorrem na divulgação das taxas de juros (taxas divulgadas em um período de tempo, mas com capitalização em outro período) e taxas de juros variáveis são temáticas indispensáveis.

3.1 Taxas de juros equivalentes

Quando se trabalha com juros compostos, é comum utilizar períodos de tempo que não são inteiros. Entretanto, além de trabalhar com períodos de tempo não inteiros, é possível converter a taxa de juros para um outro período, para que não seja necessário utilizar períodos fracionários. Quando essa conversão da taxa de juros é realizada, encontra-se a taxa de juros equivalente.

3.1.1 Taxa de juros mensal e taxa de juros diária

Para compreender os juros equivalentes, veja o exemplo:

José emprestou R$ 300,00 a seu amigo por um período de 1 mês e 10 dias a uma taxa de juros composta de 3% ao mês. Quanto ele deverá receber depois de 40 dias?

Para encontrar o valor futuro, pode-se utilizar a taxa mensal e o período de 40/30 meses. Assim: F = P . (1 + i)n

F = R$ 300,00 . (1 + 0,03)⁴⁰30

Entretanto, para encontrar o valor futuro, é possível também utilizar a taxa ao dia, em vez da taxa mensal. Como ainda não é possível calcular a taxa ao dia, essa taxa vai ser chamada de i_ad. Assim, o valor futuro será:

F = P . (1 + i_ad)n

Como a taxa de juros está escrita ao dia, o período também deve estar escrito em dias. Logo, o período será: n = 40 dias:

F = R$ 300,00 . (1 + i_ad)40

F = R$ 312,06

Ainda não se sabe quanto é a taxa de juros ao dia, porém sabe-se que o valor futuro deve ser o mesmo que o valor calculado ao utilizar a taxa de juros mensal. Para que todas essas contas sejam válidas, deve-se ter o seguinte:

(1 + i_ad)40 = (1 + 0,03)⁴⁰30

É possível elevar cada um dos dois lados a 1/40, assim: [(1 + i_ad)40]40¹ = [(1 + 0,03)⁴⁰30]40¹

(1 + i_ad) = (1 + 0,03)30¹

i_ad = (1 + 0,03)30¹ – 1 = 0,000986 i_ad = 0,0986% ao dia

Verificou-se, então, que para converter a taxa mensal em taxa diária deve-se utilizar a expressão:

(1 + i_am) = (1 + i_ad)30

Por meio desse exemplo, foi visto como encontrar a taxa de juros diária equivalente à taxa de juros mensal. Por meio dessa equação, pode-se encontrar a taxa de juros diária com base na taxa de juros mensal, ou o contrário, a taxa de juros mensal com base na taxa de juros diária:

O Banco Sideral cobra uma taxa de 0,1% ao dia para qualquer emprésti-mo. Qual será a taxa de juros mensal equivalente?

(1 + i_am) = (1 + i_ad)30

(1 + i_am) = (1 + 0,001)30

i_am = (1 + 0,001)30 – 1 = 0,0304 i_am = 3,04% ao mês

A seguir serão verificadas outras taxas de juros equivalentes que podem ser encontradas. É importante lembrar que sempre que a taxa de juros estiver expressa em um período de tempo, é possível convertê-la para qualquer outro período de tempo.

Taxas de juros 41

3.1.2 Taxa de juros mensal e taxa de juros ao ano

Daniel deseja realizar um empréstimo pelo prazo de um ano. O Banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês, já o Banco B cobra uma taxa de juros de 25% ao ano. Em qual dos dois bancos ele deve fazer o empréstimo?

No Banco A verifica-se: F_A = P . (1 + i)n F_A = P . (1 + 0,02)12 Já no Banco B: F_B = P . (1 + i)n F_B = P . (1 + 0,25)1

Para comparar, deve-se converter uma das taxas, no intuito de que ambas estejam expressas no mesmo período de tempo. Pode-se escolher qualquer uma das duas para ser convertida. Desse modo é possível, inicialmente, encontrar a taxa de juros mensal equivalente da taxa cobrada pelo Banco B.

Considerando a taxa de juros equivalente ao mês cobrada pelo Banco B: F_B = P . (1 + i)n

F_B = P . (1 + i_am)12

Como o valor futuro no Banco B deve ser o mesmo, independentemente de considerar a taxa de juros mensal ou anual:

(1 + i_am)12 = (1 + 0,25)

Logo, a taxa de juros mensal do Banco B é: i_am = (1,25)12¹ – 1 = 0,0188

i_am = 1,88% ao mês

Como a taxa de juros que o Banco B cobra é menor do que a taxa de juros que o Banco A está cobrando, é mais interessante para Daniel realizar o empréstimo no Banco B, pois ele terá de desembolsar um valor menor.

Desse modo, para converter a taxa anual em taxa mensal, é necessário utilizar a expressão:

(1 + i_aa) = (1 + i_am)12

Voltando ao exemplo anterior, localiza-se a taxa de juros anual equivalente à cobrada pelo Banco A.

O Banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual será a taxa de juros anual equivalente?

(1 + i_aa) = (1 + i_am)12

(1 + i_aa) = (1 + 0,02)12

i_aa = (1 + 0,02)12 – 1 = 0,2682 i_aa = 26,82% ao ano

3.1.3 Taxa de juros anual e taxa de juros ao dia

Assim como nos outros exemplos, é possível também converter as taxas de juros ao ano e as taxas de juros ao dia:

Considerando que uma instituição financeira cobra uma taxa de juros de 30% ao ano, qual será a taxa de juros ao dia?

Para resolver a questão, considera-se o ano composto por 360 dias. Assim:

F = P . (1 + i)n

Considerando a taxa ao ano:

F = P . (1 + i_aa)

Considerando a taxa ao dia:

F = P . (1 + i_ad)360

Como o valor futuro deve ser o mesmo, independentemente da capitalização ser ao ano ou ao dia, nota-se que:

(1 + i_aa) = (1 + i_ad)360

Dessa forma, é possível calcular a taxa de juros ao dia cobrada pela instituição financeira. (1 + i_ad)360 = (1 + i_aa)

[(1 + i_ad)360]360¹ = (1 + i_aa)360¹

(1 + i_ad) = (1 + i_aa)360¹

i_ad = (1 + 0,30)360¹ – 1 i_ad = 0,073% ao dia

Por meio do exemplo anterior, constatou-se que para converter a taxa de juros ao ano e taxa de juros ao dia, utiliza-se a fórmula:

Taxas de juros 43

3.1.4 Resumo das taxas de juros equivalentes

É possível encontrar a taxa equivalente para qualquer período. No entanto, as formas mais comuns de apresentar as taxas de juros são: ao dia, ao mês e ao ano.

A seguir, apresenta-se breve resumo das fórmulas para encontrar as taxas de juros equivalentes para os períodos já utilizados. Além disso, apresentam-se os períodos: semestral e trimestral.

Quadro 1 – Resumo das taxas equivalentes

(1 + i_aa) = (1 + i_as)2 (1 + i_as) = (1 + i_am)6

(1 + i_aa) = (1 + i_at)4 (1 + i_as) = (1 + i_ad)180

(1 + i_aa) = (1 + i_am)12 (1 + i_at) = (1 + i_am)3

(1 + i_aa) = (1 + i_ad)360 (1 + i_at) = (1 + i_ad)90

(1 + i_as) = (1 + i_at)2 (1 + i_am) = (1 + i_ad)30

Fonte: Elaborado pelo autor.

Apesar de não ser comum, é possível utilizar taxa de juros semanal, ou mesmo em outros períodos. No caso de uma aplicação (ou um empréstimo), por exemplo, em um período de 40 dias, seria interessante utilizar a taxa de juros ao período de 40 dias.