MA
TEMÁ
TICA FINANCEIRA
Már
cio de Menezes
Código Logístico 57530Fundação Biblioteca Nacional ISBN 978-85-387-6455-7
9 788538 764557
Esta obra trata da Matemática Financeira como um primeiro passo a ser dado a fim de
conhecer o mundo das finanças. Por meio dela, você será capaz de saber mais sobre as
taxas de juros que estão presentes nas aplicações e nos empréstimos, assim como nos
financiamentos, tão comuns atualmente.
Contudo, o aprendizado que será adquirido vai além da matemática das taxas de juros.
Você poderá aprender sobre o funcionamento do mercado financeiro, sua terminologia
técnica e suas operações mais comuns.
Matemática Financeira
IESDE BRASIL S/A 2018
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CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
M512m Menezes, Márcio de
Matemática financeira / Márcio de Menezes. - [2. ed.]. - Curitiba [PR] : IESDE Brasil, 2018.
226 p. : il. ; 21 cm. Inclui bibliografia ISBN 978-85-387-6455-7
1. Matemática financeira. I. Título.
18-50200 CDD: 513.2
CDU: 51-7
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito do autor e do detentor dos direitos autorais.
Márcio de Menezes
Doutor e mestre em Física pela Universidade Estadual Paulista (Unesp). Graduado em Física pela Universidade de São Paulo (USP). Profissionalmente tem se dedicado ao desenvolvimento de software de análise estatística de dados. É professor na área quantitativa aplicada a negócios, ministrando as seguintes disciplinas: Métodos Quantitativos para Tomada de Decisão, Estatística Aplicada a Negócios, Matemática Financeira, Pesquisa Operacional e Derivativos Financeiros.
Sumário
Apresentação 9
1 Introdução à Matemática Financeira 11
1.1 Valor do dinheiro no tempo 11 1.2 Terminologias 13
1.3 Diagramas de fluxo de caixa 15 1.4 Juros simples 17
2 Juros compostos 25
2.1 Problemas dos juros simples 25 2.2 Formulando juros compostos 26
2.3 Comparando juros simples e juros compostos 28 2.4 Simulações com juros compostos 29
2.5 Cálculos com períodos fracionários 32
2.6 Equivalência de capitais a juros compostos 33
2.7 Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos 34 2.8 Compra de bens à vista ou a prazo 36
3 Taxas de juros 39
3.1 Taxas de juros equivalentes 39 3.2 Taxas de juros nominal e efetiva 43 3.3 Taxas de juros variáveis 45
3.4 Taxa ao dia útil 50
4 Desconto 53
4.1 Desconto racional ou financeiro 53 4.2 Desconto comercial 54
4.3 Comparação entre desconto racional e desconto comercial 55 4.4 Taxa de juros efetiva de um desconto comercial 57
5.1 O que é inflação? 65 5.2 Renda e inflação 67
5.3 Taxas de juros nominal e real 67 5.4 Taxa de desvalorização da moeda 70 5.5 Deflação 71
5.6 Taxa acumulada de inflação 71 5.7 Taxa média de inflação 72 5.8 Índices de inflação do Brasil 74 5.9 Dinheiro para aposentadoria 75
6 Estrutura das taxas de juros 79
6.1 Spread bancário 79 6.2 Spread linear 81 6.3 Spread composto 83
6.4 Spread bancário e risco de crédito 84 6.5 Taxa over 85
6.6 Taxa spot e taxa forward 89
7 Tributação e rendimento 95
7.1 Tributações 95
7.2 Taxa de Abertura de Crédito (TAC) 97
7.3 Cálculo de tributos e de rendimento líquido de taxas 97
8 Série de pagamentos 105
8.1 O uso da calculadora HP12c para cálculos financeiros 109 8.2 O uso do Microsoft Excel para cálculos financeiros 109 8.3 Cálculos para série de pagamentos 109
8.4 Exemplos de uso da HP12c, do Excel e outros cálculos 111 8.5 Série de pagamentos antecipados 118
9 Perpetuidade e série de pagamentos constantes e variáveis 123
9.1 Perpetuidade 123
9.2 Série de pagamentos 131 9.3 Aposentadoria 139
10 Amortização 141
10.1 Sistema de Amortização Francês (SAF) 142 10.2 Sistema de Amortização Constante (SAC) 144 10.3 Sistema de Amortização Crescente (Sacre) 146 10.4 Sistema de Amortizaçao Americano (SAA) 147 10.5 Amortização com carência 149
10.6 Outros sistemas de amortização 151
11 Avaliação de investimentos 155
11.1 Valor de um projeto 156
12 Títulos de renda fixa 169
12.1 Emissão de títulos 170 12.2 Títulos públicos 170
12.3 Preço dos títulos prefixados 172 12.4 Preço dos títulos pós-fixados 175
12.5 Composição das taxas dos títulos pós-fixados 176
12.6 A decisão de investimento: títulos prefixados e pós-fixados 178
Gabarito 181
Referências 195
Apresentação
Esta obra trata da Matemática Financeira como um primeiro passo a ser dado a fim de conhecer o mundo das finanças. Por meio dela, você será capaz de saber mais sobre as taxas de juros que estão presentes nas aplicações e nos empréstimos, assim como nos financiamentos, tão comuns atualmente.
Todo o conhecimento aqui apresentado praticamente não exige pré-requisitos. O único co-nhecimento prévio necessário é o domínio das operações matemáticas básicas (soma, subtração, divisão e multiplicação), bem como saber potenciação.
O aprendizado que será adquirido vai além da matemática das taxas de juros. Você poderá aprender sobre o funcionamento do mercado financeiro, sua terminologia técnica e suas operações mais comuns.
1
Introdução à Matemática Financeira
Antes de adentrar ao universo da Matemática Financeira propriamente dita, é importante definir conceitos como moeda e capital. Moeda é o meio que facilita a troca de bens e serviços, possuindo basicamente três funções: meio de troca, unidade de valor e acúmulo de riquezas. A moeda é essencial como um meio de troca, uma vez que tem mais vantagens que o modelo de escambo. Entretanto, embora seja importante, a moeda é insuficiente para algumas operações financeiras.
Entende-se por capital o dinheiro acumulado que está investido ou disponível para ser in-vestido. Existem outras possíveis denotações para capital, mas vislumbrá-lo como recurso disponí-vel para uma aplicação é a que mais se emprega nesta obra.
1.1 Valor do dinheiro no tempo
1.1.1 Gastar x investir
Indivíduos e empresas têm de saber como lidar com o seu dinheiro; ele pode ser gasto ime-diatamente ou economizado. É claro que é possível fazer as duas coisas, isto é, gastar parte do dinheiro e economizar outra parte. Decidir por economizar é o mesmo que adiar o consumo para realizar um investimento.
Aquele que possui o dinheiro decide entre consumo e investimento no intuito de maximizar a sua utilidade (nível de satisfação). Assim, quando se decide pelo investimento, espera-se uma remuneração que pague pelo adiamento do consumo e, também, pela incerteza do próprio investi-mento. O resultado de um investimento é quase sempre incerto; desse modo, para que uma pessoa (ou empresa) decida por investir, a modalidade escolhida deverá proporcionar uma remuneração atrativa, para compensar incertezas sobre o valor a receber no futuro. Caso isso não ocorra, dificil-mente haverá interesse em poupar.
1.1.2 Remuneração pelo investimento
A remuneração pelo investimento é chamada de juro. Trata-se de uma quantidade depen-dente do tempo que o consumo está sendo adiado. Juro é a remuneração pelo consumo adiado, ou, em outras palavras, a remuneração sobre o capital investido.
Para ilustrar essa questão, pode-se pensar no seguinte exemplo: Carlos emprestou R$ 100.000,00 a José e o valor deverá ser devolvido em um ano. Quanto José deverá pagar a Carlos após um ano? Com certeza esse valor deve ser corrigido pela inflação, então, se a inflação for de 5% ao ano, o valor devolvido após esse período deve ser de R$ 105.000,00.
Pode-se ainda levantar outra dúvida: José deve pagar apenas o valor emprestado corrigido pela inflação? De acordo com o que já foi dito anteriormente, Carlos esperaria ser remunerado por adiar o consumo, isto é, receber a correção relativa à inflação acrescida de uma parcela chamada de
juro real. Dessa forma, Carlos espera receber mais do que R$ 105.000,00. Supondo que a inflação nesse período acrescida dos juros reais que o governo esteja pagando a quem lhe empresta dinheiro seja de 15%, Carlos espera receber R$ 115.000,00.
Existe mais uma questão: será que José vai realmente pagar o empréstimo? Mesmo que Carlos o conheça e saiba da sua boa índole, existe a possibilidade de ele perder o emprego, por exemplo. Assim, resta uma última pergunta: como se deve tratar a incerteza com relação ao recebimento da quantia emprestada? Com certeza Carlos terá de cobrar mais ainda de José, pois os R$ 115.000,00 não serão suficientes para cobrir aquilo que Carlos espera ganhar. O governo, nesse nosso exemplo, está pagando 15% de juros nominais (juros reais mais a inflação). No entanto, sabe-se que caso o governo não tenha dinheiro, ele pode emitir moeda para a dívida; José, obviamente, não pode fazer isso. Portanto, Carlos deverá cobrar de José, mais do que receberia fazendo um investimento em um título do governo.
O juro cobrado em um empréstimo deve cobrir:
•
a inflação esperada;•
o juro real;•
o risco.Com esse exemplo, é possível perceber que existem três motivos para que o valor do dinhei-ro varie com o tempo. Com base nessa discussão, é possível perceber que receber R$ 100,00 hoje, vale mais do que receber R$ 100,00 daqui a um ano. Primeiramente, isso ocorre devido à inflação. O segundo motivo que faz com que o dinheiro valha mais hoje do que no futuro é a possibilidade de investi-lo e receber maior valor futuramente (juro real). O terceiro motivo está relacionado à incer-teza (risco); não há cerincer-teza em receber o dinheiro no futuro (risco de crédito). Além disso, em mui-tos investimenmui-tos não é possível saber o valor exato que será recebido no futuro (risco de mercado). É importante notar que, como o dinheiro perde seu valor ao longo do tempo, os juros são a forma de garantir que o valor financeiro disponível hoje seja equivalente ao que se terá no futuro. Em economia é comum considerar o custo de oportunidade, que é o custo de desistir de um ga-nho certo hoje para trocá-lo por um gaga-nho futuro. O custo de oportunidade é exatamente a mesma coisa que o valor do dinheiro.
1.1.3 Juro prefixado e pós-fixado
É interessante notar que não se sabe qual será a inflação no futuro. Assim, deve-se cobrar pela inflação esperada. A inflação esperada é aquela que que ocorre daqui para frente até uma data futura. Entretanto, pode-se considerar o juro como pós-fixado. Considerando o exemplo anterior, Carlos poderia emprestar a José a uma taxa pós-fixada e dizer a ele que emprestaria a uma taxa de 10% com acréscimo da inflação que ocorrer no período. Como a inflação não é conhecida de an-temão, José não saberia ao certo quanto pagaria, assim como Carlos também não saberia o quanto poderia receber. Todavia, Carlos saberia que, se a inflação ao longo do próximo ano fosse de 20% ao ano, ele não perderia dinheiro.
Introdução à Matemática Financeira 13
1.2 Terminologias
Imagine que você faz um investimento de R$ 100,00. Você aplica essa quantia e no futuro (após um ano) resgatará um outro valor, por exemplo, R$ 120,00. É necessário usar uma termino-logia única, que não traga dúvidas no momento de identificar e resolver os problemas.
Os livros de Matemática Financeira não contam com uma terminologia uniforme. Assim, esta obra vai se concentrar apenas em algumas, para que não haja confusão.
1.2.1 Valor presente, valor futuro e juro
O valor investido costuma ser chamado de valor presente, principal ou capital. Já o valor resgatado pode ser chamado de valor futuro, montante, valor de resgate ou saldo futuro. Apesar de cada obra utilizar um desses diferentes termos, vale ressaltar que as calculadoras financeiras, assim como o Microsoft Excel, utilizam os termos valor presente (para fazer referência ao valor inicial de uma aplicação ou dívida) e valor futuro (para o valor final da aplicação ou dívida).
O valor presente nada mais é do que o valor do capital investido. O valor futuro é o capital resgatado ao final do período de investimento. Portanto, o valor presente da sua aplicação é de R$ 100,00, enquanto que o valor futuro é de R$ 120,00.
Assim como é preciso dar nomes para os valores iniciais e finais da aplicação, é utilizado um nome para a diferença entre o valor final e o valor inicial da aplicação. Conforme visto, a remu-neração sobre o capital investido é chamada de juro, portanto, o incremento sofrido pelo capital investido recebe o mesmo nome.
Dessa forma, o juro nada mais é do que o valor futuro menos o valor presente, ou seja:
Juro = Valor Futuro – Valor Presente
Retomando o início desta seção, quando você investiu R$ 100,00 e resgatou R$ 120,00, pode-se afirmar agora que o juro (remuneração pelo capital investido) foi de R$ 20,00.
Em outras palavras, o juro representa o aumento do capital investido. Veja o exemplo a seguir: Manoel aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança. Depois de um ano
sem mais nenhuma movimentação, ele tinha R$ 110,00. Quanto ele ob-teve de juro?
Juro = Valor Futuro – Valor Presente Juro = R$ 110,00 – R$ 100,00 Juro = R$ 10,00
Observe que a equação acima pode ser reescrita como:
Silvana investiu R$ 100,00. Após dois anos o juro foi de R$ 25,00. Qual era o montante que Silvana possuía ao final desses dois anos?
Valor Futuro = Valor Presente + Juro Valor Futuro = R$ 100,00 + R$ 25,00 Valor Futuro = R$ 125,00.
Para simplificar ainda mais as notações, serão utilizadas, de agora em diante, letras para re-presentar o valor presente, o valor futuro e o juro. Isso será feito da seguinte maneira:
•
Valor Presente (P);•
Valor Futuro (F);•
Juro (J).Reescrevendo as equações acima tem-se:
J = F – P F = P + J
1.2.2 Taxa de juros
A taxa de juros (i) é a razão, isto é, a divisão entre o juro e o capital investido (valor presente):
Taxa de Juros = Juro / Valor Presente
Também pode-se escrever essa equação da seguinte forma:
i = J / P
A taxa de juros é uma quantidade adimensional, mas comumente é medida em termos de percentagem ao período.
Considerando novamente que foram aplicados R$ 100,00 e resgatados R$ 120,00 após um ano, a taxa de juros (i) foi de:
i = R$ 20,00 / R$ 100,00 = 0,20 = 20% ao ano.
É importante que a taxa de juros seja medida por unidade de tempo. No caso apresenta-do a taxa foi de 20% ao ano. Será que em seis meses essa aplicação teria rendiapresenta-do a mesma taxa? Certamente não. Espera-se que na metade do tempo, a taxa de juros seja aproximadamente a metade dela. Assim, o juro (J) pago após um período de tempo é dado por:
J = P . i
Ou seja, o juro (J) cobrado após um período de tempo é o produto do valor presente (P) pela taxa de juros (i).
Sabe-se que o valor futuro pode ser calculado com base no valor presente e do juro (F = P + J). Também é sabido que o juro pode ser calculado com base na taxa de juros e no valor presente (J = P . i). Assim, pode-se calcular o valor futuro em termos do valor presente e da taxa de juros:
Introdução à Matemática Financeira 15
F = P + J F = P + P . i F = P . (1 + i)
Sendo que na última passagem da equação, simplesmente coloca-se o valor presente (P) em evidência. É importante notar que a taxa de juros é geralmente escrita em porcentagem. Entretanto, sempre fica claro no contexto o que está sendo utilizado. Pode-se escrever uma taxa de juros como i = 15% ao ano ou i = 0,15 ao ano, já que ambos representam exatamente a mesma coisa.
Sebastião aplicou R$ 100,00 em um fundo que rendeu 12% em um ano. Qual o juro e o montante após um ano?
O juro é: J = P . i
J = R$ 100,00 . 12% J = R$ 100,00 . 12 / 100 J = R$ 12,00
Já o montante pode ser escrito da seguinte maneira: F = R$ 100, 00 . (1 + 12%)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,12) F = R$ 100,00 . 1,12 F = R$ 112,00
Portanto, o juro é de R$ 12,00. Isso poderia ser escrito simplesmente: F = P + J
F = R$ 100,00 + R$ 12,00 F = R$ 112,00
Nota-se que o montante é de R$ 112,00.
1.3 Diagramas de fluxo de caixa
As operações financeiras nada mais são do que compromissos que duas partes assumem entre si. Uma das partes (que pode ser uma pessoa, empresa, instituição financeira ou o próprio governo) é um tomador de recursos, enquanto a outra parte é um financiador. O financiador tem recursos financeiros e deseja aplicá-los para que o seu capital renda juros.
Um diagrama de fluxo de caixa é um fluxo de pagamentos e recebimentos em diferentes instantes de tempo, é gerado por um investimento, um empréstimo ou algum outro tipo de negó-cio. Geralmente, assume-se que os fluxos positivos (setas orientadas para cima) representam uma entrada de recursos, enquanto que os negativos (setas orientadas para baixo) representam saída de recursos.
1.3.1 Ponto de vista do tomador de recursos
As operações financeiras fazem com que exista um fluxo de caixa envolvendo os dois agentes acima citados. O tomador vislumbra primeiramente uma entrada de caixa, que é o capital que ele re-cebe emprestado. Depois de algum tempo, o tomador tem uma (ou mais) saída de caixa, que corres-ponde ao pagamento do empréstimo, a qual pode ser feita por meio de uma única ou várias parcelas. Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do tomador de recur-sos. No primeiro diagrama foram tomados R$ 100,00 emprestados no período zero e o pagamento foi realizado em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também houve empréstimo de R$ 100,00 no período zero, entretanto, o pagamento ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor do pagamento foi de R$ 130,00.
Figura 1 – Fluxo de caixa de empréstimos
R$ 100,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 1 2 3 4 5 6 R$ 100,00 R$ 130,00 1 2 3 4 5 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.2 Ponto de vista do aplicador de recursos
Do ponto de vista do aplicador ocorre exatamente o oposto, ou seja, acontece uma saída de caixa, pois o dinheiro foi aplicado (emprestado). Depois de algum tempo, o aplicador recebe o dinheiro de volta, o que ocasiona uma entrada de caixa.
Os diagramas a seguir representam fluxos de caixa do ponto de vista do aplicador. No pri-meiro, nota-se que R$ 100,00 foram aplicados no instante zero e o retorno da aplicação ocorrerá em seis parcelas de R$ 20,00. Já no segundo diagrama, também foram aplicados R$ 100,00 no período zero, entretanto, o retorno ocorreu em uma única parcela após seis períodos de tempo (possivelmente seis meses). O valor recebido ao final da aplicação foi de R$ 130,00.
Introdução à Matemática Financeira 17
Figura 2 – Fluxo de caixa de aplicações
R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 20,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 130,00 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.3.3 Outros diagramas de fluxo de caixa
Conforme visto, nos diagramas de fluxo de caixa as setas para baixo significam saída de capital, enquanto as setas para cima denotam entrada de capital.
Além disso, vale ressaltar que os fluxos de caixa podem ocorrer de outras maneiras. As mais comuns foram citadas acima, ou seja, por meio de um fluxo positivo seguido de outros negativos. A outra possibilidade é um fluxo negativo seguido de outros positivos. Contudo, pode haver outras alternativas, como:
Figura 3 – Fluxos de caixa diversos
R$ 100,00 R$ 50,00 1 2 3 4 5 6 R$ 200,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 R$ 60,00 1 2 3 4 5 6 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
Fonte: Elaborada pelo autor.
1.4 Juros simples
Já foram vistas, anteriormente, aplicações em que o período é igual a um. Nesses casos, o cál-culo do juro é sempre o mesmo, independemente de se trabalhar com juros simples ou juros com-postos. Esta seção será iniciada com o estudo do caso em que o período da aplicação é um inteiro maior que um. Depois, o caso em que o período da aplicação é fracionário também será estudado.
1.4.1 Período da aplicação é um inteiro maior que um
Quando um capital é investido por n períodos, a cada período recebe-se um juro. Do se-guinte modo:
período 1 : J1 = P . i
período 2 : J2 = P . i período n : Jn = P . i
Em que Jn é o juro no período n.
Desse modo, os juros totais acumulados após n períodos é igual a:
J = J1 + J2 + . . . + Jn
J = P . i . n
Assim, o valor futuro será dado por:
F = P + J F = P + P . i . n F = P . (1 + i . n)
1.4.1.1 Encontrando o valor futuro
Camila aplica R$ 100,00 em um fundo de investimento que rende 1% ao mês a juros simples. Quanto Camila terá após seis meses?
Para responder a questão, é preciso montar o fluxo de caixa. Como Camila está aplicando, ela primeiramente terá que desembolsar os R$ 100,00, assim, esse fluxo de caixa será negativo e sua seta no diagrama ficará para baixo.
Após seis meses, Camila terá o dinheiro disponível para utilização; desse modo, assume-se que nessa data Camila receberá o dinheiro. Logo, o fluxo de caixa será positivo e a seta no diagrama ficará para cima.
R$ 100,00
F = P . (1+ i . n)
1 2 3 4 5 6
As contas ficam como mostrado a seguir: F = P . (1 + i . n)
F = R$ 100,00 . (1 + 0,01 . 6) F = R$ 100,00 . (1,06) F = R$ 106,00
Introdução à Matemática Financeira 19
1.4.1.2 Encontrando o valor presente
A equação dos juros simples será bastante utilizada, no entanto pode-se fazer uma pequena modificação e utilizá-la para encontrar o valor presente de um investimento, quando se sabe apenas o valor futuro, a taxa de juros e o número de períodos em que o capital será aplicado. Dessa maneira, tem-se:
P F
i n
(1 . )
Sidney tomou emprestado de seu amigo um certo valor a uma taxa de juros de 3% ao mês. Sabendo que depois de três meses ele teve de pagar R$ 130,80, qual foi o valor que Sidney tomou emprestado de seu amigo?
R$ 130,80 1 2 3 P F i n (1 . ) P = F / (1 + i . n) P = R$ 130,80 / (1 + 0,03 . 3) P = R$ 130,80 / 1,09 P = R$ 120,00
1.4.1.3 Encontrando a taxa
Ao utilizar a equação dos juros simples, é possível calcular a taxa de juros quando se conhece o valor presente, o valor futuro e o período. Isolando a taxa:
i F P n ou FP n 1 1 1
Adalberto tomou empréstimo de R$ 200,00 do banco. Depois de um ano ele teve de pagar R$ 250,00. Assumindo que o banco tenha utilizado juros simples, calcule a taxa de juros ao mês.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R$ 250,00 R$ 200,00 i = (F / P – 1) / n i = (R$ 250,00 / R$ 200,00 – 1) / 12 i = (1,25 – 1) / 12 i = 0,02083 = 2,083% ao mês
1.4.1.4 Encontrando o período
A fórmula dos juros simples pode ser utilizada para encontrar o período. Assim, por meio do valor presente, o valor futuro e a taxa de um empréstimo, é possível descobrir quando o emprés-timo deve ser pago. A equação usada é:
n F P i ou FP i 1 1 1
Juliana emprestou R$ 150,00 a uma amiga a uma taxa de juros simples de 1% ao mês. Ela disse que a amiga deve pagar R$ 180,00. Qual é o período do empréstimo? R$ 180,00 R$ 150,00 n = (F/P – 1)/i n = (R$ 180,00/R$ 150,00 – 1)/0,01 n = 20 meses
1.4.1.5 Período de aplicação é uma fração do período da taxa
Quando o período (n) da aplicação é menor que um, realizam-se os cálculos do mesmo modo. Ou seja, as fórmulas utilizadas serão as mesmas.
Introdução à Matemática Financeira 21 J = P . i . n
F = P . (1 + i . n)
Maria aplicou R$ 100,00 a uma taxa de 10% ao ano (juros simples). No entanto, ela manteve seu dinheiro aplicado durante seis meses. Qual será o valor de seu resgate?
Antes de utilizar a equação para juros simples, observe que a taxa de juros foi dada ao ano e que o período foi dado em meses. É necessário converter um deles para que os dois estejam ex-pressos no mesmo período.
Pode-se converter qualquer um dos dois (a taxa ou o período). Neste exemplo, optou-se em converter o período, que está expresso em meses, para ano. Assim, o período fica:
n = 6 meses = 1 2 ano
Agora que a taxa e o período estão expressos ao ano, é possível encontrar o valor futuro da aplicação de Maria. No entanto, observe primeiramente o diagrama de fluxo de caixa.
F = R$ 100,00 . (1 + 10% . 12) R$ 100,00 6 meses A resolução fica: F = P . (1 + i . n) F = R$ 100,00 . (1 + 10% . 1 2) F = R$ 100,00 . (1 + 0,10 . 0,5) F = R$ 100,00 . (1 + 0,05) F = R$ 100,00 . (1,05) F = R$ 105,00
1.4.2 Taxas equivalentes a juros simples
É importante saber comparar as taxas de juros, mesmo quando expressas em unidades de tempo diferentes. Alguns investimentos são expressos ao mês, enquanto outros são expressos ao ano.
Suponha que você tem R$ 1.000,00 disponíveis para investir. Você tem duas opções de investi-mento: uma com taxa de 12% ao ano e outra com taxa de 1% ao mês. Qual das duas é mais interessante?
Quando se considera juros simples, as taxas são proporcionais ao período de tempo ao qual se referem. Dessa forma, uma taxa de juros semestral será correspondente à metade da taxa de juros anual, pois um semestre equivale à metade de um ano. Confira no exemplo a seguir:
Considere uma operação a juros simples com um pagamento único pre-visto para daqui a um ano, a qual foi prefixada em 12% ao ano. Levando em consideração o uso de juros simples, determine as taxas de juros mensal, trimestral e semestral que produzem o mesmo efeito sobre o ca-pital investido. Leve em consideração que foi realizado um investimento de R$ 100,00.
Ao considerar juros simples, o valor futuro é dado por:
F = P . (1 + i . n)
Ao considerar o problema original, ou seja, apenas o período de um ano, n = 1:
F = P . (1 + iaa)
Em que: iaa é a taxa de juros expressa ao ano. Substituindo os valores na equação acima:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + 0,12)
Quando a capitalização ocorre mensalmente, são considerados 12 períodos, contudo, a taxa é desconhecida:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + iam . 12)
É possível comparar as duas expressões apresentadas. Como o valor presente das duas equa-ções é o mesmo (R$ 100,00), assim como os dois valores futuros (R$ 112,00), pode-se verificar que o termo entre parênteses, em ambos os casos, deve ser o mesmo:
(1 + 0,12) = (1 + iaa) = (1 + iam . 12)
Dessa expressão é possível constatar que:
iaa = iam . 12
Portanto, a taxa mensal pode ser escrita como:
iam = iaa / 12 12% / 12 = 1% ao mês
Agora é calculada a taxa trimestral. Para isso, observe que um ano possui quatro trimestres, assim:
R$ 112,00 = R$ 100,00 . (1 + iat . 4)
Comparando a equação dos juros trimestrais com a que utiliza juros anuais, nota-se que:
iat = iaa / 4 = 12% / 4 3% ao trimestre
Introdução à Matemática Financeira 23
Finalmente, a taxa de juros semestrais fica:
ias = iaa / 2 = 12% / 2 6% ao semestre
Como as taxas equivalentes (a juros simples) são proporcionais ao período de tempo a que se referem, elas são comumente chamadas de taxas proporcionais.
1.4.3 Cheque especial
O mercado financeiro no Brasil trabalha, quase sempre, com juros compostos. Poucos são os exemplos em que os juros simples são utilizados, dentre eles está o cheque especial.
Quando ocorre a utilização do cheque especial, a cada dia que a conta fica negativa é apli-cada uma taxa de juros sobre o saldo devedor e assim são calculados os juros. Os juros totais que incorreram no mês são debitados da conta corrente no mês seguinte.
Para uma discussão mais ampla sobre os juros simples no cheque especial, veja um exemplo da movimentação de uma conta corrente ao longo de um mês.
Marcelo é um trabalhador que frequentemente utiliza o cheque especial para conseguir honrar seus compromissos. Sabendo que o banco cobra 9% ao mês pela utilização do cheque especial, calcule quanto Marcelo terá de pagar ao banco. A tabela a seguir demonstra a movimentação da conta corrente de Marcelo no mês de abril de 2007.
Data Valor D/C Saldo D/C
Número de dias com o respectivo saldo negativo 01/04/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.600,00 C 0 05/04/2007 R$ 1.000,00 R$ 600,00 D 0 07/04/2007 R$ 700,00 –R$ 100,00 D 3 10/04/2007 R$ 100,00 –R$ 200,00 D 5 15/04/2007 R$ 50,00 –R$ 250,00 D 5 20/04/2007 R$ 60,00 –R$ 310,00 D 10 30/04/2007 R$ 1.500,00 R$ 1.190,00 C 0
Observe que o banco informa a taxa com período mensal. Todavia, como o saldo muda diariamente, é preciso encontrar a taxa ao dia. Como o mês de abril tem 30 dias, a taxa diária é simplesmente a taxa mensal dividida por 30:
iad = iam / 30 9% / 30 = 0,30% ao dia
O juro total pago é dado pela soma do juro pago ao dia. Observe que no dia 7, a conta ficou negativa. Assim, do dia 7 para o dia 8, o juro será o produto do saldo devedor (R$ 100,00) pela taxa de juros ao dia (0,3%). Entretanto, esse saldo fica negativo em 100 reais por três dias; então, mul-tiplica-se também pelo período de tempo. Aplicando o mesmo raciocínio para o restante do mês:
J = R$ 100,00 . 0,0030 . 3 + R$ 200,00. 0,0030 . 5 + R$ 250,00 . 0,0030 . 5 + R$ 310,00 . 0,0030 . 10 J = R$ 16,95
Consequentemente, Marcelo terá de pagar ao banco R$ 16,95 no próximo mês.
Atividades
1. Calcule os juros ganhos por R$ 4.000,00 aplicados por um ano, com taxa simples de 25% ao ano.
2. Qual o valor futuro de R$ 1.500,00 aplicados por um ano, com taxa simples de 50% ao ano? 3. Qual é a taxa simples que transforma R$ 4.500,00 em um valor futuro de R$ 8.100,00 em
um ano?
2
Juros compostos
Os juros simples não são adequados para realização de investimentos e não são muito utilizados, mas é importante ressaltar que em alguns poucos casos os juros simples são utilizados como o cheque especial, por exemplo.
Os juros simples não são muito adequados para tratar de investimentos e empréstimos. Este capítulo explica como os juros compostos resolvem os problemas que os juros simples não conseguem resolver.
2.1 Problemas dos juros simples
Para tratar dos juros e do valor do dinheiro no tempo, é necessário utilizar alguns termos. Para fixar a notação, observe que o valor inicial de um investimento ou de uma dívida é chamado de valor presente. Já o valor final do investimento ou dívida é chamado de valor futuro.
Um investidor possui R$ 1.000,00 para investir pelo período de dois anos e precisa decidir entre dois investimentos em dois bancos distintos. Ambos os investimentos oferecem juros de 10% ao ano (com juros simples), mas o Banco A oferece a possibilidade de o investidor resgatar o investi-mento após um ano e reaplicá-lo com a mesma taxa. Já o Banco B oferece a possibilidade de aplicar os recursos por dois anos, entretanto não há possibilidade de resgate durante todo o período. Será que o investidor deve ser indiferente às propostas que tem em mãos?
Primeiro é analisada a proposta do Banco A. Nesse banco o investidor pode aplicar por um ano, resgatar os seus recursos e reaplicá-los por mais um ano:
Valor Futuro = Valor Presente . (1 + Taxa de Juros . Período) F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10 . 1) F = R$ 1.100,00
Após um ano o investidor resgata os R$ 1.100,00 e reaplica por mais um ano. Agora o valor presente é de R$ 1.100,00. Ao calcular o valor futuro:
F = P . (1 + i . n)
F = R$ 1.100,00 . (1 + 0,10 . 1) F = R$ 1.210,00
Sabe-se que o investidor terá R$ 1.210,00 aplicando no Banco A, mas quanto ele terá se aplicar no Banco B?
F = P . (1 + i . n) F = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10 . 2) F = R$ 1.200,00 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 R$ 1.210,00 R$ 1.200,00 1 2 1 2 Banco A Banco B
No Banco B o investidor terá, ao final de dois anos, R$ 1.200,00.
Comparando as duas propostas, nota-se que a proposta do Banco A – que permite que os recursos sejam resgatados e reaplicados – é a mais interessante para o investidor.
Essa diferença entre os dois investimentos, que rendem à mesma taxa, chegando a valores diferentes no futuro, é característica dos juros simples, quando existe possibilidade de reinvesti-mento e o problema pode ser solucionado ao utilizar os juros compostos.
2.2 Formulando juros compostos
A formulação que considera os juros compostos faz com que o montante seja corrigido, baseado no saldo do período anterior. É importante lembrar que nos juros simples, os juros incidiam apenas sobre o saldo original, já nos juros compostos, eles incidem também sobre os juros acumulados.
No regime de juros compostos, há juros sobre juros. Isso ocorre porque os juros incidem não apenas sobre o valor original, mas também sobre os juros que já estão acumulados.
Para melhor compreensão, pode-se retomar o problema enfrentado pelo investidor que po-deria decidir entre dois diferentes tipos de investimentos e possui R$ 1.000,00 disponíveis para aplicação. Porém, agora ele pretende aplicar por um período de tempo maior, nesse caso, por 10 anos.
Calcula-se o valor futuro da aplicação a cada ano. Primeiro considera-se o valor que o inves-tidor terá após um ano.
F1 = P . (1 + i)
F1 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10) F1 = R$ 1.100,00
Com base no saldo que o investidor dispõe após um ano, calcula-se o saldo no período dois. Observe que o valor presente corresponde ao valor futuro do período anterior.
F2 = F1 . (1 + i)
F2 = R$ 1.100,00 . (1 + 0,10) F2 = R$ 1.210,00
Juros compostos 27
Calculando o período três: F3 = F2 . (1 + i)
F3 = R$ 1.210,00 . (1 + 0,10) F3 = R$ 1.331,00
Agora, em vez de continuarmos aplicando a equação para todos os períodos, é possível generalizá-la:
F1 = P . (1 + i) = P . (1 + i)1
F2 = F1 . (1 + i) = [P . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)2
F3 = F2 . (1 + i) = [P . (1 + i) . (1 + i)] . (1 + i) = P . (1 + i)3
Pode-se verificar que todos os valores futuros (F1, F2 e F3) são escritos como o produto do valor presente do investimento pelo fator de capitalização (1 + i) elevado ao período. Dessa forma, pode-se desenvolver essa expressão da seguinte maneira:
Fn = P . (1 + i)n
Essa é a expressão dos juros compostos. A cada período, o capital que existia no período anterior é multiplicado por (1 + i). Assim, após n períodos, o valor total da aplicação será o valor originalmente aplicado multiplicado por (1 + i) em cada um dos períodos.
Com a expressão generalizada, pode-se responder quanto o investidor terá após 10 anos. F10 = P . (1 + i)10
F10 = R$ 1.000,00 . (1 + 0,10)10
F10 = R$ 2.593,74
2.2.1 Fator de capitalização e fator de desconto
O valor futuro após n períodos de tempo é dado pelo produto do valor presente (P) pelo fator (1 + i)n. Este fator, (1 + i)n, é chamado de fator de capitalização, pois o valor presente foi
capitalizado para dar origem a um valor futuro (F). Pode-se, então, trazer um valor futuro a valor presente dividindo-o por (1 + i)n.
P = F / (1 + i)n
Em outras palavras, é possível multiplicar o valor futuro (F) por 1/(1 + i)n. Dessa maneira,
o fator 1/(1 + i)n é chamado de fator de desconto. Observe que, se multiplicado o valor futuro (F)
por 1/(1 + i)n é obtido o valor presente (P). Em resumo, o fator de desconto faz com que o valor
futuro seja trazido a valor presente.
Moacir aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança, e depois de 12 meses o fator de capitalização era igual a dois. Calcule a taxa de juros ao mês nesse período.
O diagrama de fluxo é apresentado da seguinte maneira:
R$ 100,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F = P . (1 + i)12
Como o fator de capitalização é igual a 2, sabe-se que o valor futuro será o dobro do valor presente: F = 2 . P e, ainda:
(1 + i)n = 2
(1 + i)12 = 2
Para resolver essa expressão, é necessário elevar cada um dos dois lados a 1 12: [(1 + i)12]121 = 2121
Como o termo (1 + i) está elevado a duas potências, multiplica-se uma pela outra. Como o produto de 12 por 1
12 é um, tem-se: (1 + i) = 2121
i = 2121 – 1 = 0,0595
i = 5,95%
Portanto, a taxa de juros da caderneta de poupança nesse período foi de 5,95% ao mês.
2.3 Comparando juros simples e juros compostos
Retomando o exemplo do investidor com R$ 1.000,00 disponíveis, será verificado o que ocorre com seu capital quando são considerados os juros simples e juros compostos. Lembre-se de que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o investimento é feito por um prazo de 10 anos.
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
0 R$ 0,00 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00 1 R$ 100,00 R$ 1.100,00 R$ 100,00 R$ 1.100,00 2 R$ 100,00 R$ 1.200,00 R$ 110,00 R$ 1.210,00 3 R$ 100,00 R$ 1.300,00 R$ 121,00 R$ 1.331,00 4 R$ 100,00 R$ 1.400,00 R$ 133,10 R$ 1.464,10 5 R$ 100,00 R$ 1.500,00 R$ 146,41 R$ 1.610,51 6 R$ 100,00 R$ 1.600,00 R$ 161,05 R$ 1.771,56 7 R$ 100,00 R$ 1.700,00 R$ 177,16 R$ 1.948,72 (Continua)
Juros compostos 29
Juros Simples Juros Compostos
Período Juro Valor Futuro Juro Valor Futuro
8 R$ 100,00 R$ 1.800,00 R$ 194,87 R$ 2.143,59
9 R$ 100,00 R$ 1.900,00 R$ 214,36 R$ 2.357,95
10 R$ 100,00 R$ 2.000,00 R$ 235,79 R$ 2.593,74
De acordo com a tabela, nota-se que o valor futuro a juros compostos cresce mais rapida-mente do que a juros simples. Para visualizar a diferença do crescimento do valor futuro, os valores estão dispostos no gráfico a seguir:
R$ 2.500,00
Juros simples Juros compostos
R$ 2.000,00 R$ 1.500,00 R$ 1.000,00 R$ 500,00 R$ 0,00 0 2 4 6 8 10 Regimes de Capitalização Período Va lo r F ut ur o
Observe que o crescimento a juros simples é linear, ou seja, é possível traçar uma linha reta que passa sobre todos os pontos. Entretanto, no regime de capitalização composta não é possível traçar uma linha reta que passe por todos os pontos, isso ocorre porque a juros compostos o cres-cimento do valor é exponencial.
2.4 Simulações com juros compostos
2.4.1 Encontrando o valor futuro
O valor futuro de um investimento foi encontrado. Agora, para traçar um raciocínio diferente utilizando o mesmo cálculo, em vez de investimento, observe um exemplo que envolve empréstimo.
Bartolomeu fez um empréstimo de R$ 400,00 no banco. Sabendo que o banco cobra uma taxa de 3% ao mês, responda quanto Bartolomeu de-verá ao banco após um ano.
R$ 400,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F = 400,00 . (1 + 0,030)12 F = P . (1 + i)n F = R$ 400,00. (1,03)12 F = R$ 570,30
Bartolomeu deverá R$ 570,30 ao banco após um ano.
2.4.2 Encontrando o valor presente
Observe que é possível utilizar a equação dos juros compostos para encontrar o valor pre-sente de uma aplicação ou de um empréstimo quando se sabe o seu valor futuro.
Para isso deve-se simplesmente isolar o valor presente, obtendo:
P = F / (1 + i)n
De posse dessa expressão é possivel encontrar o valor presente de um determinado valor futuro. Veja:
Carlos possui R$ 200,00 na caderneta de poupança. Sabendo que nos últimos 12 meses a taxa de juros proporcionada pela poupança foi de 0,65% ao mês, diga quanto Carlos aplicou há um ano.
F = R$ 200,00, i = 0,65% ao mês, n = 12 meses R$ 200,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P = F / (1+i)n P = F / (1 + i)n P = R$ 200,00 / (1,0065)12 P = R$ 185,04 Carlos aplicou R$ 185,04.
Juros compostos 31
2.4.3 Encontrando a taxa de juros
É importante notar que quando se conhece o valor presente, o valor futuro e o prazo de uma dívida ou de uma aplicação, é possível obter a taxa de juros. Observe que a equação dos juros com-postos deve ser reescrita da seguinte forma:
i = (F/P)1n – 1
Note que, para escrever essa equação, isola-se a taxa de juros, primeiramente dividindo a expressão de juros compostos pelo valor presente (P). Depois disso, a expressão fica: F / P = (1 + i)n.
Agora, é necessário elevar toda a expressão a 1 n:
(F / P)1n = [(1 + i)n]1n
O resultado disso é: (F / P)1n = (1 + i). Isso ocorre quando se tem duas potências para uma
mesma base. Nesse caso, basta multiplicar as duas potências. Como n . 1
n é igual a um, o termo [(1 + i)n]1n fica:
[(1 + i)n]n1 = (1 + i)1 = (1 + i)
Dessa forma, é obtida a expressão já vista:
i = (F / P)1n – 1
Bertoldo deseja comprar uma bicicleta. A loja ofereceu duas propostas para a compra: à vista por R$ 600,00 ou com pagamento depois de dois meses ao valor de R$ 750,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
F = P . (1 + i)n
R$ 750,00 = R$ 600,00 . (1 + i)2
(1 + i)2 = R$ 750,00 / R$ 600,00 = 1,25
Para resolver essa expressão, deve-se elevar cada um dos lados a 1
2. Assim:
[(1 + i)2]12 = (1,25)12
É importante lembrar que, quando um termo está elevado a duas potências, deve-se multi-plicar cada um desses números. Como 2 . 1
2 é igual a um: 1 + i = 1,1180
i = 0,1180 i = 11,80%
2.4.4 Encontrando o período
É possível fazer uma pequena manipulação na equação de juros compostos no intuito de encontrar o período de uma aplicação ou de um empréstimo. Utilizando a fórmula dos juros compostos, tem-se:
F = P . (1 + i)n
Para isolar o período (n), é necessário dividi-lo pelo valor presente (P):
F / P = (1 + i)n
Após, pode-se inserir o logaritmo dos dois lados dessa expressão:
log (F / P) = log (1 + i)n
Pode-se, então, utilizar uma propriedade da função logaritmo e obter:
log (F / P) = n . log (1 + i)
Finalmente isola-se o período (n):
n = log (F / P) / log (1 + i)
Ubirajara aplicou R$ 1.000,00 em um fundo de investimento. Ele espera que esse fundo renda a uma taxa de juros de 1% ao mês. Quanto tempo levará para que o seu capital aplicado dobre de valor?
P = R$ 1.000,00, F = R$ 2.000,00, i = 1% ao mês n = log (F / P) / log (1 + i)
n = log (R$ 2.000,00 / R$ 1.000,00) / log (1,01) n = log (2) / log(1,01) = 0,3010 / 0,004321 n = 69,66
Esse valor terá de ser arredondado para 70. Desse modo, serão necessários 70 meses para que o valor que Ubirajara aplicou seja duplicado.
2.5 Cálculos com períodos fracionários
Quando se trata de juros simples, a forma de trabalhar com períodos inteiros ou com perío-dos fracionários é a mesma, ou seja, utiliza-se a equação: F = P . (1 + i . n).
Em relação aos juros compostos, a forma de trabalhar com períodos inteiros ou com perío-dos fracionários também é a mesma, isto é, adota-se a equação:
F = P . (1 + i)n
Juros compostos 33
Murilo tomou empréstimo de R$ 100,00 de seu amigo a juros compos-tos, com taxa de juros de 2% ao mês. Murilo devolveu o dinheiro ao amigo após 20 dias. Qual valor ele pagou?
R$ 100,00
F = R$ 100,00 . (1 + 0,02)2030 20
30
Observe que o período de tempo está informado em dias, enquanto a taxa está informada ao mês. Antes de tudo, é necessário escrever o período ao mês: n = 20/30.
F = P . (1 + i)n
F = R$ 100,00 . (1 + 0,02)2030
F = R$ 100,00 . (1,02)2030
F = R$ 101,33
Logo, Murilo deve pagar R$ 101,33 para seu amigo.
2.6 Equivalência de capitais a juros compostos
Muitas vezes, um tomador de recursos tem uma dívida que vence em determinada data e, por algum motivo, não está satisfeito com ela e decide trocar a dívida por uma outra com venci-mento diferente. Caso o investidor que tenha emprestado os recursos financeiros também esteja disposto a trocar a data da dívida, os dois podem fazê-lo, desde que a taxa de juros seja de comum acordo. Quando uma dívida é trocada por outra, pode-se dizer que as duas dívidas são equivalen-tes. O exemplo a seguir retrata como ocorre a equivalência de capitais.
Marisa tomou empréstimo de R$ 500,00 no banco há exatamente três meses. Ela deve pagar daqui a três meses o valor emprestado, corrigido a uma taxa de juros de 1% ao mês. Entretanto, está com dificuldades financeiras e decide continuar com a dívida por mais seis meses. Marisa vai ao banco negociar a dívida e o banco decide manter a mesma taxa de juros combinada desde o princípio.
Qual valor Marisa teria de pagar daqui a três meses? Além disso, qual valor Marisa teria de pagar daqui a nove meses e, finalmente, qual seria a equiva-lência entre os capitais?
Marisa tomou o empréstimo há três meses e o vencimento ocorre em três meses. Em outras palavras, o período do empréstimo é de seis meses, portanto:
F6 = P . (1 + i)6
F6 = R$ 500,00 . (1,01)6
F6 = R$ 530,76
No entanto, como Marisa decidiu estender a dívida por mais seis meses, o prazo total seria de 12 meses. Como a taxa de juros permaneceu em 1% ao mês, o valor daqui a nove meses seria:
F12 = R$ 500,00 . (1,01)12
F12 = R$ 563,41
Com relação à equivalência de capitais, os R$ 530,76 a serem pagos daqui a três meses são equivalentes aos R$ 563,41 a serem pagos daqui a nove meses.
Observe que, caso o banco não aceitasse renovar a dívida de Marisa, ela poderia fazer uma nova dívida de R$ 530,76 em um segundo banco daqui a três meses e pagá-la daqui a nove meses. Caso o segundo banco cobrasse a mesma taxa, seria indiferente continuar com a dívida no primei-ro banco (pensando em tprimei-rocá-la daqui a três meses por uma outra em outprimei-ro banco), ou tprimei-rocá-la por uma dívida daqui a nove meses no mesmo banco.
Como essas duas dívidas são indiferentes para Marisa, pode-se afirmar que os dois valores – R$ 530,76 daqui a três meses ou R$ 563,41 daqui a nove meses – são equivalentes.
O mesmo ocorre do ponto de vista do banco. Caso Marisa devolvesse o dinheiro daqui a três meses, o banco receberia R$ 530,76, podendo emprestá-lo a outra pessoa a uma mesma taxa de juros por mais seis meses. Caso o banco conseguisse emprestar esse valor daqui a três meses, receberia R$ 563,41 daqui a nove meses.
Quando se fala de equivalência de capitais, fala-se basicamente de equivalência de dívidas. Todavia, não apenas as dívidas são equivalentes como também as aplicações. É possível perceber isso quando se analisa o exemplo do ponto de vista do banco, pois é indiferente receber R$ 530,76 daqui a três meses ou R$ 563,41 daqui a nove meses.
2.7 Outra comparação dos juros simples e dos juros compostos
Conforme visto, os juros compostos rendem mais do que os juros simples. No entanto, às vezes, a capitalização simples pode render mais do que a capitalização composta. Quando isso ocorre?
Bruno empresta R$ 100,00 a seu amigo Artur para que sejam pagos da-qui a oito meses. Artur, por sua vez, empresta os R$100,00 ao seu amigo Bernardo. Tanto Bruno quanto Artur decidem cobrar uma taxa de juros de 20% ao ano. Bruno decide emprestar a seu amigo Artur a juros compostos, enquanto Artur empresta a Bernardo a juros simples. Artur ganhou ou perdeu dinheiro?
Juros compostos 35
Bruno emprestou a Artur R$ 100,00 a juros compostos, que devem ser pagos em oito meses: P = R$ 100,00, i = 20%, n = 8/12
Assim, o valor futuro será: F = P . (1 + i)n
F = R$ 100,00 . (1 + 0,20)128
F = R$ 112,92
Artur emprestou a Bernardo R$ 100,00 a juros simples, que devem ser pagos em oito meses: P = R$ 100,00, i = 20%, n = 8/12 Então: F = P . (1 + i . n) F = R$ 100,00 . (1 + 0,20 . 8 12) F = R$ 113,33
Artur receberá de Bernardo R$ 113,33. Como Artur terá que pagar a Bruno R$ 112,92, ele teve um ganho de R$ 0,41.
De acordo com esse exemplo, é possível perceber que é mais interessante emprestar a juros simples do que a juros compostos. Isso ocorre sempre que o período da aplicação é menor do que um. Como visto, o período da aplicação era de 8/12.
O gráfico a seguir estabelece um comparativo dos rendimentos com os diferentes regimes de capitalização:
Gráfico 1 – Comparativo entre rendimentos e regimes de capitalização
Juros simples Juros compostos
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Regimes de Capitalização Período Va lo r F ut ur o
É possível observar que, quando o período é igual a 1, o valor futuro a juros simples e a juros compostos é o mesmo:
Juros simples: F = P . (1 + i . 1) = P . (1 + i) Juros compostos: F = P . (1 + i)1 = P . (1 + i)
O mesmo ocorre quando o período é igual a zero. Isso acontece porque o valor será igual ao próprio valor presente, já que não houve nenhuma capitalização.
Quando o período de tempo é maior que um, os juros compostos rendem mais que os juros sim-ples, entretanto, quando o período de tempo é um valor entre zero e um, o rendimento a juros simples é maior que a juros compostos.
Lembre-se de que os bancos utilizam juros simples para cheque especial, quando o período de tempo é menor do que um. Assim, o valor pago pela utilização do cheque especial é maior que se fosse calculado com juros compostos.
2.8 Compra de bens à vista ou a prazo
Uma aplicação prática dos juros compostos está na decisão de comprar à vista ou a prazo. Muitas vezes, a taxa de juros não está clara e é preciso calcular para descobrir a taxa que será paga.
Jurandir decidiu comprar uma geladeira, cujo valor era de R$ 1.000,00, a serem pagos daqui a um mês. Todavia, a loja oferece a Jurandir um desconto de 3% caso ele pague à vista. Jurandir tem o dinheiro para com-prar a geladeira à vista, mas como o desconto oferecido foi pequeno, ele pensa em aplicar seu dinheiro em um investimento que rende 2% ao mês. Jurandir deveria pagar a geladeira à vista ou investir seu dinheiro na caderneta de poupança e pagar a geladeira daqui a um mês?
Para responder essa questão, é necessário analisar o que ocorre em cada um dos dois casos. Se Jurandir pagar a geladeira à vista ele terá um desconto de 3%, assim, o valor a ser pago será de:
P = R$ 1.000,00 – 3% . R$ 1.000,00 P = R$ 1.000,00 – 0,03 . R$ 1.000,00 P = R$ 1.000,00 – R$ 30,00
P = R$ 970,00
Esse é o valor presente da geladeira, por isso foi utilizada a letra P.
Caso Jurandir decida comprar a prazo, ele receberá um bem hoje para ser pago no futuro, o que equivale a receber um dinheiro hoje, cujo valor é P, e pagá-lo após um mês. Assim, o diagrama de fluxo de caixa ficaria como a figura a seguir:
Juros compostos 37
R$ 970,00
R$ 1.000,00 1
Para ajudar Jurandir a tomar essa decisão, é importante verificar o que acontece com o di-nheiro que fica na caderneta de poupança. Caso Jurandir aplique R$ 970,00, o diagrama de fluxo de caixa ficará da seguinte maneira:
R$ 970,00
F = R$ 970,00 . (1,02)1
Depois de um mês Jurandir teria: F = P . (1 + i)n
F = R$ 970,00 . (1,02)1
F = R$ 989,40
Caso Jurandir aplique na poupança por um mês e resgate o dinheiro para pagar a geladei-ra, ele resgataria apenas R$ 989,40 e teria que pagar R$ 1.000,00. Assim, ele teria de desembolsar R$ 970,00 no ato da compra (depositando esse dinheiro no banco) e mais R$ 10,60 após um mês (para inteirar os R$ 1.000,00). Jurandir teria de fazer esse desembolso devido ao rendimento da poupança ser menor do que os juros cobrados pelo financiamento da geladeira.
Depois de feita a comparação dos valores que ele teria de desembolsar em cada um dos ca-sos, poderia ser feita a comparação da taxa de juros da caderneta de poupança com a taxa de juros do financiamento da geladeira. Sabe-se que a taxa de juros da poupança é de 2%, então, é preciso encontrar a taxa de juros que a loja está cobrando. A taxa de juros da loja não é de 3% ao mês, esse é o valor do desconto; na verdade, a taxa de juros que está embutida na operação é outra.
F = R$ 1.000,00, P = R$ 970,00, n = 1 F = P . (1 + i)n
i = (F / P)n1 – 1
i = (R$ 1.000,00 / R$ 970,00)11 – 1 = 0,0309
i = 3,09% ao mês
Como a loja cobra 3,09% de taxa de juros e a caderneta de poupança rende 2% de juros, é mais interessante comprar a geladeira à vista do que aplicar o dinheiro na caderneta de poupança, porque o retorno que Jurandir terá será menor do que o juro que ele terá de pagar pelo financiamento.
Atividades
1. A juros compostos de 8% ao mês, qual o resultado de R$ 3.000,00 em oito meses?
2. Qual o capital que, em seis anos, com taxa de juros compostos de 10% ao ano, resulta em R$ 14.000,00?
3. A que taxa de juros um capital de R$ 10.000,00 pode transformar-se em R$ 15.000,00, con-siderando um período de aplicação de oito meses?
3
Taxas de juros
Este capítulo concentra-se nas taxas de juros, essenciais para a Matemática Financeira. A disciplina trata do valor do dinheiro no tempo e, para isso, utiliza a remuneração do capital, ou seja, o juro que remunera um capital depende do seu valor. Já a taxa de juros não tem essa característica, ela serve como balizador, independentemente da quantidade de capital que é investido ou tomado emprestado.
A comparação de investimentos ou empréstimos, pode sempre ser feita diretamente pela taxa de juros. É comum aplicar dinheiro em investimentos que proporcionem maior taxa de juros, assim, é possível receber maior remuneração pelo capital.
Analogamente, ao realizar um empréstimo é natural optar por aquele que cobra a menor taxa de juros, uma vez que se paga o menor valor pelo capital emprestado.
As taxas de juros também são assunto deste capítulo. Comparar taxas que são apresentadas em diferentes períodos de tempo, assim como conhecer algumas particularidades que ocorrem na divulgação das taxas de juros (taxas divulgadas em um período de tempo, mas com capitalização em outro período) e taxas de juros variáveis são temáticas indispensáveis.
3.1 Taxas de juros equivalentes
Quando se trabalha com juros compostos, é comum utilizar períodos de tempo que não são inteiros. Entretanto, além de trabalhar com períodos de tempo não inteiros, é possível converter a taxa de juros para um outro período, para que não seja necessário utilizar períodos fracionários. Quando essa conversão da taxa de juros é realizada, encontra-se a taxa de juros equivalente.
3.1.1 Taxa de juros mensal e taxa de juros diária
Para compreender os juros equivalentes, veja o exemplo:
José emprestou R$ 300,00 a seu amigo por um período de 1 mês e 10 dias a uma taxa de juros composta de 3% ao mês. Quanto ele deverá receber depois de 40 dias?
Para encontrar o valor futuro, pode-se utilizar a taxa mensal e o período de 40/30 meses. Assim: F = P . (1 + i)n
F = R$ 300,00 . (1 + 0,03)4030
Entretanto, para encontrar o valor futuro, é possível também utilizar a taxa ao dia, em vez da taxa mensal. Como ainda não é possível calcular a taxa ao dia, essa taxa vai ser chamada de iad. Assim, o valor futuro será:
F = P . (1 + iad)n
Como a taxa de juros está escrita ao dia, o período também deve estar escrito em dias. Logo, o período será: n = 40 dias:
F = R$ 300,00 . (1 + iad)40
F = R$ 312,06
Ainda não se sabe quanto é a taxa de juros ao dia, porém sabe-se que o valor futuro deve ser o mesmo que o valor calculado ao utilizar a taxa de juros mensal. Para que todas essas contas sejam válidas, deve-se ter o seguinte:
(1 + iad)40 = (1 + 0,03)4030
É possível elevar cada um dos dois lados a 1/40, assim: [(1 + iad)40]401 = [(1 + 0,03)4030]401
(1 + iad) = (1 + 0,03)301
iad = (1 + 0,03)301 – 1 = 0,000986
iad = 0,0986% ao dia
Verificou-se, então, que para converter a taxa mensal em taxa diária deve-se utilizar a expressão:
(1 + iam) = (1 + iad)30
Por meio desse exemplo, foi visto como encontrar a taxa de juros diária equivalente à taxa de juros mensal. Por meio dessa equação, pode-se encontrar a taxa de juros diária com base na taxa de juros mensal, ou o contrário, a taxa de juros mensal com base na taxa de juros diária:
O Banco Sideral cobra uma taxa de 0,1% ao dia para qualquer emprésti-mo. Qual será a taxa de juros mensal equivalente?
(1 + iam) = (1 + iad)30
(1 + iam) = (1 + 0,001)30
iam = (1 + 0,001)30 – 1 = 0,0304
iam = 3,04% ao mês
A seguir serão verificadas outras taxas de juros equivalentes que podem ser encontradas. É importante lembrar que sempre que a taxa de juros estiver expressa em um período de tempo, é possível convertê-la para qualquer outro período de tempo.
Taxas de juros 41
3.1.2 Taxa de juros mensal e taxa de juros ao ano
Daniel deseja realizar um empréstimo pelo prazo de um ano. O Banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês, já o Banco B cobra uma taxa de juros de 25% ao ano. Em qual dos dois bancos ele deve fazer o empréstimo?
No Banco A verifica-se: FA = P . (1 + i)n FA = P . (1 + 0,02)12 Já no Banco B: FB = P . (1 + i)n FB = P . (1 + 0,25)1
Para comparar, deve-se converter uma das taxas, no intuito de que ambas estejam expressas no mesmo período de tempo. Pode-se escolher qualquer uma das duas para ser convertida. Desse modo é possível, inicialmente, encontrar a taxa de juros mensal equivalente da taxa cobrada pelo Banco B.
Considerando a taxa de juros equivalente ao mês cobrada pelo Banco B: FB = P . (1 + i)n
FB = P . (1 + iam)12
Como o valor futuro no Banco B deve ser o mesmo, independentemente de considerar a taxa de juros mensal ou anual:
(1 + iam)12 = (1 + 0,25)
Logo, a taxa de juros mensal do Banco B é: iam = (1,25)121 – 1 = 0,0188
iam = 1,88% ao mês
Como a taxa de juros que o Banco B cobra é menor do que a taxa de juros que o Banco A está cobrando, é mais interessante para Daniel realizar o empréstimo no Banco B, pois ele terá de desembolsar um valor menor.
Desse modo, para converter a taxa anual em taxa mensal, é necessário utilizar a expressão:
(1 + iaa) = (1 + iam)12
Voltando ao exemplo anterior, localiza-se a taxa de juros anual equivalente à cobrada pelo Banco A.
O Banco A cobra uma taxa de juros de 2% ao mês. Qual será a taxa de juros anual equivalente?
(1 + iaa) = (1 + iam)12
(1 + iaa) = (1 + 0,02)12
iaa = (1 + 0,02)12 – 1 = 0,2682
iaa = 26,82% ao ano
3.1.3 Taxa de juros anual e taxa de juros ao dia
Assim como nos outros exemplos, é possível também converter as taxas de juros ao ano e as taxas de juros ao dia:
Considerando que uma instituição financeira cobra uma taxa de juros de 30% ao ano, qual será a taxa de juros ao dia?
Para resolver a questão, considera-se o ano composto por 360 dias. Assim:
F = P . (1 + i)n
Considerando a taxa ao ano:
F = P . (1 + iaa)
Considerando a taxa ao dia:
F = P . (1 + iad)360
Como o valor futuro deve ser o mesmo, independentemente da capitalização ser ao ano ou ao dia, nota-se que:
(1 + iaa) = (1 + iad)360
Dessa forma, é possível calcular a taxa de juros ao dia cobrada pela instituição financeira. (1 + iad)360 = (1 + i aa) [(1 + iad)360]3601 = (1 + i aa) 1 360 (1 + iad) = (1 + iaa)3601 iad = (1 + 0,30)3601 – 1 iad = 0,073% ao dia
Por meio do exemplo anterior, constatou-se que para converter a taxa de juros ao ano e taxa de juros ao dia, utiliza-se a fórmula:
Taxas de juros 43
3.1.4 Resumo das taxas de juros equivalentes
É possível encontrar a taxa equivalente para qualquer período. No entanto, as formas mais comuns de apresentar as taxas de juros são: ao dia, ao mês e ao ano.
A seguir, apresenta-se breve resumo das fórmulas para encontrar as taxas de juros equivalentes para os períodos já utilizados. Além disso, apresentam-se os períodos: semestral e trimestral.
Quadro 1 – Resumo das taxas equivalentes
(1 + iaa) = (1 + ias)2 (1 + ias) = (1 + iam)6 (1 + iaa) = (1 + iat)4 (1 + ias) = (1 + iad)180 (1 + iaa) = (1 + iam)12 (1 + i at) = (1 + iam)3 (1 + iaa) = (1 + iad)360 (1 + iat) = (1 + iad)90 (1 + ias) = (1 + iat)2 (1 + iam) = (1 + iad)30
Fonte: Elaborado pelo autor.
Apesar de não ser comum, é possível utilizar taxa de juros semanal, ou mesmo em outros períodos. No caso de uma aplicação (ou um empréstimo), por exemplo, em um período de 40 dias, seria interessante utilizar a taxa de juros ao período de 40 dias.
3.2 Taxas de juros nominal e efetiva
Constantemente a taxa de juros é informada em um período de tempo, enquanto sua capita-lização ocorre em outro período. Para citar um exemplo, muitas vezes um certo capital é aplicado a uma taxa de juros que sofrerá capitalização todos os meses. Contudo, quando a taxa de juros é informada, simplesmente multiplica-se a taxa de juros mensal por 12, obtendo algo chamado de
taxa de juros nominal.
Este é um conceito estranho, pois a taxa de juros nominal não tem utilidade. Sempre que é informada a taxa de juros nominal, é preciso encontrar a taxa de juros efetiva, para então calcular os juros sobre uma aplicação ou um empréstimo.
Se foi dito que não tem muita utilidade, por que é importante tratar desse assunto? Por uma simples razão: é preciso aprender a diferença das duas taxas, porque ambas aparecem no mercado financeiro. O ideal seria que apenas a taxa de juros efetiva fosse informada, mas como nem sempre isso ocorre, é fundamental saber como encontrar a taxa de juros efetiva por meio da taxa de juros nominal. Sabendo disso, sempre será possível encontrar o valor futuro dado um valor presente.
Joaquim aplicou R$ 1.000,00 em um investimento que promete uma taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Qual será a taxa de juros efetiva dessa aplicação?
Nesse exemplo foi dada a taxa de juros nominal anual. Como a capitalização é trimestral, é possível expressar a taxa efetiva como trimestral ou anual (pode-se, ainda, expressar a taxa de ju-ros a outju-ros períodos, no entanto, serão utilizadas somente as formas apresentadas no exemplo). Como não é feita nenhuma menção ao período desejado para a taxa de juros, ela será expressa nos dois períodos.
O mais fácil é expressar a taxa de juros trimestral efetiva. Por meio da taxa de juros nominal (in) é possível calcular a taxa de juros trimestral efetiva:
ief = in / 4
ief = 6% ao trimestre
Para encontrar a taxa de juros efetiva anual (ief(aa)), procede-se da mesma maneira que para encontrar uma taxa de juros equivalente, obtendo assim a taxa de juros efetiva ao ano. Portanto:
(1 + ief(aa)) = (1 + ief(at))4
ief(aa) = (1 + ief(at))4 –1
ief(aa) = (1 + 0,06)4 – 1
ief(aa) = 26,25% ao ano
A seguir considere um exemplo real: a caderneta de poupança. Muitas vezes a taxa de juros informada é nominal, por isso, é preciso encontrar a taxa de juros real dessa aplicação para que se possa saber o valor futuro de determinado investimento.
Bruno aplicou R$ 100,00 na caderneta de poupança. Ele foi informado que a taxa de rendimento da poupança era de 6% ao ano, capitalizada mensalmente, mais a variação da Taxa Referencial (TR). A TR é defini-da pelo governo e não se pode saber seu valor de antemão, mas Bruno quer saber quanto ele terá após um ano. Então ele decide assumir que a TR será zero ao longo do próximo ano, para descobrir quanto ele terá no pior dos casos (observe que a TR não deverá assumir o valor zero. Bruno está assumindo isso para saber quanto ele terá, no mínimo, daqui a um ano).
Assumindo o valor zero para a TR, sabe-se que o capital de Bruno será aplicado a uma taxa nominal de 6% ao ano (in), no entanto, é preciso descobrir a taxa de juros efetiva (ief). Como a capi-talização é mensal, deve-se dividir a taxa de juros nominal (ao ano) por 12. Assim:
ief = in / 12 ief = 6% / 12 ief = 0,5% ao mês
Taxas de juros 45
Agora que foi encontrada a taxa de juros efetiva, deve-se realizar a capitalização durante 12 meses, a fim de encontrar o valor que Bruno terá daqui a um ano:
F = P . (1 + i)n
F = R$ 100 . (1 + 0,005)12
F = R$ 106,17
Portanto, daqui a um ano Bruno terá pelo menos R$ 106,17 na caderneta de poupança. Também é fácil calcular a taxa de juros efetiva anual da caderneta de poupança:
i = (F / P)1n – 1
Como o prazo é de um ano e a taxa deverá estar expressa ao ano, o período é um: i = (R$ 106,17 / R$ 100,00) – 1
i = 6,17% ao ano
3.3 Taxas de juros variáveis
As taxas de juros variam com o tempo. Muitas vezes uma empresa faz uma dívida e a re-nova ao longo do tempo; a cada vez que a dívida é rere-novada, a taxa de juros cobrada pelo banco é diferente.
Assim, é interessante conhecer a taxa de juros acumulada cobrada na operação como um todo e descobrir qual é a taxa de juros média cobrada nessa operação financeira.
3.3.1 Taxa de juros acumulada
Para entender a taxa de juros acumulada, veja o exemplo:
A eletrônica Curto Circuito precisa de recursos para financiar seus pro-jetos. Por isso, fez um empréstimo no banco pelo prazo de um ano com taxa de juros de 25% ao ano. Após esse período, a eletrônica precisou renovar a dívida por mais um ano, porém, a taxa de juros foi de 20% ao ano. A eletrônica continuou renovando a dívida por mais alguns anos. A tabela a seguir resume todas as taxas de juros cobradas pelo banco ao longo de 5 anos. Ano Taxa 1 25% 2 20% 3 22% 4 20% 5 18%
