Pesquisas francesas relacionadas ao ensino e à aprendizagem de

Grenier (1988) realizou a construção e o estudo do funcionamento de um processo de ensino sobre a simetria ortogonal no sexto ano. O objetivo de seu estudo era verificar a possibilidade de elaborar um conjunto de situações susceptíveis de desafiar as concepções errôneas sobre simetria ortogonal que persistiam entre os alunos após o ensino. Sua pesquisa foi fundamentada na Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud. Ela utilizou como metodologia de pesquisa a engenharia didática clássica. Inicialmente, a autora fez um estudo das concepções dos alunos14 _{com relação a algumas variáveis didáticas, cujo} objetivo era conhecer melhor essas concepções, antes e após o ensino da simetria ortogonal em sala de aula.

Sobre as condições de evolução dos conhecimentos dos alunos a partir das situações-problema propostas, a autora afirma que seu estudo mostrou que essa evolução é possível, mas em diversos níveis, segundo as propriedades do conceito colocado em jogo na situação. Em particular,

verificou-se uma hierarquia na disponibilidade e aprendizagem dos alunos nas quatro propriedades da transformação escolhidas para estudo (posição, ortogonalidade, equidistância e incidência), precisamente nessa ordem. Por fim, Grenier (1988) avalia que um processo somente é comunicável se ele comporta, não apenas um estudo das concepções dos alunos, mas também um estudo das representações do professor, de um lado seu conhecimento do conteúdo em jogo e do outro, o de seus alunos, seus conhecimentos anteriores e seu modo de construir conhecimento.

Jahn (1998) investigou a passagem das transformações de figuras às transformações pontuais, por intermédio de uma sequência de ensino com o

software Cabri-géomètre, aplicada a uma classe do 1º ano do Ensino Médio.

No quadro teórico utilizado, a pesquisadora levou em consideração aspectos da Teoria das Situações Didáticas, em particular o conceito de milieu, proposto por Brousseau, a noção de quadros e de mudanças de quadros no sentido de Douady.

A autora utilizou como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática: seus objetivos eram analisar alguns critérios ou condições para integrar às situações didáticas que podem favorecer a instalação de um aspecto dual (global/pontual) das transformações, mostrar ao longo do trabalho, que o

software Cabri-géomètre II pode contribuir para renovar a didática

global/pontual, além de permitir colocar em evidência a relação entre as concepções estática e dinâmica nos problemas de construção de figuras.

Sobre os resultados de sua pesquisa, Jahn (1998) avalia que seu estudo evidenciou as dificuldades na noção de transformação geométrica como aplicação pontual. Segundo a autora, essas dificuldades residem no centro de um conjunto complexo de conhecimentos em diferentes quadros, aspectos e apreensões de um ponto de vista epistemológico. A autora declara que sua pesquisa permitiu, ainda, mostrar as dificuldades dos estudantes em se separarem do nível espaço-gráfico para poder teorizar sua compreensão do conceito de transformação, na medida em que isto implicasse para eles resolver numerosos problemas que permaneciam implícitos no ambiente papel e lápis. Foi observado, ainda, que a presença do software minimiza algumas das dificuldades enfrentadas nas situações em que utilizavam papel-lápis.

Miyakawa (2005), em sua pesquisa, realizou um estudo da relação entre conhecimento e prova, que teve como objeto matemático a simetria ortogonal. Nesse estudo a autora buscou responder a questões como: qual conhecimento ou quais aspectos do conhecimento sobre um objeto matemático é / são mobilizados pelos alunos no momento da construção de uma prova e qual relação existe entre o conhecimento e a prova. Foi escolhido como ferramenta metodológica e ferramenta de análise do conhecimento o modelo ck¢, proposto por Balacheff; para a análise de prova, o modelo de Toulmin e os resultados das investigações de Duval. Os resultados dessa pesquisa indicam, a partir da análise do funcionamento do conhecimento na prova, a evidência de uma distância entre geometria pragmática e geometria teórica a qual não é fácil de preencher.

Segundo Miyakawa (2005), sua pesquisa centrou-se no comportamento dos alunos do terceiro ano do colégio (9º ano do Ensino Fundamental) e mostrou que a construção geométrica não é suficiente, mas que ela desempenha um papel importante no processo de aquisição desse conhecimento. Por fim, o autor afirma que se trata de uma reorganização do conhecimento na qual a questão de aprendizagem que supera essa distância surge de forma legítima.

A pesquisa de Lima (2006) teve como finalidade estudar a forma como os professores tomam suas decisões didáticas com o objetivo de levar os alunos a avançarem na aprendizagem de um determinado conhecimento e os elementos que influenciam essas decisões. Para isso, a autora fez um estudo das concepções dos alunos do 4º ano do colégio (8º ano do Ensino Fundamental) referentes ao objeto matemático simetria ortogonal. Foi utilizado na pesquisa o modelo ck¢ de Balacheff, associado à Teoria das Situações Didáticas. Com esse estudo, a autora revela ter sido possível construir um dispositivo experimental para estudar as decisões didáticas tomadas pelos professores.

Com relação aos resultados obtidos em sua pesquisa, Lima (2006) declara que as experimentações aplicadas aos alunos mostraram que eles obtêm melhores êxitos em problemas de reconhecimento, do que em problemas de construção. Seus estudos confirmaram os resultados obtidos,

vertical e horizontal dos segmentos sobre a folha. Já as investigações feitas com professores permitiram, segundo a autora, identificar vários elementos que fundamentam suas decisões didáticas. Entre esses elementos foram identificados: o conhecimento do currículo, o desempenho dos alunos, os seus conhecimentos de matemática e suas concepções de ensino e aprendizagem. Ela ainda afirma que é à luz desses conhecimentos que os professores realizam o diagnóstico das concepções iniciais (Ci) dos alunos e fixam as concepções alvo (Cj) de seu projeto de ensino. Ela sugere para investigações posteriores as seguintes questões: Como distinguir um caso de coabitação de várias concepções diferentes, de um caso de evolução de uma concepção a outra em cada sujeito? Ou ainda, quais são os tipos de problemas que favorecem a passagem de uma concepção inicial Ci a uma concepção final Cj (sendo Ci e Cj conhecidas) e como descrever estes problemas em termos de variáveis didáticas?

O trabalho de pesquisa de Bulf (2008) foi um estudo dos efeitos da simetria axial sobre a contextualização das isometrias planas e sobre a natureza do trabalho geométrico no colégio (Ensino Fundamental). A problemática central desse estudo é o papel desempenhado pela simetria axial na aprendizagem de outras simetrias planas, tais como a simetria central e a simetria de rotação. A autora fundamentou sua investigação na teoria dos campos conceituais de Vergnaud e no quadro dos Paradigmas Geométricos e dos espaços de trabalhos geométricos de Houdement e Kuzniak.

Segundo a autora, seu trabalho mostrou que a simetria axial poderia desempenhar um papel de organizador na condução de um estudante ou de um artesão. No caso do estabelecimento de ensino, a simetria axial pode ser um controle da dialética GI - GII15_{, mas continua a demonstrar se tais} alternâncias de paradigmas são favoráveis ao desenvolvimento do pensamento geométrico. A simetria axial também pode revelar-se como um obstáculo cognitivo para alguns alunos por causa da proximidade de esquemas com a simetria central. Sendo assim, a autora avalia que os resultados obtidos não permitiram decidir entre dois polos: se a simetria axial desempenha um papel de obstáculo ou de alavanca na aprendizagem de outras isometrias planas.

Como proposta para estudos futuros, Bulf (2008) declara que seria interessante estudar mais finamente o espaço de trabalho geométrico (ETG)16 pessoal dos professores, além considerar qual aspecto do conceito de simetria parece ser o mais fundamental.

Chesnais (2009) fez um estudo sobre o ensino da simetria axial no 6º ano; seu trabalho foi focado sobre as práticas de dois professores e as atividades dos alunos. Segundo essa autora, são três os tipos de efeitos diferentes relacionados à prática docente: os efeitos diferenciais de práticas diferentes, a diferenciação das práticas dos professores, segundo os alunos, e os efeitos diferenciais de uma mesma prática do professor, ainda segundo os alunos. O quadro teórico utilizado foi uma abordagem dupla de didática e ergonomia no sentido da teoria da atividade.

Com relação aos resultados, a autora afirma que seu trabalho colocou em evidência as relações entre as práticas docentes e os resultados dos controles dos alunos, ao percorrer as possíveis atividades. Foram observadas, na prática dos dois professores, semelhanças e diferenças. As semelhanças estão relacionadas às escolhas globais de conteúdos que surgem para a maioria dos programas. Já com relação às diferenças, destaca-se a variabilidade nos investimentos das margens de manobras deixadas aos professores, às vezes, no que concerne aos cenários e às sequências.

A autora aponta algumas questões que ficaram para ser investigadas em pesquisas futuras, no sentido de validar ou invalidar os resultados obtidos em seus estudos. Seus argumentos para os estudos posteriores são: o número restrito de professores participantes da pesquisa (apenas dois), a necessidade de seu estudo ser confrontado com outros cenários como, por exemplo, de uma engenharia didática e, por fim, a necessidade de investigar como uma formação de professores influenciaria na prática de outros professores.

A seguir, apresentamos, na Figura 14, um mapa conceitual em que buscamos fazer uma síntese das pesquisas apresentadas.

16 _{Segundo Houdement e Kuzniak (2006, p.184, tradução nossa) o termo espaço de trabalho} geométrico é designado como ambiente organizado por e para o geômetra de maneira a articular de forma adequada três componentes: um conjunto de objetos, possivelmente materializados em um espaço real e local; um conjunto de artefatos que serão ferramentas e instrumentos na acepção do geômetra; um quadro teórico que pode ser organizado em um

Figura 14. Mapa conceitual de algumas pesquisas francesas sobre simetria ortogonal

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools17

Na Figura 14, dividimos as pesquisas em dois blocos: no primeiro, os sujeitos das pesquisas eram alunos, e o foco da investigação, a aprendizagem desses mesmos alunos; no segundo, temos as pesquisas relacionadas às práticas de professores.

Na maioria das pesquisas estudadas, mesmo quando os professores não eram os sujeitos diretos de investigação, ficou clara a importância do papel deles nos processos de ensino e de aprendizagem. Observamos ser esse o principal elo de convergência entre tais estudos. O mapa conceitual apresentado na Figura 15 mostra essa convergência.

17 _{De acordo com Okada (2008) Cmap Tools é um software gratuito, desenvolvido pelo IHMC –}

University of West Florida que permite construir, navegar, criar apresentações e compartilhar

Figura 15. A importância do papel do professor

Fonte: Figura elaborada pela autora com auxílio da ferramenta Cmap Tools.

Os estudos de Grenier (1988), Lima (2006), Chesnais (2009) e Bulf (2008) chamam a atenção no sentido de sinalizarem para a necessidade de investigações sobre o importante papel do professor em um processo de ensino. Grenier (1988) defende um estudo sobre as representações do professor, o que vai ao encontro de Lima (2006), ao apontar que, para tomar decisões didáticas, o professor leva em conta elementos como seu conhecimento matemático, o desempenho de seus alunos, seu conhecimento do currículo e, por fim, suas concepções de ensino e aprendizagem.

Os estudos de Bulf (2008) apontam que as próprias representações do professor influenciam no desenvolvimento de seu curso, alimentando seu conteúdo, e podem, portanto, ter um impacto sobre a aprendizagem dos alunos. Jahn (1998) concebe o papel do professor como orientador, isto é, as intervenções são voltadas, principalmente, para promover o debate, para capacitar os alunos para explicarem algum argumento escolhido sobre seus resultados, e fazer perguntas. Suas intervenções correspondiam a informações sobre o saber em jogo e são desprovidos de efeitos contratuais, tanto quanto possível.

Por fim, Chesnais (2009) afirma que seu estudo sobre a prática de dois professores levou a observar semelhanças (principalmente quanto à escolha do conteúdo em vistas do currículo) e diferenças (é a maneira pessoal de o

professor conduzir os processos de ensino e de aprendizagem em sua aula, e um exemplo é a escolha de recursos didáticos diferenciados).

Os estudos franceses sobre o ensino e a aprendizagem da simetria ortogonal nos forneceram elementos para compreender, em parte, algumas das dificuldades que cercam o ensino e a aprendizagem desse objeto matemático, levando a conhecer algumas propostas de intervenção junto a essas dificuldades, com vistas a minimizá-las, além de entender o papel do professor nesses estudos.

As contribuições dessas pesquisas, neste trabalho, estão diretamente relacionadas à experimentação, por exemplo, utilizamos como referência os estudos de Grenier (1988) e Lima (2006) para investigar a influência das variáveis didáticas nelas identificadas, no ensino e na aprendizagem da simetria ortogonal.

Por outro lado, existe a necessidade de buscarmos, em estudos brasileiros, indícios para compreender a realidade que cerca o ensino e a aprendizagem das transformações geométricas planas, especificamente a simetria ortogonal.

2.1.2 As pesquisas brasileiras relacionadas ao ensino e à aprendizagem