Sondagem inicial

04, 11 e 16/05 3 1ª Atividade: O segredo dos quadrados dos palitos de fósforos

25 e 31/06 2 2ª Atividade: Sequência de triângulos de canudinhos 16/06 1 3ª Atividade: Cubos enfileirados

28 e 29/06 2 4ª Atividade: Lembretes

05 e 06/07 2 5ª Atividade: Mesas enfileiradas no aniversário de Poliana

12 e 13/07 2 6ª Atividade: Caminha no pátio 30/08 1 7ª Atividade: Sequência de Círculos

Tabela 1: Cronograma das atividades desenvolvidas.

Os alunos trabalharam individualmente, em duplas ou em trios, de acordo com o número de alunos presentes e a especificidade de cada atividade.

Optamos por desenvolver algumas das atividades com os alunos organizados em duplas ou trios por acreditarmos que essa forma de trabalho favorece o surgimento de discussões acerca da atividade abordada, o levantamento de conjecturas, a verificação da veracidade de hipóteses levantadas, dentre outros, de forma que ocorra colaboração e parceria entre os alunos envolvidos, um favorecendo à aprendizagem do outro, ainda que inconscientemente.

Além de auxiliar no processo de aprendizagem, inicialmente pensamos também que esse tipo de trabalho poderia favorecer na coleta de dados, visto que as falas decorrentes dessas discussões poderiam se constituir em uma fonte rica para tentarmos compreender como se dá o desenvolvimento do pensamento algébrico deles.

3.2.2. Coleta de dados

Durante os encontros, foram realizadas entre os alunos e a professora/pesquisadora pequenas conversas ou ‘conversas matemáticas’ com o objetivo de entender como os alunos pensam e constroem o conhecimento algébrico, além de observar mudanças de argumentos usados pelos estudantes para a resolução das atividades no decorrer da pesquisa.

Além disso, a fim de termos acesso ao comportamento, às falas e aos gestos dos alunos, principalmente durante as discussões com a professora/pesquisadora, todas as aulas

foram gravadas em áudio e vídeo. Paralelamente, foi elaborado, após o final de cada aula, um diário de campo detalhado sobre o decorrer do trabalho em classe, onde buscamos descrever e registrar informações que acreditamos que seria de vital importância para obter respostas às nossas indagações. Contamos também com os registros produzidos pelos alunos ao longo das atividades.

Nessa perspectiva, uma das maiores dificuldades encontradas pela pesquisadora refere-se aos dois papeis – professora e pesquisadora – desempenhados e suas distintas exigências.

Nesse caso, considerando a opção pela abordagem qualitativa, ampliam-se as dificuldades. Ou seja, além das dificuldades inerentes à pesquisa sobre a própria prática enfrentam-se aquelas próprias da abordagem escolhida, pois, como afirma Gunther (2006), na pesquisa qualitativa, constata-se um envolvimento emocional do pesquisador com seu tema de investigação, o que pode, se não for bem trabalhado, comprometer a coleta e análise dos dados. Assim, não permitir que a ansiedade no desenvolvimento das atividades atrapalhasse a evolução natural dos alunos constituiu-se um grande desafio.

Por outro lado, a qualidade da coleta de dados depende da sensibilidade do pesquisador, visto que ele está diretamente envolvido com o contexto e com os participntes e é o responsável por organizar e guiar o desenrolar de cada episódio na pesquisa de campo. Dessa forma, se por um lado, não há meios de anular as inter-relações sociais que influenciam o pesquisador e o objeto pesquisado uma vez que os valores e a subjetividade são intrínsecos aos seres intimamente conectados aos objetos da vida humana, por outro, para se compreender profundamente um evento existe a necessidade de interação com ele (QUEIROZ, 2006).

Para que o leitor compreenda o processo vivido em campo, parte dos encontros e dos dados coletados durante a pesquisa foram organizados e cuidadosamente descritos, para uma possível análise.

Segue, então, no próximo capítulo, a descrição do desenvolvimento da proposta de ensino.

CAPÍTULO 4: O DESENVOLVIMENTO DA PROPOSTA DE ENSINO

No presente capítulo, apresentamos uma descrição do processo vivenciado junto aos alunos. Optamos por apresentar as tarefas propostas, encontro a encontro, para possibilitar ao leitor uma imersão no ambiente de sala de aula no qual se deu o trabalho.

4.1. Sondagem inicial

A sondagem inicial contemplou a elaboração e aplicação de um teste diagnóstico com o intuito de perceber se os alunos tinham alguma familiaridade com a linguagem algébrica e se eram capazes, antes de nossa intervenção, de desenvolver o pensamento algébrico a partir de atividades envolvendo a percepção e generalização de sequências – geométricas ou numéricas -, no sentido de perceber uma regra que lhes permitisse encontrar qualquer termo das sequências dadas.

Além das questões envolvendo linguagem algébrica e desenvolvimento do pensamento algébrico, abordamos também questões relativas à habilidade dos alunos em interpretação do enunciado de um problema ou de uma sentença escrita na linguagem natural e a mudança de representação desses enunciados para a linguagem matemática, tanto aritmética quanto algébrica.

Vale ressaltar que tal atividade contou com questões simples, nas quais não buscamos ou esperamos a manifestação de um pensamento algébrico avançado ou de uma linguagem algébrica padrão nas respostas dos alunos. O que pretendemos foi verificar se eles alcançavam de forma independente um nível de transição de pensamento aritmético para o algébrico e verificar quais as possíveis dificuldades que poderiam surgir durante o desenvolvimento das demais atividades da pesquisa, de acordo com os principais entraves na iniciação à Álgebra apontados anteriormente.

Tendo em vista todos esses quesitos, a atividade de sondagem foi devidamente elaborada (ver atividade completa no Apêndice C, página 220) e aplicada no quinto horário de aula – 50 minutos – de uma quarta-feira, dia 20 de abril de 2011. Nesta data, a turma contava com 19 alunos regularmente matriculados, mas apenas 16 resolveram a atividade, visto que os alunos A4, A17 e A19 não estavam presentes.

envolviam sequências (principalmente na primeira questão), demonstrando pouca ou nenhuma habilidade na percepção de regularidade e realização de generalizações.

As questões que envolviam a linguagem algébrica também foram fontes de confusões e erros. Apenas quatro alunos mostraram que já haviam tido contato com tal linguagem.

Dessa forma, de acordo com os resultados observados na sondagem inicial, concluímos que a maioria dos alunos tem pouca ou quase nenhuma vivência no estudo de objetos e conceitos algébricos. Mesmo aqueles alunos que mostraram melhor desempenho, apresentaram conhecimento superficial e pouco desenvolvido.

Em vista disso, a partir das leituras e discussões sobre pensamento algébrico e do resultado da sondagem inicial – que nos mostrou que os estudantes em questão não tinham experiências com atividades que possibilitam o desenvolvimento do pensamento algébrico – concluímos que o melhor caminho para iniciarmos nossos alunos no estudo da Álgebra seria a utilização de tarefas que envolvessem sequências e padrões.

Segundo Pimentel (2005, p. 14), ‘o uso de padrões é uma componente poderosa da actividade matemática, uma vez que a sua procura é indispensável para conjecturar e generalizar’. Ainda de acordo com a autora,

A procura e identificação de padrões utilizam e enfatizam a exploração, investigação, conjectura e prova, desafiando os alunos a recorrer às suas destrezas de pensamento e ordem superior: fazem parte da resolução de problemas. Por outro lado, quer os padrões quer a resolução de problemas são atividades que os estudantes acham interessantes e desafiadoras (p. 15).

Nesse sentido, tendo em vista que as tarefas que abordam a exploração de padrões envolvem a análise de casos particulares, a organização de informação de forma sistemática, o estabelecimento de conjecturas e a generalização de resultados, Barbosa, Vale e Palhares (2008) também enfatizam sua contribuição para a destreza dos alunos em processos de resolução de problemas.

Segundo o Principles and Standards for School Mathematics (NCTM, 2000), ‘os padrões constituem a base do pensamento algébrico e a sua exploração envolve os alunos na identificação de relações e no estabelecimento de generalizações, propondo como objectivo para todos os níveis de ensino o conhecimento de padrões, funções e relações (BARBOSA,VALE E PALHARES, 2008, p.3).

De acordo com tais autores, vários matemáticos partilham a ideia de que o aprofundamento na identificação de regularidades e o processo de generalização é parte fundamental no aprendizado da Matemática. E, como citado no capítulo 2 da presente dissertação, considerando que esse processo é um dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993 e PONTE 2005), o estudo de padrões está cada vez mais frequente em abordagens sobre o estudo da Álgebra.

Barbosa, Vale e Palhares (2008), em sua investigação sobre os processos de pensamento envolvidos na generalização de padrões, apresentaram categorias estabelecidas por Stacey (1989) quanto a abordagens utilizadas por alunos com idade entre 9 e 13 anos nesse tipo de tarefa. De acordo com tal autor, as estratégias verificadas foram: contagem, diferença,

whole-object e linear.

Na contagem, os alunos totalizavam o número de elementos de um desenho. A estratégia da diferença envolvia a utilização de um múltiplo da diferença entre termos consecutivos. Os alunos que aplicaram a estratégia whole-object consideravam múltiplos de um dado termo da sequência para determinar elementos de ordem superior, assumindo implicitamente que o problema representaria uma situação de proporcionalidade directa. A estratégia linear envolvia a descoberta de um modelo do tipo an+b (BARBOSA, VALE E PALHARES, 2008, p. 3).

Segundo os autores, um número significativo de alunos utiliza erradamente a estratégia da proporcionalidade direta e frequentemente são notadas inconsistências nos métodos utilizados em tarefas que envolvem generalizações próximas (termos em posições iniciais da sequência) e generalizações distantes (termos em posições avançadas na sequência).

Dessa forma, percebemos a importância de se elaborar uma proposta de ensino que abranja as diversas formas de trabalho com a exploração de padrões e construção de generalizações.

Em vista disso, elaboramos tarefas voltadas para os seguintes propósitos:  descobrir o padrão de uma sequência;

 descrever o padrão oralmente e por escrito;  continuar uma sequência;

 encontrar uma regra que permita descobrir termos em posições específicas avançadas na sequência;

 generalizar a regra encontrada para qualquer termos da sequência;

 escrever a regra encontrada utilizando uma linguagem simbólica específica, se possível, a linguagem algébrica.

Destacamos aqui que consideramos as particularidades de cada estudante e reconhecemos as dificuldades que a maioria apresenta, além de que, como afirma Radford (2011), nem toda atividade de padrão leva, necessariamente, ao pensamento algébrico. O que realmente almejamos é observar como se dá esse desenvolvimento, de forma a criar estratégias para aprimorar nosso trabalho em sala de aula e proporcionar a outros professores e pesquisadores oportunidades de entender um pouco mais sobre educação algébrica.

De acordo com essas considerações, elaboramos e aplicamos a primeira atividade que será detalhada a seguir.