CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS
5.2. Tarefa II: Triângulos com Canudos
De acordo com o descrito no capítulo anterior, página 75 a página 79, tal tarefa contou com o estudo de uma sequência de triângulos equiláteros construídos com canudos, cujos perímetros formam a sequência numérica dos números naturais múltiplos de 3. Portanto, nesse caso, a turma trabalhou com um problema que representa uma situação de proporcionalidade direta, nos termos de Barbosa, Vale e Palhares (2008).
Lembramos que os alunos construíram até o terceiro triângulo da sequência e completaram três sentenças que relacionavam a posição de cada um desses três triângulos na sequência ao número de canudos necessários para construí-los.
Neste capítulo, passaremos direto para a análise das respostas das duplas às questões propostas nas tarefas escritas, cujas primeiras foram:
Percebemos, então, que tais questões abordam apenas generalizações próximas, e que uma possibilidade de resolução seria os alunos recorrerem à recursividade, tomando o número de canudos necessários para construir o terceiro triângulo, o qual eles já sabiam, e ir somando 3. Dessa forma, não estamos tratando, de acordo com Radford (2010a), de um processo algébrico, em que os alunos teriam que lidar com a indeterminação, ainda que de maneira implícita. De modo similar à tarefa anterior, preferimos iniciar o trabalho com os alunos lidando apenas com quantidades conhecidas, assim, trabalhar no campo aritmético, utilizando o processo de contagem ou o raciocínio recursivo (realizando a diferença entre termos consecutivos da sequência), seria o suficiente para responder a tais questões.
De modo geral, os alunos não apresentaram dificuldades e responderam corretamente e com tranquilidade à questão. Abaixo, a tabela com as respostas e justificativas apresentadas pelas duplas.
Grupos Respostas apresentadas na primeira questão Justificativa primeira questão Respostas apresentadas na segunda questão Justificativa segunda questão Dupla 1 Dupla 9
12 canudos “Somando 3 canudos
ao triângulo anterior” 15 canudos canudos ao quarto “Somando 3 triângulo” Dupla 2 12 canudos “que tem uma
sequência de 3 em 3” 15 canudos “Somando mais 3 palitos. Exemplo: 12 + 3 = 15” Dupla 3 12 canudos “Pois está de 3 em 3 a
sequência” 15 canudos “Pois está de 3 em 3” Dupla 5 12 canudos “É só ir aumentando
de 3 em 3” 15 canudos “É só ir somando de 3 em 3” Dupla 6 12 canudos “O primeiro triângulo
necessita de 3 canudos, o 2 triângulo necessita de 9 canudos, já o 3 canudos necessita de 12 canudos porque é só contar de 3 em 3” 15 canudos “Contamos de 3 em 3 até chegar no 5º triângulo” 3) Quantos canudinhos seriam necessários para construir o quarto triângulo dessa sequência?
Expliquem com suas palavras como vocês descobriram isso.
4) E para construir o quinto triângulo dessa sequência, de quantos canudos vocês precisariam? Como vocês descobriram?
Grupos Respostas apresentadas na primeira questão
Justificativa primeira
questão apresentadas na Respostas segunda questão
Justificativa segunda questão Dupla 8 12 canudos “Observamos que os
triângulos aumentam o canudo de 3 em 3”
15 canudos “Aumentamos de 3 em 3” Dupla 7 12 canudos “Nós descobrimos
porque é os múltiplos de 3”
15 canudos “É só somar mais 3”
Dupla 4 18 canudos “Descobrimos contando 9 + 9
canudos”
27 canudos “Nós descobrimos somando 18 + 9” Tabela 12: Respostas e justificativas dos grupos para primeira e segunda questões da tarefa 2.
Como podemos perceber, com exceção da dupla 4, os grupos perceberam corretamente que o número de canudos necessários para construir cada triângulo da sequência vai aumentando de 3 em 3 de uma posição para outra, estratégia mais comum a ser adotada pelos alunos nesse tipo de questão, conforme destacado por Barbosa, Vale e Palhares (2008). A partir das justificativas apresentadas pelas duplas 1, 9 e 2, notamos o uso da recursividade. As duplas 3, 5, 6 e 8 mostraram ter apreendido a gênese da sequência, argumentando no sentido de que contam de 3 em 3. Em ambos os casos – duplas 1, 9 e 2 e duplas 3, 5, 6 e 8 – percebemos, de acordo com o proposto por Radford (2010a) e com nossas expectativas, a manifestação apenas do pensamento aritmético, não estando presente o cuidado com a indeterminação e a elaboração de uma regra mais sofisticada para o cálculo do número de canudos para construir triângulos em posições avançadas na sequência. Na verdade, em tais questões ainda não era necessário que os alunos manifestassem esse tipo de preocupação.
Quanto à justificativa apresentada pela dupla 7, principalmente na primeira questão, o argumento utilizado pelo grupo, de que o número de canudos necessários para construir os triângulos da sequência é sempre múltiplo de 3, mostra indícios da formação de uma possível regra para o cálculo do número de canudos necessários para construir triângulos em quaisquer posições na sequência. Dessa forma, consideramos a presença de uma
generalização algébrica factual, visto que os alunos realizaram uma generalização, mas não tiveram que lidar com a indeterminação. Possivelmente utilizaram essa descoberta para encontrar as repostas dos números 1 e 2, como aponta a justificativa exposta na questão 2 – os alunos argumentaram que “é só somar mais 3” –, em que eles utilizaram a recursividade. Mas,
ainda assim, o fato de eles terem percebido que o número de canudos é sempre múltiplo de 3 permite-lhes a formação de uma regra válida para o cálculo do número de canudos, sabendo-se a posição do triângulo na sequência.
A dupla 4 considerou que para formar um novo triângulo em determinada posição da sequência são necessários 9 canudos a mais do que a quantidade necessária para formar o triângulo ocupante da posição anterior ao triângulo em questão. Dessa forma, consideramos que tal dupla não apreendeu a gênese da sequência, visto que apresentou resposta incorreta.
Na terceira questão, os alunos deveriam responder sobre a quantidade de canudos para construir triângulos situados em posições mais avançadas na sequência, conforme o enunciado abaixo.
Nesse caso, os alunos trabalharam com problemas de generalizações distantes, desejávamos que eles fossem além do pensamento aritmético, conforme desenvolvido nas questões 1 e 2 pelas duplas 1, 2 , 3, 5, 6 e 8, a fim de encontrar uma estratégia que facilitasse o cálculo do número de canudos necessários para construir os triângulos da vigésima e centésima posições. Em outros termos, a descoberta da regularidade existente na sequência numérica relacionada ao número de canudos necessários para construir cada triângulo – “vai de 3 em 3” – não seria, por si só, interessante para responder tais questões. Esperávamos que os grupos utilizassem essa descoberta para ir ao encontro de uma generalização algébrica
factual, em que a indeterminação estaria presente nessas instâncias – 20ª e 100ª posições – da sequência e ainda não seria objeto explícito no discurso.
Seguindo nossas expectativas, encontramos as respostas das duplas 4, 5 e 8: Grupos Número de canudos
necessários para construir o 20º triângulo da sequência
Número de canudos necessários para construir o 100º triângulo da sequência
Justificativa
4 60 canudos 300 canudos “Nós descobrimos
isso fazendo a conta de 20 x 3 e 100 x 3”
5 60 canudos 300 canudos “3 x 100 3 x 20”
8 60 300 “Fizemos 3 x 20 e 3 x
100” Tabela 13: Respostas das duplas 4, 5 e 8 para a questão 3 da segunda tarefa.
2) E seu eu lhes pedisse para construir o 20º triângulo dessa sequência, de quantos canudos vocês precisariam? E o 100º?
Tais duplas partiram da generalização aritmética, apresentada nas questões 1 e 2, para uma generalização algébrica factual. Percebemos, nesse caso, a criação de uma regra para o cálculo do número de canudos necessários para construir um triângulo, sabendo-se a posição desse triângulo na sequência. Ou seja, não houve menção a um objeto indeterminado, de forma que, assim como proposto por Radford (2010a), este esteve presente apenas em posições conhecidas dos triângulos.
Destacamos que a dupla 4, devido à dificuldade apresentada por seus integrantes, contou com o auxílio da professora/pesquisadora para a percepção da regularidade correta envolvida na sequência, visto que, na questão anterior, tal dupla havia entendido que a sequência numérica relacionada ao número de canudos aumentava de 9 em 9 –, conforme tabela 12.
Continuando na análise das respostas dos demais grupos, destacamos as respostas das duplas 6 e 7, organizadas na tabela abaixo:
Grupos Número de canudos necessários para construir
o 20º triângulo da sequência
Número de canudos necessários para construir
o 100º triângulo da sequência
Justificativa
Dupla 6 60 canudos 300 canudos “Multiplicando o
número que quero saber por 3”
Dupla 7 60 300 “É só multiplicar a
posição do triângulo por 3” Tabela 14: Respostas das duplas 6 e 7 para a questão 3 da segunda tarefa.
A partir de tais respostas e justificativas, percebemos a formação de uma regra correta para o cálculo do número de canudos necessários para construir triângulos na sequência trabalhada. Porém, diferentemente das outras duplas , que encontraram a regra para triângulos em posições específicas na sequência, neste caso, a partir das justificativas apresentadas, inferimos que, além de criar a regra e aplicá-la em posições conhecidas da sequência, os alunos conseguiram tratar a indeterminação como objeto explícito do discurso, antes mesmo que isso fosse um dos quesitos da questão. No caso da dupla 6, a indeterminação foi abordada com o auxílio do termo “o número que quero saber” e, no caso da dupla 7, através do termo “a posição do triângulo”.
Em vista disso, consideramos a realização de uma generalização algébrica
contextual, em que a indeterminação e analiticidade estão ligadas a partir da criação de termos relacionados ao contexto da sequência, da tarefa e do processo vivido pelos alunos. Desse modo, na justificativa apresentada pela dupla 6, a expressão “que quero saber” está relacionada à posição do triângulo na sequência trabalhada e à forma de lidar com cada pergunta proposta pela tarefa, visto que, no desenvolvimento do trabalho, eles buscavam o que estava sendo perguntado em cada questão. Já na justificativa da dupla 7, obviamente “a posição do triângulo” é algo especificamente ligado à sequência abordada.
Partimos, agora, para a análise das respostas apresentadas pelas duplas 1, 2 e 3, apresentadas na tabela abaixo:
Grupos Número de canudos necessários para construir
o 20º triângulo da sequência
Número de canudos necessários para construir
o 100º triângulo da sequência
Justificativa
Dupla1 60 canudos 300 canudos “Multiplicando os
canudos” Dupla 2 60 canudos 100 canudinhos “Somando de 3 em 3” Dupla 3 20 x 3 = 60 100 x 3 = 300 “Eu multipliquei a
sequência pela ordem” Tabela 15: Respostas das duplas 1, 2 e 3 para a questão 3 da segunda tarefa.
As respostas da dupla 2 indicam que as alunas A15 e A16 permaneceram no campo aritmético. A partir de sua justificativa – somando de 3 em 3 –, consideramos a possibilidade de elas terem encontrado a resposta correta no caso do 20º triângulo. Porém, no cálculo do número de canudos necessários para construir o 100º triângulo, o método adotado não era prático e as alunas acabaram por apresentar a resposta incorreta.
Quanto às duplas 1 e 3, acreditamos que houve a criação da regra para o cálculo do número de canudos necessários para construir triângulos, sabendo-se sua posição, visto que tais grupos apresentaram respostas corretas. Contudo, inferimos que houve dificuldade no momento em que foi pedido que tal regra fosse explicada. A dupla 1 argumentou ter encontrado a resposta “multiplicando os canudos”, não nos permitindo uma análise precisa. Já a resposta apresentada pela dupla 3 – “eu multipliquei a sequência pela ordem” – revela a dificuldade de adotar coerentemente os termos para explicar o raciocínio adotado.
duplas 1 e 3 – ambos os grupos tentaram explicar a regra encontrada para calcular o número de canudos necessários para construir um triângulo em uma posição específica –, percebemos a dificuldade de expressar sua descoberta e explicar as operações feitas para responderem corretamente a questão. Apesar disso, concordamos que tais duplas podem ter desenvolvido uma generalização algébrica factual, em que a indeterminação esteve presente através de instâncias da variável independente, como mencionado, as posições dos triângulos na sequência – a 20ª e a 100ª.
A indeterminação e a analiticidade, nesse caso, estão relacionadas a partir dos cálculos realizados pelos grupos, a fim de descobrir o número de canudos que são necessários para construir triângulos em posições pré-determinadas na sequência.
Continuando nossa análise, passamos à última questão da tarefa, cujo enunciado segue abaixo:
No caso de tal questão, os alunos teriam que lidar com o objeto indeterminado de maneira explícita, visto que eles teriam que apresentar uma regra para o cálculo do número de canudos necessários para construir um triângulo em uma posição qualquer da sequência. Em vista disso, de acordo com o proposto por Radford (2010a) e com a evolução das duplas na atividade, apontaremos detalhadamente algumas hipóteses de resolução adiante.
Esperávamos que os grupos que haviam desenvolvido uma generalização
algébrica contextual na questão anterior – duplas 6 e 7 – mantivessem a mesma natureza de argumentação, inclusive mantendo-a em linguagem corrente, visto que a linguagem algébrica padrão ainda não havia sido explorada e era, de modo geral, desconhecida para a turma. Destacamos também que, até então, a criação da linguagem simbólica pelos estudantes ainda não estava sendo trabalhada.
As respostas de tais duplas (6 e 7) corresponderam às nossas expectativas. Ambas assinalaram o “sim” da questão e mantiveram o argumento comentado na questão anterior:
1) E se eu lhes pedisse para construir o triângulo situado em uma posição ainda mais avançada nessa sequência, existiria uma maneira de você descobrir a quantidade de canudinhos necessários para construí-lo? ( ) sim ( ) não
Imagem 15: Resposta da dupla 6 à questão 4 da tarefa II escrita.
Imagem 16: Resposta da dupla 7 à questão 4 da tarefa II escrita.
Ressaltamos mais uma vez que a indeterminação esteve presente nas respostas de ambas as duplas. No caso da dupla 6, ela foi mencionada com o auxílio do termo “o número que quero saber” e, quanto à dupla 7, a expressão utilizada foi “a posição do quadrado”.
Quanto às duplas 4, 5 e 8, esperávamos que elas partissem da resolução apresentada na questão anterior, para a criação de uma estratégia que as auxiliasse na resposta da questão 4. Em outras palavras, confiamos que elas passariam de uma generalização
algébrica factual, desenvolvida na questão 3, para uma generalização algébrica contextual, na questão 4, em que elas teriam que recorrer à criação de algum termo ou expressão para nomear o objeto indeterminado e explicar a regra encontrada.
Porém, nenhum dos grupos desenvolveu uma generalização algébrica contextual, conforme desejamos.
A dupla 4 apresentou a seguinte argumentação:
Imagem 17: Resposta da dupla 4 à questão 4 da tarefa II escrita.
relacionada a uma generalização aritmética, visto que essa estratégia de “ir contanto nos dedos” não se figura, de acordo com o proposto por Radford (2010a), como um processo algébrico.
A dupla 8 permaneceu com a argumentação característica da generalização
algébrica factual, visto que os alunos de tal dupla recorreram ao exemplo de uma posição específica – 400ª – de um triângulo na sequência para expressar a regra encontrada. Segue abaixo a resposta dos alunos:
Imagem 18: Resposta da dupla 8 à questão 4 da tarefa II escrita.
Ainda que, a partir do enunciado, nossa intenção tenha sido fazer com que os alunos lidassem com a indeterminação de maneira explícita, tal dupla continuou tratando-a implicitamente, através de instâncias da variável independente (posição dos triângulos na sequência).
Não restam dúvidas quanto ao fato de que tais duplas (4 e 8) realmente encontraram uma regra correta para o cálculo do número de canudos necessários para construir os triângulos, sabendo-se as posições destes na sequência. Mas é interessante destacar a dificuldade dos alunos em expressar essa regra de maneira abstrata, sem fazer menção a uma posição específica do triângulo. Os alunos de tais duplas não conseguiram expressar sua descoberta de modo mais geral, nomeando a indeterminação com auxílio de termos ou expressões que surgem no contexto do desenvolvimento da tarefa (termos dêiticos). De acordo com Radford (2010a), um dos motivos dessa dificuldade pode estar relacionado ao fato de que ainda não havia, no vocabulário dos estudantes, palavras ou termos para nomear algo desconhecido e variável. Então, tornou-se mais simples atribuir um valor que eles sabiam que existia na sequência – no caso da dupla 8, a 400ª posição – para explicar a regra descoberta e mostrar que ela é válida inclusive para posições avançadas na sequência, conforme sugerido pela questão. Ou ainda, no caso da dupla 4, argumentar que basta contar
nos dedos para encontrar a resposta desejada.
A resposta da dupla 1 foi idêntica àquela apresentada na questão 3. Segue abaixo:
Imagem 19: Resposta da dupla 1 à questão 4 da tarefa II escrita.
Em vista disso, destacamos novamente que tal dupla encontrou a regra para o cálculo do número de canudos, sabendo-se a posição do triângulo na sequência. Porém os alunos A4 e A12, integrantes de tal grupo, provavelmente tiveram dificuldade de explicar qual foi a regra encontrada por eles. Por essa razão, consideramos que eles podem ter desenvolvido uma generalização algébrica factual, conseguindo encontrar o número de canudos necessários para construção de um triângulo em qualquer posição conhecida na sequência, mas não utilizaram suas descobertas para ir além e desenvolver uma generalização factual.
A dupla 2 continuou com a mesma argumentação apresentada nas questões anteriores. Abaixo, a resposta apresentada por tal dupla:
Imagem 20: Resposta da dupla 2 à questão 4 da tarefa II escrita.
Dessa forma, de acordo com Radford (2010a), tal dupla permaneceu no campo aritmético.
As duplas 3 e 9 assinalaram o “não” e deixaram o restante da questão sem resposta. Pelo desenvolvimento da dupla 3 nas demais questões – desenvolveu uma
generalização algébrica factual –, acreditamos que sua dificuldade em passar para um nível de objetificação mais profundo e responder a última questão pode estar relacionada, como indica sua resposta na questão 3, à falta de organização do raciocínio e de argumentação para
explicar a regra encontrada.
Quanto à dupla 9, o desenvolvimento nas demais questões indicam que as alunas A1 e A3 permaneceram no campo aritmético.
Em vista da análise feita, acreditamos que esse trabalho com a sequência de triângulos, comparado à primeira tarefa desenvolvida, apresentou considerável avanço dos alunos no entendimento de nossa proposta de trabalho. Verificamos que as duplas desenvolveram-se praticamente sem nossa intervenção e muitas delas mostraram-se familiarizadas com as questões e sem tantas objeções, como havia ocorrido na tarefa anterior.
Um dos pontos que pode ter facilitado o trabalho dos alunos foi o tipo de sequência abordada. Diferentemente da tarefa anterior, em que a turma trabalhou com uma sequência que exigia uma estratégia de generalização linear (an + b), a presente tarefa envolveu apenas uma proporcionalidade direta, em que todos os termos eram múltiplos de 3.
Portanto, talvez devêssemos ter invertido a ordem de abordagem das tarefas, iniciando o trabalho com a sequência de triângulos com canudos, para, em seguida, apresentar a sequência de quadrados.
Conforme destacado no capítulo anterior, outro ponto negativo foi que a estrutura da apostila entregue às duplas pode ter limitado o modo como eles manifestaram e explicaram suas respostas. Acreditamos que tal fato pode ter nos privado de obter maior acesso às formas de pensamento e raciocínio dos estudantes.
5.3. Tarefa III: Cubos enfileirados
Conforme destacado no capítulo anterior da página 80 à página 89, tal atividade contou com a exploração da sequência formada pelo número de faces expostas nos cubos enfileirados sobre uma mesa em um dos cantos da sala.
Novamente os alunos deveriam trabalhar com a estratégia de generalização de padrões do tipo linear, conforme Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008), que envolve a descoberta de um modelo do tipo an + b.
Nossa intenção era que a turma partisse, inicialmente, de uma generalização aritmética, por meio da qual eles iriam contando o número de faces expostas e perceberiam uma regularidade para uma generalização algébrica – factual ou contextual –, o que permitiria o cálculo do número de faces expostas de acordo com o número de cubos enfileirados.
As generalizações algébricas factual e contextual envolvem algumas características que as definem, conforme detalhamos anteriormente. Mas, de forma breve, a
generalização algébrica factual ocorreria nos casos em que os alunos conseguissem perceber uma regularidade e elaborar uma regra para o cálculo do número de faces em função do número de cubos enfileirados. Porém, tal regra seria expressa somente nos casos em que o número de cubos fosse conhecido. Nesse sentido, ao terem que lidar com um objeto indeterminado – no caso, um número qualquer de cubos –, os estudantes possivelmente apresentariam dificuldades para explicar a fórmula encontrada.
A generalização algébrica contextual, de modo geral, ocorreria quando, além de perceber uma regularidade e elaborar uma regra para o cálculo do número de faces em função do número de cubos enfileirados, os alunos conseguissem expressar tal regra, fazendo menção ao objeto indeterminado com o auxílio de termos ou expressões criados por eles no decorrer da realização da tarefa (termos dêiticos).
Dessa forma, em busca de uma generalização algébrica, tentamos sugerir que em cada um dos cubos enfileirados podemos sempre observar duas faces expostas (uma voltada para cima e a outra voltada para frente), com exceção do último cubo, em que temos uma face exposta a mais. Nesse sentido, a disposição das faces nos cubos enfileirados sugeria