Tarefa IV: Lembretes

No dia 28 de junho, terça-feira, chegamos à classe no quinto horário (último horário da manhã) para iniciar o trabalho e os alunos estavam extremamente agitados. Ao perceberem que tínhamos uma câmera e que eles seriam filmados, ficaram animados48.

A tarefa em questão envolvia a organização de um painel com lembretes confeccionados pelos alunos, seguindo um padrão.

Figura 8: Exemplo de 3 lembretes no painel. Fonte: Barbosa,Vale e Palhares (2008).

O principal objetivo dessa tarefa era que os alunos percebessem uma regularidade na quantidade de ímãs necessários para afixar um número dado de lembretes – seguindo a disposição mostrada na figura 8, encontrassem uma regra geral que relacionasse essas duas grandezas – o número de ímãs e a quantidade de bilhetes afixados –, e, por fim, observar de que forma eles expressariam essa regra geral encontrada.

Dessa forma, a escolha de tal sequência49, assim como na tarefa anterior, esteve

48 _{Os alunos A1 e A19, mais uma vez, estavam ausentes.}

49 _{A ideia do trabalho com tal sequência veio da leitura de um trabalho de Barbosa, Vale e Palhares (2008), os}

vinculada ao fato de que a disposição espacial de seus elementos constitui importante instrumento a ser considerado e o modo como vai sendo obtido cada termo, acrescentando-se os lembretes um a um, que envolve um processo interessante para a percepção de uma regularidade.

Além disso, consideramos a possibilidade de os alunos trabalharem, mais uma vez, com material manipulável, simulando a confecção de seus próprios painéis com lembretes, como veremos adiante.

Ao iniciar a tarefa, comentei com a turma que eu gostaria que cada aluno confeccionasse seus lembretes e tivesse seu próprio painel de metal para afixá-los. Porém, como não tinha sido possível disponibilizar um painel para cada aluno, usaríamos folhas de papel A4 e colas em alto relevo coloridas. Dessa forma, cada folha de papel A4 representaria um painel e os pingos de cola coloridas, formando pontos sobre os lembretes, representariam os ímãs.

Em seguida, mostrando a eles uma folha com um lembrete afixado, como mostra a figura 9, comentei:

P: O meu primeiro lembrete, olha só... Meu lembrete de terça-feira, eu coloquei que eu queria fazer o

que? A atividade do 6º dos lembretes com vocês! Esse era o meu primeiro lembrete.

Figura 9: Exemplo de um lembrete afixado no painel.

escolas diferentes em Portugal. Tal trabalho teve como foco principal investigar as estratégias dos alunos em resolução de problemas que envolvem a descoberta de padrões, bem como as principais dificuldades e erros que emergem desse processo.

Os alunos prestavam atenção e alguns deram risada. Em seguida, eu perguntei a eles quantos pingos de cola (ímãs) haviam sido necessários para afixar esse primeiro lembrete. Os alunos A7 e A12 rapidamente apresentaram a resposta correta e, antes que eu terminasse de perguntar o número de ímãs que seriam necessários para afixar o segundo lembrete, os alunos A10 e A11 deram seus palpites:

A10: 8! A11: 8!

Em seguida, mostramos outra folha, com dois lembretes afixados:

P: ... olha só, vamos pensar? Primeiro lembrete: terça-feira atividade do 6º ano com lembretes... A12: 5!

P: Quarta-feira, eu lembrei que eu tinha dentista...

O aluno A12, olhando para a folha em minha mão, disse em tom moderado, enquanto eu explicava:

A12: Ah não, são 6!

P: ... pensei: vou colocar outro lembrete que eu tenho dentista amanhã às 2 horas da tarde também.

A17: São 7.

A14: São 7, tá certo

Os alunos A17 e A14 proferiram tais falas entre eles em tom baixo. Eu prossigo: P: De quantos pinguinhos de cola eu precisaria?

A7: 6!

A10 e A14: 7!

P: 1, 2, 3... 4, 5, 6... 7!

Em seguida, esclareço por que não são 8 pontinhos:

P: Eu não preciso colar a pontinha aqui de baixo... (apontando para a ponta do primeiro lembrete que fica escondida de baixo do segundo) ... do rosa... (o primeiro lembrete do exemplo era feito com papel cor de rosa)... concordam? Basta eu colar o amarelinho (o segundo lembrete era feito com papel amarelo) aqui (apontando para a ponta do segundo lembrete que está sobre a ponta do primeiro

lembrete), né? Então pra cada lembretizinho, eu coloco 3 pinguinhos de cola e como eu não quero

essa pontinha final aqui solta (mostrando a ponta que está indicada com o número 7 na figura 24), eu

ponho um pinguinho de cola aqui também! Então, pra 2 lembretes eu gastei 7 pinguinhos de cola.

Enquanto eu explicava, os alunos estavam em silêncio e prestavam atenção. Então, continuei com a exposição:

P: E se eu quisesse acrescentar mais um lembrete? A7: Você...você...

P: Coloquei mais 1! Quinta-feira: aniversário da minha mãe.

Antes que eu mostrasse o exemplo com 3 lembretes, que já estava em minha mão, os alunos começaram a falar a quantidade de pontinhos de cola – ou ímãs – que seriam necessários para afixar tais lembretes.

A10: 10! A14: 10! 10! A6: 10!

Em seguida, pedi aos alunos que explicassem o porquê de suas respostas e encerrei a discussão dizendo que eles iriam fazer um ‘painel’ com 4 lembretes afixados. Preferi não continuar a explanação e não comentar sobre a regularidade envolvida nessa sequência, a fim de que os próprios estudantes chegassem às conclusões desejadas. Dessa forma, entreguei a cada um uma folha de papel A4 colorida – os alunos escolheram entre a cor amarela, azul, branca ou cor-de-rosa –, 4 pedaços de papel, também coloridos, cortados na forma de retângulo para escreverem os lembretes, e tubos de colas coloridas para fazerem os pontinhos simulando os ímãs em cada um dos lembretes.

Todos adoraram a ideia de confeccionar seus próprios lembretes e ficaram muito empolgados. Entretanto, inicialmente, eles não sabiam o que escrever. Eu disse a eles para escreverem qualquer coisa que quisessem se lembrar nos próximos dias e expliquei que era importante que pensassem na relação entre o número de pinguinhos de cola e a quantidade de lembretes que seria afixada, para que, no dia seguinte, eles pudessem responder à atividade escrita.

estética dos ‘murais’. Eles quiseram produzir trabalhos bonitos e enfeitados, o que acabou por prejudicar uma das principais características da sequência de lembretes afixados, a disposição destes e dos ímãs – pinguinhos de cola – no ‘mural’. Como exemplo, cito os trabalhos do aluno A10, que colocou vários pinguinhos de cola em volta de cada lembrete, e da aluna A2, que contornou os lembretes com um risco de cola, deixando os pontinhos pouco definidos.

Imagem 9: Sequência de lembretes da aluna A2.

Conversei com ambos sobre essa questão. O aluno A10 argumentou que os pontinhos que representavam os ímãs eram os vermelhos e os demais eram verdes. A aluna A2 comentou que, mesmo sem os pontinhos definidos, ela sabia onde eles estavam e me mostrou, corretamente, contando e apontando para o seu trabalho os pontos em que os ímãs deveriam estar em cada um dos lembretes. Vale destacar que no trabalho de tal aluna, no canto esquerdo – onde na imagem 9 está indicado com a seta –, ela escreveu: “4 lembretes → 13 pontinhos”.

Apesar de tais imprevistos, os alunos, agitados, finalizaram o trabalho. Apenas a aluna A3 não conseguiu terminar a tempo. Então deixei que ela levasse os materiais para terminar em casa, para que no dia seguinte todos pudessem cumprir a tarefa escrita.

Dessa forma, no dia 29, quarta-feira, encontrei-me com a turma novamente no 5º horário da manhã50 e recordei com os alunos sobre o trabalho desenvolvido no dia anterior. Comentei sobre o número de ímãs necessários para afixar um, dois e três lembretes. De modo geral, todos participaram da discussão.

Em seguida, perguntei-lhes se haviam descoberto um padrão e uma regra para calcular o número de ímãs necessários para afixar qualquer quantidade de lembretes. O aluno

A2 comentou que já sabia e que “vai de 3 em 3”. As alunas A6 e A15 comentaram que também já haviam descoberto uma regra. Neste momento, preferi não prosseguir a discussão, a fim de que eles registrassem as regras encontradas sem minha interferência. Dessa forma, pedi que eles se reunissem em duplas (Apêndice B, página 219) para que eu pudesse distribuir as questões para serem respondidas. Como o aluno A19, que havia faltado no dia anterior, estava presente, pedi a ele que realizasse o trabalho com dois colegas.

Depois de organizados, os grupos receberam a atividade escrita (Apêndice N, página 240) que contou com apenas duas questões. Optamos, novamente, por adotar um número menor de itens, visto que as atividades muito extensas aplicadas anteriormente foram consideradas exaustivas pelos alunos. Portanto, preferimos explorar mais as discussões coletivas e deixar para os registros escritos apenas o que consideramos essencial para nossa pesquisa.

Nesse sentido, entendemos que seria interessante investigar se os alunos haviam encontrado uma regra para calcular o número de ímãs necessários para uma quantidade qualquer de lembretes e de que forma eles expressariam essa regra – caso tivessem-na encontrado – usando apenas a linguagem simbólica.

Portanto, as questões propostas foram as seguintes:

Questão 1) Seguindo a mesma lógica observada em nossa discussão, escrevam, da forma que vocês preferirem, como podemos calcular o número de ímãs necessários para afixar um número qualquer de lembretes no mural.

Questão 2) Se fosse pedido a vocês para representar a descoberta do item anterior utilizando apenas linguagem simbólica (símbolos e operações matemáticas), de que modo vocês o fariam?

Como os alunos já haviam realizado as outras atividades do projeto, as questões não geraram dúvidas, nem estranheza. Porém, a dupla 6 não realizou a atividade, visto que seus integrantes brigaram em sala e pedi a eles que se retirassem para conversar com a coordenadora do Ensino Fundamental do colégio.

Na primeira questão, gostaríamos de verificar se os grupos haviam conseguido construir uma possível regra/fórmula para o cálculo do número de ímãs em função da quantidade de lembretes afixados no painel, e que regra ou fórmula seria.

A segunda questão foi elaborada com o intuito de averiguar de que forma aqueles grupos que construíram uma regra na primeira questão iriam expressá-la, utilizando apenas a linguagem simbólica.

As respostas apresentadas pelos grupos estão organizadas e detalhadas no capítulo seguinte.

Considerando que os alunos trabalharam com maior autonomia, acreditamos que os resultados apresentados foram bons e nos permitiram concluir que houve considerável evolução dos alunos no que diz respeito à percepção da regularidade e formação de regras ou fórmulas para cálculos de termos em posições avançadas na sequência trabalhada.