CAPÍTULO 5: ANÁLISE DE DADOS
5.1. Tarefa I: Descobrindo o segredo dos quadrados de
Conforme detalhado no capítulo anterior, página 68 a página 79, tal tarefa contou com a exploração de uma sequência de quadrados construídos com palitos de fósforos, exemplificada na figura abaixo:
Figura 19: Parte da sequência trabalhada na tarefa I.
Nessa sequência, a turma trabalhou com um tipo de padrão que gera um modelo matemático do tipo an + b, categorizado por Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008) como uma estratégia de generalização de padrão linear.
Os alunos trabalharam em duas etapas: primeiro responderam à tarefa escrita (Apêndice D) e, em seguida, organizaram transparências (Apêndices E a K, páginas 228 e 236, respectivamente) para apresentação de suas descobertas relativas à sequência trabalhada para toda a turma.
Barbosa, Vale e Palhares, foram propostos apenas problemas de generalização próxima, nossa expectativa era de que os alunos trabalhassem em um grau elementar de generalização, no qual a indeterminação ainda não seria abordada. De acordo com os níveis de generalidade propostos por Radford (2011), tais tarefas consistiram apenas em encontrar o número de palitos necessários para quantidades conhecidas de quadrados, não sendo demandada a criação de uma estratégia mais ‘sofisticada’ de resolução.
Em vista disso, o trabalho girou em torno de se apreender um traço comum nos termos dados da sequência, de forma que os alunos percebessem uma regularidade e fossem capazes de entender que essa regularidade era extensiva a qualquer termo da sequência. Portanto, de acordo com o proposto por Radford (2010a), nessas questões, tratamos apenas de um processo de generalização aritmética, visto que era suficiente utilizar o processo de
contagem ou um pensamento recursivo, em que um termo poderia ser obtido a partir do termo anterior a ele, realizando-se a diferença entre elementos consecutivos da sequência.
Dessa forma, as respostas sugeriram que eles compreenderam a gênese da sequência em questão, visto que, do item “a” ao item “d” da Tarefa 3, os alunos apresentaram respostas corretas, com exceção do trio 3 que, no item “c”, respondeu que precisaria de 4 palitos para construir mais um quadrado e justificou com a seguinte frase: ‘Nós descobrimos isso contando os palitinhos’.
Na Tarefa 4, na qual os alunos deveriam encontrar o número de palitos necessários para construir 5 quadradinhos e justificar sua resposta, todos os grupos55 responderam corretamente o item “a”. As justificativas apresentadas estão organizadas na tabela abaixo:
Grupos Justificativas apresentadas no item ‘b’ da Tarefa 4 Trio 3
Dupla 1 “Contando” Trio 2
Dupla 4 Dupla 2
“Observando a figura anterior e somando 3” (tais grupos tomaram como referência a figura com 4 quadrados desenhada por eles anteriormente) Dupla 3
“É só colocar mais 6 palitinhos em forma de ou isso ”
Trio 1 “Nós contamos quanto gasta para fazer 1” Tabela 6: Respostas dos grupos para o item “b” da Tarefa 4.
A partir dos dados da tabela, podemos deduzir que o trio 3 e a dupla 1 talvez ainda não tivessem percebido a regularidade envolvida, visto que justificaram que seria necessário contar os palitinhos. Os demais grupos perceberam que para a construção de cada quadrado da sequência, com exceção do primeiro, seriam necessários três palitos. Dessa forma, o que os alunos de tais grupos realizaram, de acordo com Radford (2010a), foi uma generalização aritmética, visto que eles foram somando de 3 em 3 para encontrar o resultado desejado.
De acordo com Barbosa, Vale e Palhares (2008), nesse tipo de questão, em que foi solicitada apenas uma generalização próxima, é comum que os alunos utilizem o processo de
contagem e o raciocínio recursivo, realizando a diferença entre termos consecutivos da sequência, como feito pela maioria dos grupos que percebeu que a sequência “vai de 3 em 3”.
É interessante notar que a dupla 3, apesar de responder corretamente o item ‘a’, apresentou a justificativa como se tivesse que acrescentar 6 palitos na figura com 4 quadrados. Porém, acreditamos que a argumentação de tal dupla é coerente com o fato de que, para se obter 5 quadrados, temos duas opções: podemos acrescentar 3 palitos à direita do último quadrado construído ou à esquerda do primeiro. Em sua transparência (Apêndice G, página 230), a dupla utiliza o mesmo argumento.
A apresentação da transparência da dupla 4, no terceiro dia de trabalho, confirmou que as alunas de fato apreenderam a regularidade da sequência. A aluna A15 inicia explicando a gênese da sequência:
A15: A gente percebeu, assim, que pra fazer 1 quadrado precisa de 4 palitos... pra ir pro segundo...
dois em diante, é... soma 3 palitos..
Em sua transparência, a dupla explica através da linguagem corrente e a partir de um esquema a regularidade percebida:
Imagem 11: Esquema apresentado na transparência da dupla 4 para representar a gênese da sequência. Percebemos aqui que as alunas recorreram aos meios semióticos de objetificação, mais especificamente ao recurso do desenho, para mostrar de que forma elas perceberam a sequência e observaram a formação de seus termos, de modo a encontrar uma regularidade e chegar a uma generalização, neste caso, aritmética.
Seguindo na tarefa escrita, no item “c”, foi solicitado que os alunos completassem uma tabela (apêndice D, página 224), em que relacionávamos o número de quadrados ao número de palitos necessários para construí-los. A partir da filmagem, percebemos o aluno A12 contando de três em três “nos dedos”, enquanto a aluna A5, que era sua dupla, registrava os resultados. Assim concordamos que o estudante recorreu aos meios semióticos de
objetificação, indicando que tal dupla havia compreendido a regularidade da sequência e desenvolvido também uma generalização aritmética.
O trio 3 envolveu-se pouco e não desenvolveu a atividade com seriedade. Em vista disso, tal grupo despertou em nós algumas dúvidas quanto a sua compreensão da gênese da sequência. Porém, no terceiro dia em que trabalhamos a tarefa, durante as apresentações das transparências, a primeira fala do aluno A4 eliminou nossas suspeitas, conforme o trecho abaixo:
A4: É... bem... aqui a gente pode concluir do sistema de palitos, que nós necessitamos de 4 palitos
Embora tal pronunciamento evidencie que pelo menos o aluno A4, componente do grupo, percebeu a regularidade envolvida na formação da sequência, o trio não conseguiu aproveitá-la para elaborar uma regra ou fórmula que os auxiliasse no cálculo do número de palitos em função do número de quadradinhos, como indica a continuação da fala do aluno A4 e um pequeno trecho de nosso diálogo:
A4: Então, por exemplo, pra gente fazer 5 quadradinhos é necessário 16 palitos. A gente descobre
esse valor de palitos através da contagem dos palitos.
P56: Então, vocês descobriram que para fazer 5 quadrados são necessários 16 palitos... Vocês fizeram
como? Fazendo a figura e contando?
O aluno A4 balança a cabeça em sinal afirmativo. P: Foi?
A4: Foi. Ou então a gente pode usar o sistema de soma tripla, que é só ir adicionando 3 que fica mais
fácil.
A primeira e a última fala do aluno A4 apontam pelo menos duas possibilidades para o cálculo do número de palitos em função do número de quadrados dados: construindo a figura e contando os palitos um a um – nas palavras do aluno, “através da contagem dos palitos” – ou contando o número de palitos de 3 em 3, processo denominado por A4 de sistema de soma tripla. Ambas as soluções apresentadas são resultados de generalizações aritméticas, de acordo com Radford (2010a), indicando que, até então, tal grupo não estava trabalhando em um campo algébrico.
Continuando a análise da tarefa escrita, nos itens “d” e “e”, as duplas 1 e 3 e o trios 2 e 3 recorreram a valores anteriores de números de quadrados para encontrar suas respostas. A tabela abaixo apresenta suas respostas com as respectivas justificativas:
Grupos Número de palitos necessários para construir 10 quadrados Justificativa
apresentada Número de palitos necessários para construir 15 quadrados Justificativa apresentada Dupla 1 41 “Fazendo a
sequência” 56 “Fazendo a sequência” Dupla 3 31 “Se 7 quadrados são
22 palitos 10 seriam 31, porque 8 é 25, 9 é 28 e 10 é 31. Vai aumentando de 3 em 3” 46 “Aumentando de 3 em 3 para chegar a 46”
Trio 2 31 “Adicionando mais
treis” 46 “Adisionando mais treis”
Trio 3 31 “Contando” 47 Não apresentaram
justificativa Tabela 7: Respostas das duplas 1 e 3 e dos trios 2 e 3 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Concluímos assim que tais grupos perceberam a regularidade envolvida na sequência, mas tiveram dificuldade em encontrar uma estratégia que facilitasse o cálculo do número de palitos em função do número de quadrados. Sendo assim, no caso de tais resoluções, não percebemos nem mesmo uma generalização algébrica factual (RADFORD, 2011), visto que não houve a criação de uma regra em que a indeterminação fosse tratada de maneira implícita ou estivesse presente através de instâncias da variável independente – no caso, o número de quadrados.
O que tais alunos fizeram foi usar a regularidade percebida – “vai de 3 em 3” – para estender a sequência até o termo desejado. Como exemplo, citamos o argumento – tabela 7 – da dupla 3 que, para obter o número de palitos necessários para construir 8 quadrados, soma 3 ao número de palitos necessários para construir 7 quadrados. Para 9 quadrados, foi somado 3 ao número de palitos necessários para construir 8 quadrados e assim sucessivamente, até encontrar os valores desejados (10 e 15 quadrados).
Nesse sentido, as duplas 1 e 3 e os trios 2 e 3 simplesmente perceberam uma regularidade nos termos dados da sequência e a estenderam para termos vizinhos, a fim de encontrar as respostas desejadas. Porém, eles não utilizaram essa regularidade percebida para a criação de uma regra geral que lhes permitisse encontrar um termo qualquer da sequência e, portanto, de acordo com Radford (2010a), não entraram para o campo algébrico,
permanecendo com estratégias características de uma generalização aritmética.
Na verdade, a sequência de questões propostas até então pode ter induzido os alunos a esse tipo de resolução, visto que a tabela do item “c” da tarefa 4, por exemplo, já apresentava as respostas sobre o número de palitos necessários para construir até 7 quadrados. Diante disso, encontrar o número de palitos para o caso de 10 e 15 quadrados ficou simples a partir da continuação da sequência que já havia sido formada em tal tabela. Não foi necessário nem mesmo que os alunos cogitassem a busca por uma regra que fosse válida para todos os termos da sequência trabalhada.
Contudo, diferentemente da resolução apresentada pelos grupos acima , a dupla 4 apresentou uma estratégia diferente de “ir somando 3”, como mostra a tabela abaixo:
Número de palitos necessários para construir 10 quadrados Justificativa apresentada Número de palitos necessários para construir 15 quadrados Justificativa apresentada 31 “Somando 22 mais 9” 46 “Somamos 31 mais 15”
Tabela 8: Respostas da dupla 4 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Para encontrar o número de palitos necessários para construir 10 quadrados, as alunas de tal dupla utilizaram o seguinte raciocínio: somaram 22 (número de palitos necessários para construir 7 quadrados) com 9 (número de palitos necessários para construir mais 3 quadrados). Seguindo a mesma lógica, no caso de 15 quadrados, elas adicionaram 15 ao número de palitos necessários para construir 10 quadrados – já calculado –, que seria o número de palitos necessários para construir mais 5 quadrados, visto que para cada quadrado são necessários apenas 3 palitos.
Apesar de recorrerem a resultados anteriores, percebemos na resolução de tais alunas a presença da estratégia chamada por Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008) de diferença, em que as alunas utilizam os múltiplos da diferença entre os termos consecutivos da sequência (no caso, elas utilizaram o “9” que é múltiplo de 3). Tal procedimento lhes permitiu calcular o número de palitos necessário para a construção de qualquer número de quadrados, como veremos no item seguinte para o caso de 50 quadrados.
questão não nos permitiram uma conclusão, visto que, no caso da dupla 2, as respostas foram apresentadas sem justificativas, e o trio 1justificou que descobriu a resposta do item “e” fazendo as contas, sem mostrar quais foram. A seguir as respostas desses grupos:
Grupos Número de palitos necessários para
construir 10 quadrados
Justificativa
apresentada Número de palitos necessários para
construir 15 quadrados
Justificativa apresentada
Dupla 2 32 Não apresentou
justificativa 48 Não apresentou justificativa Trio 1 31 “Contando” 47 “Nós descobrimos fazendo as contas” Tabela 9: Respostas da dupla 2 e do trio 1 para os itens “d” e “e” da Tarefa 4.
Apesar de no caso de 10 quadrados o trio 1 ter apresentado a resposta correta e justificado que chegaram à solução “contando”, para 15 quadrados sua resposta foi incorreta. Durante a apresentação da transparência, a aluna A13 explicou que para fazer 10 quadrados foram necessários 31 palitos. Mas, como o desejado era obter 15 quadrados, elas recorreram à tabela e viram que para construir 5 quadrados eram necessários 16 palitos. Portanto, foi só somar 31 com 16 para obter o resultado almejado. Consideramos que essa estratégia realizada pelo trio está relacionada ao que Stacey (1989 apud BARBOSA, VALE e PALHARES, 2008) chamou de whole-object, uma vez que as alunas assumiram implicitamente que a sequência numérica formada pelo número de palitos em função do número de quadrados obedeceria a uma proporcionalidade direta. Em outras palavras, de certa forma, elas inferiram que poderiam considerar os múltiplos de um termo para determinar elementos em posições mais avançadas na sequência. Esse procedimento equivocado realizado pelo trio 1 nós chamaremos de falsa
generalização.
A fim de compreender as estratégias de resoluções de nossos estudantes, analisamos o item “f” da tarefa 4, em que foi solicitado o número de palitos necessários para a construção de 50 quadrados. Nesse caso, seria necessário que os alunos, principalmente aqueles componentes das duplas 1 e 3 e dos trios 2 e 3, que adotaram o método de ir adicionando 3 nas questões anteriores, recorressem a algum tipo de generalização algébrica, visto que seria trabalhoso continuar adotando essa tática de resolução. Esperávamos que, de
modo geral, os grupos recorressem à generalização algébrica factual, de acordo com o proposto por Radford (2010a), em que seria interessante a construção de uma estratégia de resolução menos trabalhosa e diferente de ir somando 3, e na qual ainda não era quesito indispensável o fato de os grupos lidarem com a indeterminação de maneira explícita.
Nesse sentido, apresentamos na tabela abaixo as respostas e justificativas dos grupos:
Grupos Número de palitos necessários para construir
50 quadrados
Justificativa apresentada
Dupla 1 106 “Fazendo a conta”
Dupla 2 128 Apresentaram o cálculo 4 x 32 = 128
Dupla 3 150 “Fazendo 3 x 50”
Dupla 4 151 “Nós subtraímos 50 – 15, depois o resultado que é 35 multiplicamos por 3, deu 105, depois fizemos 105 + 46, que
deu o resultado (151)”
Trio 1 156 “Nós descobrimos fazendo contas. As contas são: 47 x 2 = 94 94 + 31 + 31 = 156”
Trio 2 150 “Multiplicando 3 x 50”
Trio 3 106 “Contando”
Tabela 10: Respostas dos grupos para o item “f” da Tarefa 4.
Durante a apresentação das transparências, o aluno A4, componente do trio 3, tentou explicar como seu grupo havia concluído que para construir 50 quadrados eram suficientes apenas 106 palitos. Seguem abaixo alguns trechos do diálogo:
P: Então, pra fazer 50 quadrados vocês precisam de? A4: 106 palitos.
P: Mas como vocês descobriram 106. Me conta! A4: Usando o sistema de soma tripla.
P: Mas como assim? Explica para os colegas!
A4: Você faz o primeiro quadrado com 4 palitos e, a partir desse primeiro quadrado, você vai
adicionando 3 palitos em forma de ‘c’ ao contrário...
gestos: com as duas mãos, desenha no ar o primeiro quadrado constituído de 4 palitos e, em seguida, com a mão direita, desenha o que ele chamou de “c ao contrário”, fazendo primeiramente um movimento horizontal da direita pra a esquerda, seguido de um movimento vertical de cima para baixo e, por fim, outro movimento horizontal da esquerda para a direita, de forma a representar a posição dos 3 palitos que devem ser acrescentados para formar um novo quadrado.
Assim, percebemos que A4 utiliza palavras e gestos para explicar a gênese e a regularidade da sequência apreendida por ele – para o primeiro quadrado, gastamos 4 palitos e para os quadrados subsequentes são necessários 3 palitos dispostos de maneira específica. Nesse sentido, de acordo com Radford (2010a), podemos inferir que, durante o desenvolvimento da tarefa, o aluno A4 passou por uma atividade chamada multi-semiótica, configurando o processo de objetificação, no qual imergiu para dar sentido à sequência trabalhada e encontrar uma possível regularidade.
Continuamos o diálogo:
P: Mas, aí, como, me conte! Porque 106? Alguém entendeu porque que é 106? A7: Eu não entendi bulhufas!
A6: Eu não!
P: Como que é A4, faz aí pra gente!
O aluno A10 levanta a mão e diz: A10: Eu entendi, eu sei por que, eu sei por que... P: Por quê?
A10: Porque 50 vezes 3 dá 150... 105... mais 1 dá 106...
Voltei-me para o aluno A4 e perguntei-lhe: P: É isso? 50 vezes 3...
A10: Dá 105, mais 1, dá 106...
A partir dos dois trechos de diálogo acima, percebemos certa despreocupação de A10 com o resultado correto da multiplicação de 50 por 3. Na verdade, a inquietação do aluno estava em outro ponto: independente do produto encontrado – se 105 ou 150 – o que se deve fazer é somar 1 a ele. Em vista disso, cogitamos a possibilidade de que ele possa ter
compreendido que uma possível regra para o cálculo do número de palitos em função do número de quadrados seja realizar a multiplicação do número de quadrados dado por três e ao resultado adicionar 1.
Constatamos nas respostas da tarefa escrita do trio 2 (do qual A10 fazia parte), constatamos que a maioria das justificativas estava pautada em generalizações aritméticas e que os alunos A10, A11 e A14, componentes de tal trio, responderam que para construir 50 quadradinhos eram necessários 150 palitos (ver tabela 10), assim como fizeram em parte de sua transparência, conforme o recorte abaixo:
Imagem 12: Trecho da transparência produzida pelo trio 2.
Contudo, não podemos ignorar o fato de que, durante a apresentação dos colegas, o aluno A10 argumentou no sentido do desenvolvimento de uma regra correta e válida para o cálculo do número de palitos, dado qualquer número de quadrados dado. Uma análise de outra parte da transparência produzida pelo trio 2 vem ratificar essa ideia, pois, para encontrar o número de palitos necessários para construir 5 quadradinhos, o trio apresenta a expressão “5 x 3 + 1 = 16”:
Imagem 13: Trecho da transparência produzida pelo trio 2.
Assim, inferimos que o aluno A10, e possivelmente o trio 2, pode ter transitado de uma generalização aritmética para uma generalização algébrica factual, visto que nos dois
exemplos citados – tanto da fala do aluno, quanto do trecho da transparência do trio 2 apresentado na imagem 13, particularmente da expressão “5 x 3 + 1 = 16” –, ele demonstrou ter percebido uma regra para o cálculo do número de palitos, sabendo-se o número de quadrados que se deseja formar. Além disso, neste caso, pelo fato de ele ter trabalhado apenas com quantidades específicas de quadrados – 50 e 15, respectivamente –, não houve a necessidade de lidar com a indeterminação de maneira explícita.
Retornando ao episódio em sala de aula, o aluno A4 corrige o aluno A10, afirmando que cinquenta vezes três não é igual a 105 e tenta explicar como o seu grupo encontrou a resposta 106:
A4: Então a metade de 100 a gente já tem aqui (apontando para o número 50 na imagem da transparência refletida no quadro branco)... é uma noção dos quadrados já... aí a gente adicionou mais
56 e deu 106... Isso mostra a eficiência do nosso sistema. E esse exemplo mostra a eficiência do padrão.
Porém, a partir de tal fala do aluno A4, não conseguimos identificar como seu grupo desenvolveu o raciocínio para encontrar os 106 palitinhos que eles consideraram suficientes para construir 50 quadrados.
Retomando a análise do desenvolvimento dos demais grupos no item “f”, a resposta e a justificativa apresentadas pelo trio 1 (tabela 10) reforçam nossa ideia sobre sua resolução no item anterior. Tal grupo novamente realiza uma falsa generalização. Como o solicitado foi o número de palitos para construir 50 quadrados, as alunas de tal grupo consideraram o número de palitos que elas haviam encontrado para construir 15 quadrados, e multiplicaram esse número por 2 (daí a conta 2 x 47 = 94) para obter o número de palitos necessários em 30 quadrados. Em seguida, como ainda faltavam 20 quadrados, elas adicionaram o resultado encontrado (94) com a soma (31 + 31), visto que para construir 10 quadrados são necessários 31 palitos. Dessa forma, elas encontraram o resultado 156, desconsiderando o fato de que alguns palitos são lados comuns de dois quadrados ao mesmo tempo.
A dupla 2 recorre a uma estratégia similar. No item anterior, para a construção de 10 quadrados, os alunos A8 e A18 encontraram como resposta 32 palitos. Assim, para 50 quadrados, eles tomaram o produto de 32 por 4, realizando uma falsa generalização. Vale
destacar que, na verdade, eles deveriam ter realizado a multiplicação de 32 por 5. Mas inferimos que houve possível falta de atenção.
O trio 2 e a dupla 3 parecem ter considerado apenas o fato de que o número de palitos que precisamos acrescentar para formar novos quadrados é múltiplo de 3 e ignoraram o primeiro palito utilizado na formação do primeiro quadrado da sequência. Essa ideia pode ser vista na figura abaixo com 3 quadrados:
Figura 20: Esquema representativo da formação da sequência de 3 quadrados.
Por conseguinte, ao pedirmos o número de palitos para construir 50 quadrados, tais alunos parecem simplesmente ter realizado o cálculo 3 x 50, ignorando o fato de ter que somar 1 ao resultado encontrado. De acordo com Barbosa, Vale e Palhares (2008), a utilização de múltiplos da diferença entre termos consecutivos da sequência – estratégia denominada por Stacey (1989) de diferença – é comumente empregada pelos alunos na resolução desse tipo de questão. Porém, para que a solução fique correta, faz-se necessário algum ajuste com base no