3.3 CARACTERÍSTICAS DA SOLUÇÃO E RESTRIÇÕES OPERACIONAIS
3.3.2 Restrições nos Dutos
• Volume dos dutos: Cada duto possui características físicas específicas, tais como comprimento, diâmetro e volume. Para fins de programação, deve-se considerar o volume interno de cada duto. Os dutos em análise estarão sempre completamente preenchidos por um ou mais produtos.
• Sentido de movimentação dos dutos: Cada duto possui um nó de origem e um nó de destino. O sentido normal de deslocamento no duto é do nó de origem para o nó de destino. Em alguns dutos é possível a movimentação no sentido reverso, ou seja, do nó de destino para o nó de origem do duto.
• Utilização dos trechos de dutos: Os dutos podem ser compartilhados por dife- rentes produtos, desde que estes não o utilizem num mesmo instante de tempo.
Sendo assim, o programador analisa todos os produtos para evitar a sobreposição de operações de transferência, ou seja, a utilização de um único duto no mesmo instante de tempo para a movimentação de produtos distintos (BOSCHETTO, 2011).
• Vazão de deslocamento: Cada produto possui uma viscosidade específica. Como consequência, diferentes valores de vazões de deslocamentos para um mesmo duto podem ocorrer. Assim, deve-se respeitar limites mínimos e máximos de vazão de passagem para cada duto, para cada produto.
• Reversão em dutos: Alguns dutos podem ter seu sentido de bombeamento re- vertido. Ou seja, existe um sentido de bombeamento normal e um sentido de bombeamento reverso dos dutos. As operações de reversão devem ser, se pos- sível, minimizadas e são restritas dentro do horizonte de trabalho. Vale lembrar que uma série de procedimentos operacionais devem ser realizados para que uma operação de reversão seja efetivamente executada. Na rede de claros em questão, a reversão do sentido de fluxo é precedida com o preenchimento do duto com apenas um tipo de produto. A Figura 11(a) apresenta as bateladas inicialmente presentes no duto (bateladas 5 e 6). As Figuras 11(b) e 11(c) mostram o bombeamento da batelada auxiliar de reversão (batelada 1) e o deslocamento das bateladas 5 e 6 em direção ao destino N2. A Figura 11(d) ilustra a ocupa- ção de todo o duto pela batelada 1 (batelada auxiliar para reversão), antes deste ser revertido. Finalmente, nas Figuras 11(e) e 11(f) pode-se notar a inversão no sentido de fluxo e a movimentação das bateladas 3 e 4 em direção ao destino N3 (BOSCHETTO, 2011).
Figura 11: Exemplo de uma operação de Reversão.
Fonte: (BOSCHETTO, 2011)
rie pelo mesmo duto, é inevitável que ocorram contaminações e perdas na região de contato (denominada interface) devido à mistura entre os derivados dentro do duto (FELIZARI, 2009). Assim, objetiva-se minimizar alterações de bombea- mentos de produtos a fim de evitar perdas devido à formação de interfaces no duto. Pelo mesmo motivo, procura-se maximizar o volume das movimentações para que seja possível desprezar a redução dos volumes por perdas geradas com interfaces. Existem casos em que o bombeamento sequencial de certos produ- tos não é recomendável, tipicamente pela degradação excessiva do produto mais nobre. Deste modo, é procedimento operacional considerar certas sequências de bombeamento como não permitidas.
No intuito de agrupar produtos com características similares e que permitam o transporte sequencial no duto, o conceito de grupo de produtos é utilizado. Assim, define-se um grupo como sendo um conjunto de derivados de petróleo (produtos) com características semelhantes. Os principais grupos presentes na rede de claros em estudo são a seguir elencados:
– ALC:Etanol; – DIE:Diesel; – GAS:Gasolina; – GLP:Gás Liquefeito de Petróleo; – NFT:Nafta; – QUE:Querosene.
A Tabela 4 ilustra as referências dos produtos transportados na rede de claros e a qual grupo pertencem1. A Tabela 5, por sua vez, apresenta os grupos de produtos passíveis (
√
) de bombeamento sequencial (compatíveis). Tabela 4: Produtos pertencentes a cada grupo.
Grupo Produtos ALC 8 9 27 32 DIE 7 22 23 24 26 28 30 31 34 35 GAS 2 5 11 12 13 17 19 20 21 GLP 3 10 14 15 16 NFT 4 18 QUE 6 25 29 Fonte: (BOSCHETTO, 2011)
Tabela 5: Grupos de produtos compatíveis para transporte sequencial no duto.
ALC DIE GAS GLP NFT QUE
ALC √ √ √ DIE √ √ √ √ GAS √ √ √ √ √ GLP √ √ NFT √ √ √ √ QUE √ √ Fonte: (BOSCHETTO, 2011)
Quando dois produtos incompatíveis são sequenciados em um mesmo duto, é necessário interpor entre eles um terceiro produto, compatível com ambos, chamado de selo. O volume de selo a ser inserido no duto depende do duto e do sentido do fluxo. Esta restrição está ligada à manutenção da qualidade do produto, de forma a evitar sua degradação pela mistura com outro produto de menor qualidade.
3.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
Este capítulo descreveu características e particularidades do problema abor- dado de programação de derivados claros de petróleo através do modal dutoviário sendo fundamental para o direcionamento da formulação matemática do modelo.
No Capítulo 4 a seguir apresentado, desenvolve-se o modelo matemático em PLIM proposto pelo presente trabalho. Apresenta-se a formulação elaborada bem como as premissas e simplificações adotadas.
4
FORMULAÇÃO MATEMÁTICA
Neste capítulo, aborda-se o modelo matemático de sequenciamento de batela- das proposto no presente trabalho. Descrevem-se as premissas adotadas, nomenclatura utilizada, assim como as restrições que definem o modelo. Por último, apresenta-se uma breve conclusão sobre a abordagem adotada.
No escopo do modelo matemático proposto considera-se o transporte dutoviá- rio de derivados claros de petróleo em uma rede de dutos específica, conforme descrito no Capítulo 3. Tem-se como objetivo determinar a sequência de bombeamento das bateladas que propicia o melhor gerenciamento dos inventários, bem como a utilização dos recursos (principalmente os dutos) de forma eficiente. Aplicou-se uma abordagem baseada em Programação Linear Inteira Mista (PLIM) para o desenvolvimento do mo- delo. Para a implementação computacional utilizou-se o ambiente de modelagem e otimização IBM ILOG CPLEX Optimization Studio 12.5.
4.1 PREMISSAS ADOTADAS
No Capítulo 2, Seção 2.3, foi apresentado o método de decomposição para a modelagem do problema abordado. Neste método, executa-se o módulo de Sequenci- amento das bateladas logo em seguida ao módulo de Alocação de Recursos. O módulo de Alocação de Recursos determina as bateladas (b ∈ B), definindo para cada batelada uma rota de fluxo (ROTAb∈R), um produto (PRODb∈P), um volume (VOLb) e janelas de tempo para cada uma das faixas de estoque (TEDb, f x- TECb, f x- TRDb, f x- TRCb, f x). A fim de delinear o desenvolvimento do modelo, adotam-se algumas premissas e simplificações, conforme a seguir explanadas.
• Todos os dutos iniciam o horizonte de programação completamente preenchidos com bateladas, denominadas bateladas de inicialização. Cada batelada pode estar presente em mais de um duto e cada duto pode conter uma ou mais bateladas;
• As bateladas de inicialização são consideradas pela abordagem de solução, a qual respeita a ordem nos dutos onde estão posicionadas no início do horizonte. Nos dutos onde ainda irão trafegar, a ordem poderá ser alterada;
• O bombeamento de cada batelada é realizado de forma contínua. Utiliza-se a vazão máxima do primeiro duto da rota associada ao produto da batelada como sua vazão de bombeamento. Assim, o tempo de bombeamento de cada batelada é definido pela razão entre seu volume com a vazão de bombeamento;
• Conforme descrito no Capítulo 3, o completo recebimento de uma batelada de- pende do bombeio de outras bateladas que a deslocam. Ou seja, há uma influência do bombeamento de uma batelada em outras bateladas presentes na rede. No presente estudo, contudo, a influência do bombeamento que uma batelada causa não é considerada. Deste modo, os tempos de deslocamentos das bateladas nos dutos são considerados de forma contínua, sendo definidos pela razão entre o volume do duto e vazão de passagem da batelada no respectivo duto;
• Conforme descrito no Capítulo 3, o bombeio de uma batelada na rede pode ser interrompido durante intervalos de tempo. Configuram-se, assim, as paradas de bombeio. No presente estudo, entretanto, o tempo de deslocamento das bateladas pelos dutos de suas rotas é considerado contínuo. Assim, intervalos de paradas nos dutos não são considerados;
• Restrições de troca de turno, horossazonalidade e locais não são abordadas no presente estudo, pois requisitam detalhamento temporal preciso, conforme indi- cado em (BOSCHETTO et al., 2010). Assim, devido a simplificações do processo de transporte das bateladas, optou-se por não incluir estas características no mó- dulo de Sequenciamento das Bateladas. Designa-se ao módulo de Temporização tratar estas considerações;
• Considera-se, de modo simplificado, os efeitos das operações de pulmão e re- versão de fluxo, objetivando-se minimizar a ocorrência de reversões de fluxo, quando possível;
• Incompatibilidades de produtos são consideradas pelo presente modelo, objetivando- se minimizar a inserção de selos. Quando necessários, entretanto, delega-se a um próximo módulo a atividade de inserção das bateladas de selo propriamente ditas; • Para cada faixa de estoque em análise (Físico, Operacional e Meta), prioridades
Conhecidas as premissas e simplificações adotadas, a próxima seção aborda a nomenclatura utilizada no desenvolvimento do modelo matemático proposto.
4.2 NOMENCLATURA
A seguir são relacionados os conjuntos, índices, variáveis e parâmetros utiliza- dos no modelo. Para a definição das variáveis e restrições, foram utilizados conjuntos esparsos. Esta abordagem permite a manipulação de apenas índices válidos, ou seja, os que de fato pertencem ao conjunto de interesse (BOSCHETTO, 2011). Deste modo, objetivou-se minimizar o número de variáveis e restrições necessários à representação do problema em análise.
Padronizou-se a nomenclatura do modelo, sendo que as variáveis e os índi- ces iniciam em letras minúsculas. Já os parâmetros e conjuntos, iniciam com letras maiúsculas. Assim, objetiva-se facilitar a identificação dos diferentes elementos do modelo.
4.2.1 Parâmetros
A Tabela 6 ilustra os parâmetros do modelo de Sequenciamento, apresentando o nome, o domínio e uma breve descrição.
Os parâmetros utilizados podem ser divididos em quatro categorias: estrutura física, fatores de ponderação, constantes e dados dinâmicos da programação, conforme a seguir elencado.
• Estrutura física: NN, ND, NP, NR, H e Incompatibilidadep,p0;
• Fatores de ponderação: Ktof x, Ktdf x, KtdDf x, Krev, Kselo; • Constantes em formulações Big-M: U,L,e;
• Dados dinâmicos da programação: Parâmetros definidos pelo módulo de Aloca- ção dos Recursos, descrito na Seção 2.3.1:
– NB: Número de bateladas alocadas;
– NBatde NBatDestn0,pr: Quantidade de bateladas que passam por um duto ou
Tabela 6: Parâmetros do modelo.
Parâmetro Domínio Descrição
H > 0 Tamanho do horizonte de programação (horas) NN Z∗
+ Número de nós da rede (unidades, simplificadamente, uni) ND Z∗+ Número de dutos da rede (uni)
NP Z∗
+ Número de produtos (uni) NR Z∗+ Número de rotas de fluxo (uni) NB Z∗
+ Número de bateladas alocadas (uni)
Ktof x ≥ 0 Fator de custo das violações para nós de origem ($/h) Ktdf x ≥ 0 Fator de custo das violações para nós de destino ($/h)
KtdDf x ≥ 0 Fator de custo das violações para nós de destino (janelas dinâmicas) ($/h) Krev ≥ 0 Fator de custo da operação de reversão de fluxo ($/uni)
Kselo ≥ 0 Fator de custo da utilização de selo ($/uni)
TEDb, f x ≥ 0 Tempo de envio disponível da batelada b em relação à faixa de estoque f x (horas) TECb, f x ≥ 0 Tempo de envio crítico da batelada b em relação à faixa de estoque f x (horas)
TRDb, f x ≥ 0 Tempo de recebimento disponível da batelada b em relação à faixa de estoque f x (horas) TRCb, f x ≥ 0 Tempo de recebimento crítico da batelada b em relação à faixa de estoque f x (horas) VOLb > 0 Volume da batelada b (uv)
ROTAb ∈R Rota da batelada b PRODb ∈P Produto da batelada b
VBombb,d > 0 Vazão de bombeamento da batelada b no duto d (uv/h)
TDBatb,d > 0 Tempo despendido no deslocamento da batelada b no duto d (horas) TBBatb,d > 0 Tempo despendido no bombeamento da batelada b no duto d (horas) NBatDestn0
,pr Z∗+ Número de bateladas com destino em n0do produto pr (uni) NBatd Z
∗
+ Número de bateladas que trafegam pelo duto d (uni)
BatEstDutob,d b ∈ B, d ∈ D Batelada b que está presente no duto d na inicialização da rede, onde d ∈ ROTAb Incompatibilidadep,p0 (p,p0) ∈ P Produtos p e p0incompatíveis, necessitando a utilização de selo
U >> 0 Limite superior utilizado em formulações Big-M (e.g., U= 106) L << 0 Limite inferior utilizado em formulações Big-M (e.g., L= −U)
e ≈ 0 Constante de pequeno valor utilizada para evitar igualdades em formulações Big-M (e.g., 0< e ≤ 10−4)
– TEDb, f x- TECb, f x: Janela de tempo de envio da batelada b em relação à faixa de estoque f x;
– TRDb, f x- TRCb, f x: Janela de tempo de recebimento da batelada b em relação à faixa de estoque f x;
– VOLb, ROTAb, PRODb: Definição da batelada b;
– VBombb,d, TDBatb,d, TBBatb,d: Dados definidos pela relação entre o produto da batelada b com os dutos pertencentes à rota por onde a batelada trafega;
– BatEstDutob,d: Batelada de inicialização b presente no duto d.
4.2.2 Conjuntos
A Tabela 7 ilustra os conjuntos do modelo de Sequenciamento apresentando o nome, domínio e uma breve descrição.
Tabela 7: Conjuntos do modelo.
Conjunto Domínio Descrição
N {1..NN} Órgãos ou Nós da rede
D {1..ND} Dutos
P {1..NP} Produtos
R {1..NR} Rotas
B {1..NB} Bateladas
F {“CAP00,“MinMax00,“META00} Faixas de estoques
O conjunto de bateladas B é oriundo da execução do módulo de Alocação de Recursos. Os demais são características físicas da rede de dutos.
4.2.3 Índices
A Tabela 8 ilustra os índices do modelo e o conjunto ao qual estes índices são relacionados na formulação matemática.
Tabela 8: Índices do modelo.
Índices Conjunto {n,n0,nx,nx0} ∈ N {d,d0,dx,dx0} ∈ D {p,p0,px,px0,pr} ∈ P {r,r0} ∈ R {b,b0,bx} ∈ B {f x} ∈ F i ∈ Z∗+ 4.2.4 Conjuntos Esparsos
A Tabela 9 evidencia os conjuntos esparsos do modelo de Sequenciamento. Apresenta-se o nome do conjunto, índices e uma breve descrição. Utilizou-se ampla- mente os conjuntos esparsos a fim evitar a geração de índices inválidos no contexto do modelo (e.g., fora da faixa operacional). Em seguida, descreve-se a abordagem utilizada para a geração de cada conjunto esparso.
Tabela 9: Conjuntos esparsos.
Conjunto Índices Descrição
BNND {b,n,n0
,d} Conjunto que define os dutos d por onde a batelada b trafega (d ∈ ROTAb) no sentido do nó n para n0
(n , n0 ) BNNDEstDuto {b,n,n0
,d} Subconjunto de BNND (BNNDEstDuto ⊂ BNND), onde {b,d} ∈ BatEstDuto. Contém os dutos d onde a batelada b já iniciou o deslocamento
BNNDbomb {b,n,n0
,d} Subconjunto de BNND (BNNDbomb ⊂ BNND) definido por BNND − BNNDEstDuto. Contém os dutos d onde a batelada b ainda será transportada (bombeada ou deslocada) BO f x {b,n, f x} Conjunto onde n é o nó de origem da batelada b para todas das faixas de estoques f x BD f x {b,n0, f x} Conjunto onde n0é o nó de destino da batelada b para todas das faixas de estoques f x BBDtotal {b,b0
,d} Conjunto onde as bateladas b e b0 (b , b0
) trafegam pelo mesmo duto d, onde d ∈ ROTAb ∧d ∈ ROTAb0
BBDrestringe {b,b0
,d} Subconjunto de BBDtotal (BBDrestringe ⊂ BBDtotal), onde não é permitido a troca de ordem entre b e b0
no duto d BBDrev {b,b0
,d} Conjunto onde as bateladas b e b0
trafegam em sentidos opostos através do duto d BBDincomp {b,b0
,d} Conjunto onde as bateladas b e b0
possuem produtos incompatíveis ({p,p0} ∈ Incompatibilidade) e trafegam pelo duto d
DBO {d,b} Conjunto obtido a partir de BNND, sendo que {d,b} ∈ BNND DutosRev d Conjunto obtido a partir de BBDrev, sendo que d ∈ BBDrev DutosIncomp d Conjunto obtido a partir de BBDincomp, sendo que d ∈ BBDincomp Dutos d Dutos d onde d ∈ (DutosRevd ∪DutosIncompd)
BBDSeq {b,b0
,d} Conjunto semelhante ao BBDTotal, sendo que contém ambas as combinações {b,b0 ,d} e {b0,b,d} onde d ∈ Dutos PULMAO {b,b0 ,n,n0 ,nx0 ,d,d0}
Conjunto onde as bateladas b e b0 (b , b0
) realizam a operação de pulmão no nó n0 , onde d é o duto de entrada da batelada b com sentido de n para n0
(n , n0 ), e d0
é o duto de saída com destino em nx0(n0, nx0)
ND {n0
,pr} Conjunto que relaciona os nós n0
e produtos pr onde considera-se o cálculo de janelas dinâmicas
BD f xDin {b,n0, f x} Subconjunto de BD f x (BD f xDin ⊂ BD f x), sendo que n0sofre influência do cálculo das janelas dinâmicas
BDPdin {n0
,pr,b} Conjunto onde n0
é o nó de destino da batelada b e pr é o produto da batelada b, sendo que n0sofre influência do cálculo das janelas dinâmicas
NPIJan {n0
,pr,i, f x,trd,trc} Conjunto onde n0
é o nó de destino da batelada b, pr é o produto da batelada b e i é o índice da janela de tempo representada pelo intervalo entre trd e trc, sendo que n0 sofre influência do cálculo das janelas dinâmicas
BNPind {b,n0
,pr,i} Conjunto onde n0
é o nó de destino da batelada b, pr é o produto da batelada b e i representa um índice de uma das janelas de tempo do nó n0
para o produto pr, onde n0
sofre influência do cálculo das janelas dinâmicas BBNdin {b,b0
,n0}
Conjunto onde b e b0 (b , b0
) possuem o mesmo nó de destino n0
, sendo que n0 sofre influência do cálculo das janelas dinâmicas
Conjuntos esparsos base
O conjunto BNND representa o caminho que cada batelada irá percorrer através da definição da sua rota. Por exemplo, considere uma batelada b que possua a seguinte rota: N6-25-N8-28-N1-4-N11, em destaque na Figura 12. Para este exemplo, a Tabela 10 apesenta as tuplas do conjunto BNND geradas. Observa-se que são geradas apenas três tuplas para a batelada b, pois sabe-se a priori que a batelada não irá trafegar pelos demais dutos da rede.
O conjunto BNNDEstDuto possui estrutura idêntica ao conjunto BNND, porém as tuplas são geradas apenas para as bateladas que estão presentes nos dutos na inicia- lização da rede, ou seja, no momento inicial do horizonte de programação considerado. Analogamente, o conjunto BNNDbomb mantém a mesma estrutura, possuindo as bate- ladas programadas, ou seja, as que irão ser transportadas (bombeadas ou deslocadas) em direção ao seu destino final. Deste modo, a seguinte união de conjuntos pode ser observada: BNND= BNNDEstDuto ∪ BNNDbomb.
Figura 12: Rota com origem em N6 e des- tino em N11, passando pelos dutos 25, 28 e 4, respectivamente.
Tabela 10: Exemplo de formação do con- junto BNND.
b n n’ d
b N6 N8 25
b N8 N1 28
b N1 N11 4
O conjunto BO f x é formado pela relação do órgão de origem da batelada com todas as faixas de estoque definidas no conjunto F. Similarmente, o conjunto BD f x relaciona o nó de destino da batelada com todas as faixas de estoque definidas no conjunto F. A identificação dos nós de origem e destino das bateladas é realizada através da rota alocada à batelada (ROTAb), pois esta descreve todos os dutos e nós por onde será realizado o deslocamento. Por exemplo, para a rota da batelada b, ilustrada anteriormente na Figura 12, tem-se o nó de origem em N6 (primeiro nó da rota) e o nó
de destino em N11 (último nó da rota). Assim, a Tabela 11 representa as tuplas para o conjunto BO f x e a Tabela 12 representa as tuplas para o conjunto BD f x.
Tabela 11: Exemplo de formação do con- junto BOfx.
b n fx
b N6 CAP
b N6 MinMax
b N6 META
Tabela 12: Exemplo de formação do con- junto BDfx.
b n’ fx
b N11 CAP
b N11 MinMax
b N11 META
Os conjuntos BBDtotal e BBDrestringe são compostos por combinações de ba- teladas que trafegam por um mesmo duto. O conjunto BBDrestringe é um subconjunto de BBDtotal, o qual contém precedências obrigatórias, nas quais a ordem de passagem no duto deve ser mantida. Tais precedências obrigatórias influenciam diretamente no modelo de Sequenciamento, que não poderá sugerir a troca de ordem destas bateladas nos dutos em análise.
Para exemplificar o anteriormente exposto, considere-se duas bateladas b1 e b2, com as seguintes rotas, respectivamente: N6-26-N8-2-N11-5-N12 e N4-21-N8-2-N11- 5-N12-18-N14, conforme ilustrado na Figura 13. Observa-se que as duas bateladas possuem origens (N6 e N4) e destinos (N12 e N14) distintos, porém compartilham os dutos 2 e 5 durante os seus deslocamentos. Nos demais dutos das rotas, devido a não ocorrer compartilhamento, não há necessidade de avaliação de alterações de precedência entre b1 e b2 pelo modelo de Sequenciamento. Assim, o conjunto BBDtotal possuirá apenas duas tuplas relacionadas a estas bateladas, conforme apresentado na Tabela 13. Estas tuplas correspondem aos dutos que ambas bateladas compartilham.
O modelo de Sequenciamento avalia possibilidades de alterações de ordens pre- viamente propostas pelo módulo de Alocação de Recursos. Por exemplo, assumindo-se que a ordem de passagem pelos dutos 2 e 5, inicialmente definida pelo módulo de Alo- cação de Recursos, seja b1 seguida por b2, há, em tese, a possibilidade de b2 preceder b1 nestes dutos. Esta mudança de ordem irá depender de avaliações a serem realizadas pelo modelo de Sequenciamento.
O conjunto BBDtotal será utilizado para a definição das variáveis de precedência no modelo matemático. Assim, evitou-se a geração de variáveis desnecessárias, pois o conjunto contém apenas combinações de bateladas que compartilham os mesmos dutos. Já o conjunto BBDrestringe possui as combinações de bateladas em que não serão permitidas trocas de ordem. Há duas condições essenciais em que a troca de ordem não é realizada pelo modelo:
Figura 13: Exemplo de compartilha- mento de dutos entre duas bateladas.
Tabela 13: Exemplo de formação do con- junto BBDtotal.
b b’ d
b1 b2 2 b1 b2 5
(i) Precedências impostas pela inicialização da rede; (ii) Heurísticas baseadas em janelas de tempo.
Na inicialização da rede (i), todos os dutos estão completamente preenchidos por bateladas, identificadas como bateladas de inicialização. Por exemplo, considere- se as mesmas bateladas b1 e b2 anteriormente mencionadas (Figura 13) e suponha que, no instante inicial, b1 preencha completamente somente o duto 26 e b2 preencha completamente os dutos 21 e 2. Neste exemplo, b2 deve preceder b1, tanto no duto 2 quanto, na sequência, no duto 5. Fisicamente seria irrealizável transportar b1 antes de b2 nos dutos 2 e 5. Assim, as opções de “troca” entre b1 e b2 nos dutos 2 e 5 estariam presentes no conjunto BBDrestringe, onde seria mantida a ordem inicial.
Adicionalmente, algumas possibilidades de trocas de ordem podem ser elimi- nadas a partir da análise de janelas de tempo das bateladas (ii). A análise é realizada para as bateladas que possuem a mesma origem e o mesmo duto de início de bom- beamento, sendo aplicada em pares de bateladas. Deste modo, analisando-se duas bateladas distintas (e.g., b1 e b2), existem, basicamente, quatro opções de configurações de janelas, ilustradas pelas Figuras 14(a) até 14(d).
A partir das Figuras 14(a) e 14(b) observa-se que existe um período em comum