Uma experimentação com os tecnologias

Nesta subseção apresentamos as etapas realizadas no módulo de Dispositivos móveis para desenvolver a pesquisa.

(i) Vídeo14 envolvendo a temática das metodologias de ensino e de uso de tecnologias digitais na Educação Matemática

Esta aula presencial ocorreu na quarta semana da disciplina. Destinamos um tempo para os licenciandos assistirem a um vídeo, cuja escolha foi baseada na temática abordada por ele e em nossa própria prática pedagógica, uma vez que já havíamos trabalhado com esse vídeo anteriormente, em uma formação de professores na área de tecnologias.

Sob um contexto de uso de tecnologias que envolvem concepções de formação de professores, estrutura física e tecnológica das escolas, políticas educacionais, entre outras, a professora retratada no vídeo não conseguiu realizar uma atividade que favorecesse uma integração entre tecnologia, prática pedagógica e conteúdo matemático para a construção de conhecimento. Demonstrou apenas o uso dessas tecnologias para automatizar uma tarefa Matemática, ou seja, que poderia ter sido realizada sem o uso delas (ALMEIDA, 2000; FROTA; BORGES, 2004).

(ii) Roda de conversa sobre o vídeo e fórum no Moodle

Ainda nessa aula realizamos uma roda de conversa com base no referido vídeo e discussões sobre o uso das tecnologias para o ensino de Matemática. Os licenciandos foram se manifestando e conseguimos observar que, muitos deles, de acordo com suas experiências

14

Tecnologia X Metodologia, com duração de aproximadamente 3min. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=mKbEbKQZVQU. Acesso em: 18 ago. 2015.

pessoais na docência, já concebiam a ideia de inserir tecnologias em suas futuras práticas escolares.

Ressaltamos, ainda, que a roda de conversa teve continuidade no fórum no ambiente virtual do Moodle. Nesse sentido, compreendemos que discussões ocorridas nesse ambiente possuem uma especificidade, que é a condição dos estudantes de elaborar e embasar melhor seus argumentos, visto que o tempo era flexível. Tal condição nem sempre é possivel de ser contemplada na roda de conversa na sala de aula, pois nesse outro local os licenciandos se posicionaram por meio da fala. Nesse caso, o tempo para estruturação das ideias a respeito do uso de tecnologias foi menor, o que, dessa forma, pode não ter dado condição de realmente se posicionarem de acordo com suas verdadeiras concepções.

(iii) Realização de tarefas com os aplicativos Broken calculator e Equações de segundo grau

Nesta terceira etapa, em nossa aula, propusemos aos licenciandos a experimentação dos dispositivos móveis touchscreen como tablets em sala de aula, e por meio do uso dos aplicativos Broken calculator e Equações de segundo grau (Figura 5). Todos os grupos realizaram as tarefas propostas, porém elencamos somente algumas para compor o nosso trabalho, devido a elementos apontados pelos grupos que consideramos interessante para a pesquisa. Com isso, retomamos algumas das características criadas para evidenciar a nossa pesquisa, que envolveram experimentar o caráter visual, tátil e manipulativo dos tablets, elaborar problemas ou exercícios matemáticos para serem aplicados aos estudantes da educação básica e incentivar o debate sobre o tema e a criatividade dos licenciandos. Neste item, vamos abordar sobre esses aplicativos e porque a escolha de cada um deles.

Figura 5 – Atividade em grupo utilizando o tablet com o app Broken calculator

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Apresentação dos aplicativos utilizados e uma breve discussão de tarefas

Os aplicativos Broken calculator e Equações de segundo grau foram escolhidos para compor nossa pesquisa, primeiro, devido ao fato de que em nossas leituras encontramos muito mais referências a estudos que usaram softwares e aplicativos na exploração de conteúdos de geometria ou trigonometria como mostra nossa revisão de literatura com Mastronicola (2014). Essa questão foi corroborada por Bairral (2012a, p.77, grifo nosso):

Dos ramos da Matemática, a Geometria possui algumas singularidades: é sempre um campo cuja História é referendada por outros, seu aprendizado sofre influências de elementos cognitivos variados (visualização, representação, etc.) e, infelizmente, ainda tem sido uma área de trabalho pouco implementada nos currículos de formação inicial de professores. Curiosamente, apesar dessas singularidades, a Geometria tem um ramo pioneiro no desenvolvimento de artefatos informáticos diversos (softwares, Applets,...).

Com isso, intencionamos que esses aplicativos favorecessem a exploração de conteúdos, como álgebra, aritmética e uma introdução de geometria analítica que, se bem explorados pelo professor, pudessem propiciar aprendizagens matemáticas aos estudantes. Segundo, por nossas experiências pessoais com os aplicativos tanto em cursos de formação continuada quanto com estudantes da escola básica. Terceiro, porque a colega pesquisadora Wanessa estava desenvolvendo sua pesquisa nessa mesma turma de 2º período, com o foco na Geometria Dinâmica, resolvendo atividades matemáticas sobre Quadriláteros com o software Geogebra. Portanto, para que não tivéssemos trabalhos parecidos, optamos por trabalhar com esses aplicativos.

O App Broken calculator

Vamos conhecer um pouco sobre esse aplicativo, algumas de suas funcionalidades e como foi usado por licenciandos no planejamento de atividades matemáticas que podem ser aplicadas no ensino fundamental.

Figura 6 – Interfaces do app para tablet (a) e a versão da internet para computador (b)

(a) (b) Fonte: Internet15, 2015

Baseados em nossas experiências docentes e no planejamento da disciplina na qual nossa pesquisa foi inserida, apresentamos à turma de 2º período o app Broken calculator16 (Figura 6), um aplicativo que pode ser utilizado, por exemplo, sob uma perspectiva de jogo educativo, e permite trabalhar conceitos de aritmética, raciocínio lógico, entre outras propostas. Ao utilizá-lo como jogo, o objetivo é determinar um número ou resolver um problema de Matemática com um conjunto limitado de teclas númericas e operações disponíveis na tela, em um determinado tempo e movimentos mínimos na etapa (Figura 7).

Pode se selecionar as operações que se quer explorar, o nível de dificuldade e as teclas que você deseja desativar (quebrar) dependendo do objetivo que deseja alcançar com os

15 _{https://play.google.com/store/apps/details?id=net.wzmn.games.brokencalc. E,}

https://www.mathsisfun.com/games/broken-calculator.html. Acesso em: 25 ago. 2015.

16 _{Na internet se encontram disponíveis versões do Broken calculator (Calculadora Quebrada) gratuita (Free} Trial) para tablets e smartphones, e a versão completa (Full Trial), que é paga. Há também uma versão on-line para uso em computadores (Figura 6b).

estudantes. Este aplicativo pode ser utilizado com estudantes de ensino fundamental, respeitando-se a complexidade dos conteúdos e das atividades nos referidos anos de escolaridade. A Figura 7 a seguir mostra telas do aplicativo.

Figura 7 - Utilizando o app como um jogo

(a) Play! (Jogar) (b) Nível de dificuldade (c) Desafio criado pelo app quebrou a divisão (:) Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2016

Diante da nossa experimentação com esse app, percebemos que, quando explorado adequadamente, como calculadora, ele pode ser uma interessante ferramenta digital na prática educativa de professores que ensinam Matemática no ensino fundamental e até médio, conforme mostrou a primeira fase das Tecnologias Digitais em Educação Matemática. Tentamos proporcionar aos licenciandos possibilidades de realizar tarefas sob uma perspectiva que favorecesse “[...] um trabalho de experimentação e investigação, descoberta de regularidades e generalização de situações, que são os elementos caracterizadores do pensamento algébrico” (LORENTE, 2007, p. 6).

Para isso, os licenciandos utilizaram a função Create, que lhes permitiu criar suas próprias questões matemáticas, de acordo com os conceitos que desejavam explorar com seus aprendizes. Para exemplificar, usamos os dados de uma tarefa construída na aula do dia 21/10/15 por um dos grupos de licenciandos, denominado agora de Grupo 1 (Figura 8).

Figura 8 – Grupo 1 - Atividade envolvendo soma e multiplicação de números naturais

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Segundo o Grupo 1, esta atividade foi planejada para uma turma de 6º ano, considerando que o professor de Matemática estava fazendo uma revisão de conteúdo de operações aritméticas de soma e multiplicação. Também estava explorando a propriedade associativa e comutativa para calcular o valor 45, utilizando as teclas numéricas 2, 5, 7, e as operações de adição e multiplicação, conforme Quadro 4.

Quadro 4 – Atividade do grupo 1

Tarefa Legenda das imagens Tarefa Legenda das imagens

1.

Criando o produto 45.

6.

O resultado do primeiro produto foi guardado na

memória (+M)

2.

Quebrando as teclas.

7.

Partiu-se para calcular a outra parcela 2 x 5

3.

Apenas as teclas 2, 5, 7, e as operações de + e x

poderão ser usadas.

8. Resultado 10 4. Primeiro produto 7 x 5 9.

Então, foi realizada a soma de 10 mais (+) o

valor que constava na (+M)

5. Resultado 35

10.

Obtendo como resultado final o valor 45. Todas as etapas realizadas são

mostradas pelo aplicativo na página

final (Well Done!). Assim como a quantidade de movimentos realizados para resolver a questão. Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Como sugestão para sala de aula, o professor poderia sistematizar as operações sob a forma de uma expressão numérica representada por: (a) [(5 x 7) + (5 x 2)] = [35 + 10] = 45, pensamento usado para resolver a questão com o Broken calculator, destacando a ideia de que a memória + fez o papel dos parênteses. A proposta do Grupo 1 foi que estudantes utilizassem todas as teclas não quebradas para resolver a questão e isso foi respeitado na resolução (Quadro 4). Com a expressão (a), o professor poderia explorar, por exemplo, a propriedade distributiva, partindo do pressuposto que: 45 = [5 x 9] = [5 x (7 + 2)] = [(5 x 7) + (5 x 2)] = 35 + 10 = 45 (b). Salientamos que a tecla “9” está quebrada na calculadora, portanto, usar-se-ia a forma (a) ou outras formas que tivessem sido pensadas pelos estudantes. Nesse cenário, o professor poderia explorar conceitos de operações fundamentais, propriedades da soma e da multiplicação, expressões numéricas etc. Ressaltamos que, para Lorente (2007, p.1, grifo nosso),

É perceptível que grande parte dos professores de Matemática são resistentes quanto ao uso da calculadora em sala de aula, pois são fiéis a uma inverdade que acaba por tornar-se justificativa frequente para o não uso desta, já que quase sempre dizem que usando a calculadora os alunos não aprenderão a fazer contas e ficarão dependentes da máquina.

Diante disso, entendemos que mesmo a calculadora sendo um instrumento comum na vida de educandos, às vezes, é pouca explorada em atividades matemáticas por professores com essa visão sobre o seu uso (LORENTE, 2007). Todavia, Oliveira (1999, p.34), afirma que se a calculadora é vista,

Como um instrumento de cálculo, libera o tempo para os alunos centrarem os seus esforços e também a concentração, no entendimento dos conceitos matemáticos, compreensão e desenvolvimento de algoritmos e na elaboração de estratégias de resolução e raciocínio crítico.

Nessa perspectiva, a calculadora possibilita ao professor dedicar mais tempo à exploração de distintos conceitos e conteúdos matemáticos em uma única questão, em sala de aula. Alguns professores exploram essa ferramenta apenas como forma de efetuar cálculos, esquecendo-se de explorar os diversos conceitos e situações interessantes que podem surgir durante esse processo. Observamos ainda que, ao restringir algumas teclas numéricas e de operações, o estudante necessita exercitar um raciocínio mental mais organizado, procurando assim uma combinação mais eficaz entre as teclas para alcançar os resultados desejados (LORENTE, 2007).

Figura 9 – Licencianda explorando o app Broken calculator como uma calculadora

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Na tarefa proposta com o Broken calculator intencionamos criar uma aproximação do licenciando com esse aplicativo educacional, uma vez que ainda não o conheciam. Desse modo, puderam experimentá-lo e explorá-lo (Figura 9) como um recurso didático disponível gratuitamente no próprio computador, smartphone e tablet, e também aproveitar essa ferramenta tecnológica como uma oportunidade para o próprio aprendizado (BAIRRAL, 2012a). Diante disso, reproduzimos um trecho do diálogo entre nós e o licenciando Cláudio que validou essa nossa intenção.

Edwirgem: Este aplicativo foi interessante ou desafiador para vocês?

Cláudio: Eu achei bem interessante, eu gostei! Fico brincando no trabalho, no horário de almoço que não tem nada pra fazer, pego o Broken calculator, me achando um expert (risos), aí eu quebro a cabeça. Adorei! É um programa bem legal!

Edwirgem: Esta atividade proposta por nós propiciou alguma contribuição ou desafio pra vocês, em pensar uma atividade para a sala de aula com tecnologias? Claudio: Bem, no começo, a gente ficou... todo mundo fissurado né, só jogando, se ajudando uns ao outros. Porque nunca tinha visto isto, na realidade, muito menos esse [aplicativo]. Como foi interessante pra gente, pode ser interessante também pra leigos em Matemática. A pessoa vê, começa a utilizar e começa a entender a matéria de outra forma. É bem interessante! É desafiador, porque uns têm mais facilidade e outros têm mais dificuldade [...] (LICENCIANDO CLAUDIO, AULA EM 26/10/2015, grifo nosso).

O licenciando Cláudio considerou o Broken calculator uma ferramenta capaz de despertar um interesse em cálculos matemáticos, não somente nele que será um futuro professor, mas também em pessoas leigas nesse assunto. Cláudio sentiu-se motivado perante o uso deste app e relatou que continuou utilizando o mesmo em sua rotina pessoal de forma lúdica, após nossas tarefas em sala de aula. Nesse sentido, se para Cláudio, que é adulto, o uso deste app

foi interessante, talvez se for explorado pelo professor de Matemática em sala de aula da escola básica, possa também provocar interesse nos educandos.

Esse app, que possui telas de fácil manuseio mesmo estando em língua inglesa, dá um feedback e interage com o usuário, mostrando a solução. Possibilita também criar questões Matemáticas utilizando operações e números, selecionadas de forma a exercitar o raciocínio lógico e os cálculos mentais, que proporcionem uma visão de soluções diferenciadas para uma mesma questão etc.

O App Equações de segundo grau

O app Equações de segundo grau17 foi outro aplicativo utilizado com esses futuros professores, porém somente na versão para tablet e smartphone com sistema Android. Representa gráficos de equações de 2º grau quando o usuário insere números inteiros para assumir os valores dos coeficientes A, B e C de uma equação (Figura 10). De uso simples, o app traça o gráfico, o vértice e ponto de intercessão com o eixo das Ordenadas (Y), apresenta as raízes (reais e complexas), A partir dessa etapa, cabe ao professor realizar as intervenções necessárias para alcançar os objetivos de ensino que pretende com seus aprendizes.

Figura 10 - Tela inicial do app Equações de segundo grau

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Ao usar aplicativos, o professor precisa ter bem definido quais são os objetivos a alcançar com essas tarefas matemáticas. Observamos que, dependendo do modo de exploração do aplicativo, ele pode apenas provocar uma automatização da tarefa, uma vez que, ao inserir valores para os coeficientes A, B e C de uma equação, o gráfico é construído automaticamente (Figura 11).

Figura 11 - Gráfico da equação x² + 4x +4 = 0

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Dessa forma, talvez esse uso não possibilite realizar reflexões e obter conhecimentos matemáticos. O professor de Matemática que deseja utilizar tecnologias em suas aulas precisa estar atento a esse fato, pois para Bairral (2012a, p. 93),

Toda atividade humana é mediada por alguma tecnologia. Sabemos que a tecnologia por si só não muda a natureza da escola, tampouco, da formação profissional. É preciso que os docentes tenham vontade própria e desenvolvam conhecimento crítico para incorporá-las em seu cotidiano. Desta forma, entender a atividade construída nos contextos (físico e social) deve ser uma função do professor de modo que o mesmo possa estar propondo diferentes situações de aprendizagem para enriquecer a construção conceitual.

Outro grupo de licenciandos, denominado Grupo 2, propôs a tarefa seguinte (Figura 12) para também ser realizada com esse app.

Figura 12 - Tarefa com app Equações de segundo grau proposta pelo Grupo 2

Fonte: Arquivo da pesquisadora, 2015

Entendemos que essa tarefa do Grupo 2 é interessante, pois o explora o conceito de função estudado no ensino médio. Por exemplo, os itens de sua subseção 1.2 são obtidos diretamente com a inserção dos coeficientes de uma equação. Porém devemos estar atentos para a redação de alguns itens, como, por exemplo: No item 1.2.1, devemos observar que, em uma função de 2º grau identificamos intervalos, nos quais ela é crescente “ou” descrescente e não se a função é crescente “e” descrescente como mostra a escrita. O mesmo acontece no item 1.2.4, no qual, a função de 2º grau possui um ponto de máximo “ou” de mínimo de acordo com a sua concavidade. A escrita da tarefa nesse item, também mostra o conectivo “e”, podendo assim, promover um equívoco nos conceitos para o leitor. No item 1.2.5, deveríamos relacioná-lo com os itens 1.2.1 e 1.2.4, e não com ele mesmo. Essas questões podem causar obstáculos no processo de aprendizagem em alguns estudantes que não possuem esses conceitos bem compreendidos.

As seções 3 e 4 podem se exploradas de forma a se tornarem interessantes e fundamentais para a aula, se forem bem mediadas pelo professor. Pois, a partir delas, os estudantes podem criar suas próprias funções, discutir entre si, bem como construir conceitos matemáticos sobre funções de 2º grau advindos dessa experimentação com o referido app. A essa tarefa proposta pelo Grupo 2 acrescentaríamos um momento de autoavaliação dos estudantes para registrar a visão do processo ocorrido e o professor solicitar sugestões para a aula seguinte.

As propostas têm potenciais, mas vale destacar que tanto a atividade com o Broken calculator quanto com Equações de segundo grau elaboradas pelos grupos poderiam ser realizadas sem o auxilio desses aplicativos. Portanto, essas ferramentas digitais não foram essenciais na realização dessas atividades. Diante disso, percebemos que os licenciandos, em seus depoimentos, não apontaram esse fato. O motivo pode ter sido porque ainda estivessem afetados pela ideia de usar as tecnologias digitais para reproduzir tarefas matemáticas, devido às experiências com tecnologias até então vivenciadas por eles, e por estarem iniciando suas experiências no ensino de Matemática. Perante isso, resolvemos observar também outros elementos distintos que surgiram nesse processo.

Vale destacar que o uso desse aplicativo pode proporcionar a otimização do tempo na resolução de uma questão, bem como a oportunidade de visualizar distintas equações. Desse modo, é possível construir aprendizados matemáticos. Exploramos, ainda, características desses aplicativos para refletir sobre como o seu uso poderia assumir uma abordagem que auxiliasse no processo de ensino e aprendizagem de Matemática com esses licenciandos e, futuramente, que eles pudessem realizar processo similar com seus aprendizes.

Alguns conteúdos que podem ser utilizados nas tarefas, com os aplicativos

Ao realizarmos esta pesquisa, nosso foco foi analisar como futuros professores planejaram tarefas para o ensino de Matemática quando usaram aplicativos em dispositivos móveis. Desse modo, os conceitos matemáticos foram discutidos de forma que perpassaram o uso dessas tecnologias. Porém, por se tratar de licenciandos de Matemática e envolver discussões sobre Educação Matemática durante toda a disciplina, entendemos que nossa pesquisa tem relevância nesse campo educacional porque aborda o uso didático-pedagógico de TD, como o tablet, por exemplo, ainda explorado de forma incipiente para o ensino de Matemática, na Formação Inicial de Professores (CIBOTTO, 2015).

Nesse processo, futuros professores de Matemática vivenciaram experiências pedagógicas envolvendo o uso de tais tecnologias, tentando contruir seus próprios aprendizados diante dos limites e contribuições desse uso de forma educativa no ensino de Matemática (CIBOTTO, 2015). Salientamos ainda que:

O protagonismo dos recursos tecnológicos baseados na linguagem informática foi adquirindo relevância na aprendizagem Matemática por terem um caráter predominantemente “empírico” (experimental e visual), que intensifica a dimensão heurística que envolve a produção de sentido e conhecimentos matemáticos (BORBA; SILVA; GADANIDIS, 2014, p. 52).

Propiciamos que cada grupo escolhesse os conceitos matemáticos que seriam explorados nas atividades desenvolvidas com o Broken calculator e Equações de segundo grau. Gostaríamos de ter discutido um pouco mais sobre como as atividades poderiam ser desenvolvidas com os estudantes de ensino fundamental e médio. Contudo, respeitamos as experiências docentes desses licenciandos até a realização da pesquisa e assumimos uma postura de aprender junto com eles e valorizar as atividades construídas nos planejamentos. É claro que fizemos algumas intervenções, mas sempre valorizando o conhecimento já existente e tentando fazer que refletissem sobre suas propostas (BAIRRAL, 2012a).

Sabíamos que conceitos, como: fatoração de números naturais; critérios de divisibilidade; expressões numéricas; números decimais; entre outros, podem ser explorados com o Broken calculator quando usado sob perspectiva de calculadora. Para Lorente (2007, p. 5), “na construção de conceitos, o emprego da calculadora facilita o desenvolvimento e a compreensão de conceitos como os de número (inteiro, decimal, racional, irracional, ...), [...]”. A interação e o feedback fornecido por esse aplicativo aos licenciandos foi relevante nesse tipo de tarefas.

Já com Equações de segundo grau, um aspecto interessante foi a relação entre álgebra e geometria (geometria analítica), visto que esse app mostra o gráfico de uma função quadrática. É evidente que essa relação deverá ser explorada de acordo com o nível de