PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO GRATULIANO ERIGOI ALVES DA SILVA
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GRATULIANO ERIGOI ALVES DA SILVA
UM ESTUDO SOBRE A APRENDIZAGEM DE NÚMEROS IRRACIONAIS NO ENSINO MÉDIO
NATAL 2006
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Educação.
Orientador:
Não é no silêncio que os homens se fazem, mas na palavra, no trabalho, na ação-reflexão. Por isso o diálogo é uma exigência existencial.
Não há porém, diálogo, se não há uma intensa fé nos homens. Fé no seu poder de fazer e refazer, de criar e recriar. Fé na sua vocação de ser mais, que não é privilégio de alguns eleitos, mas direito dos homens.
AGRADECIMENTOS
Quero agradecer a todos aqueles que contribuíram de forma direta ou indireta com este trabalho, mais especialmente aos três professores que fizeram parte da banca de seleção doutoral que acreditaram na minha capacidade de luta — sem a confiança deles não teria nem mesmo iniciado esta caminhada.
Inicio citando a Professora Doutora Betânia Leite Ramalho a quem devo toda gratidão; ao professor Doutor Iran Abreu Mendes que atuou como grande amigo e ao professor Doutor Francisco Peregrino Rodrigues Neto que além de ter participado da Banca assumiu a orientação dos estudos, o qual fez com muita paciência e tranqüilidade.
Agradeço ao professor Dr. John Andrew Fossa e a professora Doutora Rogéria Gaudêncio do Rego pelas contribuições ao trabalho. A então diretora da escola estadual Walftredo Gurgel, professora Edjane Maria Vilar de Souza Ramos, pelo apoio e interesse em conseguir um professor para ceder uma das turmas para que realizássemos parte da intervenção metodológica da pesquisa. A professora Francisca das Chagas Sena Lobato (chaguinha), por ter cedido uma das turmas para realização do trabalho.
A professora Lígia Souza de Santana Pereira coordenadora pedagógica do Ensino Médio da escola Agrícola de Jundiaí por ter cedido uma das turmas para fazer parte do estudo.
Aos alunos que contribuíram participando voluntariamente do desenvolvimento da intervenção metodológica da pesquisa.
RESUMO
O presente estudo descreve as relações teórico-práticas entre a elaboração e a aplicação de atividades de ensino de matemática. Propomos uma abordagem metodológica sobre números irracionais para a primeira série do Ensino Médio, amparando-nos em uma experiência que envolve o ensino de números irracionais através do uso de atividades construtivistas aplicadas obedecendo a uma seqüência didática. Utilizamos o construtivismo como referencial teórico importante no ensino-aprendizagem da Matemática. A intervenção metodológica foi levada a efeito junto a estudantes de duas turmas de 1ª série do Ensino Médio de duas escolas públicas, uma estadual e outra federal, situadas na grande Natal, no Estado do Rio Grande do Norte. A elaboração, aplicação e a avaliação das atividades usadas nesta experiência nos levaram a refletir mais profundamente acerca do valor das idéias construtivistas e entender que o uso de atividades obedecendo a uma seqüência didática no ensino de Matemática favorecem a aprendizagem dos educandos. Discutimos também os resultados da pesquisa comentando-os de forma a contribuir com o avanço da proposta e seu uso mais constante. A participação e a avaliação dos estudantes foram analisadas e julgadas mediante os conceitos de compreensão relacional e compreensão instrumental de Skemp. Dado os resultados alcançados que consideramos positivos de nossa pesquisa, acreditamos que esta intervenção metodológica pode ser usada de forma mais freqüente em sala de aula do Ensino Médio e também pode ser aplicada a professores em cursos de formação inicial e/ou formação contínua.
ABSTRACT
The present study describes theoretical–practical relationships between development and application of activities in Mathematics education. It’s proposed a methodological approach to Mathematics in the first grade of Ensino Médio, supported by an experiment involving Irrational Numbers education by using constructive activities, applied obeying an educational sequence. Constructivism is used as an important theoretical reference in teaching–learning process of Mathematics. The methodological intervention was done with two classes of students of the first grade of Ensino Médio, in two public schools, a state one and a federal one, located on the city of Natal, Rio Grande do Norte. The development, application and testing of the activities used on this experiment led us to think more profoundly about the value of constructivism ideas and understand that the use of activities that obey an educational sequence favors the learning. It’s also discussed the research results, commented on a way to contribute to the advances of the proposal and it’s more constant use. The participation and testing of the students were analyzed and judged using Skemp’s Instrumental Understanding and Relational Understanding concepts. The results of the research were considered good, so we believe this methodological intervention can be used more frequently in the classes of Ensino Médio and also be applied to teachers in courses of initial education and continuous formation.
RESUMÉ
Cette étude décrit les rapports théorique-pratiques entre l’élaboration et l’application d’activités d’enseignement de mathématiques. Nous proposons une approche méthodologique pour les mathématiques à la première année de l’Enseignement Moyen, en nous appuyant sur une expérience qui concerne l’enseignement des nombres irrationnels à partir de l’usage d’activités constructives appliquées obéissant à une séquence didactique. Nous avons pris le constructivisme comme référence théorique importante dans l’enseignement-apprentissage des mathématiques. L’intervention méthodologique a été effectuée auprès d’étudiants de deux classes de première année de l’Enseignement Moyen de deux écoles publiques : L’une de l’état et l’autre fédérale, situées sur la banlieue de Natal, à l’état du Rio Grande do Norte. L’élaboration, l´application et l’évaluation des activités utilisées dans cette expérience nous amènent à réfléchir plus profondément à propos de la valeur des idées constructivistes et comprendre que l’usage d’activités obéissant à une séquence didactique dans l’enseignement de mathématiques favorise l’appretissage des apprenants. Nous avons également discuté les résultats de la recherche en les commentant de manière à contribuer à l’avancement de la proposition et à son utilisation plus constante. La participation et l’évaluation des apprenants ont été analisées et jugées conformément aux concepts de compréhension relationnelle et compréhension instrumentale de Skemp. Par les résultats positifs obtenus de notre recherche, nous croyons que cette intervention méthodologue peut être utilisée de manière plus fréquente en salle de classe de l´Enseignement Moyen et peut aussi être appliquée à des professeurs en cours de formation initiale et/ou formation continue.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 11
1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ESTUDO 14
1.1 A Educação Escolar Brasileira 1960 – 2003 14
1.2 A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional 15
1.2.1 As reformas da LDB – Lei de nº 5.692/71 15
1.3 A Nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei 9394/96 17
1.4 As Leis de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira e as Exigências para
o Exercício da Função de Professor 18
1.5 O Novo Ensino Médio no Brasil 19
1.5.1 O Currículo de Matemática para o Ensino Médio: PCNEM 21
1.6 O Ensino de Matemática no Brasil 22
1.6.1 O Ensino de Matemática no estado do Rio Grande do Norte 25 1.7 Os Livros Didáticos e os Conteúdos Propostos para a 1ª série do Ensino
Médio
27
2 METODOLOGIA 30
2VQ¼PHURVLUUDFLRQDLVQR(QVLQR)XQGDPHQWDO 30
2.2 O Estudo sobre a Aprendizagem de Números Irracionais no Ensino Médio 32
2.3 O Construtivismo de Jean Piaget 35
2.4 O Construtivismo Radical de von Glasersfeld 39
2.5 Skemp e os conceitos de aprendizagem 40
2.6 Os obstáculos que interferem na aprendizagem da matemática 42
2.6.1 Obstáculos epistemológicos 43
2EVW£FXORVGLG£WLFRV 44
2.6.3 Obstáculos ontogênicos 45
2.6.4 Números irracionais e os obstáculos 45
2.7 Outros trabalhos que envolvem números irracionais 46
2.8 Percurso Metodológico 46
2.9 Instrumentos para levantamento de dados 48
3 A INTERVENÇÃO METODOLÓGICA NO ENSINO MÉDIO 50
3.1 Caracterização dos sujeitos 50
3.3 Avaliação diagnóstica 51
3.3.1 Objetivos da Avaliação Diagnóstica 53
3.3.2 A entrevista para a Avaliação Diagnóstica 54 3.3.3 Apresentação dos objetivos das questões da prova escrita para a avaliação diagnóstica e respectivas questões
55
3.3.4 Critérios para correção das questões da prova escrita da Avaliação
Diagnóstica 61
3.3.5 Pontuação das respostas das questões
62
3.3.6 Apresentação dos dados
62 3.3.7 Comentário sobre as respostas dos alunos 65
3.3.8 As entrevistas 71
3.3.9 Análise dos dados da avaliação diagnóstica 80
3.4 O Módulo de Ensino 84
3.4.1 Atividades para o Módulo de Ensino 84
3.4.2 Comentários sobre aplicação do Módulo de Ensino 86
3.4.3 A Aplicação do Módulo de Ensino 89
3.4.4 A Aplicação das atividades no grupo 1 90
3.4.5 A aplicação do Módulo de Ensino no grupo 2 99 3.4.6 Conclusões sobre a aplicação do Módulo de Ensino 107
3.5 Avaliação final 107
3.5.1 Objetivos da Avaliação de saída 108
3.5.2 Critérios para a correção e julgamento das respostas dos alunos 108 3.5.3 Questões da prova escrita da avaliação de saída 109 3.5.4 Apresentação dos dados da avaliação de saída em tabelas e gráficos 114 3.5.5 Apresentação gráfica dos dados da avaliação de saída 114 3.5.6 Comentários sobre as respostas dos alunos na avaliação final 117 3.5.7 Análise qualitativa dos dados da avaliação final 118
Conclusões do estudo 123
BIBLIOGAFIA REFERIDA 126
BIBLIOGAFIA CONSULTDA 130
APÊNDICE 1: O MÓDULO DE ENSINO 131
INTRODUÇÂO
O nosso interesse pelo tema números irracionais, surgiu da própria prática como professor de Matemática dos dois níveis do ensino básico, 1º e 2º graus, hoje, denominados de Ensino Fundamental e Ensino Médio, respectivamente — Iniciando a função de professor de Matemática no ano de 1979, quando começamos a graduação em tecnologia têxtil pela Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN).
Com a implantação da Lei 9394/96, comentada neste trabalho, e nossa participação como professor-formador do curso de atualização curricular para professores de Matemática da rede estadual de ensino, visando à implantação dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, em sua versão preliminar, vimos à necessidade e importância de continuarmos estudando e nos aperfeiçoando no campo da atuação profissional. O que veio a ocorrer com o curso de especialização em Matemática, promovido pelo Departamento de Matemática da UFRN, onde realizamos uma pesquisa bibliográfica objetivando verificar a maneira pela qual o conteúdo matemático número irracional era abordado nos livros didáticos.
A definição de número irracional é abordada na 7ª série, mas geralmente, o assunto é apresentado em termos práticos através de regras para operar com radicais, o que se verifica na 8ª série. Muitas vezes não se usam justificativas convincentes que possibilitem aos alunos perceberem a utilidade do estudo deste conteúdo.
Partindo dessa análise bibliográfica percebemos a necessidade de fazer uma intervenção metodológica sobre o ensino dos números irracionais junto a alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, que pudesse tornar o trabalho sobre esses números mais significativo. Além disso, alunos, da 7ª e da 8ª série, como também das três séries do Ensino Médio, não conseguem entender que o conjunto dos números irracionais é parte dos números reais, ficando sua aplicação restrita à racionalização de denominadores.
havendo a necessidade de se rever o modo como é desenvolvido em sala de aula, em conseqüência do nível de entendimento demonstrado pelos alunos.
Considerando o baixo desempenho dos alunos da 8ª série sobre os números irracionais, surgem os questionamentos: i) Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo? ii) É realmente necessário estudar os números irracionais no Ensino Médio? É nossa finalidade responder as questões ao elaborarmos, aplicarmos e avaliarmos uma proposta metodológica para o conteúdo dos números irracionais que priorize a construção dos conceitos pelos alunos.
Ao propormos um trabalho com atividades de ensino aos alunos priorizando a construção de conceitos, acreditamos que estes alcançarão uma aprendizagem que seja mais significativa. Sendo assim, concebemos a aprendizagem significativa como aquela em que os alunos aprendem com mais compreensão, ou seja, que o assunto aprendido tem significância lógica e se transforma em psicológica para o aprendiz e é incorporado por este, a partir da bagagem cognitiva que possui.
O texto está dividido em três partes onde comentamos sobre as Leis que deram estrutura organizacional à Educação Escolar brasileira no período de 1960 (séc. XX) a 2003 do corrente; discutimos a proposta sugerida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM); discorremos sobre o ensino da matemática no Brasil, no Estado do Rio Grande do Norte e apontamos os conteúdos abordados nos livros didáticos para a primeira série do Ensino Médio.
Apresentamos dados sobre o trabalho realizado no mestrado: Um estudo sobre a aprendizagem de números irracionais no Ensino Fundamental. Apontamos outros trabalhos envolvendo os números irracionais e traçamos um perfil deste trabalho indicando objeto de estudo, teorias de ensino, o construtivismo de Jean Piaget, o construtivismo radical, os conceitos de compreensão instrumental e relacional de Skemp, o percurso metodológico da pesquisa e os instrumentos para levantamento de dados.
1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ESTUDO
Este capítulo tem como objetivo apresentarmos as considerações iniciais da pesquisa, descrevendo os vários momentos históricos da educação escolar brasileira, apontando as propostas de mudanças na denominação dos níveis de ensino e a organização curricular no período de 1960 a 2003. Neste intervalo de tempo fatos importantes influenciaram a educação nacional.
Para falarmos dos momentos marcantes da educação no Brasil recorreremos às leis de ensino. A Lei nº 4024, de 20 de dezembro de 1961, e suas reformas através da Lei nº 5692 de 1971 foram marcos no contexto educacional — como também foi a segunda e atual Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei de nº 9394 de 20 de dezembro de 1996. Estas leis trouxeram mudanças significativas e reorganizaram a estrutura do ensino-aprendizagem no Brasil.
Destacaremos a estrutura do novo ensino médio proposta pelos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) discutindo o currículo de Matemática lá colocado e comentaremos os conteúdos abordados nos livros didáticos do referido componente curricular para a primeira série do ensino médio, comentaremos ainda sobre o ensino de Matemática no Brasil, perpassando pelo movimento da Matemática Moderna e ressaltaremos o ensino desta disciplina no Estado do Rio Grande do Norte.
1.1 A Educação Escolar Brasileira 1960 – 2003
A educação escolar brasileira ao longo de sua história tem passado por mudanças na legislação e organização curricular. Neste estudo retrataremos aspectos importantes e um pouco dessa história a partir da primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB de 1961, Lei 4.024 de 20 de dezembro de 1961). Também relataremos as reformas feitas à LDB, com a 5.692/71 e a atual de 20 de dezembro de 1996.
decisões tomadas na área da educação escolar que passou a ser vista como um problema de ordem nacional.
Para organizar a educação escolar há a necessidade de leis que estabeleçam diretrizes e parâmetros para o seu funcionamento. Assim, comentaremos algumas importantes leis de ensino no Brasil, a partir da década de 1960, destacando a parte que se refere ao atual Ensino Médio.
1.2 A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei de nº 4024 de 20 de dezembro de 1961, manteve a estrutura do ensino em vigor, seguindo o estabelecido nas leis orgânicas do ensino decretadas em 1942 e 1946. Ela manteve o ensino primário em quatro anos, seqüenciado pelo ensino médio com duração de sete anos e dividido de forma vertical em duas etapas: A primeira, ginasial, com a duração de quatro anos; e a segunda, colegial, com três anos de duração. O colegial estava subdividido horizontalmente em: Secundário, Normal e Técnico. A primeira LDB deu nova forma ao curso Técnico deixando-o organizado em Industrial, Agrícola e Comercial e, apenas o curso Secundário permitia acesso ao ensino superior. A LDB mudou essa estrutura dando a oportunidade do acesso ao ensino superior através do vestibular, independentemente do curso realizado no ensino médio. (SAVIANI, 2001).
1.2.1 As reformas da LDB – Lei de nº 5.692/71
trabalho pedagógico em diferentes funções: os chamados especialistas (SAVIANI, 2000, p. 13).
O enfoque do tecnicismo não era o aluno e nem tão pouco o professor e sim, “[...] a organização racional dos meios [...]”, (SAVIANI, 2000, p. 13). O planejamento, a coordenação e o controle de todo o processo educativo ficava a cargo dos especialistas, pessoas que supostamente eram habilitadas, para tal atividade e isentos de parcialidade. Permitiu, também, espaço para um ajustamento regional e local do educando ao sistema de ensino. Segundo o parecer nº 853/71, citado em Brasil (1979),
A escolha dos conteúdos que irão formar cada currículo é feita, segundo sistemática da lei por aproximação sucessiva em escala decrescente, numa intencional busca de autenticidade aos vários níveis de influência que se projetam no ensino: o nível dos conhecimentos humanos, o nível nacional, o nível regional, o nível escolar, o nível do próprio aluno. (BRASIL, 1979, p, 221).
Reportando-nos ao parecer 853/71 percebemos que a legislação, em sua flexibilidade, dava a oportunidade para a escola adaptar o seu currículo, mas ao mesmo tempo retirava essa autonomia dando poderes aos conselhos de educação para determinarem o que poderia ou não ser incluído como parte diversificada. Observemos o que determina o artigo 4º da Lei 5692/71: “Os currículos do ensino de 1º e 2º graus terão um núcleo comum obrigatório em âmbito nacional, e uma parte diversificada para atender, conforme as necessidades e possibilidades concretas, as peculiaridades locais, aos planos dos estabelecimentos e às diferenças individuais dos alunos”.
poderá cada estabelecimento escolher as que devem constituir a parte diversificada”. Neste caso os conselhos decidiam quais as disciplinas que os estabelecimentos escolares poderiam ou não escolher como parte diversificada, não assumindo a responsabilidade direta nessa escolha.
Como podemos perceber com a Lei 5.692/71, a parte diversificada da estrutura curricular do sistema de ensino nacional passou a ser de controle dos conselhos de educação, não cabendo às escolas ou à comunidade escolar opinar e decidir sobre o assunto.
1.3 A Nova Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – Lei 9394/96
Em 20 de dezembro de 1996, o Sistema Nacional de Educação passou a ser regido pela nova Lei, a 9394/96, que tem como proposta o fim da dualidade entre o ensino médio e a educação profissional. Assim, os sistemas e os estabelecimentos escolares de ensino médio deverão ser capazes de criar e desenvolver, com a participação de professores e a comunidade escolar, alternativas institucionais com identidade própria, observada a missão de promover a educação do jovem, usando as várias possibilidades de organização pedagógica. Os sistemas educacionais terão de contemplar a formação básica, integrando as séries finais do ensino fundamental com o ensino médio, dado a proximidade de faixa etária dos alunos desses níveis de ensino e as características comuns entre as disciplinas desses segmentos de ensino.
A organização curricular na LDB apresenta uma base comum que determina a construção do currículo no ensino fundamental e médio, a ser complementada em cada sistema de ensino e estabelecimento escolar, por parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e da clientela (art. 26, da Lei 9394/96).
A base comum contém em si a dimensão de preparação para o prosseguimento de estudos e deve caminhar no sentido de que a construção de competências e habilidades básicas seja o objetivo do processo de aprendizagem e não o acúmulo de esquemas pré-estabelecidos.
O art. 26 da LDB determina a obrigatoriedade, nessa base nacional comum, de “estudos da língua portuguesa e de matemática, conhecimento do mundo físico e natural e da realidade social e política, especialmente, do Brasil [...]”. Este é o direcionamento dado para os conhecimentos básicos que devem ser trabalhados pelos sistemas de ensino.
1.4 As Leis de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira e as Exigências para o Exercício da Função de Professor.
A primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), de 20 de dezembro de 1961 apresenta, pela primeira vez, exigência e fixa diretrizes para a educação nacional. Neste sentido, o Art. 5º inciso XIV diz que: “traçar as diretrizes da educação nacional” é dever da União. Indica a necessidade de se fixar um plano nacional de educação em seu Artigo 150, alínea “a”, em que está escrito: “fixar o plano nacional de educação, compreensivo do ensino de todos os graus e ramos, comuns e especializados; e coordenar e fiscalizar a sua execução, em todo território do país”. Como também, dá poderes ao Conselho Nacional de Educação para elaborá-lo e encaminhá-lo ao Poder Legislativo para aprovação.
A Lei nº 4024/61 apresentava em seu Capítulo IV a exigência para atuar no magistério de ensino primário e médio. O ensino normal era responsável pela formação de professores e especialistas do ensino primário. Dentre eles, orientadores, supervisores e administradores escolares. Para a função de professor do ensino médio era exigida a formação e habilitação nas Faculdades de Filosofia. Quanto aos docentes do Ensino Normal sua formação deveria acontecer nos Institutos de Educação.
O ingresso no magistério público deve-se dar exclusivamente por concurso público de provas e títulos, devendo ser assegurado aos professores aperfeiçoamento profissional continuado, inclusive em serviço, piso salarial profissional, incentivos à titulação e produtividade.
1.5 O Novo Ensino Médio no Brasil
O Novo Ensino Médio tem uma organização curricular dividida em três áreas de conhecimento, assim propostas:
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias: nessa área de conhecimento estão agrupadas as disciplinas de Língua Portuguesa, Língua Estrangeira Moderna, Educação Física, Arte e conhecimentos de Informática. O fio condutor desse agrupamento é o entendimento de que as linguagens e códigos são vistos em suas multiplicidades, dinamicidades e situados no tempo e espaço, com implicações de caráter histórico, sociológico e antropológico.
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias: são agrupadas as disciplinas de Biologia, Física, Química e Matemática. A finalidade proposta para esse agrupamento é o ensino das disciplinas produzir um conhecimento efetivo e significativo para os alunos, perdendo um pouco do caráter propedêutico que sempre marcou o ensino de 2º grau.
Ciências Humanas e suas Tecnologias: nessa área é proposto o agrupamento das disciplinas História, Geografia, conhecimentos de Sociologia, Antropologia, Política e Filosofia. A tônica é trabalhar essas áreas do conhecimento de forma que os alunos compreendam que a sociedade é resultado de uma construção humana.
próximo do cotidiano dos alunos possibilitando-lhes condições de compreender e intervir na realidade em que vivem.
As diretrizes do novo ensino médio colocam a escola como agente principal na definição do currículo escolar, o professor como agente mediador e transformador e o estudante, o cidadão alvo de toda a mudança. As diretrizes estão definidas nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio como guias para orientar o estabelecimento escolar e os professores na aplicação do novo modelo. Ao dispor os conteúdos interligados por área, os PCNEM facilitam e criam caminhos para atingir o objetivo de levar ao estudante conhecimentos capazes de torná-lo uma pessoa crítica e hábil para continuar aprendendo e se adaptando ao mundo globalizado.
Os PCNEM propõem que os conteúdos devam ser vistos como meios para a constituição de competências e não como fins em si mesmo. O trabalho do raciocínio deve prevalecer sobre o da memória e o conhecimento deve ser experimentado pelo aluno e não apenas transmitido a ele pelo professor. O aluno deverá ser capacitado a construir competências, habilidades e disposição de condutas que lhe tornem possível a inserção na sociedade de forma produtiva, deixando de ter um comportamento passivo diante das informações recebidas.
Com as novas diretrizes fica maior a responsabilidade da escola e do professor em planejar seu programa de ensino procurando dar dinamismo e evitando seguir rigorosamente o livro didático. Para isso, deverão identificar as necessidades imediatas dos alunos e traçar um planejamento adequado às novas exigências. O professor passa a ter uma maior liberdade, mas requer disciplina, responsabilidade e também um maior preparo por parte deste. Percebemos então que essa nova exigência para a escola e o professor requer mudanças profundas de postura, de materiais didáticos e principalmente uma formação adequada aos professores, tanto a inicial, quanto a continuada, essenciais para haver melhorias na educação.
A idéia é que se pense em propostas de trabalho com a Matemática que auxiliem os alunos a trilhar esse caminho e isto só será possível se houver uma ressignificação dos conteúdos trabalhados no Ensino Médio. Tais conteúdos necessitam ser propostos aos alunos com um novo formato, onde possam participar significativamente: fazendo, debatendo, construindo a partir do que é posto.
1.5.1 O Currículo de Matemática para o Ensino Médio: o que apontam os PCNEM
Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio — PCNEM, (BRASIL, 1999, p. 250-260), afirmam que a Matemática deve ter um papel formativo, contribuir para o desenvolvimento de processo de pensamento e aquisição de atitudes, ajudando a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo. Além de seu caráter instrumental, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento. “O aluno deve perceber a Matemática como um sistema de códigos e regras que a torna uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-las”, Brasil, (1999, p. 253).
O currículo de Matemática para o Ensino Médio deve conter os conteúdos mínimos para a Base Nacional Comum e o currículo flexível organizado pela unidade escolar. O currículo a ser elaborado deve apresentar uma boa seleção de conteúdos e contemplar aspectos dos conteúdos a serem enfatizados. Os PCNEM propõem que o currículo de Matemática do Ensino Médio contemple os seguintes conteúdos:
i) Funções — destacando as funções trigonométricas e seus gráficos; as seqüências, enfatizando progressões aritméticas e progressões geométricas; as propriedades de retas e parábolas estudadas em geometria analítica; polinômios e equações algébricas, dando ênfase às funções polinomiais;
ii) Trigonometria — enfatizando a aplicação da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições;
iv) Geometria — destacando as formas e as propriedades geométricas, contemplando as habilidades de visualização, desenho e argumentação lógica;
v) Probabilidade e combinatória — destacando as técnicas e raciocínios estatísticos e probabilísticos;
Desta maneira os PCNEM (1999), destacam a importância do currículo de Matemática para o Ensino Médio, de forma a contemplar os conceitos, os procedimentos, o desenvolvimento de valores e atitudes como pontos fundamentais para que o aluno desenvolva suas habilidades.
1.6 O Ensino de Matemática no Brasil
O ensino da matemática elementar tem sido objeto de estudo de pesquisadores, com crescente interesse, desde o Movimento da Matemática Moderna como uma conseqüência de discussões de estudiosos da Educação Matemática. Esse movimento, com ênfase nos anos setenta teve como características marcantes a reestruturação do currículo de matemática, com a inclusão de novos conteúdos — a exemplo, Teorias dos Conjuntos e Funções — além de uma visão estruturalista do ensino da Álgebra. A questão metodológica, que no começo estava voltada para os meios de ensino sob influência do behaviorismo, receberia importantes contribuições da área da cognição, notadamente dos estudos de Piaget, como o conceito de abstração reflexiva, que dariam base a trabalhos voltados para teoria de aprendizagem em matemática numa perspectiva construtivista.
Apesar das discussões sobre o ensino de matemática e as diversas pesquisas realizadas, a disciplina ainda é considerada um verdadeiro filtro social.
O ensino de matemática que foi marcado pela excessiva preocupação com a memorização, em detrimento da compreensão, de fórmulas e a formação incompleta de conceitos, numa época que antecede ao que se chamaria de “Matemática Moderna”, não tem mudado de maneira geral, nem mesmo com as propostas de inovações metodológicas incorporadas em alguns currículos.
A Matemática Moderna, que a partir dos trabalhos do grupo Nicolas Bourbaki cujo objetivo central consistia na exposição de toda a matemática de forma axiomática e unificada, tendo como elementos unificadores as estruturas, teve grande repercussão na educação matemática mundial, recebeu considerável importância no Brasil e conseguiu acabar com alguns mitos existentes. Como todo movimento inovador radical, sofreu desgastes com os exageros das improvisações e das precipitações, como relatado por D’Ambrosio (1996).
A matemática moderna no Brasil dos anos 70 estava ligada diretamente aos livros didáticos teve grande influência no ensino-aprendizagem e foi repensada depois da constatação de que era inadequada em alguns de seus princípios (formar um adulto bem disciplinado, persistente, rigoroso). Segundo Fonseca (1995), “a Matemática Moderna seria um meio pelo qual se formariam homens bem organizados, de pensamentos claros, preciosos e ordenados”
Miorim refere-se à Matemática Moderna, afirmando que:
A organização da Matemática Moderna baseava-se na teoria dos conjuntos, nas estruturas matemáticas e na lógica matemática. Esses três elementos foram responsáveis pela “unificação” dos campos matemáticos, um dos maiores objetivos do movimento. Para isso, enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa e de justificações matemáticas rigorosas os alunos não precisam “saber fazer”, mas sim, “saber justificar” por que faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as relações e funções, tornaram-se temas básicos para o desenvolvimento dessas propostas. (MIORIM, 1998, p. 114).
como papel fundamental a linguagem matemática; o ensino estava mais voltado à teoria do que à prática, dando-se ênfase a linguagem da teoria dos conjuntos em detrimento do cálculo da aritmética, da geometria e das medidas. A repercussão da Matemática Moderna no Brasil se deveu à ênfase dada pelos livros didáticos de matemática para o 1º e 2º graus.
Algumas propostas curriculares de Matemática, elaboradas a partir da segunda metade da década de 1980, não surtiram o efeito esperado, apresentando incoerência entre a carta de princípios, os conteúdos e a metodologia indicada: confundiram-se os fundamentos ideológicos dos educadores matemáticos progressistas e a sugestão de uma lista de conteúdos que hoje são de pouco interesse e também apresentavam uma abordagem de ensino-aprendizagem apenas como transmissão de conhecimento, sem a preocupação de definir critérios que pudessem indicar, de modo claro e objetivo, as capacidades a serem desenvolvidas.
Nos recentes anos, o Ministério da Educação e Cultura (MEC) realizou pesquisas sobre o ensino-aprendizagem nos vários níveis da educação escolar. Os resultados obtidos pelos alunos de 7ª e 8ª séries do Ensino Fundamental nos testes em matemática não foram muito animadores.
Dados do Sistema Nacional de Avaliação Escolar da Educação Básica (SAEB), coletados através de testes aplicados em todos os estados brasileiros, podem ser considerados indicadores expressivos de como se encontra o ensino da Matemática.
Nas provas de proficiências em matemática, aplicadas em 1993, verificou-se que 5,9% dos alunos de 7ª Série acertaram, pelo menos, metade das questões.
Nas provas de proficiências de matemática, aplicadas em 1995, englobando estudantes de 4ª e 8ª Séries do Ensino Fundamental, os percentuais de acertos e de capacidade cognitiva continuavam diminuindo à medida que aumentava o tempo de escolaridade mostrando, também, que as maiores dificuldades apresentadas pelos alunos estavam relacionadas à aplicação de conceitos e resolução de problemas.
pudessem ser utilizados como recursos metodológicos, os professores se apóiam nos livros didáticos, mas nem sempre levando em consideração a qualidade destes.
Propostas inovadoras são esbarradas na existência de concepções pedagógicas inadequadas, e a prática de qualquer professor, mesmo por vezes de forma não consciente, apóia-se numa concepção de ensino e aprendizagem que é responsável pelo tipo de representação que ele constrói sobre o seu papel, o papel do aluno, a metodologia, a função social da escola e os conteúdos a serem trabalhados. (BRASIL, 1997).
1.6.1 O Ensino de Matemática no Estado do Rio Grande do Norte
O ensino de matemática no estado do Rio Grande do Norte não difere historicamente dos outros estados brasileiros, mas no estudo comparativo dos resultados do SAEB – 1995/1997, o Rio Grande do Norte apresentou um melhor desempenho dos alunos da 8ª série, em 1997, quando se observou um aumento significativo nas médias de proficiência do Ensino Fundamental.
Em 1996, a Secretaria de Educação Cultura e Desportos do Estado do Rio Grande do Norte, realizou pesquisa avaliativa sobre o ensino-aprendizagem de matemática do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Os dados foram publicados no Relatório Geral da Sub-Coordenadoria de Avaliação da Secretaria Estadual de Educação, Cultura e Desportos do Rio Grande do Norte, SUAV/SECD-RN, 1999.
Discutiremos neste trabalho apenas os dados referentes à 8ª série do Ensino Fundamental. Segundo o Relatório Final de Matemática da Sub-coordenadoria de Avaliação SUAV/SECD-RN, a análise teve como objetivo fornecer um diagnóstico psicopedagógico das habilidades alcançadas pelos alunos em cada nível de proficiência, identificando as atividades que eles dominam.
Foi constatado que, quando se trata de ensino-aprendizagem de matemática, os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental das Escolas Públicas do Estado do Rio Grande do Norte pouco se diferenciam quando comparados com a média da proficiência dos alunos desta mesma série das escolas públicas brasileiras. A caracterização do perfil dos alunos da 8ª série partiu das variáveis: dados gerais e vida escolar.
significativa a porcentagem de alunos, com 18 anos, ou mais, chegando a 32% e apenas 17% dos alunos da 8ª série (que participaram da avaliação) estão na faixa de idade esperada. Do total de alunos avaliados, 40% são do sexo masculino e 60% do sexo feminino, mostrando que a população da 8ª série pesquisada é predominantemente feminina.
Um fato importante que merece ser citado é que o desempenho dos alunos em matemática também está associado à média de proficiência de gestão escolar (Administração da escola). Observou-se que nas escolas jurisdicionadas pelos 12 centros escolares de proficiência mais baixa, o rendimento dos alunos avaliados foi inferior à média de proficiência dos alunos em que a gestão escolar apresentou uma média de proficiência maior que à média, ou seja, cerca de 20% do total dos centros escolares.
O baixo desempenho em matemática dos alunos da 8ª série, também é atribuído à formação do professor, sendo que aproximadamente 62% deles possui diploma de curso superior. Também associado ao fracasso está o pouco tempo que o professor tem para preparar suas aulas, ocupando quase a totalidade do tempo de aula com o ensino, não sobrando tempo para o estudo e pesquisa.
Nas escolas jurisdicionadas pelos centros escolares, considerados na pesquisa como superiores (média de proficiência maior que a média geral do estado), 93% dos professores usam o livro didático de matemática que, para muitos, torna-se um bom manual de ensino pela sistematização das informações fornecidas sobre o conteúdo a ser ensinado.
A avaliação das escolas públicas indica que, a instituição escolar com infra-estrutura organizacional e pedagógica e que disponha de mais recursos materiais (livros didáticos, livros paradidáticos, dicionários, TV, vídeo, fita de vídeo, papel sulfite, cartolina, etc.), tende a ajudar significativamente o desempenho do aluno.
O relatório geral do caderno de avaliação das escolas públicas estaduais aponta um crescimento no índice da média de proficiência em matemática dos alunos pesquisados, tanto da 8ª série como 3ª série do Ensino Médio. O relatório mostra que, na 8ª série o índice de reprovação em matemática decresceu, mas isto não significa um aumento considerável dos alunos quanto aos conhecimentos matemáticos apreendidos.
Finalizando este sub-tópico, chegamos à conclusão de que o ensino-aprendizagem de matemática na 8ª série do Ensino Fundamental no Brasil apresenta um menor índice de repetência, mas este crescimento no número de aprovados na 8ª série não está refletindo no crescimento do conhecimento adquirido pelo aluno. No Relatório Geral de Avaliação das Escolas Públicas, (março, 1999 p.59), SUAV/SECD-RN, observa-se que os alunos da 8ª série do Ensino Fundamental apresentaram médias superiores às do Estado quando professores desenvolveram todo o conteúdo, ou pelo menos, 80% do previsto para o ano letivo, indicando assim que, quando os alunos possuem habilidades necessárias à aprendizagem, o ensino do conteúdo ocorre em menor tempo, elevando, portanto, a quantidade de conteúdos que podem ser ensinados durante o ano.
1.7 Os Livros Didáticos e os Conteúdos Propostos para a 1ª série do Ensino Médio
i) Conjuntos numéricos – destacando os números naturais, os inteiros, os racionais, os números reais e intervalos;
ii) Funções – enfatizando os diversos tipos de funções, função do 1º grau, função do 2º grau e função definida por mais de uma sentença;
iii) Função Exponencial – enfatizando equações e inequações exponenciais; iv) Logaritmos – dando ênfase às propriedades operatórias, mudanças de
bases, funções logaritmos e suas aplicações;
v) Razões trigonométricas – destacando seno, cosseno, tangente, relação fundamental e área do triângulo;
vi) Trigonometria – enfatizando o ciclo trigonométrico e as funções seno, cosseno, tangente e a relação fundamental;
vii) Progressões – progressões aritméticas (PA) e progressões geométricas (PG).
Observando os currículos de Matemática para o antigo 2º Grau e o Novo Ensino Médio, verificando ainda o que propõem os PCNEM e os livros didáticos para a 1ª Série do Ensino Médio, percebemos que quando se trata de conteúdos não há uma grande diferença a não ser na Teoria dos Conjuntos, que não é incluída no currículo oficial atualmente. A diferença entre o antigo e Novo Ensino Médio está na proposta para a abordagem metodológica e, conseqüentemente, no referencial teórico.
A proposta para o atual Ensino Médio relaciona as competências indicadas na base comum, organiza o ensino-aprendizagem de forma a atender as exigências da Matemática e suas tecnologias produzindo conhecimento significativo, sugere a interdisciplinaridade e a contextualização dos conteúdos, atribui competências humanas a serem atingidas com o uso do conhecimento matemático. (BRASIL, 1999).
O desenvolvimento dos procedimentos matemáticos, envolvendo raciocínio lógico e expressões não deve ser exclusivo do professor de matemática, é preciso haver a interdisciplinaridade envolvendo os quatro componentes curriculares científico-tecnológicos de forma coordenada para que o aluno possa construir as abstrações matemáticas evitando a memorização de algoritmos.
Este capítulo objetiva apresentarmos uma discussão sobre o percurso metodológico deste trabalho, destacando o objeto de estudo e as questões norteadoras da pesquisa. Para tanto, retomamos pontos relevantes da nossa pesquisa de mestrado (SILVA 2002) sobre a aprendizagem de números irracionais no ensino fundamental, realizada junto a alunos de 8ª série. Neste capitulo também enfatizaremos o construtivismo de Jean Piaget; o construtivismo Radical de Glasersfeld; e os conceitos de compreensão instrumental e a relacional de Skemp; os obstáculos no processo de ensino/aprendizagem; além de comentarmos os dois trabalhos encontrados no portal da capes, sobre a temática.
2.1 Os números irracionais no Ensino Fundamental
Os números irracionais são inseridos nos livros didáticos de matemática destinados a alunos de 7º e 8ª série, geralmente com uma abordagem superficial, conclusão essa pensada a partir de pesquisa bibliográfica que realizamos como trabalho final da Especialização em Matemática/UFRN (SILVA, 2000).
Partindo dessa análise bibliográfica percebemos a necessidade de fazer uma intervenção metodológica sobre o ensino dos números irracionais junto a alunos da 8ª série do Ensino Fundamental, que pudesse tornar o trabalho sobre esses números mais significativo.
Apesar dos alunos que estão cursando ou que já cursaram a 8ª série, terem estudado o conjunto dos números irracionais, eles não vêem a utilização destes em situações práticas. Essa deficiência de aprendizagem fica confirmada pelas pesquisas realizadas no Rio Grande do Norte e comentadas neste trabalho.
Diante do exposto, percebemos a necessidade de se rever o modo como esse conteúdo é desenvolvido em sala de aula em conseqüência do nível de entendimento demonstrado pelos alunos, o que foi concretizado através de um Mestrado em Educação, (SILVA, 2002).
Realizamos a intervenção metodológica na sala de aula de uma turma de 8ª série, composta por 31 alunos, dos quais, 20 do sexo masculino e 11 do sexo feminino, de uma escola da rede pública municipal de ensino da cidade do Natal, localizada na Zona Norte, no segundo semestre de 2000.
O referido estudo teve quatro fases intercaladas entre si: i) Avaliação Diagnóstica; ii) Intervenção em Sala de Aula; iii) Pós-teste; iv) Análise dos dados.
Sintetizamos as conclusões desse estudo considerando a metodologia geral da pesquisa que compreendeu uma coleta de dados, com fases de avaliação e aplicação de módulo de ensino, caracterizada nos seguintes pontos:
i) A Avaliação Diagnóstica mostrou que, de modo geral, a maioria dos alunos não tinha conhecimento dos conceitos matemáticos explorados que permitisse responder as questões de forma satisfatória. No geral, percebemos que o nível de compreensão relacional demonstrado pelos participantes está muito baixo, esperava-se que alunos da série em questão apresentassem mais habilidades sobre os conteúdos explorados. Os resultados das respostas das questões avaliadas no estudo reforçam as pesquisas que apontam deficiência no ensino-aprendizagem de matemática.
ii) A aplicação das atividades do módulo de ensino foi bem recebida pelos alunos, cujo interesse em realizá-la foi percebido desde o início, tendo o grupo demonstrado uma afetividade positiva em relação à intervenção como um todo, o que contribuiu para o desenvolvimento do trabalho. As condições gerais de estudo favoreceram a aplicação desse instrumento da pesquisa. Verificamos também que a intervenção com o módulo de ensino foi positiva do ponto de vista da aprendizagem, em virtude da superação das dificuldades apontadas na avaliação diagnóstica. As atividades sobre números irracionais foram desenvolvidas de maneira satisfatória, atendendo aos objetivos propostos.
Diante dos resultados apresentados pelos alunos da 8ª série pesquisada retornamos aos seguintes questionamentos: i) Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo? ii) É realmente necessário estudar os números irracionais no Ensino Médio? Na tentativa de respondermos a esses questionamentos nos propomos a realizar uma pesquisa junto a alunos do ensino médio da rede pública de ensino.
2.2 O Estudo sobre a Aprendizagem de Números Irracionais no Ensino Médio
Diante dos resultados apontados na pesquisa de mestrando, relatados neste trabalho, e a necessidade de continuarmos os estudos sobre números irracionais, propomos este trabalho para dar continuidade à pesquisa (SILVA, 2002), considerando o conhecimento dos alunos da primeira série do Ensino Médio, tendo como objeto de estudo os números irracionais. Sendo assim, é nossa finalidade elaborar, aplicar e avaliar uma proposta metodológica sobre este conteúdo matemático que priorize a construção dos conceitos pelos alunos.
Dentre os campos que compõem a matemática elementar — tradicionalmente visto como Aritmética, Álgebra e Geometria — isolamos os Números Irracionais como sendo o assunto de nosso interesse para um estudo do ponto de vista do ensino.
Segundo Níven (1984), a História dos Números Irracionais remonta há cerca de 2500 anos, quando matemáticos gregos constataram a incomensurabilidade entre o lado e a diagonal do quadrado unitário. Em outras palavras, isso significa
que 2não pode ser escrito na forma de um número racional, (isto é,
b a
com a e b
inteiros). Uma discussão sobre números irracionais geralmente contém a prova
2é solução de x2 – 2 = 0) e uma outra contém todos os demais números, sendo estes chamados de números transcendentes, como o número irracional S (PI).
O estudo dos Números Reais faz parte do currículo oficial de Matemática para o Ensino Fundamental e consta nos livros-texto de Matemática para as 7ª e 8ª séries. Constatamos as dificuldades que os alunos de 8ª série apresentam no entendimento dos números irracionais, principalmente nos conteúdos que consideramos pré-requisitos para a aprendizagem do tema em foco, como: operações com raiz quadrada exata e não-exata, dízimas periódicas, cálculo de área do retângulo e teorema de Pitágoras. No estudo realizamos uma intervenção metodológica com base nesses conteúdos e percebemos ser possível, a partir dos resultados alcançados, haver um melhor entendimento do assunto por parte dos alunos, em razão da maneira como são trabalhados.
Consideramos os conceitos avaliados de fundamental importância para a aprendizagem e uso da matemática nas três séries do Ensino Médio, A nossa proposta de aprofundar o estudo sobre o conteúdo Números Irracionais em duas turmas de 1ª série do Ensino Médio, enquadra-se no currículo atual, tanto na proposta de conteúdos sugerida nos PCNEM, quanto à abordada nos livros didáticos. Segundo os PCNEM “[...] A Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas” (BRASIL, 1999, p. 252).
Os Números Irracionais como comentamos neste trabalho são explorados como forma de subconjunto dos Números Reais nas últimas séries do Ensino Fundamental, mas também são utilizados dentro dos vários conteúdos Matemáticos do Ensino Médio. Perpassando por intervalos, geometria e na trigonometria como
seno, cosseno, tangente, [...], exemplo: seno de 45º que é igual a 2
2
; no cálculo de
determinante, aplica-se junto ao conjunto dos números imaginários, também é explorado em geometria plana e geometria analítica.
cantando os pneus no asfalto para não provocar um acidente, parando próximo ao assustado pedestre. Um guarda próximo ao local quis logo multar o motorista por excesso de velocidade, mas o motorista disse que estava dirigindo a menos de 80 quilômetros por hora, velocidade máxima permitida naquela avenida. Como o guarda poderia saber a velocidade com que vinha o carro?
Em uma freada brusca os pneus deixam uma marca no asfalto, medindo o comprimento dessa marca é possível saber, aproximadamente a velocidade com
que vinha o carro. A fórmula, obtida através da física é a seguinte: V =14,6 c, onde
V representa a velocidade do carro em quilômetro por hora e c é o comprimento da marca deixada pelos pneus em metros — No caso citado, se os pneus do carro deixassem gravadas no asfalto uma marca de 43 metros. Aplicando a fórmula
V =14,6 c, teríamos a utilização de um número irracional e ficaria V 14,6u 43 =
78 , 95 56 , 6 6 ,
14 u , ou seja, o carro vinha aproximadamente a 96 km/h e o motorista deveria ser multado. Nessa situação, qualquer valor que fosse o comprimento da marca dos pneus no asfalto e que a medida não representasse um número quadrado perfeito se estaria usando números irracionais. Os referidos números também são muito utilizados nas engenharias, principalmente na construção civil, tendo assim, grande importância na prática, mesmo sendo utilizado com determinação de limite de casas decimais.
Outro ponto importante e, que chama nossa atenção para a necessidade de se aprofundar a abordagem dos Números Irracionais no Ensino Médio é a crescente procura dos estudantes desse nível de ensino pelos cursos da área tecnológica na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), nos últimos anos.
2.3 O Construtivismo de Jean Piaget
O construtivismo foi certamente o movimento predominante na educação em geral e, em particular, na pesquisa em ensino de ciências nas últimas décadas. A imagem de que o conhecimento é ativamente construído pelo aprendiz e não apenas transmitido pelo professor e passivamente apreendido é hoje um lugar comum não apenas entre pesquisadores, mas também no discurso de boa parte dos professores de todas as áreas. Embora seja difícil avaliar a extensão das mudanças, é notória a influência desse movimento nas concepções e práticas docentes. Talvez o principal impacto das orientações construtivistas esteja na atenção antes dirigida aos métodos de ensino, entendidos como técnicas capazes de ensinar com eficiência, para os processos de aprendizagem. O olhar do educador dirige-se assim para as potencialidades e as dificuldades dos estudantes em suas interações com os conteúdos escolares.
No ensino de ciências, a partir do final da década de 1970, a vertente predominante desse movimento dedicou-se a um grande esforço de pesquisa no sentido de mapear os conteúdos do conhecimento prévio dos estudantes acerca de fenômenos e processos naturais, bem como as interações dessas concepções espontâneas com os conceitos e teorias científicas que lhes são apresentados na escola.
Dos anos 1980 para cá, no Brasil, percebemos que há uma busca crescente da “perspectiva construtivista”, fundamentada nas pesquisas de Jean Piaget sobre epistemologia genética. O construtivismo surgiu para se contrapor ao inatismo e ao empirismo, que dominaram as explicações cognitivas, desde muito tempo. No inatismo, o ser humano já nasce com uma carga que o predispõe a aprender e compreender a realidade que o cerca. Já o empirismo coloca a origem do conhecimento nas experiências vividas pelo sujeito.
Tanto o inatismo quanto o empirismo não dão espaço para a ação do sujeito no conhecimento do mundo, e o construtivismo começa a valorizar essa ação do sujeito na busca pelo conhecimento.
O pensamento psicogenético considera fatores internos e fatores de interação do sujeito com a realidade. Existem fatores que possuem aspectos que influenciam o desenvolvimento e um dos fatores Piaget considera dominante. Os influenciadores são: Hereditariedade (considerado maturação biológica), experiência física, transmissão social. A equilibração é fator dominante. A hereditariedade influencia o desenvolvimento, mas não é suficiente para explicá-lo a maturação está na dependência da ação do sujeito, ou seja, o nosso mundo sensorial é resultante das nossas próprias atividades perceptivas de depende da maneira de percebermos e concebermos.
A experiência física é considerada como toda a experiência que resulta das ações realizadas materialmente; é fundamental ao desenvolvimento, também é insuficiente porque a lógica do sujeito não é resultante apenas dela. É necessária a coordenação interna entre as ações que o sujeito exerce sobre os objetos.
A transmissão social diz respeito ao aspecto da educação que é fundamental, mas não suficiente. Para a transmissão ser possível entre o adulto e a criança ou entre o meio social e a criança a ser educada, é necessário que ela assimile o que o meio lhe quer transmitir, e essa assimilação é acionada pelas leis do desenvolvimento.
A equilibração é o fator essencial e determinante no desenvolvimento do sujeito neste processo de adaptação ao meio em que vive. A equilibração se caracteriza por dois aspectos: equilibrar entre si os outros três fatores do desenvolvimento e equilibrar a descoberta de uma noção nova com outras, já existentes nas possibilidades de entendimento da criança ou do adulto. Diante do enfrentamento de um conflito cognitivo, é necessário um jogo de regulações e de compensações para que se atinja uma coerência entre o que já se sabia com as novidades provocadoras deste conflito; isto acontece pelas leis da equilibração. O processo interno de regulação e compensação se dá através de mecanismos internos de assimilação e acomodação.
em constante assimilação. Quando estamos diante de qualquer situação nova, primeiramente buscamos interpretá-la segundo nossas concepções atuais, emitindo hipóteses possíveis à sua interpretação dentro do contexto presente de nossa inteligência.
Acomodação: Quando o objeto que se pretende assimilar apresenta resistências e não é possível a sua apreensão o sujeito faz um esforço em sentido oposto ao da assimilação, isto é, se lança em movimento de acomodação. Modifica as suas hipóteses anteriores às exigências por esta novidade e torna possível sua assimilação. A acomodação surge a partir das perturbações provocadas pelas situações novas que o sujeito enfrenta. Na acomodação, o sujeito age no sentido de se transformar, ajustando-se através de um esforço pessoal e espontâneo às resistências impostas pelo objeto de conhecimento, que não foi possível ser assimilado imediatamente.
Piaget e seus colaboradores percebem o conhecimento como proveniente de fontes internas e externas ao sujeito e o reconhecem em três aspectos distintos e interligados: o físico, o lógico-matemático e o social.
Na teoria de Piaget, a abstração da cor dos objetos é considerada muito diferente da natureza ou abstração de números. Para a abstração de propriedade de objetos, Piaget usou o termo abstração empírica (ou simples); para a abstração de número, ele usou o termo abstração reflexiva (KAMII, 1986). Na Abstração Construtiva, a experiência lógico-matemática envolve não somente as abstrações exercidas sobre os objetos, mas as abstrações das coordenações que ligam essas ações; ela se relaciona com as propriedades das ações e não apenas dos objetos. É característica da experiência lógico-matemática a abstração construtiva ou reflexiva.
A abstração construtiva é elaborada na mente do sujeito ao criar relacionamentos entre vários objetos e coordenar essas relações entre si. Na abstração simples é a abstração do próprio objeto, ou seja, de suas propriedades mediante a observação das respostas que o objeto dá à ação exercida sobre ele. Ex.: estabelecer relações entre a massa de modelar e outros objetos, ordenar mentalmente essas relações, distinguir objetos que são moldáveis dos que não são.
seu pensamento. A partir de um dado momento o sujeito é capaz de realizar operações lógico-matemáticas dispensando a experiência física, interiorizando as ações em operações simbolicamente manipuláveis. Neste nível existe uma lógica e uma matemática pura onde a experiência física torna-se desnecessária.
A abstração reflexiva é considerada por Piaget um dos aspectos mais gerais do processo de equilibração e um dos motores do desenvolvimento. Ela se apóia nas coordenações das ações do sujeito, podendo estar inconsciente ou haver tomado de consciência. A abstração reflexiva possui dois aspectos inseparáveis: o refletir, ou seja, a projeção sobre o plano superior daquilo que é retirado do plano inferior, e a reflexão ato mental de reconstrução e reorganização, no plano superior, do que é transferido do inferior. A abstração reflexiva é, então, uma reflexão crítica das nossas atividades de reflexão, resultante num todo conceitual consistente, quer seja pela adição de novas experiências ao esquema já construído, quer pela reorganização da situação para acomodar o novo material. Em qualquer um desses casos, a compreensão conceitual é conseguida através de atividades organizacionais do sujeito epistemológico (PIAGET; GARCIA, 1987).
César Coll, (1998) ao falar na intervenção pedagógica do professor dentro da concepção construtivista de ensino, ressalta o quanto ela é importante e necessária. O aluno é o sujeito que constrói, modifica o seu conhecimento, mas é a ajuda pedagógica que favorece e direciona de forma mais organizada esse processo. Ela “[...] consiste essencialmente em criar condições adequadas para que essa dinâmica interna ocorra e para orientá-la em determinada direção: a que as intenções educativas indicam” (COLL, 1998, p. 139). Assim, a intervenção pedagógica funciona como algo necessário para que a aprendizagem dos alunos ocorra e seja significativa.
Os PCNEM sugerem que “O Ensino Médio deve, sem ser profissionalizante, propiciar um aprendizado útil à vida e ao trabalho, desenvolvendo instrumentos reais de julgamento, atuação e aprendizado permanente”. (BRASIL, 1999, p. 202). O processo ensino-aprendizagem deixa de ser centralizado exclusivamente no professor, para centrar-se no aluno, sujeito que constrói seu conhecimento ao elaborar representações relativas a um determinado conteúdo.
O papel do professor é muito importante nesse processo, pois, é ele, através de sua intervenção consciente, que possibilita ao aluno um caminho para uma aprendizagem significativa. Assim, o conhecimento se dará como algo resultante ”[…] de um complexo e intricado processo de modificação, reorganização e construção, utilizado pelos alunos para assimilar e interpretar os conteúdos escolares“. (BRASIL, 1997, p. 43).
O conhecimento é construído a partir da interação entre o aluno, o objeto de estudo e o professor, pois cada um desses agentes envolvidos no processo construtivo está diretamente ligado à construção final do conhecimento, ou seja, do saber. Em nosso trabalho utilizamos a proposta construtivista a partir da socialização das questões e suas respostas, da troca de experiências dos estudantes, da interação entre objeto de estudo e estudante, o diálogo entre os pares do mesmo grupo e também da turma, e a valorização dos saberes.
Os estudos de Jean Piaget foram muito importantes para a matemática, pois deles pode-se perceber o conhecimento de outro modo. Mas, neste trabalho também comentaremos o construtivismo radical de Ernsto van Glasersfeld.
2.4 O Construtivismo Radical de von Glasersfeld
O construtivismo radical de Glasersfeld, que é uma dessas vertentes que assume uma posição nitidamente subjetivista e idealista. Segundo Glasersfeld, o conhecimento reside na mente do sujeito cognoscente e não tem qualquer existência externa: "Se nossos conceitos são derivados por abstração da experiência, não há base para acreditar que eles possam captar nada que exista além da nossa experiência" (GLASERSFELD, 1991, p. 31).
A idéia de verdade é substituída pelo conceito de viabilidade. O conhecimento viável é aquele coerente com outros entendimentos da pessoa e que se organiza e se adapta com sua experiência. Disso resulta o fato de que o conhecimento científico não se diferencia de outras formas de conhecimento senão por sua linguagem, por sua forma, mas não por seus métodos ou por seus méritos.
Mesmo quando o indivíduo está limitado ao mundo da experiência perceptiva, este não está capacitado a colher todos os dados que seus sentidos podem oferecer. O indivíduo é, antes de tudo, um participante ativo no processo de conhecimento, devendo organizar e selecionar suas experiências, de modo a conferir significado a todas as suas aquisições sensoriais.
Os conceitos básicos, como o de identidade ou o de mudança, são construídos pelo sujeito epistemológico, em lugar de serem dados de uma realidade externa. Sendo assim, os resultados de atividades organizadas cognitivamente do sujeito, são mais ou menos coerentes, ou seja, estruturas cognitivas criadas por abstração reflexiva e desenvolvidas por atividade intencional (FOSSA, 1998, p. 23-26).
2.5 Skemp e os conceitos de aprendizagem
A análise do desenvolvimento das atividades de ensino da intervenção metodológica deste estudo foi realizada mediante os conceitos de compreensão instrumental e compreensão relacional de Skemp,
mesma tarefa. Enquanto que, no nível de compreensão instrumental, o indivíduo só consegue resolver algumas questões mecanicamente. A aprendizagem da matemática instrumental consiste no domínio de um conjunto de planos pré-estabelecidos e fixos para realizar tarefas matemáticas, planos que determinam procedimentos passo a passo.
À caracterização em compreensão relacional ou instrumental, Skemp chamou de o conhecimento, ou seja, o Saber. Na compreensão instrumental o Saber é considerado superficial, ligado a fatos concretos e reduzidos a situações decorrentes do próprio saber.
Para o pesquisador e professor John Fossa (2001, p. 83), “[...] a compreensão instrumental é não somente útil em certas circunstâncias, mas também é uma etapa necessária no desenvolvimento da compreensão relacional desde que o particular e o concreto vêm antes do geral e abstrato”.
Enquanto a compreensão relacional é o conhecimento mais aprofundado mais abstrato o qual permite ao indivíduo atuar com criatividade em novas situações. Podemos observar que esses dois conceitos de compreensão denominados por Skemp, são dois estágios de conhecimento que estão interligados apenas quantitativamente. O nosso trabalho sobre números irracionais está embasado na concepção dos conceitos de compreensão instrumental e relacional de Skemp.
Skemp também contextualiza esquema como sendo uma estruturação de conceitos formados e relacionados pelo sujeito epistemológico, não percebe um esquema como uma única estrutura da mente, pois considera a existência de vários esquemas simultaneamente. Para ele, o esquema tem duas funções principais: integra o conhecimento existente e também serve como um instrumento mental para a aquisição de novos conhecimentos.
Fossa (2001) define os esquemas associados à caracterização supracitada da seguinte maneira:
manuseio num vasto elenco de conhecimentos, favorecendo assim o pensamento crítico e criativo. Ao mesmo tempo, o desenvolvimento do pequeno grupo de princípios gerais permite uma organização mais eficiente dos vários elementos do conhecimento em um todo significativo, favorecendo a memória. Assim, o sujeito se torna mais adaptável à realização de tarefas novas e menos dependente das situações já vivenciadas. (FOSSA, 2001, p. 85-86),
A fala de Fossa destaca a importância de trabalharmos no sentido dos alunos (sujeitos da aprendizagem) atingirem o nível de compreensão relacional, reduzindo o número de regras facilitando a abstração e havendo assim um maior desempenho e consequentemente mais aproveitamento.
2.6 Os obstáculos que interferem na aprendizagem da matemática
A análise da avaliação diagnóstica torna-se impraticável, caso seja associada às compreensões relacionais e instrumentais. Haja vista que, para classificarmos os resultados dos alunos mediante estes conceitos precisávamos estar acompanhando-os e observando-os há certo tempo. Para isto, recorremos a Bachelard (2005), quando se refere aos obstáculos.
O ensino e a aprendizagem da Matemática é muitas vezes caracterizado por dificuldades entre o saber que é produzido pelos matemáticos (saber científico) e o saber que é ensinado (saber escolar). A dualidade entre estes saberes é marcada por tentativas de transformar um saber, que na gênese de sua criação tem como prioridade inicial, a generalização, e para isso recorre a uma descontextualização do espaço/tempo/local de sua criação para ser universal (saber científico); e o saber escolar que tem, na ação do professor, uma tentativa de recontextualizá-lo, para torná-lo mais acessível à aprendizagem pelo aluno. Este contexto “recriado” pelo professor para o saber escolar não é o contexto original em que o saber foi inicialmente elaborado.
Bachelard (2005) mostra que os primeiros obstáculos são os provocados pelas primeiras experiências, quando estas são realizadas sem maiores reflexões e críticas. Essa atitude primária é contrária ao espírito científico e resulta na fragilidade do conhecimento. Para a validação da ciência, esse abuso da intuição não se constitui em um elemento plausível à elaboração conceitual. No plano pedagógico, associam-se esses obstáculos à forma simplificada dos conteúdos no livro didático, onde o formalismo não corresponde aos desafios do fenômeno cognitivo.
Em termos de Matemática podemos encontrar três tipos de obstáculos: os epistemológicos, os didáticos e os ontogênicos. Para discutirmos o que são esses tipos de obstáculos e alguns exemplos de ocorrência destes, é preciso inicialmente fazer um comentário sobre o contexto de criação do conceito de obstáculos. Gaston Bachelard no livro A Formação do Espírito Científico de 2005, discute a noção de obstáculos, ao analisar a passagem de um conhecimento pré-científico para um conhecimento científico.
Na análise de Bachelard observa-se que ao acontecer essa passagem pode ocorrer a rejeição de conhecimentos anteriores, onde ocorrem obstáculos em virtude de que esses conhecimentos antigos já estão cristalizados, resistindo a novas concepções.
Brousseau apresenta três tipos de obstáculos no sistema didático:
Obstáculos epistemológicos: são os resultantes do próprio saber, do conhecimento em si;
Obstáculos didáticos: são resultantes da escolha de um determinado sistema educacional;
Obstáculos ontogênicos: são resultantes de limitações do sujeito em um determinado momento mental.
2.6.1 Obstáculos epistemológicos
os obstáculos que aparecem no ato de criação do saber matemático não estão postos no texto final e sim, são observados nos caminhos percorridos para a elaboração de tal saber.
Os obstáculos epistemológicos podem ser considerados objeto de estudo em Matemática, uma vez que ao se desenvolver as provas, estas são permeadas por uma seqüência de rupturas dos argumentos que existem até então. Esta observação apontada por Lakatos contribui para enfatizar que os obstáculos epistemológicos estão mais presentes na fase de produção do saber matemático, do que no texto final de uma demonstração matemática.
Pais (2001) observa que as provas matemáticas evoluem de acordo com as refutações feitas pelo sujeito cognitivo e que tais refutações podem ajudar ou dificultar a validação da Matemática. As refutações nesse caso podem se constituir em obstáculos epistemológicos.
Os obstáculos epistemológicos são erros que estão ligados à maneira de conhecer e podem explicar erros recorrentes de alunos dentro de certos conteúdos matemáticos, a noção de obstáculo pode ser usada para analisar a gênese histórica de um conhecimento ou também, situações de ensino e evolução espontânea do aluno na aprendizagem de um conceito. Com isso, a noção de obstáculo não está restrita apenas ao plano epistemológico e nem tampouco isolada no plano pedagógico. Ela pode permear os dois planos.
2.6.2 Obstáculos didáticos
