Este apêndice objetiva discutirmos a importância do número para as atividades da humanidade e sua relevância para este trabalho. Nele apresentaremos uma discussão sobre o conjunto dos números reais, conjunto numérico pelo qual se desenvolve o ensino da Matemática nos níveis Fundamental e Médio. Destacaremos os subconjuntos numéricos enfatizando os racionais. Enfocaremos os irracionais, discutindo a apresentação da clássica demonstração de raiz quadrada de dois, e a obtenção de raiz quadrada de dois por aproximação com e sem o uso da calculadora. Expressaremos o método para calcular a raiz quadrada de um número irracional, descreveremos os procedimentos para obtenção gráfica de um número irracional, e enfocando sua trajetória histórica do número irracional transcendente PI, discutiremos o teorema de Pitágoras e sua importância nos estudos dos números irracionais. Finalizaremos com uma exposição sobre equações irracionais.
Representação dos números inteiros
Os números inteiros são representados por símbolos como 6, II, XIX, mas é necessário distinguir um símbolo qualquer indicado para representar um número inteiro, de um inteiro. No sistema decimal, os dez símbolos de dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9, são utilizados para representar os nove inteiros positivos e o zero. Um inteiro maior como duzentos e sessenta e cinco, pode ser expresso da seguinte forma: 200 + 60 + 5 = 2
102+ 6
10 + 5, que é representado no sistema decimal pelo símbolo 265. (COURANT; ROBBINS, 2000, p 5 - 7).Nesse caso, o significado dos algarismos 2, 6 e 5 depende de sua posição nas ordens, ou na casa das unidades, dezenas ou centenas. Com essa notação posicional podemos representar todo e qualquer inteiro usando os dez algarismos em combinações diferentes. Para representar um número inteiro com três ordens usamos a regra geral expressa na forma, Z = a
103 + b
102 + c
10 + d, onde o inteiro Z é o símbolo abreviado e os dígitos a , b, c, d, são inteiros de zero a nove. Como as potências de dez podem ser muito altas se faz necessário representar com uma potência de expoente n, 10n, sendo n considerado um inteiro arbitrário. Assim,para representar um inteiro qualquer no sistema decimal, utilizamos a forma: Z = an
10n+ an – 1
10n – 1+}
a1
10+ a0Os números racionais
Os números naturais, representados simbolicamente por N, são fechados em relação às operações de adição e multiplicação e que os inteiros, Z são fechados em relação à adição, multiplicação e subtração, mas nenhum desses dois conjuntos é fechado em relação à divisão. A divisão de inteiros pode produzir frações do tipo
5 4 , 2 7 , 4 5
,..., o conjunto de todas as frações é o conjunto dos números racionais, ou seja, um racional, (ou uma fração ordinária) é um número que pode ser colocado na forma
b a
, onde a e b são inteiros e b é diferente de zero, Niven (1984). Representação dos irracionais, Q ={
b a
, com a, b
Z e b 0}.Comensurabilidade
A palavra comensurável significa medida comum
n m
Q, ou seja, a razão entre dois comprimentos m e n como sendo um numero racional. Assim, para uma definição de segmentos comensuráveis, considera-se AB um segmento de reta que se quer medir. Para tanto, é necessário compará-lo com um segmento padrão u, denominado segmento unitário. Por definição, a medida do segmento u é igual a 1. Estipularemos ainda que, segmentos congruentes tenham a mesma medida e que n -1 pontos interiores decompõe AB em n segmentos justapostos, daí que a medida de AB, será igual à soma das medidas desses n segmentos. Se todos os segmentos parciais forem congruentes a u, diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB (que representamos por AB) será igual a n. Observar figura 1, em que n = 5.
A B U
Pode ocorrer o caso em que o segmento unitário não cabe um número exato de vezes em AB, o segmento que se quer medir. Por exemplo, se AB for menor do que a unidade u, então a medida de AB não será um número natural. Mas esta situação conduz a uma medida fracionária, como mostramos a seguir.
Tomamos um pequeno segmento de reta v, que caiba n vezes no segmento unitário u e m vezes em AB. Este segmento v será então uma medida comum de u e AB, isto é, um submúltiplo comum a AB e u. Encontrado v, diremos que AB é comensurável com u. A medida de v será a fração
n 1 e nv = u ou n n u v 1 e AB = mv AB = n m , m, nN e nz 0 (LIMA, et all 1998, p. 52-53). A figura 2 ilustra o caso para n = 2 e m = 11. Logo: AB =
2 11
Na prática, como temos um limite de percepção visual — até mesmo os instrumentos mais sensíveis de aferição têm precisão limitada — “sendo incapazes de distinguir dois pontos que, embora distintos, achem-se situados a uma distância inferior a esse limite, tudo se passa como se dois segmentos quaisquer fossem sempre comensuráveis” (LIMA, 1991, p.3). Porém, nem sempre dois segmentos de reta são comensuráveis.
Incomensurabilidade
As circunstâncias que nortearam a identificação da incomensurabilidade e a época em que foi descoberta são incertas. Eves (1995) e Ávila (1984), associam essa descoberta aos filósofos e matemáticos gregos, por volta de 450 e 400 a.C., provavelmente feita pelos pitagóricos, membros de uma escola filosófica que acreditavam que tudo poderia ser representado por números naturais ou por uma razão entre números naturais. Para esses historiadores, a descoberta partiu de um
V
A B U
argumento geométrico, não se saber ao certo se da constatação de que o lado e a diagonal de um quadrado de lado 1 são segmentos incomensuráveis. Figura 3.
Isto significa, geometricamente, que não existe uma unidade de comprimento comum ao lado e a diagonal de um quadrado. Como por exemplo: “não há uma tira, por mais curta que seja, que possa ser colocada um número inteiro de vezes sobre o lado e a diagonal de um quadrado” (NÍVEN, 1984, p. 2). Conclui-se, assim que, os números naturais, ou a razão entre dois deles, não seriam suficientes para representar todas as relações de grandezas da natureza. Boyer (1974, p. 54), afirma que: “Aristóteles se refere a uma prova de incomensurabilidade da diagonal de um quadrado com seu lado, indicando que se baseava na distinção entre pares e ímpares”.
Segundo Boyer há outras maneiras pelas quais a incomensurabilidade pode ter sido descoberta, dentre essas se encontra a possibilidade do pentágono regular, já que traçando as cinco diagonais do pentágono regular elas formam um novo pentágono regular menor e assim por indefinidamente. Esse mesmo pensamento é apresentado por Miguel (1993).
Fig.3
1
A descoberta de incomensuráveis acarretou a necessidade de se estabelecer uma nova teoria das proporções que independesse da comensurabilidade, o que foi feito por Eudóxo (c. 370 a. C), segundo (GUNDLACH, 1993).
Uma conseqüência da existência de grandezas incomensuráveis é a existência de pontos na reta sem abscissas racionais, como é mostrado na figura 5.
Com referência a essa figura, tomando-se OP = AO, onde AO é a diagonal de um quadrado de lado unitário OU, como OP e OU são incomensuráveis, não é possível expressar a razão
OU OP
como um número racional.
Pelo teorema de Pitágoras, chega-se ao número que será a abscissa de P, ou
seja, 2 2 2
UA OU
AO , como AO OP e UA OU 1, obtém-se OP2 2OU2,onde
2
OP , esta é a abscissa de P, tomando-se OU como unidade de comprimento.
Irracionalidade de 2
Considerando-se que 2 é um número racional, ele poderá ser representado pela fração
n m
, que por suposição é irredutível, ou seja, em que m e n são primos entre si, e em que, portanto, m e n são números naturais. Então,
n m 2 ou seja, 2 2 2 n m e 2 2 2 n m u
Então m2 será par (pois é o dobro de n2). O mesmo acontece a m pois, quando o quadrado de um número é par, o número é par, mas se a fração
n m é Fig.5 A P U O x
irredutível n terá de ser um número ímpar. Por outro lado, se m é par existe um número natural t tal que m = 2t. Substituindo este valor em,
2 2
2
n m
, daí resulta em: 2 2 2 2
2 2 2 2 4 2 4 t n n t n t
Então, n2será par (pois é o dobro de t2), e n é par, pois só o quadrado de um número par é um número par.
Quer dizer, se existisse a fração n
m irredutível, n teria de ser par e ímpar ao mesmo tempo. Ora, isso é impossível. Conclui-se então que não pode existir o número racional, n m tal que 2 n m
Quer dizer que n m
não é um número racional; é pois um número irracional, ou seja, que 2 é um número irracional, (ÁVILA, p. 10).
Irracionalidade de 3
Niven (1984, p. 66), apresenta a demonstração da irracionalidade de 3
seguindo os mesmos procedimentos utilizados para a demonstração da irracionalidade de 2 , com exceção do importante argumento que envolve o critério de divisibilidade por 3. Como ilustração do seu processo vamos aplicá-lo à prova de que 3é um número irracional.
Supondo que 3 seja um número racional, portanto: 3=
b a
, com a e b inteiros, considerando ainda, que
b a
seja irredutível e de modo que a e b não sejam ambos divisíveis por 3. Elevando a equação ao quadrado, obtemos:
( 3
2 = 2 ¸ ¹ · ¨ © § b a 3 22 b a 2 2 3b
a . Como o inteiro 3b2 é divisível por 3, a2 também é divisível por 3, neste caso, a é divisível por 3, fazendo a=3c, onde c é um
inteiro e substituindo a por 3c na equaçãoa2 3b2, chegamos a (3c)2 3b2
2 2
3
9c b 3c2 b, sendo assim b2 é divisível por 3 e, portanto, b é divisível por 3. Assim, pode-se concluir que a e b, ambos são divisíveis por 3, contrariando a hipótese inicial de que
b a
é irredutível. Conclui-se que 3 é irracional.
Raiz quadrada de dois por aproximação sem o uso da calculadora
O matemático grego Eudóxo (500 a .C), provavelmente foi o primeiro a lidar de modo preciso com grandezas incomensuráveis e teria desenvolvido uma teoria que pode ser escrita da seguinte maneira “para conhecer um número irracional x basta conhecer os números racionais menores do que x (suas aproximações por falta), e os números racionais maiores, (aproximações por excesso)”. Lima (1991).
Fig.6
Na figura 5, pelo teorema de Pitágoras temos: a área do quadrado A é igual à soma das áreas dos quadrados B e C, ou seja:
A = x2 B = 12= 1 C = 12= 1
Assim, podemos escrever a equação x2 = 1 + 1, ou x2 = 2
O numero x, que satisfaz a equação formada, representa a raiz quadrada do número 2, sendo assim, x = 2 .
x x x 1 1 1 1 1 1 C B A
No universo dos números racionais, podemos encontrar somente um valor aproximado para o comprimento do lado x do quadrado de área 2.
O número 2 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4. como 1 = 12 e 4 = 22 o valor procurado está entre 1 e 2. assim, podemos fazer:
(1,1)2 = 1,21 < 2 (1,2)2 = 1,44 < 2 (1,3)2 = 1,69 < 2 (1,4)2 = 1,96 < 2
(1,5)2 = 2,25 > 2
Observamos que 1,4 < 2 < 1,5. Para descobrirmos a segunda casa decimal utilizamos o mesmo procedimento:
(1,41)2 = 1,9881 < 2
(1,42)2 = 2,0164 > 2, então 2 está entre 1,41 e 1,42. Prosseguindo no cálculo, teremos: (1,411)2 = 1,990921 < 2 (1,412)2 = 1,993744 < 2 (1,413)2 = 1,996569 < 2 (1,414)2 = 1,999396 < 2 (1,415)2 = 2,002225 > 2
Assim, observamos que 2 está entre 1,414 e 1,415. Se continuarmos com o cálculo, vamos chegar a um valor aproximado a 1,414213562... para 2 .
Na figura 12, esse valor corresponde à medida do lado representado por x no quadrado de área A = 2. As desigualdades 1,414 < 2 < 1,415 significam que 1,414 é um valor aproximado por falta, e 1,415 é um valor aproximado por excesso para o número irracional 2 .
Desde que 1,414 – 1,415 = 0,001, isso significa que substituindo-se 2 por qualquer um desses dois valores aproximados, o erro cometido será inferior a 0,001 (um milésimo).
Há aproximadamente 1800 a.C., foi encontrada uma tabuleta de barro, na qual estava escrito, com estilete, um método para se calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número. O autor dessa descoberta é desconhecido.
Para obter n, iniciamos com a primeira aproximação a1, escolhida de modo
qualquer. A menos que n seja um quadrado perfeito, tem-se em geral, a1 z n.
Então um dos dois números a1, 1
a n
é menor do que ne o outro é maior. A média aritmética a2 = 2 1 (a1 2 a n
), é neste caso, uma aproximação para n, melhor do que a1. Caso seja solicitada uma aproximação melhor, deve-se encontrar a3, ou seja, a3
= 2 1 (a2 2 a n
) e assim por diante.
Para calcularmos a raiz quadrada aproximada de um número, devemos seguir os seguintes passos:
i) Devemos procurar um número inteiro positivo cujo quadrado mais se aproxime do número dado;
ii) Dividimos o número do qual se quer extrair a raiz quadrada pela primeira aproximação. A divisão termina quando o número de algarismos do quociente é o dobro do número de algarismos do divisor; iii) A 2ª aproximação se obtém calculando a média aritmética entre esse quociente e a primeira aproximação, com tantas casas decimais quanto o quociente.
Seguindo o procedimento anterior, podemos calcular a aproximação com o número de casas decimais que desejarmos. Os exemplos que seguem ilustram o método.
Para obtermos uma aproximação melhor, podemos começar com um número expresso na notação decimal em vez de um número inteiro, (GUELLI, 1998a).
Neste trabalho vamos descrever os procedimentos para se encontrar por aproximação as raízes quadradas dos números 10 e 72,5.
Calcular 10 considerando o 3 como primeira aproximação.
10 : 3 = 3,3 1 , 3 2 3 3 , 3
10 : 3,1 = 3,225 162 , 3 2 1 , 3 225 , 3
A 3ª aproximação 3,162, deve ter tantas casas decimais quanto o quociente 3,225.
Veja como calculamos a raiz quadrada de 72,5 até a segunda aproximação: 52 = 25
62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81
Dividindo-se 72,5 por 8 encontraremos 9,0, veja: 72,5 ÷ 8,0 = 9,0 e sobra 0,5, o valor 8 é a 1ª aproximação, já que 8 é o número inteiro que elevado ao quadrado mais se aproxima por falta de raiz quadrada de 72,5.
Agora se encontra a média aritmética entre 9,0 e 8,0 como segue, chegando- se à 2ª aproximação: 5 , 8 2 8 0 , 9 2ª aproximação, Então, 72,5 #8,5. A Construção de 2 , 3,..., 10
Utilizando o teorema de Pitágoras podemos representar esses números na reta.
Para determinarmos a 2 , devemos construir um triângulo retângulo de catetos iguais a uma unidade, neste caso, a hipotenusa mede 2 . Sobre a hipotenusa do triângulo, construiremos um outro triângulo retângulo, com cateto igual a um, encontrando 3 como hipotenusa. Seguindo esse procedimento,
representaremos os números indicados acima, formando uma figura tipo espiral pitagórica, como mostra a figura 7.
1 1 1 1 1 1 6 5 4 3 3 7 O número S (pi)
O número S é dos irracionais transcendente mais discutido e estudado pelos matemáticos e é definido como sendo a área limitada por um círculo de raio 1.
A demonstração de que S é um número irracional, pode ser feita usando-se apenas o cálculo diferencial elementar que às vezes é ensinado no primeiro período dos cursos de exatas. A primeira demonstração de que S é irracional data de 1766 por J. H. Lambert, tendo sido finalmente obtida de modo rigoroso pelo matemático A. M. Legendre e publicada em 1855. A prova de que S é transcendente é muito mais complexa e só foi obtida em 1882 por F. Lindermann, e não será comentada neste trabalho.
A história da obtenção dessa constante remonta da Grécia Antiga, com o clássico método dos perímetros, criado por Arquimedes, em um dos seus tratados matemáticos. Esse cálculo era feito com base nos perímetros de polígonos regulares inscritos e de qualquer polígono regular circunscrito, Eves (1995). Por suposição, toma-se um círculo de diâmetro unitário. O comprimento da circunferência do círculo situa-se entre o perímetro de qualquer polígono regular inscrito e de qualquer polígono regular circunscrito; realiza-se, em seguida, os cálculos dos perímetros dos hexágonos regulares inscritos e circunscritos para se obter limites para pi (S). Para esses cálculos, segundo Eves (1995, p. 156), Arquimedes utilizou as seguintes fórmulas: n n n n n P p P p P 2 2 , p2n=(pn P2n)2 1
, fórmulas essas consideradas algoritmos de Arquimedes. Partindo da seqüência Pn, Pn,, P2n, P2n, P4n, P4n,..., onde Pn e Pn
representam os perímetros dos polígonos regulares inscritos e circunscritos de n lados.
Iniciando no terceiro termo, calcula-se cada termo a partir dos dois anteriores, utilizando alternadamente a média harmônica e a média geométrica. Neste caso calcula-se sucessivamente os perímetros dos pares de polígonos de lados 12, 24, 48 e 96, determinando-se limites cada vez mais próximos para pi (S).
Usando o método descrito acima, Arquimedes concluiu que o valor de S
estava entre 71 223 , ( 71 10 3 ) e 7 22 (3 7 1
), ou que usando até duas casas decimais, o valor obtido para S é 3,14. Depois desses cálculos feitos por Arquimedes, muitos sucederam. Com um polígono de 720 lados, inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio, Ptolomeu (século III d.C.), conseguiu o valor de pi como sendo 3,1416.
As figuras 8a, 8b e 8c representam uma ilustração do método usado por Arquimedes para conseguir o valor de pi por aproximação. As figuras 8a, 8b e 8c mostram polígonos regulares inscritos e circunscritos a um mesmo círculo, em cada caso, Hogben (1970).
O fascínio pelo cálculo do valor exato de pi também tomou conta dos chineses. No século III d. C., Liu Hui, um copista, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3072 lados. Mas no fim do século V, o matemático Isu Ch’ung- Chih foi mais longe ainda, encontrando como valor de pi, um número entre 3,1415926 e 3,1415927. Já no século XV, al-Kashi encontrou o valor de pi como sendo 3,1415926535897932. Mas, o símbolo que usamos hoje para representar essa constante é a letra do alfabeto grego
S
(pi), que foi introduzida em 1706 pelo escritor e matemático inglês Willian Jones. Este símbolo se tornou conhecido eFig. 8a: Quadrado inscrito e circunscrito a um círculo.
Fig. 8b: Hexágono inscrito e circunscrito a um círculo.
Fig. 8c: Octógono inscrito e circunscrito a um círculo.
popularizado por meio do famoso matemático suíço Leonhard Euler no século XVIII. Três décadas depois, os matemáticos desistiram de calcular o seu valor exato; descobriram que pi é um número irracional e tem infinitas casas decimais. Em 1995, estudantes japoneses, usando um supercomputador, calcularam um valor de pi com seis bilhões de casas decimais, (GUELLI 1998a).
Arquimedes de Siracusa, um dos maiores matemáticos de todos os tempos, estabeleceu rigorosamente a equivalência entre ambas as razões no seu tratado Medição de Círculo.
Todas as tentativas de calcular o número pi realizadas na Europa até meados do século XVII se basearam nos princípios de Arquimedes.
Hoje, pode-se calcular os dígitos de pi usando quatro métodos diferentes: 1- Obtenção da extensão da circunferência por meio de polígonos de n-lados
inscritos e circunscritos.
2- Mediante a utilização de séries estatísticas.
3- Através de procedimentos analíticos e geométricos e 4- Por meio de computadores.
Documentos históricos antigos trazem relatos que egípcios e babilônicos já conheciam a relação constante entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro. Os babilônicos adotavam uma aproximação grosseira de que pi era igual a 3. Os egípcios adotavam o valor mais exato de pi igual a 3,16, Hogben (1970). Em Lima (1991), consta que os babilônicos adotavam a aproximação de pi = 3
8 1
(pi = 3,125). Segundo Hogben (1970), em Maravilhas da Matemática, o papiro de Ahmes (1600 a.C.), aproximadamente, dá para a relação entre a circunferência e seu diâmetro um valor de 3,16, em nossa notação. Já o papiro de Moscou contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que se atribui a S o valor de 3,14. Isso nos mostra que a medição egípcia da circunferência tinha erro menor que um por cento.
Aproximação de S
Aproximações cada vez melhores de S podem ser encontradas com o auxílio de uma máquina de calcular, capaz de fazer as operações básicas e mais a
operação de raiz quadrada, da seguinte forma: a idéia é aproximarmos o círculo de raio 1 por polígonos regulares de n
2 lados inscritos neste círculo.
Notadamente não é difícil verificar que para a área e o perímetro do polígono regular de n
2 lados inscritos num círculo de raio 1 temos:
Área = 4 1
perímetro u 4l2, onde l é o comprimento do lado do polígono.
Como l se aproxima mais e mais de 0 à medida que n cresce, vemos que para o círculo de raio 1 devemos ter (fazendo l = 0). Na fórmula indicada obtemos área =
4
1 perímetro.
Neste caso, podemos também considerar S como sendo a metade do perímetro do círculo de raio 1. Por outro lado, usando a relação de Pitágoras e se ln representa o comprimento do lado do polígono regular de n
2 lados, é fácil mostrar
que ln1 2 4ln2.. Para n = 2 temos o polígono regular de 4 lados, quadrado, inscrito no círculo de raio 1, cujo lado é facilmente obtido usando-se o teorema de Pitágoras, ou seja: l2 2., Portanto, podemos obter para os polígonos de n lados (n-ágono), (COURANT; ROBBINS, 2000, p.148-150).
, 2 2 2 4 l , 2 2 2 2 5 l , 2 2 2 2 2 6 l , 2 2 2 2 2 2 7 l , 2 2 2 2 2 2 2 8 l
Para obter uma boa aproximação de S calculemos, por exemplo, o valor da metade do perímetro do polígono de 28 256 lados, inscrito no círculo de raio 1,
cujo lado tem comprimento igual a l8.
765366864 ,
0 3
390180644 , 0 4 l 19603428 , 0 5 l 098135348 , 0 6 l 049082457 , 0 7 l 024543076 , 0 8 l 283027456 , 6 256 8 l 141513728 , 3 2 256 8 l a l 2 256 8 000078925 , 0 a
S
Teorema de PitágorasFilósofo e matemático grego, Pitágoras de Samos (580 - 500 a.C.), aproximadamente, nasceu na ilha de Egéia de Samos. Segundo relatos históricos, Pitágoras viajou ao Egito e Babilônia, onde adquiriu informações e conhecimentos filosóficos e matemáticos. Fundou a escola pitagórica que serviu como centro de estudos matemáticos, filosóficos e de ciências naturais. A filosofia da escola pitagórica fundamentava-se no estudo dos números inteiros, Eves (1995). Não se sabe ao certo o método que é atribuído a Pitágoras para a demonstração, supõe-se que foi uma prova por comparação de áreas de figuras geométricas, como sugerem as figuras 9ae 9b, a seguir.
Fig.9b Fig.9a
Considere dois quadrados, ambos com lados iguais (a + b). O primeiro que chamamos de Fig. 9a é composto de seis figuras: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b, e quatro triângulos retângulos de catetos a e b. Se chamarmos de S a área de um desses triângulos e sendo a área total da figura 2
) (ab , temos: S c b a ) 4
( 2 2 , onde S indica a área do quadrado.
O segundo quadrado, que chamamos de Fig.9b é composto por quatro triângulos retângulos e de um quadrado de lado c equivalente à hipotenusa dos triângulos. Logo nesse quadrado temos: (ab)2 a2 b2 4S, igualando os segundos membros das equações, resulta:
S b a S
c24 2 24
Adicionando-se 4S aos dois membros da equação, resulta em:
2 2 2 b a c
O enunciado do teorema de Pitágoras é “a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”. Assim, sendo b e c as medidas dos catetos de um triângulo retângulo e sendo h a medida da hipotenusa desse triângulo, o enunciado acima equivale afirmar que na figura 10, temos h2 = a2 + b2.
Fig. 10
Segundo os historiadores Hogben (1970); Aaboe (1984); Eves (1995) e Guedy (1999), o teorema sobre os lados do triângulo retângulo, denominado de teorema de Pitágoras já era conhecido pelos egípcios e também pelos babilônios, há