AMOROSO, C. M. As Idéias Fundamentais da Matemática e outros Ensaios. São Paulo: Convívio - USP, 1981.
BRASIL, Departamento de Ensino Fundamental, do Ensino de Primeiro Grau Legislação e Pareceres. Brasília: MEC, 1979.
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2002.
BORDEAUX, Ana Lúcia; et al. Matemática na vida e na escola. São Paulo: Editora do Brasil, 2002.
BREJON, M. Estrutura e Funcionamento do Ensino de 1º e 2º Graus. São Paulo: Pioneira, 1984.
CANDAU, V. M. Rumo a nova didática. 6ª ed. Petrópolis. Vozes, 1988.
CARVALHO, Dione Lucchesi de. Metodologia do Ensino de Matemática. São Paulo: Cortez, 1990.
COULON, Alan. Etnometodologia e Educação. Tradução Guilherme João de Freitas Teixeira. Petrópolis: Vozes, 1995
COULON, Alan. Etnometodologia. Tradução:Ephaim Ferreira Alves. Petrópolis: Vozes, 1995.
CUNHA, Luiz. Antônio. Educação, Estado e Democracia no Brasil. São Paulo: Cortez, 1999.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Da Realidade à Ação: Reflexões Sobre Educação Matemática. Campinas: Ed. Summus, 1986.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 1999, v. 1
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática 2002.
DIENES, Z.P.; GOLDING, E. W. A Geometria pelas Transformações. Geometria Euclidiana. São Paulo: Ed. Herder, 1971
EVES, Howard. Tópicos da história da matemática para uso em sala de aula: Geometria.São Paulo: Atual, 1992.
FOSNOT, Catherine Twomey. Construtivismo: Teoria, perspectiva e práticas pedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1998.
GENTIL, Nelson; et al. Matemática para o 2º grau. São Paulo: Ática, 1996, v. 1. GIL, Antônio Carlos. Como Elaborar um Projeto de Pesquisa. São Paulo: Atlas, 1993.
GIOVANNI, José Rui; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR José. Matemática Fundamental: Uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 2002, v. único. GLASERSFELD, Enest von. Introdução ao Construtivismo Radical. In: WATZLAWICK P. (Org.). A Realidade Inventada. Como Sabemos o Cremos Saber? Trad. Jonas P. dos Santos: Editorial Psy, 1994.
GLASERSFELD, Enest von. A Construção do conhecimento. In: SCHNITMAN, D. F; et al. (org.), Novos paradigmas, Cultura e subjetividade. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
GLASERSFELD, Enest von. Radical Constructivism in Mathematics Education. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1999.
GRESSLER, L. A. Pesquisas Educacionais. São Paulo: Edições Loyola, 1983. GUELLI, Oscar Uma Aventura do Pensamento: 7ª e 8ª Séries. São Paulo: Ática, 2001.
GUILLEN, M. Pontes para o Infinito: o lado humano dos matemáticos. Lisboa: Gradativa, 1998.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, 2002.
KAMII, Constance; LIVINGATON, Sally Jones. Desvendando a Aritmética: Implicações Teóricas da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 1995.
KÖCHE, José Carlos. Fundamentos da Metodologia Científica: Teoria da Ciência e Prática da Pesquisa. 16. ed. Petrópolis: Vozes, 1999.
LIBERMAN, Manhucia Perelberg; et al. Fazendo e Compreendendo Matemática. (7ª e 8ª Séries). São Paulo: ed. Solução, 1996.
LOVELL, K. O Desenvolvimento dos Conceitos Matemáticos e Científicos na Criança, Porto Alegre: Artes Médicas, 1988.
MACHADO, José Nilson. Matemática e Língua Materna: Análise de Impregnação Mútua. 4. ed. São Paulo: Cortez, 1998.
MACHADO, José Nilson. Epistemologia e Didática: as Concepções de Conhecimento e Inteligência e a Prática docente. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2000. MACHADO, José Nilson. Matemática e Realidade. 5. ed. São Paulo: Cortez, 2001. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1995, v. 1.
PEREIRA, Júlio César Rodrigues. Análise de dados qualitativos: estratégias metodológicas para as ciências da saúde, humanas e sociais. São Paulo: Fapesp, 2001.
PIAGET, Jean. Psicologia da Inteligência. Rio de Janeiro, ZAHAR Editores,1977. PIAGET, Jean. Psicologia e Epistemologia: por uma teoria do conhecimento. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1978.
PIAGET, Jean. A Epistemologia genética sabedoria e ilusões da filosofia: problemas de psicologia genética. São Paulo: Abril Cultural, 1978.
PIAGET, Jean. Memória e Inteligência. Rio de Janeiro: Artenova, 1979.
PIAGET, Jean. Seis estudos de Psicologia. Lisboa: Publicações Dom Quixote, 1983.
PIAGET, Jean. O estruturalismo. São Paulo: DIFEL,1983.
Piaget, Jean. O possível e o necessário. Porto Alegre: Artes Médicas, 1985.
Piaget, Jean; INHELDER, Barbel. A representação do espaço na criança. Porto Alegre: Artes Médicas, 1993.
PILETTI, Nelson. História da Educação no Brasil. São Paulo: Ática, 1995.
RUCKER, R. Infinity and the Mind: The Science and Philosophy of the Infinite. Boston: Birkhäuser, 1982.
SABER, Maria da Glória. Piaget. O diálogo com a criança e o desenvolvimento do raciocínio. São Paulo: Scipione, 1997.
SANTOS, Antônio. R. dos. Metodologia Científica: a Construção do Conhecimento. 3. ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2000.
SANTOS, I. E. dos. Textos Selecionados de Métodos e Técnicas de Pesquisa Científica. 3. ed. Rio de Janeiro: Impetus,2002.
SILVA, Gratuliano Erigoi Alves da. Os Números Irracionais. Monografia de especialização em Matemática. Departamento de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte: Natal, 2000.
SILVA, J, D; FERNANDES, V.S. Matemática: Coleção Horizontes. São Paulo: IBEP, 1999.
SKEMP, R. R. Relational understanding and instrumental understanding. Arithmetic Teacher, p. 9-15, (1978).
SKEMP, R. R. Intelligence, learning and action: A foundation for theory and practice in education. Chichester: Wiley, 1979.
SKEMP, Richard R. Psicologia del aprendizaje de las matemática. Madri: Ediciones Moratas, 1980.
SKEMP, R. R. What is a good environment for the intelligent learning of mathematics? Do schools provide it? Can they?. Recherches en Didactique des Mathématiques, 257-266, (1981).
SMOLE, Kátia Stocco; KIYUKAWA, Roku. Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Saraiva, 1998, v. 1.
TENÓRIO, Robinson Moreira. (Org.). Aprendendo pelas Raízes: alguns caminhos da matemática na história. Salvador: Centro Editorial e Didático da UFBA, 1995. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ. Sistema de Bibliotecas. Normas para Apresentação de Documentos Científicos: citações e notas de rodapé. Curitiba, PR: UFPR, 2002
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ. Sistema de Bibliotecas. Normas para Apresentação de Documentos Científicos: referências. Curitiba, PR: UFPR, 2002. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ. Sistema de Bibliotecas. Normas para Apresentação de Documentos Científicos: redação e editoração. Curitiba, PR: UFPR, 2002.
VERGANI Tereza. A surpresa do mundo: ensaios sobre cognição, cultura e educação. SILVA, Carlos Aldemir da; MENDES, Iran Abreu. (Org.). Natal: editora flecha do tempo, 2003.
ZABALLA, Antoni. Enfoque globalizador e pensamento complexo: uma proposta para o currículo escolar. Porto Alegre: Artmed, 2002.
APÊNDICE 1 — O Módulo de Ensino As atividades para o módulo de ensino
1ª ATIVIDADE Objetivos:
x Identificar números primos e compostos;
x Decompor um número composto em fatores primos;
x Identificar os divisores de um número;
x Representar um número como produto de fatores primos;
x Escrever um número a partir de um produto de fatores primos. Conteúdo:
Decomposição de um número em fatores primos. O que é um número primo?
Quais são os divisores de 17?
Partindo desses dois questionamentos chegamos à conclusão que: número primo é todo número natural maior do que 1 que tem apenas dois divisores, 1 e ele mesmo. E que, o número natural maior do que 1 que tem mais de dois divisores é chamado número composto e sendo assim, pode ser feita sua decomposição em fatores primos.
Exemplos:
a) Vamos decompor 60 em fatores primos. Por divisões sucessivas, teremos:
60 2 30 30 2 15 15 3 5 5 5 1, portanto, 60 = 2 2 3 5
Os números 2, 2, 3 e 5 são os fatores primos de 60
observe a decomposição de 900 em fatores
900 450 2 450 2 225 225 75 25 5 3 75 3 25 5 5 5 1 Portanto: 900 2 2 3 3 5 5 Aplicação:
i) Faça a decomposição dos seguintes números em fatores primos: a) 700 b) 18 c) 42 d) 500
ii) Escreva o número composto cuja decomposição é dada por: a) 2 3 5 b) 2 2 3 5 5 c) 5 7 7 2ª ATIVIDADE:
Objetivos:
x Reconhecer sentenças matemáticas verdadeiras e falsas;
x Reconhecer as variáveis de uma equação;
x Identificar a equação do primeiro grau e os seus termos;
x Representar simbolicamente uma equação do primeiro grau a partir de uma situação-problema;
x Resolver equações do primeiro grau, aplicando técnicas algébricas;
x Resolver problemas envolvendo equações do primeiro grau;
x Determinar o conjunto solução de uma equação do primeiro e testar sua validade;
x Interpretar a solução de equação. Conteúdo:
Equação do 1º grau.
Retomaremos equação do primeiro grau, partindo de situações-problema. Leia atentamente as situações-problema indicadas a seguir e tente encontrar uma solução. Em seguida verifique se o resultado que você encontrou satisfaz a igualdade.
i) Hélio tinha uma certa quantia de dinheiro e foi ao shopping. Lá gastou
3 1
da quantia na compra de um livro, gastou
4 1
da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Hélio tinha?
ii) O perímetro de um triângulo ABC é 16 cm. A medida do lado AB é igual à medida do lado AC. A medida do lado BC é
3 2
da medida de AC. Descubra as medidas dos três lados.
iii) Nas figuras apresentadas a seguir, encontre o valor de x e determine as medidas dos ângulos em cada caso.
a)
2
x
b) Considere r e s : retas paralelas
c)
3ª ATIVIDADE: Objetivos:
x Obter a razão de dois números inteiros;
x Expressar uma razão como uma fração, um quociente ou na notação decimal;
x Resolver problemas envolvendo razões;
x Determinar razão entre grandezas;
r s x + 75º 3x – 25º x x 3x + 5º
x Identificar uma proporção;
x Identificar os termos de uma proporção;
x Calcular o termo desconhecido de uma proporção;
x Resolver problema com o auxilio de proporção. Conteúdo:
Razão e proporção
Observe os segmentos seguintes:
Representamos a razão entre os segmentos AB e CD da seguinte forma: CD AB , ou AB CD, como CD AB 36 24 3 2
A razão entre dois segmentos é quociente da medida de um pela medida do outro, desde que as medidas sejam expressas na mesma unidade.
Dados quatro segmentos:
As razões CD AB e GH EF são iguais: 4 3 8 6 CD AB 4 3 129 GH EF
Quando quatro segmentos AB,CD,EFe GH formam a proporção C B D 24 cm 36 cm B A H A B G F E D C 6 cm 12 cm 9 cm 8 cm
GH EF
CDAB , dizemos que os segmentos AB e CD são proporcionais a EF e GH .
Aplicação:
1º) Encontre a razão b a
na sua forma mais simples quando:
i) a = 18 e b = 15 ii) a = 27 e b = 45
iii) a = 21 cm e b = 2,8 m iv) a = 2 semanas e b = 4 dias v) a = 1 ano e b = 5 meses vi) a = 2 h 30 min e b = 4 h
2º) Se b a , 2 3 encontre as razões: i) b b a ii) a b a iii) b b a iv) a b a Idéia de Proporcionalidade
i) Dona Joselita é costureira. Ela está fazendo camisas encomendadas para uma instituição. Com 1,40 m de tecido, ela faz duas camisas. Agora ela quer saber de quantos metros do mesmo tecido precisa para fazer seis camisas? Tente encontrar a solução para esta situação de duas maneiras diferentes.
ii) Um feirante está vendendo saquinhos com três maçãs ao preço de R$ 5,00. Joaquim é dono de uma lanchonete e vai precisar de 36 maçãs para fazer torta. Quanto Joaquim vai pagar ao feirante para comprar as maças que precisa?
iii) Para percorrer 310 km, o carro de José gastou 25 litros de gasolina. Nas mesmas condições, José quer saber quantos quilômetros seu carro percorrerá com 50 litros.
Cuidado: nem sempre há proporcionalidade em uma situação. Veja: um jogo de futebol, dura 90 minutos. Aos 30 minutos de jogo, o placar é 4 x 2. qual será o placar final?
Nessa situação o tempo de jogo triplica, de 30 para 90 minutos, mas será que o placar vai triplicar?
O tempo de jogo e placar não são grandezas proporcionais.
Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido ou contatado. Por exemplo, são grandezas: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço e idade.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando na medida que uma cresce a cresce na mesma proporção.
Outras situações envolvendo proporção:
iv) Determine o menor de dois números positivos cuja razão é
10 9
, sendo a diferença entre eles 4.
v) Divida um segmento de reta de 48 cm de comprimento em outros dois segmentos de razão 3 1 . 4ª ATIVIDADE: Objetivos:
x Identificar números irracionais;
x Representar geometricamente números irracionais;
x Reconhecer a existência de um número decimal ilimitado não-periódico. Conteúdo
Números irracionais.
i) Utilizando régua e compasso e se possível papel quadriculado, represente os seguintes números na reta numerada: (sugerimos partir de um quadrado de lado unitário).
a) 2 b) 3
5ª ATIVIDADE: Objetivos
x Identificar os termos da radiciação;
x Reconhecer e aplicar as propriedades dos radicais;
x Simplificar radicais;
x Operar com radicais;
x Identificar radicais semelhantes;
x Reduzir radicais ao mesmo índice;
x Identificar o fator racionalizante de uma fração cujo denominador é um número irracional;
x Racionalizar o denominador de uma fração. Conteúdo:
Radicais: identificação – simplificação – operações. Racionalização de denominadores
Para a retomarmos estes conteúdos vamos partir de situações envolvendo figuras planas.
i) Calcule a área de cada uma das figuras a seguir:
a) 3 2 cm 5 2 cm b) 12 cm 3 7cm 3 7cm
c)
ii) O retângulo a seguir tem área igual a 12 cm2, Obtenha o valor de sua altura.
h
iii) Obtenha o perímetro p e a área A do retângulo da figura, simplificando os radicais resultantes:
iv) O lado de um quadrado mede 5 2 cm. Encontre:
a) a área do quadrado ... b) o perímetro ... c) a medida da diagonal ...
v) Um retângulo mede 5 3m de comprimento e 6 2 m de largura. Outro
retângulo tem 6 3m de comprimento e 5 2 m de largura.
8 2 cm 2 2 cm
6 2 cm
1+ 18
a) Qual dos dois retângulos tem a maior área?
b) Encontre o perímetro aproximado desses dois retângulos.
vi) Racionalize os seguintes denominadores:
a) 5 5 = b) 2 2 1 c) 3 2 10 6ª ATIVIDADE: Objetivos:
x Identificar figuras de mesma forma;
x Ampliar figuras
x Reduzir figuras;
x Reconhecer quando dois triângulos são semelhantes;
x Identificar quadriláteros semelhantes. Conteúdo
Semelhança de polígonos
Para identificar figuras semelhantes os alunos receberam atividades com figuras de tamanhos diferentes, no item i, cada grupo deverá decidir qual dos quadriláteros pequenos é semelhante ao grande, justificando a escolha.
O grupo deverá comparar os ângulos de cada polígono pequeno com os ângulos do grande e também deve medir os lados, comparando-os. Em seguida foram comentamos as condições para que dois quadriláteros sejam semelhantes.
No item ii, os alunos receberam figuras de triângulos e cada grupo usou os mesmos procedimentos do item anterior, em seguida foi fizemos um comentário sobre equivalência de triângulos.
i) Observe os quadriláteros e identifique qual dos quadriláteros pequenos é semelhante ao grande.
C
A
ii) Observem os triângulos indicados abaixo e verifique qual dos triângulos pequenos é semelhante ao grande.
A
C
iii) Observem a figura abaixo e verifiquem se os pares a seguir, são ou não semelhantes:
ADE e ABC ADE e AFG ABC e AFG
iv) Os pontos marcados sobre os lados dos polígonos abaixo dividem esses lados em duas ou três partes iguais.
Desenhe, em cada uma das figuras, um polígono semelhante ao dado, usando esquadros e compasso.
7ª ATIVIDADE: Objetivos: C G B D F E A
x Reconhecer procedimentos para calcular por aproximação raiz quadrada não exata;
x Calcular raiz quadrada por aproximação. Conteúdo:
Cálculo de raiz quadrada por aproximação
Acerca de 1800 a. C., foi encontrada uma tabuleta de barro, na qual estava escrito, com estilete, um método para se calcular o valor aproximado da raiz quadrada de um número. O autor dessa descoberta não é conhecido.
Para obter n, iniciamos com a primeira aproximação a1, escolhida de modo
qualquer. A menos que n seja um quadrado perfeito, tem-se em geral, a1 z n.
Então um dos dois números a1, 1
a n
é menor do que ne o outro é maior. A média aritmética a2 = 2 1 (a1 2 a n
), é neste caso, uma aproximação para n, melhor do que a1. caso seja solicitada uma aproximação melhor, deve-se encontrar a3, ou seja,
a3 = 2 1 (a2 2 a n
) e assim por diante.
Para esta atividade, vamos descrever os procedimento para se encontrar por aproximação a raiz quadrada dos números 10 e 72,5.
Para o número 10, devemos:
* Procurar um número inteiro positivo que mais se aproxima de 10 por falta:
12 1 22 4 32 9
42 16
Dividimos o número do qual vai se extrair a raiz quadrada pela 1ª aproximação. A divisão termina quando o número de algarismos do quociente é o dobro do número de algarismos do divisor:
10 3
10 3,3 1
A segunda aproximação se obtém calculando a média aritmética entre esse quociente e a 1ª aproximação, com tantas casas decimais quanto o quociente 3,3
1 , 3 2 3 3 , 3 #
O número 3,1 é a 2ª aproximação (o símbolo # significa “é aproximadamente igual a”)
Assim, 10 #3,1
Dividimos 10 por 3,1, que é a 2ª aproximação:
10,0 3,1 0 70 3,225 080
180 25
Calculamos a média aritmética entre 3,1 e 3,225:
162 , 3 2 1 , 3 225 , 3 #
A 3ª aproximação, 3,162, deve ter tantas casas decimais quanto o quociente 3,225. E assim continuamos até quantas casas decimais quisermos.
Veja como calculamos a raiz quadrada de 72,5 até a segunda aproximação: 52 = 25 62 = 36 72,5 8,0 72 = 49 0 50 9,0 82 = 64 8 é a 1ª aproximação 92 = 81 5 , 8 2 8 0 , 9 2ª aproximação Então, 72,5 #8,5. Exercício proposto:
i) Calcule cada raiz quadrada até a 2ª aproximação. Use como aproximação um número inteiro.
a) 5 b) 11 c) 17
8ª ATIVIDADE: