3 A INTERVENÇÃO METODOLÓGICA NO ENSINO MÉDIO
3.3 Avaliação Diagnóstica
3.3.7 Comentário sobre as respostas dos alunos
Fazendo uma análise inicial, (neste momento não estamos levando em consideração os dados coletados nas entrevistas), percebemos que dentre os alunos do grupo 1 que foram avaliados, 19 indicaram que 0,42 é um Número Irracional; 15 escreveram que - 1 é um Número Irracional; nove afirmaram que
4 3
é Irracional, oito consideraram como racional; dois não responderam se S é Irracional, deixando esse item em branco; três alunos responderam que 2 9 é irracional;
enquanto oito alunos escreveram que é racional e sete responderam que 7 é
racional. No item (ii) dessa mesma questão, a maioria dos alunos não conseguiu representar na reta numérica os números indicados no item (i). Apresentamos a seguir repostas dadas por três alunos:
Nos três casos citados percebemos que há certa regularidade: repetição em relação aos erros cometidos sobre números racionais na forma decimal. Esses alunos, como os demais participantes da intervenção metodológica deixaram a entender que não dominam o conceito de número racional, não compreendendo assim que um número racional pode ser representado em forma decimal. Neste caso fica subtendido que quando se trata do conceito do referido número o estudante precisa ter uma boa formação matemática nas etapas anteriores ao Ensino Médio, mas parece que esta base conceitual mais eficaz com o conjunto dos números racionais e seus subconjuntos não está sendo bem trabalhada. Tanto que todos os alunos participantes da intervenção metodológica apresentam obstáculos epistemológicos quanto à compreensão desse conceito. Na primeira e na terceira respostas apresentadas percebemos que os dois alunos afirmam que
4 3
é irracional, na segunda resposta o aluno considera que - 1 é irracional. Nos três casos apresentados como exemplos percebemos a fragmentação no conhecimento matemático que eles detêm.
Na 2ª questão, três alunos responderam que 8 = 4, dois afirmaram 8 = 64
e um respondeu que 8 = 2,888; dois alunos responderam que 5 e 10 são
respectivamente 9 e 100; um aluno respondeu que 5 é 25 e três deram 2,5 como
Exemplo:
Neste caso percebemos que o aluno não tem idéia de como extrair raiz quadrada por aproximação, deixando a entender que não compreende o que é um número irracional.
Na comparação de Números Irracionais em suas representações de radical e decimal, com o número de casas decimais determinado na questão anterior, 16 alunos afirmaram que 5 é maior que 2,237; sete alunos responderam que 8 é
maior que 2,828 e cinco responderam que é menor; oito não responderam esse item.
Na 4ª questão, dois alunos acertaram totalmente. Um utilizou os procedimentos para o cálculo de adição de radicais, ou seja, a decomposição dos radicandos em fatores primos, simplificação de radicais e a extração das raízes para chegar ao perímetro do triângulo, que é solicitado no enunciado da questão. Um outro aluno fez uso da calculadora e chegou ao perímetro do triângulo de forma direta. Os cinco alunos que acertaram a questão parcialmente usaram a calculadora, fizeram os cálculos diretos, mas não conseguiram fazer as aproximações corretamente, errando assim a resposta da referida questão.
Na 5ª questão um aluno conseguiu acertar os dois itens; quatro não acertaram os dois itens; oito alunos desenharam as figuras do retângulo e do quadrado, mas utilizaram a relação de Pitágoras apenas para o cálculo da diagonal do retângulo. Dentre estes, quatro deram a resposta utilizando o sinal de r para medida; dois alunos desenharam um triângulo no lugar do retângulo, confundindo assim o retângulo com um triângulo e três alunos fizeram o desenho do quadrado, mas nada responderam.
No exemplo citado o aluno conseguiu desenvolver os procedimentos para o cálculo, mas no final não encontrou a raiz quadrada por aproximação como era esperado, mesmo assim consideramos a resposta como certa, pois não esclarecemos no enunciado o tipo de resposta que queríamos.
A 6ª questão é uma aplicação direta do teorema de Pitágoras e os três alunos que a acertaram totalmente desenharam o triângulo, indicaram as medidas, ou seja, os catetos e a hipotenusa e aplicaram corretamente a relação de Pitágoras. Os que acertaram parcialmente desenharam o triângulo, dentre eles, quatro, indicaram as medidas dos lados do referido triângulo, enquanto dois não conseguiram representar as medidas — mesmo desenhando a figura do triângulo esses alunos não conseguiram desenvolver os cálculos corretamente.
Na 7ª questão apenas um aluno conseguiu fazer a racionalização de denominadores de frações corretamente, aplicando as regras necessárias e obtendo resultado satisfatório. Cinco alunos iniciaram as operações de racionalização, mas não conseguiram utilizar as regras para todos os itens indicados. No exemplo que citamos a seguir, o estudante tentou as racionalizações solicitadas, mas em alguns casos não chegou a completar o item, parecendo insegura quanto aos procedimentos necessários.
Verificando as respostas acima percebemos que o aluno tentou racionalizar todas as frações indicadas demonstrando um certo conhecimento sobre o assunto, mas em alguns casos deixou incompleta a resposta.
A 8ª questão, nenhum dos alunos avaliados conseguiu acertar totalmente. O aluno que a acertou parcialmente fez a subtração da medida do segmento menor pelo maior, o que daria um resultado negativo. Conseguiu inverter as operações indicadas na proporção resultante e chegou ao resultado correto, ou seja, chegou ao resultado através de um desenvolvimento incorreto. Os outros não tentaram fazer a questão.
Um único aluno acertou totalmente as questões 9 e 10. Utilizou todos os procedimentos necessários para chegar aos resultados, aplicou de forma correta as propriedades das proporcionalidades, resolveu as equações de 1º e 2º graus que surgiram e resolveu as equações irracionais testando a veracidade de cada uma delas. Os demais, não responderam as referidas questões.
A seguir apresentamos a resposta da questão de número nove, de um dos alunos. O estudante que respondeu essa questão demonstrou um certo conhecimento prévio sobre equação do primeiro grau, perímetro de figuras planas, proporcionalidade, e multiplicação de monômio por número inteiro.
3.3.8 As entrevistas
As entrevistas foram realizadas poucos dias após a aplicação da prova escrita e não seguiram um sistema rigoroso. Nem sempre a pergunta feita a um aluno foi feita a outros, com exceção da primeira que seguiu um padrão para todos os entrevistados. Para participar das entrevistas foram selecionados sete alunos do grupo 1 e quatro do grupo 2 perfazendo um total de onze alunos, aproximadamente 28% (vinte e oito por cento) dos alunos pesquisados. A amostra seguiu o método da amostragem estratificada. Os entrevistados não foram identificados nominalmente, sendo que para registrar a participação dos mesmos utilizamos as suas iniciais.
A primeira a participar das entrevistas foi à aluna Tsila, 17 anos, residente no bairro Planalto, zona oeste de Natal. Sempre estudou em escola pública, obtendo aprovação em todas as séries, com renda familiar de um salário mínimo. A aluna Tsila conseguiu responder apenas dois dos sub-itens da primeira questão proposta na prova escrita, deixando parte desta questão e o restante da prova em branco. Nos sub-itens a e b que respondeu, escreveu que a raiz quadrada de 4, e o número racional escrito na forma decimal 0,42 são irracionais.
Entrevistador: Tsila, por que você não tentou responder às outras questões da prova?
Entrevistada: Professor, nunca aprendi matemática, não gosto e não vou conseguir aprender. Para falar a verdade, professor, se o senhor colocar uma conta de dividir para eu fazer, eu não vou acertar, nem isso sei fazer, nunca aprendi.
Diante da reposta da aluna resolvemos agradecer-lhe e evitamos fazer outras perguntas.
A aluna Maria Regineide, 18 anos, residente na Colônia do Pium, Município de Parnamirim, sempre estudou em escola pública, foi reprovada em uma das séries que estudou, possui renda familiar de dois salários mínimos e trabalha na parte da
manhã na casa de uma tia. A aluna afirmou que o número racional na forma decimal 0,42 é irracional e que o número irracional 5 é racional. Deixando dúvida quanto ao seu conhecimento sobre a definição de número irracional, não conseguiu representar os pontos no segmento de reta indicados no item dois, deixou em branco cinco questões.
Entrevistador: Regineide, por que você não tentou fazer todas as questões da prova?
Entrevistada: As três primeiras respondi porque ainda me lembrava, estudei na 7ª série, as outras li, mas não consegui entender.
Entrevistador: No sub-item a da primeira questão você escreveu que 0,42 é irracional. Por quê?
Entrevistada: Esse número é irracional porque tem vírgula, foi assim que eu aprendi.
Entrevistador: As outras questões você não respondeu. Qual foi o motivo? Entrevistada: Essa que tem um desenho de um triângulo é para calcular o perímetro, eu não sei calcular isso. A número cinco fiz os desenhos, mas não sabia o que era diagonal nem muito menos como calcular.
Entrevistador: Na 8ª série você estudou o teorema de Pitágoras? Entrevistada: Estudei.
Entrevistador: Você afirma ter estudado o teorema de Pitágoras na oitava série. Será que agora você consegue responder a quinta ou a sexta questão que são aplicações do teorema de Pitágoras?
Entrevistada: Não consigo professor. Estudei no ano passado, mas não me lembro.
Entrevistador: Racionalização de denominadores de fração é um assunto muito discutido na oitava série. Por que você não tentou fazer a sétima questão que é sobre esse conteúdo?
Entrevistada: Ah! Professor, o senhor sabe que quando a gente estuda em sala de aula o professor faz um exemplo no quadro e bota os outros parecidos pra gente fazer. Assim, sem ter um exemplo feito é difícil. Eu acho que ninguém fez essa daqui.
Mônica, 15 anos, residente no bairro do Planalto, renda familiar entre um e dois salários mínimos, sempre estudou em escola pública, conseguindo êxito em todas as séries pelas quais passou. Trabalha em uma lanchonete no período da
noite para ajudar a manter a família, muitas vezes tendo que sair da escola antes de terminar o horário das aulas. A aluna inverteu as respostas do item i, da primeira questão; o que deveria receber a resposta como sendo racional, ela colocou irracional e que o era irracional, ela escreveu racional, mostrando assim que não sabe classificar esses números.
Entrevistador: Mônica, por que você não fez todas as questões propostas na prova?
Entrevistada: Professor, alguns assuntos que caíram na prova eu tinha estudado no ano passado, quando estava na oitava série e outros eu nunca estudei. Não gosto de prova desse tipo que a gente tem que calcular.
Entrevistador: Na primeira questão você respondeu que -1 e 4 são números irracionais e 7 e 5 são números racionais. Você não se enganou? Não seria o contrário?
Entrevistada: É assim mesmo, era só para colocar o nome e eu coloquei. Entrevistador: Na sexta questão você desenhou um triângulo, mas não fez os cálculos. Por quê?
Entrevistada: Porque o que está pedindo eu fiz. Entrevistador: Quantos graus tem um ângulo reto? Entrevistada: Ah! Professor, eu ainda não estudei isso.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de frações, conteúdo este que você deve ter estudado na oitava série, mas não fez essa questão da prova. Será que você consegue resolver agora?
Entrevistada: Não, não me lembro, sei que estudei no ano passado, mas agora não estou entendendo — responde depois de olhar a prova e ler a questão.
Entrevistador: Mônica, você estudou o teorema de Tales, na oitava série? Entrevistada: Não, não sei nem o que danado é isso.
Entrevistador: Você não tentou fazer as outras questões da prova. Por quê? Entrevistada: O que eu estudei não aprendi, imagine uma coisa que nunca estudei, é algo impossível!
O aluno Josivan, 16 anos, residente no conjunto Santarém, zona norte de Natal, renda familiar mais de dois salários mínimos, sempre estudou em escola pública tendo sido reprovado em uma das séries anteriores. Na primeira questão o
aluno escreveu que 7 e 5 são racionais e o número 0,42 escreveu que é irracional, demonstrando claramente que não consegue identificar um número irracional.
Entrevistador: Josivan, por que você não tentou fazer todas as questões da prova?
Entrevistado: Só deixei em branco as três últimas questões, por que não deu tempo de fazer, a prova, era muito grande.
Entrevistador: Você está dizendo que não fez as três últimas questões porque o tempo foi pouco. Tente fazer uma delas agora.
Entrevistado: Não dá, eu nunca estudei isso assim.
Entrevistador: Na oitava série, ano passado, você estudou o teorema de Pitágoras?
Entrevistado: Estudei.
Entrevistador: Você estudou o teorema de Tales na oitava série ou não? E equações irracionais?
Entrevistado: O teorema de Tales eu ainda não estudei e equações irracionais também não. São matérias que não deu tempo a minha professora de Matemática dar.
Entrevistador: Na segunda questão da prova você escreveu que 8 = 64 e 3 = 9; será que você não enganou-se ou é assim mesmo?
Entrevistado: A raiz de 64 é 8 e a raiz de nove é três, mas a raiz de 8 é, ..., eu não sei não.
Como foi que você chegou ao resultado da quarta questão?
Entrevistado: Encontrei na calculadora as raízes dos números dos lados do triângulo e depois somei e deu o resultado.
Entrevistador: Na sexta questão você desenhou um triângulo, poderia me mostrar nele onde fica o ângulo de 90º?
Entrevistado: É esse que tem uma seta.
A aluna Cariliana, 15 anos, reside no bairro dos Guarapes, zona oeste de Natal. Com renda familiar de um salário mínimo, nunca foi reprovada e sempre estudou em escola pública.
Entrevistador: Cariliana, Por que você não tentou fazer todas as questões da prova?
Entrevistada: Nesta prova tem assuntos que eu nunca estudei e têm outros que estudei, mas não me lembro mais, por isso, nem tentei fazer para não perder tempo. Não ia acertar mesmo, então para quê fazer?
Entrevistador: Os conteúdos teorema de Tales e equações irracionais explorados na oitava, na nona e na décima questões estão incluídos dentre aqueles que você nunca estudou?
Entrevistada: Estão, nunca estudei esses assuntos.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de frações, conteúdo muito explorado pelos livros didáticos e trabalhado em sala de aula pelos professores de Matemática, mas você nem tentou fazer essa questão por quê?
Entrevistada: É esse assunto eu estudei no ano passado, mas não sei nem pra onde é que vai, não aprendi mesmo.
Entrevistador: Na segunda questão você respondeu que 8 é igual a quatro. Você tem certeza que a resposta é essa mesmo?
Entrevistada: Tenho certeza porque quatro vezes dois é igual a oito.
A aluna Ednalva, 16 anos, residente no bairro do Bom Pastor, zona oeste de Natal, nunca foi reprovada e sempre estudou em escola pública. A aluna deixou de responder a segunda, a terceira, a quarta, a sétima, a oitava, a nona e a décima questão. Na primeira questão afirmou que -1 é irracional e que S é racional.
Entrevistador: Ednalva, Por que você não tentou fazer todas as questões da prova?
Entrevistada: Ah! Essa prova é muito grande, não deu tempo fazer tudo. Entrevistador: Mas você me entregou a prova bem antes do tempo previsto para terminar. Por que não continuou fazendo até completar o tempo?
Entrevistada: Ah! Eu não me lembrava mais de nada, e por isso parei de fazer e entreguei.
Entrevistador: Você não fez a segunda e terceira questões que são sobre raiz quadrada, não lembra mais?
Entrevistada: Não, isso eu não me lembro ter estudado. Assim não.
Entrevistador: A quarta questão você também deixou em branco. Não lembra mais como se calcula o perímetro de um polígono?
Entrevistada: Não respondi porque não sei, é muito complicado quando aparece figura desenhada. É muito complicado.
Entrevistador: As três últimas questões você não respondeu. Foi o tempo que não deu?
Entrevistada: Não. É porque eu não sabia. Nunca estudei isso.
Entrevistador: Você estudou o teorema de Tales na oitava série ou não? Entrevistada: Não. Nunca ouvi falar nisso.
Entrevistador: A sétima questão é sobre racionalização de denominadores de frações, conteúdo abordado nos livros didáticos de Matemática para a oitava série e muito repetido pelos professores dessa disciplina, você não respondeu é por que nunca estudou ou esqueceu?
Entrevistada: Estudei, é porque não aprendi, não me interessei. Não gosto de Matemática. Odeio quem inventou Matemática.
A aluna Gerlane, 16 anos, reside no bairro Planalto, renda familiar entre um e dois salários mínimos, sempre estudou em escola pública e já passou pelo processo de reprovação em série anterior. A aluna deixou em branco a sexta, a oitava, a nona e décima questões, e respondeu que -1 é irracional.
Entrevistador: Gerlane, Você não respondeu todas as questões da prova Por quê?
Entrevistada: Só não respondi as quatro que não sabia. Coisas que ainda não estudei.
Entrevistador: Você afirma ter deixado em branco as questões sobre conteúdo que você não estudou. Mas a sexta questão é uma aplicação do teorema de Pitágoras. Você não lembra ter estudado?
Entrevistada: O teorema de Pitágoras eu estudei na oitava série, mas não era assim com problema, por isso não entendi.
Entrevistador: E o teorema de Tales você estudou? Entrevistada: Não estudei.
Entrevistador: A última questão é sobre equações irracionais, conteúdo da oitava série. Você não estudou ou estudou e não está lembrada?
Entrevistada: Não estudei mesmo esse assunto.
No grupo 2 entrevistamos quatro alunos, dentre os 17 que fizeram a prova escrita, seguindo os mesmos procedimentos utilizados para as entrevistas com os alunos do grupo 1.
A aluna Micaella, residente no Sítio Araçá I, município de Vera Cruz, 15 anos de idade, renda familiar entre um e dois salários, sempre estudou em escola pública,
já foi reprovada uma vez. A aluna afirmou que 0,42,
4 3
e - 1 são números irracionais, não conseguiu representar os números na reta numérica, deixou de responder quatro questões: a quarta, a quinta, oitava e a décima.
Entrevistador: Micaella, Você não respondeu todas as questões da prova. Por quê?
Entrevistada: Alguns assuntos eu não estudei, por isso não fiz, não sabia. Outros eu estudei, faz tempo, não consegui me lembrar.
Entrevistador: Na primeira questão você respondeu que 0,42,
4 3
e - 1 são números irracionais. Você tem certeza que suas respostas estão corretas?
Entrevistada: Não. Eu chutei, mas acho que estão certas.
Entrevistador: A quarta questão pede para calcular o perímetro do triângulo indicado. Você nem tentou fazer?
Entrevistada: Não me lembro como se calcula o perímetro. Faz muito tempo que estudei isso.
Entrevistador: A quinta questão é uma aplicação da relação de Pitágoras, você a deixou em branco, por quê?
Entrevistada: Relação de Pitágoras? O que é isso?
Entrevistador: Você nunca estudou o teorema de Pitágoras? Entrevistada: Estudei. É a2 = b2 + c2.
Entrevistador: Agora você poderia responder a quinta questão?
Entrevistada: Não, não dá. Não entendo. — disse após ter lido a questão. Entrevistador: Na oitava série você estudou o teorema de Tales?
Entrevistada: Não, meu professor de matemática não deu esse assunto. Entrevistador: Equações Irracionais, você também nunca estudou?
Entrevistada: Estudei, meu professor de matemática do ano passado deu esse assunto, mas não aprendi, foi no final do ano e não ia cair na prova, nem me interessei em aprender, é muito complicado.
Outra aluna entrevistada no grupo 2 foi Ana Cecília, 16 anos, residente na cidade de Vera Cruz, renda familiar de dois salários mínimos, que sempre estudou em escola pública e não foi reprovada em séries anteriores à primeira série do Ensino Médio. A referida aluna respondeu apenas quatro itens da primeira questão
da prova. Afirmando que
4 3
e - 1 , são números irracionais, as outras questões deixou em branco.
Entrevistador: Ana Cecília, Você não respondeu todas as questões da prova. Por quê?
Entrevistada: Tem coisas nesta prova que eu ainda não estudei. Outros assuntos eu estudei, só que até hoje não aprendi nada de matemática, não sei nem porque ainda estudo, não vou aprender mesmo. Só serve para quebrar a cabeça, cada ano complica mais.
Entrevistador: Na primeira questão você deixou quatro itens sem resposta, por quê?
Entrevistada: Respondi os que eu tinha certeza.
Entrevistador: Você afirma que ainda não estudou alguns conteúdos explorados na prova. Lembra se estudou o teorema de Pitágoras e o teorema de Tales?
Entrevistada: O teorema de Pitágoras eu estudei. O teorema de Tales nunca estudei.
Entrevistador: Você afirma ter estudado o teorema de Pitágoras, mas não tentou responder a quarta, a quinta e sexta questões que são aplicação desse teorema. Tente resolver uma delas agora.
Entrevistada: Professor, eu disse que estudei. Não disse que aprendi. Nem sempre o que a gente estuda, a gente aprende, principalmente matemática, que até hoje não aprendi nada — disse ao ler as questões.
O aluno Eduardo, 16 anos, residente no bairro Parque Industrial em Parnamirim, sempre estudou em escola pública e nunca foi reprovado, renda familiar entre um e dois salários mínimos. O aluno não respondeu todas as questões da prova e as que tentou responder não se saiu bem como, por exemplo, na primeira questão afirmou que 5 e 7 são números racionais e 29 e -1 são irracionais.
Entrevistador: Eduardo, você não respondeu todas as questões da prova. Por quê?
Entrevistado: A prova era muito grande e tinha problemas complicados, coisas que eu não entendia.