Análise dos dados da avaliação diagnóstica

Faremos à análise dos dados levantados na prova escrita e também da entrevista da avaliação diagnóstica deste estudo, fundamentado nos obstáculos apresentados e discutidos neste trabalho e também verificaremos os possíveis obstáculos apresentados pelos alunos levando em consideração Bachelard (2005).

Nesta análise constatamos que os alunos avaliados não dominam o conceito de Número Irracional provavelmente por não ter tido uma boa aprendizagem matemática nas séries iniciais. Apresentaram obstáculos epistemológicos e demonstraram não ter uma boa compreensão sobre o conjunto dos números racionais e seus subconjuntos numéricos.

A aprendizagem dos números racionais é permeada por uma série de questões que dificultam tal aprendizagem. Perez (1998) comenta que dificuldade é algo que impede de executar de imediato e bem alguma coisa. As dificuldades apresentadas pelos alunos na prova escrita e referendadas pelas entrevistas podem ter sido causadas por diversos fatores, tais como: o conceito que eles não aprenderam, o método utilizado pelos professores das etapas anteriores, os

conhecimentos prévios deles e também pela própria disposição do aluno em responder a questão.

Percebemos que eles confundem um número racional representado em sua forma decimal com Número Irracional e não conseguem representar corretamente um número qualquer na reta numérica. Cerca de 49% (quarenta e nove por cento) deles não consegue comparar um Número Irracional na suas representações de radical e decimal — conteúdos estes, explorados nas três primeiras questões. Eles demonstraram não saber as operações mais simples com radicais, por exemplo: simplificação e adição que foram explorados na 4ª questão.

Aproximadamente 67% (sessenta e sete por cento), dos alunos teve dificuldade em representar a diagonal de quadrado e não soube aplicar corretamente o teorema de Pitágoras; o que era necessário para responder a 5ª e a 6ª questões.

Na questão que tratou do assunto racionalização de denominadores de frações, conteúdo trabalhado com ênfase por alguns professores de Matemática na 8ª série do Ensino Fundamental e também abordado nos livros didáticos correspondente a tal série do segmento de ensino em foco, apenas três alunos conseguiram obter êxito. Quanto ao teorema de Tales, explorado na 8ª e na 9ª questões, os alunos demonstraram não ter conhecimento sobre o assunto, o mesmo acontecendo com as equações irracionais.

Vale salientar que essa análise é extremamente subjetiva e é espelhada em resultados apresentados por indivíduos que não foram nossos alunos nas séries finais do Ensino Fundamental, e também não foram alunos dos colegas que nos cederam as turmas, com exceção de seis do grupo 1, alunos de uma turma de 8ª série. Outro fato que deve ser levado em consideração é que os indivíduos envolvidos na pesquisa não são oriundos da mesma escola e sim de comunidades distintas.

Concluídas as entrevistas, percebemos que os alunos pesquisados apresentaram muitas dúvidas em relação ao conjunto dos números racionais, isto, pode ser levando em consideração o que é proposto para os ciclos inicias. O estudo dos racionais nos 3º e 4º ciclos tem como objetivo levar os alunos a perceberem a insuficiência dos números naturais para resolver situações-problema relacionadas a medidas, grandezas e resultados de uma divisão.

ƒ Relação parte-todo: é apresentado quando um todo é dividido em partes equivalentes;

ƒ Divisão: é a interpretação de um número racional como resultado da divisão de um número inteiro por outro inteiro;

ƒ Razão: é aquela em que o racional é usado como índice comparativo entre duas quantidades;

ƒ Número como operador: quando ele desempenha a função de mudar, transformar uma situação.

A proposta é que esses diversos significados sejam trabalhados separadamente. Os PCN também sugerem que seja feito um trabalho sistemático ao longo desses ciclos para que seja consolidada a aprendizagem dos racionais.

Os livros didáticos apresentam, em sua maioria, a forma convencional de apresentar o conceito dos números racionais. O trabalho é iniciado pela representação fracionária dos números, leitura e escrita e como operar com eles. Em seguida é apresentada a representação decimal como escrita de uma fração, seguindo os mesmos passos metodológicos da representação fracionária.

O equívoco maior está no fato dos livros abordarem a escrita fracionária dos racionais e a decimal como se estas não fossem representações de números de um mesmo conjunto numérico.

Dado o exposto, podemos associar às respostas dos estudantes na primeira questão, provavelmente a fragmentação desse conhecimento prévio. Quando o aluno não tem conhecimento do conceito de número racional tende a confundir um racional em sua forma decimal como sendo um número irracional. Verificamos este fato nas respostas da 1ª questão apresentadas neste trabalho.

Ao verificarmos o bloco com as três primeiras questões e considerarmos também as entrevistas com uma amostra da população participante, constatamos que do grupo 1, dezessete (17) indivíduos, cerca de 61% (sessenta e um por cento), não atingiram os objetivos propostos, o que significa dizer que eles não dominam, ou não sabem os conteúdos. Oito indivíduos, aproximadamente 28% (vinte e oito por cento), conseguiram atingir, de forma parcial, os objetivos propostos não apresentando um domínio total. Os outros três indivíduos, equivalentes a 11% (onze por cento) atingiram satisfatoriamente os objetivos indicados.

A partir dos resultados e considerando os dois grupos como um todo, percebemos que 22 indivíduos, cerca de 49% (quarenta e nove por cento), não

conseguiram atingir os objetivos traçados para as três primeiras questões. Aproximadamente 44% (quarenta e quatro por cento), ou seja, 20 indivíduos atingiram os objetivos parcialmente; e, apenas três, o que corresponde a aproximadamente 7% (sete por cento) conseguiram atingir os objetivos propostos.

Levando em consideração o bloco incluindo a quarta, a quinta e a sexta questões, verificamos que 17 indivíduos do grupo 1, aproximadamente 61% (sessenta e um por cento), não conseguiram atingir os objetivos propostos, enquanto que no grupo 2 esse percentual chega a se aproximar de 76% (setenta e seis por cento), 13 indivíduos.

No grupo 1, cerca de 36% (trinta e seis por cento), 10 indivíduos atingiram parcialmente os objetivos e, no grupo 2 esse percentual chegou aproximadamente a 18% (dezoito por cento), totalizando três alunos.

Um indivíduo de cada grupo participante conseguiu atingir satisfatoriamente os objetivos. Em porcentagem, isto representa 3% (três por cento) do grupo 1 e 6% (seis por cento) do grupo 2, respectivamente.

Considerando os dois grupos, verificamos que 30 indivíduos, cerca de 67% (sessenta e sete por cento), não atingiram os objetivos propostos para as referidas questões, não sabem ou não dominam os conteúdos explorados. Aproximadamente 29% (vinte e nove por cento), o que corresponde a 13 indivíduos, atingiram parcialmente os objetivos e, dois indivíduos, 4% (quatro por cento), saíram-se razoavelmente bem.

A sétima questão por se tratar de racionalização de denominadores de fração e o objetivo v ter sido proposto especificamente para ela, evitamos agrupá-la com outra. Nesta questão cerca de 75% (setenta e cinco por cento), 21 indivíduos do grupo 1 e 82% (oitenta e dois por cento), 14 do grupo 2, não conseguiram atingir os objetivos. Cerca de 18% (dezoito por cento), cinco indivíduos do grupo 1 e aproximadamente 6% (seis por cento) um do grupo 2, respectivamente, atingiram parcialmente os objetivos traçados para a referida questão. Em cada um dos grupos, dois indivíduos, aproximadamente 7% (sete por cento) do grupo 1 e cerca de 12% (doze por cento) do grupo 2, respectivamente atingiram satisfatoriamente os objetivos. Fazendo a junção dos dois grupos classificamos como não tendo atingido o nível de compreensão instrumental um total de 35 indivíduos, aproximadamente 78% (setenta e oito por cento), enquanto que seis, 13% (treze), ficaram no nível de

compreensão instrumental e cerca de 9% (nove por cento), quatro alunos conseguiram se sair bem.

Nas questões que tratam da aplicação do teorema dito de Tales, a oitava e a nona, aproximadamente 96% (noventa seis por cento), totalizando 27 alunos do grupo 1 não atingiram os objetivos propostos; enquanto no grupo 2, esse percentual chegou a 76% (setenta e seis por cento), ou seja, 13 indivíduos. Nenhum aluno do grupo 1 conseguiu atingir os objetivos indicados para essas questões, mas quatro alunos do grupo 2, cerca de 24% (vinte e quatro por cento), conseguiram atingir parcialmente os objetivos propostos sobre o conteúdo explorado nas questões. Apenas um aluno do grupo 1, representando 4% (quatro por cento), conseguiu atingir satisfatoriamente os objetivos propostos.

Com a junção dos grupos, a representação percentual dos indivíduos que não atingiram os objetivos ficou em torno de 89% (oitenta e nove por cento), perfazendo um total de 40. Outros 9% (nove por cento), quatro alunos atingiram parcialmente os objetivos e um indivíduo, o que representa apenas, 2% (dois por cento), conseguiu na totalidade.

Finalizando, verificamos que 26 indivíduos do grupo 1 e 16 do grupo 2, 93% (noventa e três por cento) e 94% (noventa e quatro por cento), respectivamente, não conseguiram alcançar os objetivos propostos para o décima questão, demonstrando não ter conhecimento sobre o conteúdo. Um indivíduo de cada grupo atingiu parcialmente os objetivos, o que representa cerca 3% (três por cento), para o grupo 1 e 6% (seis por cento), para o grupo 2, e aproximadamente 2% (dois por cento), isto é, um aluno, conseguiu alcançar os objetivos de forma satisfatória.

De modo geral percebemos que o resultado da avaliação inicial contribuiu para fazermos o seguinte comentário: identificamos dificuldades dos alunos ao lidar com números irracionais. Essas dificuldades relacionavam-se, dentre outras, à possibilidade de divisão infinita de um segmento, à distribuição dos números reais, dentre eles destacamos os irracionais na reta, ao conceito de irracionalidade e ao surgimento dos irracionais. Dentre estas, a última expressa no estudo mencionado é particularmente curiosa porque muitos alunos demonstraram desconhecer os motivos pelos quais surgiram os números irracionais.

3.4.1 Atividades para o módulo de ensino

Considerando o objetivo principal da pesquisa que foi promover atividades para o aprofundamento do ensino de Números Irracionais no Ensino Médio, retornamos ao questionamento inicial: Será que ao oportunizarmos aos alunos da 1ª série do Ensino Médio um trabalho com os números irracionais por meio de atividades de ensino haverá uma aprendizagem mais significativa deste conteúdo?

Tentando responder este questionamento verificamos que o resultado apresentado na avaliação diagnóstica, indicou a necessidade de se promover uma retomada (revisão) dos conceitos testados, a partir desta necessidade, elaboramos um módulo de ensino com a finalidade de minimizar as deficiências de conteúdos dos alunos, através de atividades visando atender aos objetivos da pesquisa.

Uma atividade de ensino deve ser clara quanto aos objetivos, e nestes serem definidos na própria atividade, o material de apoio a ser usado pelos alunos. Também é importante antes da resolução, o professor fazer um rápido comentário sobre os procedimentos a serem adotados para a execução da tarefa. Ainda é oportuno que o professor (pesquisador), elabore as atividades por escrito, com as devidas orientações. Deve ser entregue uma cópia a cada aluno e, em seguida, reuni-los em pequenos grupos para a discussão e desenvolvimento da atividade. Rodrigues Neto (1998).

Destacamos quatro momentos importantes numa atividade de ensino: i) leitura e compreensão do enunciado (texto);

ii) discussão da atividade entre os componentes do grupo; iii) realização da atividade pelos alunos;

iv) apresentação dos resultados ao grande grupo.

Assim, enquanto os alunos trabalham em uma interação em grupo, o professor (pesquisador) atua como um mediador (orientador), devendo ficar atento ao desenvolvimento da aprendizagem do aluno para dirimir possíveis dúvidas.

Para esse trabalho, tivemos o cuidado de selecionar algumas atividades de ensino de livros-textos, fazendo as adaptações e mudanças necessárias para adequá-las aos objetivos da pesquisa, como também elaboramos parte delas, tendo a preocupação de não seguir rigorosamente os modelos apresentados em livros.

Enfim, procuramos selecionar as atividades de forma a proporcionar um entendimento dos conceitos abordados.

Fossa (2001, p. 79), afirma: "[...] atividades bem estruturadas e usadas com consistência e criatividade podem ser instrumento poderoso na aquisição de conceitos matemáticos [...]". As atividades que compõem o módulo de ensino, seguiram uma seqüência e inicialmente foram discutidas, para em seguida serem aplicadas.

As atividades propostas foram desenvolvidas em pequenos grupos, seguindo os seguintes procedimentos:

i) discussão sobre como resolver a atividade proposta;

ii) resolução da atividade (uso de materiais, procedimentos de cálculo, anotações, e outros);

iii) comunicação das idéias.

As atividades desenvolvidas nos grupos visaram proporcionar uma interação entre os alunos, a discussão das questões e, conseqüentemente, reforçando a aprendizagem, o que de acordo com Keil (1999, p. 140) possibilita "[...] aos sujeitos explicitarem, valorizarem e trocarem uns com os outros, vivências oriundas de universos simbólicos de experiências cotidianas [...]". Para a autora, os indivíduos buscam a companhia de seus pares, que pensam e agem da mesma forma convivendo com uma troca de sentimentos e emoções um tanto quanto igualitárias, construindo as representações dos sujeitos a partir de um substrato oriundo de movimento dialético. Esse ponto de vista vem reforçar o intuito de nossa pesquisa de aplicar as atividades de ensino com os alunos organizados em pequenos grupos.

Iniciamos a aplicação do módulo de ensino com uma seqüência didática previamente organizada e distribuída em um bloco com atividades, dentre elas seis visando retomar conteúdos e relembrar conceitos matemáticos aos indivíduos dos dois grupos participantes: as outras envolveram o teorema de Tales, equações irracionais, irracionalidade de raiz de dois, procedimentos para o cálculo de raiz quadrada por aproximação e o cálculo do valor aproximado de pi.

O módulo de ensino obedeceu a uma seqüência não-linear, indicando objetivos, conteúdos e procedimentos, seguida de exercícios propostos.