A aplicação das atividades no grupo

Iniciamos a intervenção metodológica com o módulo de ensino no grupo 1, no segundo bimestre letivo. Distribuímos entre os alunos o material (apostilas) para acompanhamento e resolução das atividades. Entregamos também à equipe técnica uma cópia para controle e arquivo na escola.

Acompanhamos o desempenho e desenvolvimento da aprendizagem dos alunos desse grupo por meio de observação na atuação em sala de aula, participação na atividade individual e em grupo, aplicação de exercícios e tarefas referentes aos conteúdos explorados, como também verificamos a aprendizagem dos indivíduos envolvidos através de provas bimestrais, ficha avaliativa para recuperação semestral e prova final, sempre de acordo com o planejamento da escola. Ressaltamos que o foco principal da avaliação foi a observação em sala de aula e posterior registro do que foi observado.

A primeira atividade do módulo de ensino procurava fazer uma retomada da identificação de um número primo e também a decomposição de um número em fatores primos.

Organizamos a turma em quatro grupos com quatro (4) componentes e um com três, totalizando 19 (dezenove) alunos na aula.

Iniciamos com as seguintes perguntas: o que é um número primo? E quais são os divisores de 17?

A definição de número primo já estava no texto, mesmo assim, percebemos que os alunos de três grupos apresentavam dificuldades em identificar um número primo. Na expectativa de dirimir estas dúvidas passamos a dar orientação aos estudantes com outros exemplos, ou seja, pedimos que escrevessem os divisores de cinco e de seis, de sete e de oito. Com a exploração destes exemplos tiramos as dúvidas e continuamos a atividade, trabalhando decomposição de um número em fatores primos, o que já havíamos feito com os números cinco e seis.

Na atividade, os números 60 e 90 estão decompostos em fatores primos e escritos em forma de produtos. Pedimos que os estudantes observassem os exemplos e, aproveitando-se do conhecimento que tinham sobre o assunto procurassem fazer a decomposição dos outros números apontados na atividade e representassem na forma de produto (multiplicação).

Fazendo a observação e acompanhamento grupo a grupo, percebemos que um dos grupos terminou muito rápido, fomos ao grupo e o estudante Michel disse: “Professor esse assunto eu aprendi na 5ª série”. Outro componente do grupo, a estudante Tâmara falou: “Eu não sabia fazer, aprendi agora com Michel”.

O grupo formado por Gerlane, Graça, Carmelita e Daniele Ferreira apresentou dificuldade em decompor os números 700, 42, 500, mas como acertaram a decomposição do número 18, solicitei que tentassem fazer a decomposição de 42 seguindo os passos da de 18, três delas conseguiram fazer, mas uma disse: “Não tem jeito professor, não aprendo mesmo”. Percebendo a dificuldade da estudante passamos a explicar a decomposição dos números oito e 10, utilizando a regra de decomposição. Depois dos dois exemplos feitos ela disse: “Assim é mais fácil, agora vou ver se acerto os outros exemplos”.

O conteúdo em discussão consta no currículo oficial e é abordado nos livros didáticos da 5ª série. Portanto, esperávamos que esses estudantes aproveitassem o conhecimento prévio sobre o assunto para agilizar o desenvolvimento das atividades

propostas, mas identificamos que a dificuldade na aprendizagem desses conteúdos, que deveriam ser do domínio dos alunos é falta de segurança em conhecimentos básicos, tais como a multiplicação e a divisão. Essa insegurança dos estudantes é provocada provavelmente pelos obstáculos epistemológico e cognitivo apresentados.

A segunda atividade do módulo de ensino foi desenvolvida objetivando retomar o conteúdo de equação do 1º grau. A atividade foi composta por seis situações-problema, contemplando os aspectos instrumental e relacional e os estudantes precisavam apresentar conhecimentos prévios sobre operações com números racionais fracionários, soma de ângulos interno de um triângulo, ângulos complementares e ângulos alternos externos.

Na atividade foram trabalhados os aspectos instrumentais tais como: saber calcular o termo desconhecido, saber aplicar fórmula, identificar os termos de uma equação, saber o que são ângulos suplementares, reconhecer ângulos alternos externos, lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 180 graus. Partindo dos aspectos instrumentais apresentados esperávamos avançar a aprendizagem relacional nos aspectos: relacionar equação do 1º grau com o cotidiano, compreender o problema proposto, evitar aplicar fórmulas, ler e imaginar soluções das equações, saber o significado de cada termo. Aplicar fora do contexto, saber o porquê e para que estudar equações, descobrir novas relações entre os tópicos.

Essa atividade foi trabalhada em duas aulas, na primeira contamos com a presença de 25 estudantes distribuídos em seis grupos. Os grupos foram formados sem a nossa interferência, a única exigência que fizemos foi que nenhum grupo poderia ter mais de cinco componentes. Depois dos grupos organizados, tal qual na primeira atividade, percebemos que os alunos não costumavam se agrupar para estudar em sala de aula e voltamos a explicar a importância do estudo ser realizado em grupos, citando e mostrando para eles como tinha sido proveitosa a aula anterior com esse tipo de organização.

No desenvolvimento da atividade percebemos que dois grupos avançavam em relação aos demais. No grupo formado por Michel, Wallyson, Ester e Cidemar cada aluno fazia uma questão e em seguida socializava com os demais. Este grupo apresentou dificuldade no item ii da atividade, provavelmente por não lembrarem que poderiam aplicar a relação de Pitágoras para o cálculo da altura do triângulo,

precisando da nossa interferência. Em um dos grupos formado por Cariliana, Carmelita, Daniele e Danielly, cada aluna tentava resolver a mesma questão em seguida faziam os comentários sobre os procedimentos adotados e conferiam os resultados uma com as outras.

Os outros grupos demonstraram uma certa dependência precisando da nossa orientação, caso a caso e, em alguns momentos percebemos a dificuldade real de entendimento sobre os objetivos traçados para a atividade. Havia uma preocupação entre eles de chegar à resposta de forma imediata esquecendo que era necessário ter um entendimento geral da questão.

Essa atividade foi interrompida com o final da aula e, dado prosseguimento na aula seguinte na presença de 23 alunos com a falta das alunas Regineide e Graça. Para concluirmos a atividade propomos que cada grupo fizesse uma questão no quadro, e, feito isto, passavamos a explicar detalhadamente os procedimentos para resolução da questão dirimindo assim as possíveis dúvidas.

Podemos dizer que, de modo geral, os alunos conseguiram cumprir a atividade e atingiram os objetivos traçados.

A terceira atividade abordava os conceitos de razão, proporção e discutia a idéia de proporcionalidade. As questões para essa atividade foram elaboradas seguindo uma das atuais tendências do ensino da matemática: a resolução de problemas.

Utilizamos os mesmos procedimentos das atividades anteriores com os trabalhos desenvolvidos em grupos. Observamos que dois grupos permaneciam com os mesmos componentes da aula anterior e os outros foram recompostos de acordo com os interesses dos próprios alunos.

Em relação à discussão que os grupos deveriam realizar, percebemos que em princípio os estudantes estavam mais preocupados em chegar à resposta, com exceção de dois grupos.

Essa atividade daria condições ao aluno de, por exemplo, identificar os termos de uma razão, representar a razão entre dois segmentos, situar a idéia de proporcionalidade do aspecto relacional, dominando o conceito de proporcionalidade.

Observamos que alguns alunos conseguiam fazer a comparação entre grandezas e representá-las em forma de razão com mais facilidade de que outros. Percebemos também que, boa parte dos estudantes, aproximadamente 56%

demonstraram muitas dificuldades em desenvolver a atividade, provavelmente por não terem o hábito de estudar ou por desatenção na leitura, ou mesmo por falta de conhecimento do conteúdo básico de matemática. Dez alunos apresentaram dificuldades na linguagem, liam o enunciado do problema, mas não compreendiam e vinham os pedidos, como exemplo, citamos o da aluna Graça: “Professor, é melhor o senhor fazer um exemplo parecido com esse no quadro e depois a gente faz os outros”. Tentando reverter esse tipo de pensamento da aluna, ou seja, receber o conteúdo pronto, como sendo um modelo, mas compreendendo a posição dela, passamos a incentivá-la a encontrar a uma solução para questão.

Essa atividade foi desenvolvida em dois encontros e finalizada com a participação dos estudantes apresentando suas respostas no quadro.

A despeito da idéia de proporcionalidade, verificamos que o conhecimento prévio dos alunos sobre esse assunto deixava muito a desejar. Acreditamos que se eles tivessem melhor conhecimento sobre o conteúdo em pauta, a aprendizagem teria se dado de forma mais rápida.

A quarta atividade objetivava explorar o conhecimento dos estudantes sobre números irracionais. Para essa atividade o estudante deveria saber usar a régua e o compasso, instrumentos importantes e imprescindíveis na representação de um número irracional na reta numérica. Para tanto, solicitamos na aula anterior que eles levassem esses instrumentos para sala de aula.

Nessa atividade, a maioria dos alunos demonstrou desconhecer o uso do compasso, sendo que 10 nunca tinham usado, levando um certo tempo para que pudéssemos dar essa orientação, que foi feita grupo a grupo. Duas alunas não sabiam representar um número inteiro na reta numerada, escreveram os números de forma desordenada, não obedecendo a uma seqüência.

Com a realização dessa atividade percebemos que houve um avanço em relação aos objetivos traçados, pois, alunos como Tsila e Graça afirmaram que a partir daquela aula nunca mais iam esquecer que podem representar os números inteiros e os irracionais em uma reta. A colega de outro grupo que estava ao lado disse: Nem só esses, mas também os números racionais”.

A quinta atividade abordava o conteúdo referente a Radical, explorando suas principais operações, discutindo a importância da racionalização de frações com denominadores em forma de radical, assuntos esses, explorados nos livros didáticos e contidos na proposta oficial para a oitava série do Ensino Fundamental

intercalando e associando as operações de radicais a outros conceitos matemáticos, como área e perímetro de figuras planas, principalmente do retângulo.

Essa atividade foi desenvolvida em duas aulas: na primeira, os estudantes reunidos em grupos resolveram os dois primeiros itens, e na segunda os outros quatro. Os alunos demonstraram pouca habilidade nas operações com radicais, confundiam perímetro com área, não sabiam calcular área de um triângulo e nos parece que a maior dúvida foi quando solicitado que calculassem a área do retângulo, lados 5 2cm e 3 2cm, questão 1, item a. Percebemos que um dos grupos conseguiu resolver e dar a resposta correta, dois grupos conseguiram escrever a expressão 5 2cmu3 2cm, mas na resposta final não colocaram cm2, demonstrando não ter o conceito de área totalmente formado.

O grupo formado por Girlane, Graça, Tsila, Márcia e Micarla demonstrou não saber como se calculava a área de um retângulo e quanto à multiplicação com radicais disseram nunca ter estudado. Este grupo apresentou um grande obstáculo no aprendizado por falta de base, o que dificultou um pouco o desenvolvimento dos trabalhos.

Superados os obstáculos apresentados pelo grupo sobre área de retângulo e multiplicação com radicais, avançamos para o item b da questão. Para esse item os estudantes deveriam apresentar os aspectos instrumentais de: reconhecer um triângulo, saber a fórmula para calcular a área de um triângulo, identificar a altura e os lados de um triângulo, saber a relação de Pitágoras e também os aspectos relacionais de: aplicar a relação de Pitágoras para calcular a área de um triângulo e utilizar a fórmula resolutiva para calcular a área do triângulo.

Nesse item um dos grupos conseguiu encontrar a altura do triângulo aplicando a relação de Pitágoras chegando ao resultado esperado. Outros grupos precisaram da nossa orientação para avançar. Percebemos que a maior dificuldade desses alunos não estava na multiplicação de radicais e sim na falta de conhecimento prévio sobre o conceito de área de figuras planas e do teorema de Pitágoras.

Os outros itens da questão envolvendo áreas de figuras planas e radicais foram desenvolvidos sem maiores obstáculos, mas, no item v as alunas Rusiane e Tâmara confundiram área de retângulo com perímetro.

No último item envolvendo racionalização de frações com denominadores irracionais, percebemos que 12 alunos, dentre os 17 que estavam em sala de aula, não sabiam as técnicas de racionalização de denominadores, seis deles disseram que nunca estudaram e os outros seis disseram que viram, na 8ª série, mas não aprenderam e que gostariam de aprender.

Finalizando essa atividade, retomamos todas as questões no quadro, com os estudantes resolvendo-as, e em seguida fizemos uma explanação das técnicas de racionalização de denominadores de frações discutindo caso a caso com o uso do retroprojetor e transparência.

Na sexta atividade fizemos uma retomada geral objetivando verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre semelhança de figuras. Nessa atividade o maior obstáculo apresentado pelos alunos foi na utilização dos instrumentos de desenho, o compasso e o par de esquadros exigidos para realização do item iv, boa parte dos alunos alegaram nunca ter usado o par de esquadros. Passamos então a orientá-los grupo a grupo. Percebemos que houve um avanço na aprendizagem dos alunos durante o desenvolvimento da atividade.

Na sétima atividade foram estudados os procedimentos para calcular raiz quadrada por aproximação. Esse conteúdo por ser muito abstrato exigia do estudante um conhecimento no aspecto instrumental, ou seja, saber os procedimentos e aplicá-los. Explicamos a técnica do cálculo de raiz quadrada por aproximação e solicitamos que eles em grupos aplicassem a alguns exemplos. No desenvolvimento da atividade percebemos que havia alunos com dúvidas nos cálculos e passamos a orientá-los de acordo com a necessidade. Nesse acompanhamento observamos que o maior obstáculo que os estudantes apresentavam não era no entendimento da técnica operatória e sim na operação de divisão e também nos exemplos que poderiam ser resolvidos fazendo as decomposições em fatores primos e depois simplificando os radicais, nos casos de

8 e 18.

Nessa atividade os alunos compreenderam a técnica operatória de encontrar por aproximação uma raiz quadrada não-exata, mas 10 deles perceberam que tinham que estudar a tabuada de dividir e praticar a divisão, já que havia a necessidade de avançar nos estudos.

A oitava atividade foi uma explanação sobre a demonstração da irracionalidade de raiz de dois, conteúdo esse que não consta no currículo oficial, não é abordado nos livros didáticos de Matemática para a 8ª série do Ensino Fundamental nem nos livros de Matemática para a 1ª série do Ensino Médio, e que exige um alto grau de abstração. Por isso resolvemos fazer apenas a demonstração usando retroprojetor e transparência, acompanhando tópicos da história sobre a descoberta de grandezas incomensuráveis.

A nona atividade explorou o conteúdo de equações irracionais, assunto esse abordado na última série do Ensino Fundamental. Essa atividade requeria do aluno conhecimento nos aspectos instrumentais de identificar dentre os diversos tipos de equações uma equação irracional, saber elevar os dois membros de uma equação irracional a um mesmo expoente, resolver equação do 1º grau, e os aspectos relacionais: compreender porque elevar os dois membros de uma equação irracional ao mesmo expoente, saber e perceber quando é necessário aplicar a fórmula de Báskara e ainda testar os resultados para verificar se os resultados encontrados satisfazem ou não a igualdade proposta.

Iniciamos a atividade com exemplos de equações irracionais e com um exercício proposto solicitando que os estudantes identificassem as equações irracionais. No grupo formado por Willame, Randerson, Mirley e Marcelo, Mirley disse que ficava difícil responder à questão, pois na escola que estudou a 8ª série quase não teve aula devido a uma reforma no prédio que levou meses. Fomos ao grupo e perguntamos aos outros alunos se não lembravam do assunto para tentar responder à questão e comentar com os colegas. Marcelo falou que sim, tinha estudado e ia tentar dar a resposta; acompanhamos de perto o grupo e os estudantes chegaram à solução sem uma maior interferência de nossa parte.

Os grupos continuavam o desenvolvimento da atividade, mas tivemos que interromper. A aula naquela tarde teve duração de 30 minutos devido à falta d’água na escola.

Na aula seguinte retomamos a atividade com um número de estudantes bem menor que a aula anterior. Nesse dia faltaram cinco alunos dentre aqueles que freqüentavam normalmente, ficando a turma com 16 apenas.

Nessa aula propomos um exercício incluindo quatro questões sobre equações irracionais. Nas duas primeiras, os quatro grupos fizeram sem apresentar maiores

obstáculos, fomos chamados aos grupos para confirmar com eles a resposta que já tinham testado.

Nas outras questões, dois grupos apresentaram dificuldades na resolução quando era necessário aplicar conhecimentos prévios sobre equação do 2º grau e também para desenvolver o produto notável (1 – x)2.

Na equação x2 – 4x +3 = 0, o grupo formado por João Paulo, Josivan, Marcelo e Mirley estava atribuindo valores a x substituindo na expressão e verificando se o resultado era zero, ou seja, estavam fazendo por tentativa e erro. Explicamos a eles que seria melhor utilizar outro procedimento e encontrar as raízes da equação, mas que o seu raciocínio não estava errado, provavelmente demorasse mais um pouco a chegar ao resultado.

A conclusão dessa atividade seguiu os mesmos procedimentos das atividades anteriores: os alunos apresentavam os resultados no quadro e fazíamos o fechamento com uma explicação mais abrangente dirimindo as possíveis dúvidas. Percebemos que mesmo os alunos apresentando obstáculos em conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental, o envolvimento deles no desenvolvimento das questões propostas superava a dificuldades e os objetivos traçados foram alcançados.

Para ser trabalhada a décima atividade, foi necessário retomarmos os conteúdos envolvendo trigonometria no triângulo retângulo para dar aos estudantes a idéia de seno, cosseno e tangente, orientação de como usar a tabela trigonométrica e os ângulos de 30º, 45º e 60º como sendo os mais utilizados. Trabalhamos também os polígonos regulares: o quadrado, o triângulo e o retângulo, estudamos os polígonos regulares inscritos e circunscritos. Esses assuntos foram abordados por meio de transparência e exercícios de treinamento como também foi usado o “manual do estudante”, um bloco de conteúdos chamado de livro e doado ao aluno por meio da Secretaria de Educação, o qual serviu como ponto de apoio. Realizada a revisão, ou seja, ministrado o conteúdo passamos a trabalhar a décima atividade.

A décima atividade foi iniciada com a leitura de um tópico da história do número pi. Essa leitura foi feita por alunos: Josivan leu uma parte e a outra foi lida pela estudante Ester. Logo após a leitura a aluna Cariliana comentou: “Professor, não precisava isso, leitura se faz em Português e não em Matemática”. Diante da preocupação da aluna passamos a explicar a importância da história e principais

descobertas em matemática e demos prosseguimento à atividade orientando aos grupos na construção de polígonos inscritos e circunscritos no círculo.

No desenvolvimento da atividade surgiram dificuldades que foram sendo superadas caso a caso, mas também surgiram preocupações do tipo a de Cariliana: “Professor, mas para que isso, já sabemos que o valor de pi é 3,14”. Outra aluna disse: “É melhor dizer que pi é igual a 3,14 e pronto”.

Partindo da preocupação das estudantes em querer apenas o valor de pi, explicamos que o mais importante era saber os procedimentos para se chegar a aproximação e não apenas saber o valor de pi sem as noções de como se chegou naquele valor. Mostramos também que era importante que eles soubessem calcular a aproximação de pi utilizando o método dos polígonos inscritos e circunscritos, para se ter uma idéia de como surgiu o valor do número pi.