COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA – 2011 - GABARITO

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

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GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA – 2011 - GABARITO 1) Encontre a equação da circunferência de centro (3,2) que é tangente ao eixo X.

Solução. A circunferência está afastada da origem de uma unidade no sentido positivo de X.

O raio, portanto vale 2.

Equação reduzida é (x – 3)² + (y – 2)² = 4.

Equação geral: x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4 – 4 = 0  x² + y² – 6x – 4y + 9 = 0.

2) Qual a equação reduzida da circunferência que tem raio 3, tangencia o eixo das abscissas no ponto A(4,0) e está contida no 4º quadrante?

Solução. A circunferência está afastada da origem de uma unidade no sentido positivo de X. Se pertence ao 4º quadrante, o centro será (4, - 3).

Equação reduzida é (x – 4)² + (y + 3)² = 9.

Equação geral: x² – 8x + 16 + y² – 6y + 9 – 9 = 0 

 x² + y² – 8x – 6y + 16 = 0.

3) Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Caso afirmativo, determine o centro e o raio das circunferências seguintes:

Solução. A observação inicial será com relação aos coeficientes dos termos quadráticos. Eles devem ser iguais. Encontramos os centros e raios Completando os quadrados ou com a relação entre os coeficientes da equação ax + ay² ² + cx + dy + e = 0 também pode ser utilizada.

a) x² + y² + 6x = 0. Coeficientes de x² e y² iguais a 1.

i) Completando os quadrados, temos: x² + 6x + 9 – 9 + y² = 0  (x + 3)² + (y – 0)² = 9. Logo, é circunferência de centro (-3, 0) e raio 3.

ii) Utilizando a fórmula, temos:

 

       

 



 





 



 

 



 



 

 





 



 



  

 

 

   



 



 







3 1 9

0 0 a 3

y e x R

)1(2 0,3 , 0 )1(2 )6(

a2 , d a2 : c Centro

0 e

0 d

6 c

1 a

2 2 2

0 2 0

.

b) x² + y² = 9  x² + y² – 9 = 0. Coeficientes de x² e y² iguais a 1.

i) Completando os quadrados, temos: (x – 0)² + (y – 0)² = 9. Logo, é circunferência de centro (0, 0) e raio 3.

(2)

 

       

 



 





 



 

 

 



 

 





 

 



  

 

 

   



 



 







3 1 9

0 9 a 0

y e x R

)1(2 0,0 , 0 )1(2 )0(

a2 , d a2 : c Centro

0 e

0 d

0 c

1 a

2 2 2

0 2 0

.

c) x² + y² + 4x – 10y + 20 = 0. Coeficientes de x² e y² iguais a 1.

i) Completando os quadrados, temos: x² + 4x + 4 – 4 + y² – 10y + 25 – 25 + 20 = 0  (x + 2)² + (y – 5)² = 9.

Logo, é circunferência de centro (-2, 5) e raio 3.

 

       

 



 









 



 

 



 



 

 





 



 



 



 



 

   



 



 











3 9 20 25 1 4

5 20 a 2

y e x R

)1(2 5,2 )10 , ( )1(2 )4(

a2 , d a2 : c Centro

20 e

10 d

4 c

1 a

2 2 2

0 2 0

.

d) x² + 2y² + 4x + 18y – 100 = 0. Coeficientes de x² e y² são diferentes. A equação não é da circunferência.

e) x² + 3y² – 4 = 0. Coeficientes de x² e y² são diferentes. A equação não é da circunferência.

f) x² + y² + 4x – 4y – 17 = 0. Coeficientes de x² e y² iguais a 1.

i) Completando os quadrados, temos: x² + 4x + 4 – 4 + y² – 4y + 4 – 4 – 17 = 0  (x + 2)² + (y – 2)² = 5. Logo, é circunferência de centro (-2, 2) e raio 5.

 

       

 



 









 



 

 



 



 

 





 



 



   

 

 

   



 



 









5 25 17 4 1 4

2 17 a 2

y e x R

)1(2 2,2 )4 , ( )1(2 )4(

a2 , d a2 : c Centro

17 e

4 d

4 c

1 a

2 2 2

0 2 0

.

4) Determine os valores de “k” de modo que a circunferência de equação (x – k)² + (y – 4)² = 25 passe pelo ponto (2k,0).

Solução. Se a circunferência passa por um ponto, então ele satisfaz à equação desta circunferência.

(3)

 





 



































 k 3

3 9 k

k 16 25 k 25 16 k 25 )4 0(

)k k2 ( 25 )4 y(

)k x(

)0, k2

( ² ² ² ² ² ² ²

^.

5) A equação de uma circunferência C é x² + y² – 2y – 7 = 0.

a) Verifique se o ponto (2,3) pertence à circunferência.

Solução. Se o ponto satisfaz à equação da circunferência, então pertence a ela.

ncia circunferê à

Pertence .0 13 13 7 6 9 4 7 )3(

2 )3(

)3,2 )2(

(P

0 7 y2 y x:

equação ² ² ₂ ₂

















 

     

.

b) Determine os pontos onde a circunferência intersecta o eixo das coordenadas.

Solução. Os pontos intersectam os eixos nos pontos com abscissa x = 0 e com a ordenada y = 0.

        ^1,0P ²² ^0Q; ^21. ^R;2 ⁷ ^S;0, ^0,7

, Logo

7 x

7 7 x x 07 x 0y

22 2 1

24 y 2

22 2 1

24 y 2

2 32 2 )1(2

)7)(

1(4 )2(

y )2(

07 y2 y 0x 07 y2 y x

2 2





 





 







 





 











 



 



 



 



 

 





 

















.

6) O ponto A(–4, 3) é eqüidistante dos pontos P(–10, 1) e Q(x, y). Nessas condições, determine a equação da circunferência a qual Q pertence.

Solução. Uma circunferência pode ser determinada por três pontos não colineares. Escrevendo a fórmula da distância entre pontos e igualando as expressões, temos:

(4)

       

   

    ^x ⁴ ^y ³   ⁴⁰ ^{   } ^x ⁴ ^y ³ ⁴⁰

40 3

y 4 x

3 y 4 x 3

y ) 4 ( x ( d

40 4 36 2

6 3

1 ) 4 ( 10 ( d

2 2 2

2 2

AQ

2 2

AP









 

 

 

   













 





































.

Repare que o ponto A é o centro C da circunferência.

7) Encontre a equação reduzida da circunferência que passa pelos pontos (3, 0), (-6, -3) e (1, 4).

Solução. Cada ponto satisfaz à equação da circunferência.

(5)

25y)2 x(:Equação

5R25 R)23(

R)00(

))2(3(R R)y0(

)x3(:Raio

066)2 (36y :Centro4 2x 2yx x2

6yx3 )1(2 yx

6yx3 28y14 x14

36y6x 18

0y14x Ryy8 1428

xx217 Ryy6 xx1245 )1(R yy8x x217

Ryy6 xx1245 :3eqe2eq

0y6x18 Ryy6 36

xx1245 Ryx x69 Ryy6 xx1245

)1(R yxx6 :2eqe1eq 9

Ryy8 16xx2 1

Ryy6 9xx12 36

Ryx x69 R)y4(

)x1(

R)y3(

)x6(

R)y0(

)x3(

R)yy(

)xx(

)4,1(

)3,6(

)0,3(

22 22 22 2 22 2 0 2 0

0 0 0 00 00 00

00 00 00

22 00 00 2 00

22 00 2 00 22

00 2 00

22 00 2 00

22 00 00 2 00

22 0 2 00 22 00 2 00

22 0 2 00

22 00 2 00

22 0 2 00

22 0 2 0

22 0 2 0 22 0 2 0















 







 

 





 

 





 

 





 



 

 









 



 















 

 









 



 













 



 















 



 

















 



 





.

(6)

8) Qual o ponto da circunferência (x – 3)² + y² = 4 que fica mais distante do eixo Y?

Solução. A circunferência possui centro (3, 0) e raio 2. O centro está à direita do eixo Y. O ponto mais distante possui a mesma ordenada do centro e 2 unidades a mais que a abscissa do centro: (3 + 2, 0) = (5,0).

9) Escreva as equações das circunferências mostradas.

Solução. Observando as coordenadas do centro e os raios, temos:

10) Qual a distância entre os centros das circunferências (x – 3)² + y² = 11 e x² + y² + 2x – 6y – 12 = 0?

Solução. Aplicando a fórmula da distância entre pontos após identificar os centros, temos:



³ ¹

 

⁰ ³



¹⁶ ⁹ ²⁵ ⁵

d

) 3 , 1 ( : Centro 22

) 3 y ( ) 1 x (

0 12 9 9 y 6 y 1 1 x 2 x 0 12 y 6 x 2 y x ) ii

) 0 , 3 ( : Centro 11

y ) 3 x ( ) i

2 2

Centros

2 2

























































11) Encontre os pontos de interseção entre a reta r: x – y + 4 = 0 e a circunferência x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.

Solução. Os pontos de interseção serão encontrados solucionando o sistema com as duas equações.

(7)

 



 

 



 















 

 









 

 



 

 



 





 







































 

 

















)2 ,2 ( Q

)5 ,1(

:s P Interseçõe 2

4 2 y 2 2

3 x 1

5 4 1 y 2 1

3 x 1

2 3 1 2

9 1 )1

(2

)2 )(

1(

4 )1 ( x 1

0 2 x x

0 4 x 2 x 2 0 4 16 x 4 x 2 16 x 8 x x

0 4 )4 x(

4 x 2 )4 x(

x

0 4 y 4 x 2 y x

4 x y 0 4 y x

2 2

2

2 2

12) Determine os valores de p para que a reta de equação 2x – y + p = 0 seja tangente à circunferência de equação x² + y² – 4 = 0.

Solução. A posição de uma reta em relação a uma circunferência pode ser estudada através do discriminante da equação do 2º gerada pela interseção das equações da reta e circunferência. De acordo com o sinal positivo, nulo ou negativo, a reta será, respectivamente, secante (dois pontos de interseção), tangente (um ponto de interseção) e exterior (nenhum ponto de interseção).

Como a condição é de tangência o discriminante deverá ser nulo. Construindo o sistema, temos: