COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU www.professorwaltertadeu.mat.br GEOMETRIA ANALÍTICA – RETAS - 2011 - GABARITO

(1)

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU

www.professorwaltertadeu.mat.br GEOMETRIA ANALÍTICA – RETAS - 2011 - GABARITO

1) Considere as retas r e s definidas por r: kx - (k + 2)y = 2 e s: ky - x = 3k. Determine k de modo que:

a) r e s sejam concorrentes b) r e s sejam paralelas c) r e s sejam coincidentes.

Solução. Pela definição, retas concorrentes possuem um ponto de interseção, as paralelas nenhum ponto de interseção e as coincidentes, todos seus pontos são de interseção. Nos termos de Geometria Analítica,

analisamos os coeficientes angulares das retas:

 



 

















 

 

 











k m 1 3 k x y 1 k 3 x ky : s

2 k m k 2 k x 2 2 k y k 2 y) 2 k(

kx :r

s

r

.

a) retas concorrentes possuem os coeficientes angulares diferentes:

 

 























 





1 k e

2 k 0 )1 k ).(

2 k(

0 2 k k k

1 2 k m k

m

_r _s ² ^.

b) retas paralelas possuem os coeficientes angulares iguais:

 

 























 





1 k ou

2 k 0 )1 k ).(

2 k(

0 2 k k k

1 2 k m k

m

_r _s ² ^.

c) retas coincidentes possuem os coeficientes angulares e os lineares iguais:

 



























 





 

 























 





3 k 4 4 k3 2 6 k3 2 3

k n 2 n

1 k ou

2 k 0 )1 k).(

2 k(

0 2 k k k

1 2 k m k m

s r

2 s

r

. Não é possível conciliar os valores de “k”.

Logo, não existe um valor de “k” que satisfaça a condição pedida.

2) Determine um ponto P’ simétrico ao ponto P(-1,6) em relação à reta de equação r: 3x - 4y + 2 = 0.

Solução. O ponto P’ será simétrico em relação à reta “r”, se estiver sobre a reta perpendicular, “s”, e à mesma distância de “r” que o ponto P, conforme a ilustração. O ponto de interseção entre as retas é o ponto M, ponto médio do segmento PP’. Efetuando os cálculos, temos:

(2)

)2 ,5(

)6 4,1 4(

)6, 1 ( )2, 2(

2 'P M2 P 2 'P

'P M) P iv

4 2 8 4 2 4

)2(

y 3 2 x 50 x 25

56 x 16 6 3 x9 14 3

x4 2 1 4

x3 3 14 3 y x4

4 x 2 4 y 3 s r M) iii

0 14 x4 y3 3 :s 14 3 y: x4 s

3 14 3

4 n 18 3 n

)1 6 (4 s

P 3 n y x4 3 :s m 4 r s) ii

4 m 3 4 x 2 4 y 3 0 2 y4 x3 :r) i

s s s

s

r





















 





 































 



 































 





 



 

 







 























.

3) Calcule as coordenadas do ponto da reta de equação 2x - y + 3 = 0, que é eqüidistante dos pontos A(3, 0) e B(1, - 4).

Solução. O lugar geométrico dos pontos que estão a mesma distância de dois pontos é a mediatriz do segmento que une esses pontos. O ponto pedido é a interseção entre a mediatriz do segmento AB e a reta indicada. Considerando “r” a reta informada, “t” a reta que passa por A e B e “s” a mediatriz do segmento AB (passa pelo ponto médio de AB) que é perpendicular a essa reta, temos:

(3)

 

 

 



  

 



 





 

 

 



 

 





























 

 

























 

 











 

 









 











 



 



  

 

 

















 

 











 

 



 





















5 , 1 5 P 8 : é te tan equidis ponto

o , Logo

5 1 5

15 3 16

5 2 8 y

5 x 8 8 x 5

2 x 6 x 4 2 1

3 x x 1 2 2 y x

3 x 2 y s r P ) iii

2 1 y x : s 2 1

2 n 4

2 n ) 2 2 ( s

PM 2 n y x : 2 s m 1 t s ) iv

) 2 ,2 2 (

) 4 , 0 2

1 3 2

) 4 ,1 ( ) 0, 3 ( 2

B AB A

PM ) iii

6 x 2 y :t 6 n n ) 3 ( 2 0

t A

n x 2 y 2 2

4 3

1 0 m 4

n x m y :t )ii

2 m 3 x 2 y 0 3 y x 2 : r )i

s

s s

s t t

t t

r

.

Repare que a distância comum é de 4,6.

4) Determine a abscissa do ponto de interseção das retas r e s, sabendo que a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares, e passa pelo ponto P(1, -7), e a reta s passa pelo ponto Q(5, - 17) e é paralela à reta de equação 2x - y + 3 = 0.

Solução. Os quadrantes ímpares são o I e o III. Logo, a bissetriz desses quadrantes possui equação y = x.

abscissa 19 x 8x 27 27 x2 x2 y

8x sr y )iii

27 x2 y:s 27 n n) 5(2 s) 17 17, 5(

nx 2y m :s m t//s 2 m 3x 2y 03 yx 2:t) ii

8x y:r 8 n n1 r)7 7

,1(

nx 1 y:r m )IIIe I(

Bissetriz .Eq//

r

1 m xy :)III eI(

Bissetriz .Eq)i

s s s

t s t

r r r r

bissetriz











 

 





 















 

 







 





























 

 



 









.

(4)

5) A reta r determina um ângulo de 120° com a reta s, cujo coeficiente angular é . 3

 1 O coeficiente angular de

r vale:

a) 3 b) 3

3 5 +

6 c) 3

3 5 +

-6 d) 3

3 5 - 6

Solução. O ângulo agudo formado entre duas retas é dado pela fórmula:

r s

m . m 1

m tgâ m



  . Como o ângulo

indicado é 120º (obtuso), o agudo interno será de 60º.

3 3 5 6 6

3 10 12 3

9

9 3 9 3 m 3

3 3

3 .3 3 3

3 3 1 3

3 3 3 m 1

m 3 1 3 3 m m 3

3 m 3 3 1

m 3

m 3 3 1

m 3 . 3 3

m 3 3 1

3 m 3 3

m 3 1 3 m

3 . 1 1

3 m 1 m 3

. m 1

m º m

60 tg

r

r r r

r

r r

r s

 

 

 



 



 





 



 











 



 

 



 



 



 

 









 









 

 

.

6) (COVEST) Num triângulo ABC, retângulo em A, de vértices B(1, 1) e C(3, -2), o cateto que contém o ponto B é paralelo à reta ( r) 3x – 4y + 2 = 0. Determine a equação da reta que contém o cateto AC.

Solução. O cateto AB está na reta, “s”, paralela a “r”. A reta que contém o cateto AC é perpendicular à reta “s”. Considerando a reta pedida como “t”, temos:

0 6 y3 x4:

tou 3 2 y:t x4 2 4 2 n 3 n 2 )3(4 t)

2, 3(

3 n y:t x4 3 m 4 s t)ii

4 1 4 y:s x3 4 n 1 4 n 1 )1(3 s

)1,1(

4 n y:s x3 4 m 3 r//s

4 m 3 2 1 4 y x3 0 2 y4 x3:

r)i

s t t

t

s s s

s

r























 

 









 





















 

 







 





















.

7) As retas r e (s) de equações 3x – y + 7 = 0 e 4x – y – 5 = 0 respectivamente passam pelo ponto P(a, b).

Calcule o valor de (a + b).

Solução. Se ambas passam pelo ponto P, então ele é um ponto de interseção. Basta resolver os sistema.

(5)

554312 43b ba

)29,12(P 12a )b,a(P,Logo

43736 7)12(3y 012x 12x 05yx 4

07yx 3 )1(0 5yx4

07yx 3



 

 



 



 







 

 

 



 

 









.

8) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(3, 4) e é paralela à bissetriz do 2º quadrante.

Solução. A bissetriz do 2º quadrante passa pela origem com coeficiente angular -1.

Logo sua equação é y = -x. A equação da reta paralela possuirá o mesmo coeficiente angular.

0 7 x y ou 7 x y:

r 7 n n )3(

r 4 )4, 3(

n x

y:r           

 









.

9) Considere o quadrilátero ABCD tal que A(-1, 2), B(1, 3), C(2,-2) e D(0,-3). Determine as coordenadas do ponto de encontro das suas diagonais.

Solução. O ponto de encontro das diagonais é a interseção entre as retas que passam por AC e BD.

Encontrando as equações dessas retas pelo determinante para recordar esse método, temos:

(6)

 

 

 



 



 



 



 



 









 

 









 

 















 

























































2 0, P 1 0 2 2

4 1 y

2 1 22 x 11 0

11 x 0 22 9 y3 x 18

0 2 y3 x4 )3

( 0 3 y x6

0 2 y3 BD x4

AC P

0 3 y x6 0 )y x3 0(

)3 0 x3 ( 0 3 0

3 1

y x 1 3 0

1 3 1

1 y x 0 1 3 0

1 3 1

1 y x : BD reta

0 2 y3 x4 0 )y x2 4(

)2 y2 x2 ( 0 2 2

2 1

y x 1 2 2

1 2 1

1 y x 0 1 2 2

1 2 1

1 y x : AC reta

.

10) A reta r passa pelo ponto P(1,2) e é perpendicular à reta (s) 2x + 3y – 6 = 0. Ache os pontos de interseção de r com os eixos coordenados.

Solução. A interseção com os eixos são os pontos de abscissa e ordenada nula.

 

 

 



 



 

 



 













 





 

 





 











3 0, e 1 2 ,0: 1 Interseção 3 x0 1 y

2 y0 1 x 2 1 2 y:r x3 2 1 2 nn 34 2 2 )1(3 r)2,1(

2 n y:r x3 2 ms 3 r)ii

3 m3 2 3 y0 x2 6y3 x2:s)i

r r r r

s

.

11) Para todo número real p, a equação (p - 1)x + 4y + p = 0 representa uma reta. Calcule p de modo que a reta seja paralela à reta 4x – 2y + 6 = 0.

Solução. Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular.

(7)

7 p 8 1 p 4 2

)1 p(

4 )1 'm p(

4 p 4

)1 y p(

0 p y4 x)1 p(

2 m 3 x2 y 0 6 y2 x4











 

 

 



 



 



























.

12) As coordenadas do ponto P pertencentes à reta 3x – y – 17 = 0 cuja distância ao ponto Q(2, 3) é mínima, são:

a) (6,1) b) 10 ,11 10

7 



 



 c)

10 ,77 10 31 



 

 d) 5 ,8 5 31 



 



 e) (-1, -20)

Solução. O ponto P da reta mais próximo ao ponto Q é o que está sobre a perpendicular a reta dada, passando por P e Q. Logo, P está na interseção entre as retas.

 

 

 

 



 



 

 

 

 











 

 



















 

 



















5 , 8 5 P 31

5 8 5 17 8593 5 3y 31

5 31 10 x 62 5111 3 xx9

11 3 17x3 x 3 11 3 y x

17x3 y sr P)iii

3 11 3 y:s)ii x

3 n2 11 9n3 3 n)2(

3 1 s)3,2

( 3 nx y:s 1 rs

3m 17x3 y0 17y x3:r)i

s s s s

.

13) As retas r, s e t são definidas respectivamente, por 4x – 7y + 18 = 0, 2x – y – 6 = 0 e 4x + 3y – 2 = 0. Calcule a área da região limitada por essas retas.

Solução. As retas são concorrentes duas a duas. Logo suas interseções formarão um triângulo. Sejam os pontos P, Q e R as interseções respectivamente r ∩ s, r ∩ t e s ∩ t.

(8)

  

 

2 20 )218 40 2 24 )2(1) 1 3(6) 2 4(6 1 12 2

12 1

16 6 2 A 1

2,2 R 26 )2(2 y

10 2 x 20

20x 02 10 y3x4

018 y3x6 02 y3x4

)3(

06 )ii yx2

2,1 Q 4 1

182 x 7

10 2 y 20

20y 02 10 y3x4

018 y7x4 )1(

02 y3x4

018 )ii y7x4

6,6P 66 62y 10 6 x 60

60x 042 10 y7x 14

018 y7x4 )7(

06 yx2

018 )i y7x4

















 

 







 



 

 







 

 















 



 



 









 

 







 

 













 

 







 



 

 







 

 











.

14) (UFC) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 4x + y – 1 = 0 e que passa pelo ponto de interseção das retas 2x – 5y + 3 = 0 e x – 3y – 7 = 0 é:

Solução. Efetuando os cálculos necessários para encontrar interseção e coeficiente angular, temos: