Unidade Acadˆemica de Ciˆencias e Tecnologia Ambiental - UACTA
Disciplina: C´alculo
Professor: Paulo Pamplona
Lista de Exerc´ıcios 03: Derivadas e Aplica¸c˜oes Parte I: Derivadas
1. Derive as seguintes fun¸c˜oes: a) f (x) = 4x2+ 5x + 3 b) f (x) = x3− x−2+ 1 x6 − 2 x−6 c) f (x) = x2/3+ 5x1/2+ 3x4/3 d) f (x) = 2√x −√3x4− 1 3 √ x5 e) f (x) =√3x3+ x2− 2x + 1 f ) f (x) = p(x4 3+ x2− 2x)3 g) f (x) = (x3− 5)(x4− 2x) h) f (x) = 2x 2− 5 x3− 2x i) f (x) = xe3x−1 j) f (x) = x2ln(x + 2) k) f (x) = sen(x2+ 3) l) f (x) = ln(ex1) m) f (x) = tan(x) n) f (x) = cot(x) o) f (x) = sec(x) p) f (x) = csc(x) q) f (x) = arc cos(x) r) f (x) = arc cot(x) s) f (x) = arc csc(x) t) f (x) = arc tan(x2+ 2) u) f (x) = e1+x2−x v) f (x) = eln(x−3) x) f (x) = ln(ln(ln(x))) y) f (x) = ln(1 + ln(1 + x)) z) f (x) =p1 +√1 + x. 2. Determine as equa¸c˜oes da reta tangente e da reta normal `a curva y = f (x) no ponto dado: a) f (x) = x3, no ponto (2, 8)
b) f (x) = (x − 1)2, no ponto (2, 1)
c) f (x) = 5 ln(x), no ponto (2, 5 ln(2)) d) f (x) = 3sen(x) + 1, no ponto (π2, 4)
3. Encontre os n´umeros cr´ıticos das fun¸c˜oes dadas abaixo: a) f (x) = x3+ 7x2− 5x
b) f (x) = x4+ 4x3− 2x2− 12x
c) f (x) = (x2− 4)23
d) f (x) = x x2− 9
4. Determine os extremos absolutos das fun¸c˜oes em cada intervalo e esboce o gr´afico das fun¸c˜oes. a) f (x) = 4 − 3x; ] − 1, 2] b) f (x) = x3+ 5x − 4; [−3, −1] c) f (x) = x4− 8x2+ 16; [−4, 0] d) f (x) = x3− 27x − 4; [−2, 4] e) f (x) = x2/3; [−4, 0] f ) f (x) = x x + 2; [−1, 2] g) f (x) =√3 + x; [−3, +∞[ h) f (x) = |x − 4| + 1; ]0, 6[ i) f (x) = 5 − |x − 3|; [−3, 3] j) f (x) = |x + 1| − |x − 2|; [−3, 4] 5. Em cada caso abaixo, determine: a) os n´umeros cr´ıticos de f ; b) os m´aximos e m´ınimos relativos de f ; c) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ; d) os pontos de inflex˜ao e intervalos de concavidade para f ; e) esboce o gr´afico de f .
a) f (x) = 2x3− 6x + 1 b) f (x) = x3+ 5x2+ 3x − 4 c) f (x) = 2x3+ 3x2− 12x − 7 d) f (x) = x3+ 9x e) f (x) = x4− 8x3+ 24x2 f ) f (x) = 2x3− x2+ 3x − 1 g) f (x) = x5− 5x3− 20x − 2 h) f (x) = 3x2− 2x + 1 i) f (x) = x x2− 1 j) f (x) = 6x1/3− x2/3
6. Determine a e b para que (1, 2) seja ponto de inflex˜ao para f (x) = ax3+ bx2.
7. Determine a e b de modo que f (x) = x3+ ax2+ b tenha um extremo relativo no ponto (2, 3). 8. Usando diferencia¸c˜ao impl´ıcita, determine a derivada de y em rela¸c˜ao a x.
a) 2x3y + 3xy3 = 5; b) x3y + 3x2y2− y3+ 2 = 0 d) xey+ ln(xy) = 0.
9. Usando a regra de L’Hospital, calcule os limites: a) lim x→a x − a x3− a3 b) lim x→n ln(x/n) n − x c) lim x→3 x2− 6x + 9 x2− 5x + 6 d) lim x→0 2x− 3x x e) lim x→∞ x3 ex f ) lim x→0 h 1 sen(x)− 1 x i g) lim x→0 h1 x − 1 ln(1 + x) i h) lim x→0 ex− cos(x) x2+ x i) lim x→0 1 − cos(x2) x j) lim x→0 sen[ sen(x)] sen(x) k) lim x→0 h x − sen(x2+ x) 2x − sen(x2− x) i l) lim x→0 ex3 − cos(x2) x3+ x2 .
10. Dada a fun¸c˜ao f (x) = |x + 2|, esboce o gr´afico de f e verifique que f ´e cont´ınua em x = −2 mas que n˜ao existe f0(−2).
11. Dada a fun¸c˜ao f (x) = (
2 + x, se x ≤ −4
−x − 6, se x > −4, esboce o gr´afico de f , verifique se f ´e ou n˜ao cont´ınua em x = −4 e verifique se f ´e ou n˜ao diferenci´avel em x = −4.
12. Seja g uma fun¸c˜ao cont´ınua em a e f (x) = (x − a)g(x). Mostre que f0(a) = g(a). 13. Sejam f, g, h fun¸c˜oes diferenci´aveis. Mostre que se F (x) = f (x)g(x)h(x), ent˜ao
F0(x) = f0(x)g(x)h(x) + f (x)g0(x)h(x) + f (x)g(x)h0(x).
14. Dadas as fun¸c˜oes f (x) = x3 e g(x) = f (x2), encontre f0(x2) e g0(x). 15. Sejam f e g fun¸c˜oes tais que f0(x) = 1
x e f (g(x)) = x. Se existe g
0(x), mostre que g0(x) = g(x).
16. Verifique se as hip´oteses do teorema de Rolle s˜ao satisfeitas para as fun¸c˜oes dadas em cada inter-valo abaixo e encontre um inter-valor para c que satisfa¸ca a conclus˜ao deste teorema.
a) f (x) = x2− 4x + 3; [1, 3] b) f (x) = x3− 2x2− x + 2; [−1, 2].
17. Verifique se as hip´oteses do teorema do valor m´edio s˜ao satisfeitas em cada caso abaixo e encontre um valor para c que satisfa¸ca a conclus˜ao deste teorema.
a) f (x) = x2+ 2x − 1; [0, 1] b) f (x) = x23; [0, 1].
Quest˜oes Extras 19. Seja f (x) = ax + b
x2, onde a e b s˜ao n´umeros reais. Sabendo-se que x = 1 ´e ponto de m´aximo
relativo para f e que f (1)f (−1) = −3, determine a + b. 20. Seja f (x) = ax2+ 5x + b
x, onde a e b s˜ao n´umeros reais. Sabendo-se que x = 1 ´e ponto cr´ıtico de f e que x = 2 ´e ponto de inflex˜ao de f , determine a + b. Resp.: −32
21. Dada f (x) = (x + e)
√
x+1, determine f0(0).
22. Se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao tal que f (0) = 0 e lim
x→0
f (x)
x2 = 5, determine f 0(0).
23. Seja g : R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel e f (x) = g(x3− 2x). Sabendo-se que g0(−4) = 3, determine
f0(−2). Resp.: 30
24. Seja g : R → R uma fun¸c˜ao deriv´avel tal que g(−3) = 2 e g0(−3) = 1. Se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao definida por f (x) = x2g(x3− 4x2), determine f0(1). Resp.: −1
25. Dada f (x) = xsen(x), determine f0(π). 26. Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel tal que lim
x→1
xf (x) − 1
x − 1 = 1. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico de f no ponto (1, 1).
27. Dada f (x) = xln(x), determine f0(e). 28. Dada f (x) = x
3ex
x + 3x4, determine f
0(1). Resp.: 3e 16
29. Dada f (x) = sen2(x2), determine f0(
√ π 2 ). Resp.: √ π 30. Dada f (x) = x3 √ x, determine f0(1). Resp.: 3
31. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = 4x
2+ x + 1
2 − x no
ponto (1, 6). Resp.: 15
32. Seja f (x) = x3+ ex e g a fun¸c˜ao inversa de f . Determine g0(1 + e). Resp.: 1+e1 33. Seja f (x) = x3+ 2x + 1 e g a fun¸c˜ao inversa de f . Determine g0(1).
34. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = ln[x2+ sen(3x) + 1] no ponto (0, 0). Resp.: y = 3x
35. Determine o m´aximo absoluto da fun¸c˜ao f (x) = x + 1
x + 2 no intervalo [2, 3]. Resp.:
4 5
36. Se y ´e fun¸c˜ao de x dada implicitamente pela equa¸c˜ao ln(x + y) = xey, determine y0(0).
37. Sejam f (x) = sen(x) e g(x) = tg(x). Sabendo-se que f0(a) = 1
4, determine g
Parte II: Problemas Envolvendo Derivadas OTIMIZAC¸ ˜AO
01) Um estudo de eficiˆencia realizado em uma f´abrica durante o turno da manh˜a mostra que um oper´ario que come¸ca trabalhar `as 8 horas ter´a produzido, em m´edia, Q(t) = −t3+ 9t2+ 12t unidades t horas mais tarde. Supondo que o turno da manh˜a v´a de 8 horas ao meio-dia, em que hora da manh˜a os oper´arios s˜ao mais produtivos.
02) Uma proje¸c˜ao v´alida para 5 anos, revela que daqui a t anos a popula¸c˜ao de um certo bairro ser´a P (t) = −t3+ 9t2+ 48t + 50 mil habitantes. Determine em que instante, dentro do per´ıodo de 5 anos, a taxa de crescimento da popula¸c˜ao ser´a m´axima e em que instante ser´a m´ınima?
03) O departamento de estradas de rodagem pretende construir uma ´area de piquinique para mo-toristas `a beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser retangular, com uma ´area de 5.000 metros quadrados, e ser cercado nos trˆes lados que n˜ao d˜ao para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necess´aria para a obra?
04) Um fazendeiro tem 2400 m de cerca e quer cercar um campo retangular que est´a na margem de um rio reto. Ele n˜ao precisa de cerca ao longo do rio. Quais s˜ao as dimens˜oes do campo que tem maior ´area?
05) Pretende-se estender um cabo de uma usina de for¸ca `a margem de um rio com 900 metros de largura at´e uma f´abrica situada do outro lado do rio, 3.000 metros rio abaixo. O custo para estender o cabo pelo rio ´e de 5 reais o metro e o custo para estender o cabo por terra ´e de 4 reais o metro. Qual o percurso mais econˆomico para estender o cabo.
06) Um homem est´a de p´e na margem de um rio com 1 km de largura e quer chegar a uma cidade situada na margem oposta, 1 km rio acima. Para isso, pretende remar em linha reta at´e um ponto P na margem oposta do rio e caminhar at´e a cidade. Qual deve ser a localiza¸c˜ao do ponto P para que o percurso seja coberto no menor tempo poss´ıvel, sabendo que o homem ´e capaz de remar a 4km/h e andar a 5km/h?
07) Duas cidades A e B devem receber suprimentos de ´agua de um reservat´orio a ser localizado `as margens de um rio em linha reta que est´a a 20km de A e a 10km de B. Se a distˆancia entre A e B ´e de 20km e A e B est˜ao do mesmo lado do rio, a que distˆancia de A e de B deve estar localizado o reservat´orio para que se gaste o m´ınimo de tubula¸c˜ao.
08) Um agente da pol´ıcia se encontra ao meio-dia dirigindo um jipe na areia do deserto, no pequeno principado de Alta Loma. O agente se encontra a 32 km do ponto mais pr´oximo de uma estrada pavimentada retil´ınea. A uma distˆancia de 16 km, nesta mesma estrada, existe uma usina de energia el´etrica abandonada na qual um grupo de bandidos est´a mantendo ref´em o chefe do agente. Se o agente n˜ao chegar com o resgate at´e as 12h50min, os bandidos ir˜ao executar o ref´em. O jipe pode viajar a 48 km/h na areia do deserto e a 80km/h na estrada pavimentada. O agente conseguir´a chegar a tempo?
09) Um homem lan¸ca seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com largura de 3 km, e deseja atingir t˜ao r´apido quanto poss´ıvel um ponto B na outra margem, 8 km rio abaixo. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e ent˜ao seguir andando para B, ou remar AT ´E um ponto D entre C e B e ent˜ao andar at´e B. Se ele pode remar a 6 km/h E andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais r´apido poss´ıvel? (Estamos supondo que a velocidade da ´agua ´e desprez´ıvel comparada com a velocidade na qual o homem rema.)
10) Um espi˜ao ´e deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praia reta com dire¸c˜ao Norte-Sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6km ao Norte de P. Remando ele percorre 3km/h e andando 5km/h. Sua inten¸c˜ao ´e remar a um certo ponto ao Norte de P e depois andar o resto do caminho. Pergunta-se:
a) A que distˆancia ao Norte de P ele deve desembarcar para chegar `a casa no menor tempo poss´ıvel? b) Qual a dura¸c˜ao da viagem?
c) Se remar at´e P e de P at´e a casa, quanto tempo a mais ele gastar´a? d) Se a casa tiver a 8km de P, a resposta de a) ser´a a mesma?
e) Se o bote estiver munido de um motor que desenvolve uma velocidade de 5km/h, qual seria a distˆancia ao Norte de P para se chegar no menor tempo poss´ıvel?
f ) Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais r´apida?
11) Jo˜ao mora na margem de um rio de 1 km de largura, sem correnteza e com margens retil´ıneas e paralelas. Sua escola fica na outra margem, 2 km adiante, conforme a figura. Para chegar `a escola, Jo˜ao deve tomar um barco que navega a 3 km/h em linha reta, da porta de sua casa at´e algum ponto na outra margem. O restante do caminho ´e percorrido a p´e, a uma velocidade de 5 km/h. Qual o tempo m´ınimo necess´ario para Jo˜ao ir de casa `a escola?
12) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000cm3. O material da tampa da base custa 3 reais por cada cent´ımetro quadrado e o material para o lado da caixa custa 1,5 reais por cada cent´ımetro quadrado. Determine as dimens˜oes da caixa de modo que o custo do material seja o menor poss´ıvel.
13) Deseja-se fabricar uma caixa d’´agua sem tampa, de fundo quadrado, de maneira que o seu volume seja de 108 m3. Determine o lado da base quadrada que minimiza a quantidade de material utilizado na confec¸c˜ao da caixa. Resp.: 6m.
14) Uma lata cil´ındrica deve conter um certo volume de l´ıquido. O custo do material usado para o fundo e para a tampa da lata ´e de 3 centavos por cent´ımetros quadrado e o custo do material usado para o lado da lata ´e de 2 centavos por cent´ımetros quadrados. Obtenha uma rela¸c˜ao simples entre o raio e a altura da lata de modo que o custo do material seja o menor poss´ıvel.
15) Determine as dimens˜oes do retˆangulo de maior ´area inscrito num c´ırculo de raio R. 16) Determine as dimens˜oes do retˆangulo de maior ´area inscrito na el´ıpse de eixos a e b.
17) Determine as dimens˜oes que deve ter uma lata na forma de um cilindro reto de um litro de volume, de modo que o material usado na sua fabrica¸c˜ao seja m´ınimo.
18) Determine as dimens˜oes do cilindro reto de maior volume que pode ser inserido num cone reto de base circular com raio r e altura h.
TAXAS RELACIONADAS
19) O lados de um triˆangulo est˜ao crescendo com velocidades 3m/s e 4m/s. Determine com que velocidade cresce a ´area do triˆangulo quando os lados medem 4 e 5 metros, respectivamente.
20) O volume de um cubo cresce a 10cm3/min. Determine com que velocidade cresce seus lados quando possuem 5cm de comprimento.
21) Um cateto de um triˆangulo retˆangulo cresce com velocidade igual ao dobro do outro. A que velocidade cresce a hipotenusa quando os catetos s˜ao iguais a b.
22) Uma escada de 5cm de comprimento se encontra apoiada numa parede e sobre um plano hor-izontal. Se o lado inferior da escada ´e arrastado com velocidade de 2m/s quando ela est´a a 4m de distˆancia da parede, determine com que velocidade o outro extremo da escada est´a descendo.
23) Considere no exemplo anterior que a escada est´a apoiada sobre um plano inclinado que faz um ˆ
angulo de 30 graus com a horizontal.
24) O volume de uma regi˜ao esf´erica cresce a uma taxa de 3cm3/s. A que taxa cresce o raio quando r = 1?
25) Dois corpos se movimentam em trajet´orias paralelas com uma separa¸c˜ao de 10 metros e em dire¸c˜oes opostas. Se um corpo se movimenta a 10 m/s e o outro a 5m/s, encontre a velocidade com que estes corpos se acercam quando a distˆancia horizontal entre eles ´e de 5m.
26) Dois carros est˜ao viajando em dire¸c˜ao ao cruzamento de duas rodovias. O primeiro vai dirigindo `
a taxa de 72km/h na dire¸c˜ao a Oeste-Leste e o outro vai dirigindo `a taxa de 54km/h na dire¸c˜ao a Norte-Sul. A que taxa os carros se aproximam um do outro no instante em que o primeiro estiver a 400 metros e o segundo a 300 metros do cruzamento?
27) Um tanque tem a forma de um cone invertido tendo uma altura de 5 metros e raio da base igual a 1 metro. O tanque se enche de ´agua `a uma taxa de 2m3/min. com que velocidade o n´ıvel da ´agua sobe quando ele est´a a 3 metros de profundidade?
28) (VELOCIDADE INSTANT ˆANEA) Um objeto move-se ao longo de uma reta de acordo com a equa¸c˜ao do movimento s(t) =√4t2+ 3 com t ≥ 0. Determine os valores de t para os quais a medida
da velocidade instantˆanea ´e: a) v=0; b) v=1; c) v=2. Respostas: a) t = 0; b) t = 1
Respostas: Quest˜ao 1: a) 8x + 5; b) 3x2+x23 − 6 x7 − 12x5; c) 2 3√3x + 5 2√x + 4 3 √ x; d) √1 x− 4 3 3 √ x + √35 x8; e) 9x 2+ 2x − 2 2√3x2+ x2− 2x + 1; f ) 3(3x2+ 2x − 2) 4√4 x3+ x2− 2x; g) 7x 6− 28x3+ 10; h) −2x4+ 11x2− 10 (x3− 2x)2 ; i) (1 + 3x)e3x−1; j) 2x ln(x + 2) + x 2 x + 2; k) 2x cos(x 2+ 3); l) − 1 x2; m) sec 2(x);
n) − csc2(x); o) sec(x) tan(x); p) − csc(x) cot(x); q) −√ 1
1 − x2; r) − 1 1 + x2; s) − 1 x√x2− 1; t) 2x x2+ 4x + 5; u) 3e1+x2−x (2 − x)2; v) − 3 x4; x) 1 x ln(x) ln(ln(x)); y) 1 (1 + x)(1 + ln(1 + x)); z) 1 2 q (1 + x)(1 +√1 + x) ; Quest˜ao 2: a) RT: y = 12x − 16 RN: y = −121x +496 ; b) RT: y = 4x − 7 RN: y = −14x +32; c) RT: y = 52x + 5 ln(2) − 5 RN: y = −25x + 5 ln(2) + 43; d) RT: y = 4 RN: x = π2. Quest˜ao 3: a) x = 13 e x = −5; b) x = ±1 e x = −3; c) x = ±2 e x = 0; d) nenhum. Quest˜ao 4: a) f (2) = −2 m´ın.; b) f (−3) = −46 m´ın. e f (−1) = −10 m´ax.; c) f (−2) = 0 m´ın. e f (−4) = 144 m´ax.; d) f (3) = −58 m´ın. e f (4) = 48 m´ax. e) f (0) = 0 m´ın. e f (−2) = √3 4 m´ax. ; f ) f (−1) = −1 m´ın. e f (2) = 12 m´ax. ; g) f (−3) = 0 m´ın. ; h) f (4) = 1 m´ın.; i) f (−3) = −1 m´ın. e f (3) = 5 m´ax.; j) f (−1) = −3 m´ın. e f (2) = 3 m´ax.; Quest˜ao 5: a) f (−1) = 5 ´e m´ax. rel.; f (1) = −3 ´e m´ın. rel.; (0, 1), ponto de inflex˜ao; f cresce em (−∞, −1] e [1, +∞); f decresce em [−1, 1]; cˆoncavo para baixo para x < 0; cˆoncavo para cima para x > 0; b)f (−3) = 5 ´e m´ax. rel.; f (−13) = −12127 ´e m´ın. rel.; (−53,277 ) ´e ponto de inflex˜ao; f cresce em ] − ∞, −3] e [−13, +∞[; f decresce em [−3, −13]; cˆoncavo para baixo para x < −53; cˆoncavo para cima para x > −53; c)f (1) = −14 ´e min. rel.; f (−2) = 13 ´e m´ax. rel.; (−1/2, f (−1/2)) ´e ponto de inflex˜ao; f cresce em ] − ∞, −2] e [1, +∞[; f decresce em [−2, 1]; cˆoncavo para baixo para x < −12; cˆoncavo para cima para x > −12; h) f (13) = 23 min. rel. j) f (27) = 9 m´ax. rel.
Quest˜ao 6: a = −1 e b = 3. Quest˜ao 7: a = −3 e b = 7. Quest˜ao 9: a) 1 3a2; b) − 1 n; c) 0; d) ln( 2 3); e) 0; f ) 0; g) − 1 2; h) 1; i) 0; j) 1; k) 0; l) 0. Quest˜ao 14: a) f0(x) = 3x4 e g0(x) = 6x5. Quest˜ao 15: a) c = 2; b) c = 13(2 +√7) ou c = 13(2 −√7). Quest˜ao 16: a) c = 12; b) c = 278 . Quest˜ao 17: c = 1 2;
