Lat. Am. j. solids struct. vol.12 número12

(1)

! ! "

" # ! "

!

! $

% ! &

' () !

* + , +

+ - %# !

!

"

#

$ % & '( %

.

! !

$ ! $

/ ! 0 $

!

% - 1223 !4

!

) " * + ,

) - .

) ) *

+ * .

5

$ $

- / ) $

6 7 $ 8 19::;

3<=$ $ 4 &

" - 0 $

4 7 )

4 ) $ , % $ * 8

1<3== 1;=11$ $ !

"! ! > !

? _{8 /} _/% _> _{! !}

8@@ ! ! @1A!1;2A@1<32 3=B;13;=

4 A<!1B!BA1:

(2)

BAA1 $ !

" / BAA1

6 ! . BAA1

!

6 ! BAA1 !

8 0

!

! 0

$ 5

!

/

&

C7 C

% % % $

$ C1$B$D$&

/

/ $ $

=

/ $ /

% % % $ $

C1$B$D$&

$ C1$B$D$&

C $

$ C1$B$9

(3)

$ C $ $ 7C1$B

C $

@ 7C $

7C $

−

/ /CA$1$B$9

$ C $

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ

$ 7C $

!

$ C1$B$D$&

" "

E /

α

δ

ν ν _F

ν

F C7 C

ρ ρ ρ

σ

$ C $ $ 7C $

σ

$ C $ $%

τ τ τ

_{$ 7C $}

(4)

ε ε ε ε ε

$ C $

ε ε ε

γ γ γ

ω ω _G

ω

_G

φ φ

$

φ

κ κ

_$ _{$ C $}

κ

_{$ C $}

6 ! BAA9 ! $

%

! G

% ! G

5." H H -5

6! - /% ! BAA< $

@ !

$ $

$ ! *

"0-* BAA< !

"0- ! 5

6 ! BAA2 !

G $

!

, / - 1<B

, 5 6 ! BA1A ! "

$ $

$ ! !

7 E! '! * ! I

BA11 ! $ $ $

7 ! ! BA11

! $

(5)

7

" % ! BA1B ! $

' () !

!

4 $

7 6 ! BA19 !

$ $

! 5

5 ! BA19 ! $

! " $

!

/ 7

* BA1: ! $ $

/ !

0

5 ! BA1; !

G ! $ $

$ ! "

!

$ @

" F

! " $ / $

!

$ F G

! $

5."

%F !

0 +

* !

/ $ $ $ !

4 ,$ ' $

$ !

! $ $

$ $ $ !

' $ $ $

(6)

θ θ θ = = = ψ ψ $ " 8

θ θ θ

ε

κ

γ

ε

κ

γ

ε

= +

= = +

= =

8

ε ε

ε ψ ε

ψ κ κ ∂ = ∂ ∂ = + = ∂ ∂ ∂ = = ∂ 8 θ

θ ψ θ

θ = + = + = 1 + _$ $ +

" 1!1 ! 6 G

θθ θθ θθ

θ

θ θ θ

ε

κ

ε

κ

γ

ε

= + = = = = B θ θ θ ε θ θ ψ θ

ψ ψ ψ

(7)

" $ / !

' $ $ G BAA: !

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

 ₌ ₊ ₊ ₊   = + + + +    ₌ ₊ ₊  :

/CA$ 1$ B$ 9 / $ /CA$ 1$ B

/ $ ! ! 6 8 θθ θ θ θ θ ε ε θ γ ε θ γ ε γ ε θ   ∂ ∂ = =  +  ∂ + _ ∂ _ ∂ ∂ = = + ∂ + ∂ ∂ ∂ = = + ∂ ∂  ∂  ∂ = = _ − _+ + _ ∂ _ ∂ ;

' $ 0G! : 0G! ; $

! * H 8

(

)

( )

(

)

( )

(

)

θ ψ ψ  = = + −    _ _  ₌ ₌ ₊ ₋ _{= →} ₌ ₌        _ _ = = = → = = −  _ _     <

5 $ / ! $

/ ! $ /

8

(8)

0)$ . / 1 "

5 G #

% , $ 8

# #

$% %

δ = δ −δ +δ =

∫

3

δ

/ $

δ

$ δ

! '

)

& _θ

θ θθ θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ

θ θ θ θ

δ

ψ

+ − + + + + + +

+ − − = ɺɺ + ɺɺ + + + + − −

θ ψ −       − +_ + − − _ +_ − _ +_ + _         +_ − _ + − −  

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ψθ

 

−

 

 ɺɺ

(9)

(

)

& θ

θ θ θ θ

δ

ψ

+ − + + − + − +

− − + = ɺɺ + ɺɺ + + − + − −

θ ψ       + + +_ − − + _ +_ − + _ +_ − _ +         − +       + −

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ θ ψ   +    

 ɺɺ

11

( )

θθ

θ θ θθ θθ θ θ θ θ

δ

+ − − − − − + + + +

 

− + = +_ + − − _ + + +

 

ɺɺ ɺɺ _ _ + −_ + _

 ɺɺ  ɺɺ

1B

(

)

θθ

θ θ θθ θθ

θ θ θ θ

δ + − + − + − − + − + + −    = + −_ + + − _ + − +   

ɺɺ ɺɺ   + − + 

ɺɺ  ɺɺ

19

(

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ψθ ψθ

   

+ − +

   

 ɺɺ  ɺɺ

13

θ θ θ θ

(11)

θ θ θ θ δ   − − + − + =_ − + _     +_ − + _ + − − + + + − −   ɺɺ ɺɺ ɺɺ ψ ψ           +_ − − + _ + − − + +   ɺɺ ɺɺ ɺɺ 12

θθ θ θ θθ θ θθ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ

δ + − − + − − + −  − + + − =_ + + − +  − + + + + _ +_ + − − + + _ +    + − + − + − + + + ɺɺ ɺɺ ɺɺ θ ψ + +  − − − − +_ + − + − + −  + − + − + + + ɺɺ ɺɺ ψ   + +    

 ɺɺ

BA

θθ θ θ θθ θ θ θ θ θ θ

δ

− − + − + − +

   

=_ + − − + + _ +_ − + _ + −

 ɺɺ  ɺɺ

θ θ ψ ψ − +     +_ + − − _ +_ − − + _ +       − − + +       ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ B1 '

θ θ θθ θθ θ θ

δ + + − + − − = −     + +_ + − − _ + −_ + + − _    

ɺɺ ɺɺ ɺɺ

(12)

(

ρ

)

% ρ % &

− −

 

= = + = _ − _ = = =

 

∫

B9

8

B: %

θθ θθ θθ θθ

θ θ θ θ θ θ θ θ σ σ σ σ σ σ σ σ − −  ₊   ₊                _ _   _ _  ₌    ₌              ₊     ₊            _ _   _ _        

∫

% %

θ θ θ θ

θ θ θ

θ σ σ σ σ σ σ σ σ − −  ₊      _ _              ₌    ₌   ₊            ₊                _ _        

∫

{

}

% % σ − =

_∫

+ % %

θθ θθ θθ θθ

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ − − −                  ₌    ₌                                        ₌              

∫

% = =

) $ G

G !

2 " + & " ' 3

* " 9!1 7 &

/ 1 $ 1 $ B$ B $

$ ! - , $ , $ , $ !

G $ 7 C $

(13)

θ

∞ ∞

= = =

=

∑∑ ∑

8

" !

8

$

α

π

α

θ

π



= 

 

 ₌



,

C1$ B$ 9$D!& ! $ $

! $

$ $$

$

ϕ

−

=

+

=

α

θ

B;

!

θ

(

π

α

θ

=

= >

B<

J K

$

$$

$× $ ! 4 " 9!1 $

8

$

ψ

ϕ

−

=

+

(14)

8 ,

!

$

ϕ

! $

" 8

α α ψ ψ

π

α α ψ ψ

π



= − − =

  

 ₌ ₋ ₋ _>



B=

$ 7 L<M!

$ $ $ %#

! %# $ $ $

J K

BAA< 8

α

= _B2

% $ C1!; 122< ! * C1$ BD &

122; !

H 8

"

α

= − = _9A

J K

, !"

$ / E 12;1

J K $ $ C 1$ B$ ! ! ! & $ $

(15)

# # = $ $ 91

$ = = _{# #} 0G!B2 0G! 9A ! 0G

J K 8

!

+ = ⇒ = = = =

ɺɺ ɺ 9B

N J K $ J K $

!

8

!

θ

θ α θ

ψ θ α

ψ θ θ θ θ             Ψ  _{ =}                 % & ! θ θ α θ α θ α θ α θ ∞ ∞ = =              

_Ψ 

             

∑ ∑

99

"

! $

$ !

0G! $! $ $Ψ $Ψθ $ $! $ "

/ $ ! $ $ C $

$ ! '

$ $

G E / $ G

O G 8

' ( ' ( ' ( !

α

+ = + = ⇒ = = = = = ⇒ = − ɺɺ

ɺɺ ɺ _9:

N L M 1A × 1A G $ L M 1A × 1A

G $ P Q 1A ×1 !

(16)

- , ' 3!A !

= $

# $ 122B

δ δ

=

!, %

δ

ω

$ !

8

$ %

) %# $

$ %

=

) G

BAA: $ 0G! 9= $

8

5." !

! $

$

! _$

# )"* !

122B 8

"

= ₉

% $ 122B !

G J K

% & ' & 9<

J K 12=1 8

δ

= 93

%# ! $

J K J K

! 8

+

" " 9=

" 9!B$ * # %

$ J K

9;

9<

2=1 8

93

9=

(17)

!

φ

_ω

φ

_ω

φ φ

ω

−

=

−

92

8

) )

* ω * ω

ω

φ φ

ω ω

+ + + +

= − −

+ + + +

= + −

= = = =

− −

:A

= _! _0G! $$ C1$B$D$& / ! )

$

J K 8

=

+ :1

!

+

:B

) 0G! :B * # % BAA: $ %

8

, !

− − − −

+ + + + +

=

+ :9

' 0G! 0G! $ $ !

2)$ " 3 *

$ 0G! $ R $ 12=1 !

$ $ ! $

$ 0G! 8

(18)

% " 9!9!

! !

4 - 3 ' % + & (3 %' ' ( %

$

"0 ' () BAA= ! " $

R S !

8 6 N 1222 ! BAA= !

"0 $

! " $

' () ! " /

(19)

*=4 $ !

'( ) ' () @ $

G ! $

*=4 *95=4 $ !

$

% %F

! " $

7

$

θ = !

-1!

" 8 - !

" :!1 " :!B$ C CB;

$ ! " :!1$

"0

! $ "0

! "

)"*

:!B

"0 ' () ! $ " :!B

! ! * " BAA - ./ A!AA<=2 191 - ./ A!9 A!AA<=2 1A!9: - ./ 1B!3 4 A!AA<=2 1A!9: - ./ 9 T @ A!AA9:; <!=2; . ./ 1A -A!AA9:; <!=2; . ./ 32<A ρ A!AA9:; <!BA; . ./ A! AAAA1 A!BB ν A! AAAA1 A!:2 ν A! AAAA1 A!:2 ν 2:!12; 1<B3 ρ

& )0& # $ "* $

$

= = = = =

(20)

"0 ' () G "0

$ G !

# !* "0

7 θ = $ !

# 8 *

(21)

5

"

)"*

:!9! %

$

θ = !

!

# !

$

' () ! $

$ " :!:

"0

:!; $ 95

# #!*

CA$ A!<

"0

7 !

7

$ !

!

"

)"*

:!; $ "

)"*

!

(22)

# ! "0 95 !

" :!< :!3$ 7

! $

θ = θ = $ !

C CB; 1C,@: $ θ CA ! $

"0 ' () ! - $ "

)"*

:!3

!

# $!* "0

(23)

" :!<$ CB!3 : $

"0 % + $

% ! $

G

! 5 $ ! ! 95 $

C CB; )"* ! $

$

G !

# %!* "0

7 !

(24)

! T ! ! !

# !5

7 !

" :!2 :!1A$ 5."

$ 5." $ 5."

G 1C,@:$θCA $ ! $

7 !

1C,@: $ θCA BC9,@: $ θ CA !

-! - 9/ $

9 @ 1B!3 !

# &!* 5."

(25)

" :!11 5."$

! $

! 5

95 C C2 " :!1B!

# ! $ 5." $ 5."

7 !

# !T 5."

(26)

! $ $ 7

B$

1 CB: / CA!3; ! $

C1A $ = / !

1 1 1C,@B$ θ

CA B B

BC9,@:$ θ CA ! 1$ B C $ $

1$ B C B $9 $ 1$ B C 9 $: C9 / !

# !5 7 !

* 11AN"

"

, -:;0, *"A111*

BA3

- . /

A!1= ;:

- . /

A!9

ν

A!1= ;:

- . /

1B!3 4

A!1= :!=:

- . /

9

T @

A!A3 9!1<

. ./

1!=

- /

A!A3 1!=3

. ./

A!A3 1!=3

. ./

A! B=< A!A<

ν

A! B=< A!919

ν

A! B=< A!919

ν

11A 1;11

ρ

1B!3 1

A!B<: /

(27)

-- $ 1B!3 9A @ ! " :!19 " :!1:

$

! 4 ! " :!19

! $

**

$ ! $ 9 $

$ **

:<!:BU ;:!=9U$ !

# !T

** !

" :!1:$

! $

! $ G

$ G $

C,@B C9,@:! $ $

** **

(28)

# #!T

** !

5 % 3( %

& $ $ %

%

! ) % /

E $ % %

! / %

% !

7 ! $

!

$ 5."

%F !

-

G ! $

G /

!

****

(29)

&

$ !$ BAA1 ! - ! V ;181B2 19=!

* / $ 6!$ $ !$ 122; ! &

! V * - B28B1<A B132!

* $ E! '!$ - / $ !$ BA1: !, ! V *

1A389<9 9=1!

* $ E! '!$ I $ !$ BA11 ! ! V

-BB;8BA3 B92!

6 $ 6! !$ - 7 $ !$ - $ ! 6!$ BAA9 !

! * ;281; 9<!

* $ ! !$ BAA< ! * 7 !

V 3;8;=B ;=<!

* $ ! !$ , $ *! !$ BAA: !, % !

V * <<81B; 19B!

5 F * $ BAA= ! ' () <!= 1 ) F - $ ) !

5 $ !$ 6 $ ! -! 4!$ - /% $ 6!$ BA19 !

H ! V - $ 5 5. 8

1A!1133@1:<::BA319:339:=!

" $ R!$ $ .! !$ BAA: ! ! V

:181<23 13B:!

$ -!$ 6 $ ! -! 4!$ - /% $ 6!$ BA11 !

8 ! V 6 0 - :31 :3B811;2 11<:!

" $ -! !$ /$ 6! !$ BAA1 ! 5

! V ;B899; 9;1!

6 $ ! E!$ E $ '! !$ R $ !$ E $ V! N!$ %$ !$ " $ !$ BA1A !

-/ ! 11 , 5 $ 5 !

6 $ ! -! 4!$ % % $ 4!$ 5 $ !$ BAA2 !

! V =28B3; B=:!

6 $ ! -! 4!$ - /% $ 6!$4 $.!$ BA19 !

7 H ! V

-- 5. 81A!1A=A@1;93<:2:!BA1B!3A3B23!

6 $ ,! !$ N $ ! -!$ 1222 ! . 7

! V 9<81911 19B3!

6 $ 6! !$ BAA1 !

! V <181<;; 1<<2!

" % $ "!$ $ ! '!$- $ -!$ $ 4!$ 5 $ &!$ BA1B !5

7 ! - - BB2 B918B;33 B;=1!

- /% $ 6!$ 6 $ -! 4$ !- $ 4! 6!$ BAA< !

5." ! V :A81<31

1<=<!

- $ ! !$ $ N! V!$ 1223 ! ! V

(30)

. $ 4!$ BAA1 ! ! V 9B81BA3 1B1;!

$ ! 4!$ 122B ! , G ! V *

0 B8B<1 B<3!

$ -!$ E $ ! '!$ $ ,!$ BAA= ! 5 @

8 ! V * 8 9281 1B!

/ $ !$ E $ V! &! 12;1 ! 0 ! - E $ & R /!

N $ V! 4!$ 12<< ! % ! V - 1:81<9 1<:!

R $ ! !$ $ *! !$ 12=1 ! ! ! ! ! -

-3=38:B; ::2!

5 & $ -!$ $ !$ BA1; !