UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM PROGRAMA DE PÓS–GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E
ENGENHARIA DOS MATERIAIS–PGCEM
Formação: Mestrado em Ciência e Engenharia dos Materiais
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO OBTIDA POR
Marcelo Matos Martins
SIMULAÇÃO NUMÉRICA POR VOLUMES FINITOS DA
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA TRANSIENTE E
TENSÕES NO CHOQUE TÉRMICO DE UMA PLACA
Apresentada em 11 / 12 / 2006 perante a Banca Examinadora:
Dr. José Divo Bressan – PRESIDENTE (UDESC/CCT)
Dr. Renato Pavanello (Depto de Engenharia Mecânica/ UNICAMP). Dr. Miguel Vaz Junior (UDESC/CCT).
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – DEM PROGRAMA DE PÓS–GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E
ENGENHARIA DOS MATERIAIS–PGCEM
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Mestrando: MARCELO MATOS MARTINS – Licenciado em Matemática
Orientador: Prof. Dr. JOSÉ DIVO BRESSAN Co-orientador: Prof. Dr. MIGUEL VAZ JUNIOR
CCT/UDESC – JOINVILLE
SIMULAÇÃO NUMÉRICA POR VOLUMES FINITOS DA
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA TRANSIENTE E
TENSÕES NO CHOQUE TÉRMICO DE UMA PLACA
DISSERTAÇÃO APRESENTADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DOS MATERIAIS DA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA, CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT, ORIENTADO PELO PROF. DR. JOSÉ DIVO BRESSAN.
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA - UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT
COORDENAÇÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO – CPG
“
SIMULAÇÃO NUMÉRICA POR VOLUMES FINITOS DA
DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA TRANSIENTE E
TENSÕES NO CHOQUE TÉRMICO DE UMA PLACA
”
por
Marcelo Matos Martins
Essa dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DOS MATERIAIS na área de concentração " Metais ", e aprovada em sua forma final pelo
CURSO DE MESTRADO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DOS MATERIAIS DO CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS DA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA
Dr. José Divo Bressan UDESC (Presidente)
Banca Examinadora:
Dr. Renato Pavanello UNICAMP
Dr. Miguel Vaz Junior UDESC
FICHA CATALOGRÁFICA
NOME: MARTINS, MARCELO M. DATA DEFESA: 11/12/2006 LOCAL: Joinville, CCT/UDESC
NÍVEL: Mestrado Número de ordem: 68 – CCT/UDESC FORMAÇÃO: Ciência e Engenharia dos Materiais
ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: Metais
TÍTULO:SIMULAÇÃO NUMÉRICA POR VOLUMES FINITOS DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA TRANSIENTE E TENSÕES NO CHOQUE TÉRMICO DE UMA PLACA PALAVRAS - CHAVE: Choque Térmico, Distribuição de Temperatura, Tensões Térmicas. NÚMERO DE PÁGINAS: 165
CENTRO/UNIVERSIDADE: Centro de Ciências Tecnológicas da UDESC PROGRAMA: Pós-graduação em Ciência e Engenharia dos Materiais CADASTRO CAPES: 4100201001P-9
ORIENTADOR: Dr. José Divo Bressan CO-ORIENTADOR: Dr. Miguel Vaz Junior
PRESIDENTE DA BANCA: Dr. José Divo Bressan
A Deus, através da força que permitiu a minha chegada até aqui.
Especialmente à minha amada esposa Denise e minha adorada filha Amanda pela paciência e companheirismo.
AGRADECIMENTOS
À Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC, e ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia dos Materiais do Centro de Ciências Tecnológicas pela oportunidade da realização do presente trabalho.
Ao professor, orientador e amigo José Divo Bressan pela grande oportunidade e pela dedicação, paciência, apoio e competência, tornando-se fundamental na realização deste trabalho.
Ao professor, Miguel Vaz Junior pelo apoio competente e pela paciência em todos os momentos de esclarecimentos.
Aos professores e colegas mestrandos do Curso de Mestrado em Ciência e Engenharia de Materiais que de forma direta ou indireta contribuíram para a realização deste trabalho.
A empresa Sociedade Educacional de Santa Catarina pela liberação das preciosas horas que precisei.
Aos meus familiares que com muita compreensão sempre me incentivaram para a realização desta dissertação.
vii
SUMÁRIO
LISTA DE SÍMBOLOS... VII LISTA DE FIGURAS... XV LISTA DE TABELAS... XXII RESUMO... XXV ABSTRACT... XXVII
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO AO ESTADO DA ARTE DO CHOQUE
TÉRMICO... 1
1.1 INTRODUÇÃO... 1
1.2 O CHOQUE TÉRMICO... 5
1.2.1 Considerações Sobre o Choque Térmico... 5
1.2.2 Estudos Empíricos do Choque Térmico... 6
1.2.3 Distribuição de Temperatura Transiente... 17
1.2.4 Distribuição de Tensões Térmicas... 20
1.3 FRATURA TÉRMICA... 22
1.4 MODELAMENTO MATEMÁTICO DO CHOQUE TÉRMICO NUMA PLACA... 25
1.5 OBJETIVOS DA DISSERTAÇÃO... 35
CAPÍTULO II – MODELAMENTO NUMÉRICO DO CHOQUE TÉRMICO NUMA PLACA... 36
2.1 INTRODUÇÃO... 36
2.2 MODELAMENTO MATEMÁTICO DA DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NUMA PLACA RESFRIADA... 37
2.3 MÉTODO MATEMÁTICO DE SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DOS VOLUMES... 45
2.3.1 O Método de Gauss-Seidel... 46
2.4 PROGRAMA EM FORTRAN PARA A SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES... 47
viii
2.4.2 Programação em Frotran: comandos gerais utilizados... 48
2.4.3 Diagrama de Fluxo do Programa em Fortran... 50
2.5 VALIDAÇÃO DO PROGRAMA... 51
2.5.1 Método da Capacitância Global... 51
2.5.1.1 Aplicação do Método da Capacitância Global para um Paralelepípedo... 54
2.5.1.2 Erro Médio Quadrático... 54
2.5.2 Comparação entre a Solução da Equação Diferencial do Calor e a Solução por Volumes Finitos para uma Placa... 56
2.5.3 Comparação na Literatura... 59
CAPÍTULO III – ANÁLISE TEÓRICA DA TENSÃO TÉRMICA POR VOLUMES FINITOS... 62
3.1 INTRODUÇÃO... 62
3.2 TENSÃO... 62
3.2.1 Estado Plano de Tensão... 64
3.3 DEFORMAÇÃO... 64
3.3.1 Estado Plano de Deformação... 67
3.4 TEOREMAS FUNDAMENTAIS DA ELASTICIDADE... 67
3.4.1 Equações Diferenciais de equilíbrio com Tensões Térmicas... 67
3.4.2 Condições de Compatibilidade... 69
3.4.3 Relação entre Tensão e deformação... 69
3.4.4 Equações de Equilíbrio em Termos dos Deslocamentos... 71
3.4.5 Equações de Equilíbrio para Estado Plano de Deformação... 71
3.4.6 Equações de Equilíbrio para Estado Plano de Tensão... 72
3.5 CÁLCULOS DAS TENSÕES TÉRMICAS TRANSIENTES POR VOLUMES FINITOS... 72
3.5.1 Discretização da Equação de Governo... 73
3.5.2 Diagrama de Blocos para as Tensões Térmicas Transientes... 79
3.5.3 Validação do Programa da parte das Tensões Mecânicas... 81
3.5.4 Condições de Contorno dos Deslocamentos para uma Placa Resfriada.. 82
ix CAPÍTULO IV – ANÁLISE TEÓRICA DAS TENSÕES TÉRMICAS
TRANSIENTES NUMA PLACA... 89
4.1 TENSÃO TÉRMICA... 89
4.2 CÁLCULO DA TENSÃO TÉRMICA TRANSIENTE... 89
4.2.1 Cálculo da Tensão Térmica Transiente a Partir de Timoshenko et al. [TIMOSHENKO et al., 1980]………... 90
4.2.2 Cálculo da Tensão Térmica Transiente a Partir de Lu et al. [LU et al., 1997]... 91
4.2.3 Cálculo da Tensão Térmica Transiente a Partir de Collin et al. [COLLIN et al., 2000]………...……… 94
4.3 DIAGRAMA DE BLOCOS PARA O CÁLCULO DAS TENSÕES TÉRMICAS TRANSIENTE... 94
4.4 COMPARAÇÃO ENTRE OS MÉTODOS DE CÁLCULO DAS TENSÕES TÉRMICAS TRANSIENTES... 96
CAPÍTULO V – CONCLUSÕES... 105
5.1 CONCLUSÕES SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA... 105
5.2 CONCLUSÕES SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES TÉRMICAS TRANSIENTES... 106
5.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS... 108
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 109
ANEXOS... 114
ANEXO I – DISCRETIZAÇÃO DAS EQUAÇÕES PARA A DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA... 114
xi
LISTA DE SÍMBOLOS
a = profundidade da trinca.
a = fator geométrico. sup
A
= área do corpo de prova.P
A , Ae, Aw, Af, Ab, An, As =
coeficientes da equação discretizada da temperatura para o ponto interno e das faces leste, oeste, frente, atrás, norte e sul, respectivamente.
,
,
,
,
u u u u u P e w n s
A A A A A
= coeficientes daequação discretizada do deslocamento em u.
,
,
,
,
v v v v v P e w n s
A A A A A
= coeficientes daequação discretizada do deslocamento em v.
A, b, a, c = coeficientes da equação
discretizada da tensão. Bi = número de Biot
B = termo dependente da equação
discretizada da temperatura.
,
u v
B B
= termo independente da equação discretizada para u e v, respectivamente.T
B = parâmetro térmico da equação de equilíbrio das tensões.
c = comprimento da trinca.
c = espessura na direção y.
p
c
= calor específico. C = tamanho do defeito.k
c
= condutividade térmica. conv = variável de convergência.Delta t = incremento no tempo.
DL = tamanho máximo do agregado.
F
d = variação de aplicação da força. A
d = variação de área.
t
F
d
= variação de força tangencial.n
F
d
= variação de força normal. e = expansão volumétrica.E = módulo de elasticidade.
EMQ = erro médio quadrático.
0
F = número de Fourier.
r
F N
,F S
r ,F E
r ,F W
r ,F NE
r ,r
ii nordeste, noroeste, sudeste e sudoeste,
respectivamente.
G = módulo de cisalhamento.
H = espessura da placa.
h = coeficiente de transferência de calor por convecção.
h = coeficiente de transferência de calor
por convecção.
I = invariante de primeira ordem de
tensão.
erfície Total
K ,sup = intensidade total da
tensão na superfície.
erfície Térmico
K ,sup = intensidade da tensão térmica na superfície.
profundo Total
K , = intensidade total de tensão num ponto interno.
k
= condutividade térmica. k = condutividade térmica.t
K = fator de concentração de tensão.
i
K = fator de intensidade de tensão.
IC
K = tenacidade a fratura.
z
K = difusividade térmica na direção z. k = parâmetro de iteração.
c
L = comprimento característico.
M = coeficiente da equação discretizada
da temperatura.
n = coeficiente de Poisson itmax
N
= número máximo de iterações. Ntime = intervalo de tempo.x
N , Ny, Nz = número colunas, linhas e camadas, respectivamente.
P = pressão da endentação.
Q = coeficiente de distribuição de
partícula.
' x
q = taxa de transferência de calor na
direção x. "
x
q = taxa de transferência de calor na direção x.
"
q = fluxo de calor. cond
e
q
, cond wq
, cond nq
, cond sq
, cond bq
, condf
q
= fluxos de calor por condução nas faces leste, oeste, norte, sul, atrás e frente, respectivamente.conv e
q
, conv wq
, conv nq
, conv sq
, conv bq
, conv fq
iii Q = geração de calor interno
q&= geração de calor interno
0
R = densidade do material.
∞
T
= temperatura no fluido.sup
T = temperatura na superfície.
i
T = temperatura inicial.
( )
,T z t = temperatura na direção z em função do tempo t.
t = tempo.
T = temperatura.
ref
T
= temperatura de referênciaE
T , TW, TB, TF, TN, TS = temperaturas
nos pontos do volume de controle leste, oeste, atrás, frente, norte e sul, respectivamente.
P
T = temperatura no ponto central no
volume de controle.
P
T
° = temperatura no ponto central no volume de controle no instante inicialinf
T
= temperatura no ambiente.inc
T
= temperatura inicial.ol
T
= tolerância.analitico
T
= temperatura analítica.numerico
T
= temperatura numérica.E
u
,u
W,u
N,u
S = deslocamentos em u nos pontos leste, oeste, norte e sul, respectivamente.u, v, w = deslocamento nas direções x, y
e z, respectivamente.
E
v
,v
W ,v
N,v
S = deslocamentos em v nos pontos leste, oeste, norte e sul, respectivamente.Volume (x,y,z) = posição do volume de
controle na malha
V = volume do corpo de prova.
w, e, s, n, b, f = face oeste, face leste, face
sul, face norte, face de trás e face da frente, respectivamente.
W, E, S, N, B, F, P = pontos centrais dos
volumes de controle oeste, leste, sul, norte, atrás, frente e domínio, respectivamente.
w = parâmetro de sobre-relaxação.
Wsobre = parâmetro de sobre-relaxação. X, Y, Z = componentes da força de
corpo.
XL, YL, ZL = comprimento da placa nas
iv
*
x
= coordenada adimensional.α= coeficiente de expansão térmica.
n
β = raízes da equação transcendental.
T
∆ = variação de temperatura.
U
∆
= vetor deslocamentoU
∆
= componente na direção xu
∆
,∆
v
,∆
z
= variações no vetor deslocamento u, v e w, respectivamente.x
ε
,ε
y
,ε
z
= deformações nasdireções x, y e z, respectivamente.
ij
ε
= tensor deformaçãox
σ
= tensão na direção x.max
σ
= tensão máxima.nom
σ
= tensão nominal.)
,
(
z
t
xx
σ
= tensão térmica na direção zem função do tempo t.
σ
= tensão adimensional.n
σ
= tensão normalxx
σ
,σ
yy
,σ
zz
= tensão normal nasdireções x, y e z, respectivamente.
ij
σ
= tensor tensão de CauchyT
σ
= tensão térmica.τ
= tensão de cisalhamento.xy
τ
,τ
xz
,τ
yx
,τ
yz
,τ
zy
,τ
zx
=tensão de cisalhamento em xy, xz, yx, yz, zy e zx, respectivamente.
xy
γ
,γ
xz
,γ
yz
= deformações decisalhamento nas direções xy, xz e yz, respectivamente.
erfície sup
χ = fator residual de tensão na superfície.
profundo
χ = fator residual de tensão num ponto interno.
ρ
= densidade do material. ∅ = função genérica.xv LISTA DE FIGURAS
xvi num tempo de 7 segundos a 370ºC [KEREZSI et al., 2002]... 14 Figura 1.2.2.11 – Mostra a mudança do módulo de elasticidade e cisalhamento, considerando o diâmetro máximo do agregado para, DL, para os três valores dos
coeficientes da distribuição das partículas q[RODRIGUES et al., 2003]... 15
Figura 1.2.2.12 – Mostra a variação do módulo do cisalhamento, para os três valores do coeficiente de distribuição das partículas q, em função do
T
∆ [RODRIGUES et al., 2003]... 16 Figura 1.2.2.13 – Mostra o efeito do número de ciclos de choque térmico, para três valores de ∆T, para o módulo de cisalhamento no concreto com q=0.26 e para
três valores de DL[RODRIGUES, et al., 2003]... 16
Figura 1.2.2.14 – Mostra os valores do coeficiente de Poisson de um concreto com 26
. 0 =
q para três valores DL. As curvas são associadas com valores de ∆T e com
xvii superfícies. [WANG et al., 2004]... 30 Figura 1.4.5 – Distribuição de temperatura unidimensional (M é o número de elementos) [WANG et al., 2004]... 31 Figura 1.4.6 – Distribuição de tensão na placa para t=0.1⋅t0 [WANG et al., 2004]. 32
xviii Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.5... 58 Figura 2.5.2.3 – Comparação entre os resultados da solução analítica e por volumes finitos para um ponto central e superficial da placa, para o Número de Biot igual 100. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.6... 58 Figura 2.5.2.4 – Comparação entre os valores obtidos através dos volumes finitos, equação diferencial do calor e as Cartas de Heisler, para um ponto central de uma placa usando Biot igual a 1. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.7... 59 Figura 2.5.3.1 – Variação do coeficiente de transferência de calor em função da temperatura da superfície da placa. [AUBURTIN et al., 2003]... 60 Figura 2.5.3.2 – Comparação entre os valores numéricos e experimentais para um pontocentral e superficial de uma placa de alumínio de dimensões 100x100x30 mm [AUBURTIN et al., 2003]. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.8... 61 Figura 3.2.1 – Representação esquemática da definição de tensão a partir de uma força δF aplicada em um ponto P pertencente a um elemento de área δA. [BRESSAN, 1999]... 62 Figura 3.2.2 – Representação da decomposição da força δF nas suas componentes normal δFn e tangencial δFt, aplicadas do ponto P [BRESSAN, 1999]... 63
xx adimensional em função do tempo em segundos para Biot = 1, considerando os modelos de Collin, Lu e Timoshenko. Os valores deste gráfico constam na Tabela
A4.12... 98
Figura 4.4.4 – Temperatura transiente em função do tempo em segundos, considerando Biot = 1. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.13... 99
Figura 4.4.5 – Comparação entre a distribuição de tensão térmica transiente adimensional em função do tempo em segundos para Biot = 10, considerando os modelos de Collin, Lu e Timoshenko. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.12... 99
Figura 4.4.6 – Temperatura transiente em função do tempo em segundos, considerando Biot = 10. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.13... 100
Figura 4.4.7 – Comparação da tensão térmica transiente pelo método dos volumes finitos e com os modelos analíticos de Lu e Collin, em função do tempo em segundos, considerando Biot = 1, dimensões 0,50m x 0,50m x 0,05m e malha 33x33x11. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.14... 100
Figura 4.4.8 – Comparação da tensão térmica transiente pelo método dos volumes finitos e com os modelos analíticos de Lu e Collin, em função do tempo em segundos, considerando Biot = 10, dimensões 0,50m x 0,50m x 0,05m e malha 33x33x11. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.14... 102
Figura 4.4.9 – Distribuição das tensões térmicas transientes na espessura para o tempo de 0.6 segundos, Biot = 1, para uma placa de dimensões 0,50 m x 0,50 m x 0,05 m, malha 33x33x11, calculada pelo presente método dos volumes finitos e comparada com os resultados obtidos pelos métodos de Lu e Collin para estado plano de tensões. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.16... 103
Figura 4.4.10 – Distribuição das tensões térmicas transientes na espessura para o tempo de 0.6 segundos, Biot = 10, para uma placa de dimensões 0,50 m x 0,50 m x 0,05 m, malha 33x33x11, calculada pelo presente método dos volumes finitos e comparada com os resultados obtidos pelos métodos de Lu e Collin para estado plano de tensões. Os valores deste gráfico constam na Tabela A4.17... 104
Figura A2.1 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle sul... 128
Figura A2.2 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle sudeste... 130
Figura A2.3 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle sudoeste... 132
xxi
Figura A2.5 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle nordeste... 136
Figura A2.6 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle noroeste... 138
Figura A2.7 – Sentidos das forças nas fronteiras do volume de controle leste... 139
xxii
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.4.3.1 – Dados de entrada do programa para o cálculo das temperaturas... 50
Tabela 2.5.1.1.1 – Dados utilizados para a função analítica do método da capacitância global... 54
Tabela 2.5.2.1 – Valores para as quatro primeiras raízes da equação 2.5.2.2, para três valores diferentes do Número de Biot. [INCROPERA et al., 1998]………. 57
Tabela 2.5.2.2 – Propriedades da placa plana que foi utilizada para as comparações.. 57
Tabela 2.5.3.2 – Dados utilizados na simulação numérica por volumes finitos para a placa nas comparações apresentadas na Figura 2.5.3.1... 60
Tabela 3.5.3.1 – Comparação entre os valores das tensões cisalhantes na seção transversal no centro da viga... 81
Tabela 3.5.3.2 – Comparação entre os valores das tensões normais na seção transversal no engaste da viga... 82
Tabela 3.5.6.1 – Deslocamentos em u (µm), na direção x, para estado plano de tensão... 84
Tabela 3.5.6.2 – Deslocamentos em v (µm), na direção y, para estado plano de tensão... 84
Tabela 3.5.6.3 – Propriedades térmicas da placa de aço resfriada utilizada na simulação numérica... 86
Tabela 4.4.1 – Informações utilizadas no cálculo das tensões térmicas transientes pelos modelos de Timoshenko, Lu e Collin... 97
Tabela A1.1 – Equações do volume de controle (1,1,1)... 114
Tabela A1.2 – Equações do volume de controle (1,1,2)... 115
Tabela A1.3 – Equações do volume de controle (1,1,3)... 115
Tabela A1.4 – Equações do volume de controle (1,2,1)... 116
Tabela A1.5 – Equações do volume de controle (1,2,2)... 116
Tabela A1.6 – Equações do volume de controle (1,2,3)... 117
Tabela A1.7 – Equações do volume de controle (1,3,1)... 117
Tabela A1.8 – Equações do volume de controle (1,3,2)... 118
Tabela A1.9 – Equações do volume de controle (1,3,3)... 118
Tabela A1.10 – Equações do volume de controle (2,1,1)... 119
xxiii
Tabela A1.12 – Equações do volume de controle (2,1,3)... 120
Tabela A1.13 – Equações do volume de controle (2,2,1)... 120
Tabela A1.14 – Equações do volume de controle (2,2,3)... 121
Tabela A1.15 – Equações do volume de controle (2,3,1)... 121
Tabela A1.16 – Equações do volume de controle (2,3,2)... 122
Tabela A1.17 – Equações do volume de controle (2,3,3)... 122
Tabela A1.18 – Equações do volume de controle (3,1,1)... 123
Tabela A1.19 – Equações do volume de controle (3,1,2)... 123
Tabela A1.20 – Equações do volume de controle (3,1,3)... 124
Tabela A1.21 – Equações do volume de controle (3,2,1)... 124
Tabela A1.22 – Equações do volume de controle (3,2,2)... 125
Tabela A1.23 – Equações do volume de controle (3,2,3)... 125
Tabela A1.24 – Equações do volume de controle (3,3,1)... 126
Tabela A1.25 – Equações do volume de controle (3,3,2)... 126
Tabela A1.26 – Equações do volume de controle (3,3,3)... 127
Tabela A4.1 – Gráfico da Figura 2.5.1.1.1... 149
Tabela A4.2 – Gráfico da Figura 2.5.1.2.1... 149
Tabela A4.3 – Gráfico da Figura 2.5.1.2.2... 150
Tabela A4.4 – Gráfico da Figura 2.5.2.1... 150
Tabela A4.5 – Gráfico da Figura 2.5.2.2... 150
Tabela A4.6 – Gráfico da Figura 2.5.2.3... 151
Tabela A4.7 – Gráfico da Figura 2.5.2.4... 151
Tabela A4.8 – Gráfico da Figura 2.5.3.2... 151
Tabela A4.9 – Gráfico da Figura 3.5.6.2... 152
Tabela A4.10 – Gráfico da Figura 3.5.6.3... 152
xxiv
Tabela A4.12 – Gráficos das Figuras 4.4.3 e 4.4.5... 154
Tabela A4.13 – Gráficos das Figuras 4.4.4 e 4.4.6... 155
Tabela A4.14 – Gráficos das Figuras 4.4.7... 156
Tabela A4.15 – Gráficos das Figuras 4.4.8... 156
Tabela A4.16 – Gráficos das Figuras 4.4.9... 157
Tabela A4.17 – Gráficos das Figuras 4.4.10... 157
Tabela A5.1 – Deslocamentos u na Camada 1... 158
Tabela A5.2 – Deslocamentos v na Camada 1... 158
Tabela A5.3 – Deslocamentos u na Camada 2... 159
Tabela A5.4 – Deslocamentos v na Camada 2... 159
Tabela A5.5 – Deslocamentos u na Camada 3... 159
Tabela A5.6– Deslocamentos v na Camada 3... 160
Tabela A5.7 – Deslocamentos u na Camada 4... 160
Tabela A5.8 – Deslocamentos v na Camada 4... 160
Tabela A5.9 – Deslocamentos u na Camada 5... 161
Tabela A5.10 – Deslocamentos v na Camada 5... 161
Tabela A5.11 – Deslocamentos u na Camada 6... 161
Tabela A5.12 – Deslocamentos v na Camada 6... 162
Tabela A5.13 – Deslocamentos u na Camada 7... 162
Tabela A5.14 – Deslocamentos v na Camada 7... 162
Tabela A5.15 – Deslocamentos u na Camada 8... 163
Tabela A5.16 – Deslocamentos v na Camada 8... 163
Tabela A5.17 – Deslocamentos u na Camada 9... 163
Tabela A5.18– Deslocamentos v na Camada 9... 164
Tabela A5.19 – Deslocamentos u na Camada 10... 164
Tabela A5.20 – Deslocamentos v na Camada 10... 164
Tabela A5.21 – Deslocamentos u na Camada 11... 165
xxv
Resumo
xxvii Abstract
The present Master of Science Dissertation deals with the development of a mathematical model and method to calculate the transient temperature distributions and transient thermal stresses in a cooling plate. For attaining this aim, the Finite Volume Method, FVM, was utilized for both calculating the temperatures and the transient thermal stresses in the plate by dividing it in a continuum mesh of cubic and rectangular volumes respectively. The computational code for calculating temperatures and stresses was written in Fortran language, generating the temperatures and stresses at each time step.
For the transient temperature distribution, the modelling was developed for a tri-dimensional plate and for the transient thermal stresses the numerical calculation was for plane stresses and thermo-elasticity theory. In both cases, the discretization of the equations was realized by the properties balance in each type of control volume in the mesh and according to the imposed boundary conditions to the plate. The solution of the obtained equation system was performed by the Gauss-Seidel method with over-relaxation, as for temperatures as for the displacements. The temperature field generated by the numerical code, considering constant the thermal properties and the coefficient of heat transfer, were compared to the temperatures calculated by the analytical method of global capacitance and the temperatures obtained by the differential equation of heat transfer for a cooling plate. It was found that the total errors were less than 1% for the time step increment of 0.1 s, 0.01s and 0.001 s, but the error decreases with the time increment, when comparing the results from the global capacitance method to the finite volumes approach. However, it should be taken into account in the numerical simulations of temperatures in a plate that variations in the heat transfer coefficient by convection at the plate surface, in the material elasticity modulus and the thermal diffusivity coefficient do occur in the experimental values obtained during the experimental cooling. In the comparisons of the experimental temperature values obtained in blocks of aluminium and steel with the numerical results from the present work it was verified a variation of only 5%, but this difference can increase with the Biot number.
xxviii stresses are tensile at surface and sub-surface and are compression in the middle of the plate. The transient thermal stresses calculated in the present work vary substantially with the cooling time instant, with the plate geometry and with the boundary conditions. This result differ greatly from the empirical formula used commonly which utilize only the initial temperature difference between the plate and the cooling bath or environment. The severity of thermal shock or the maximum thermal stress depend upon the parameter such as the initial temperature difference, the cooling time instant, the plate geometry and thermal properties and the Biot number. Therefore, the finite volumes method is accurate and versatile, allowing the investigation of various types of plate geometry, boundary conditions, variable physical properties and Biot number or various kinds of coolings.
