CURSO DE
Álgebra Linear
Antonio Cândido Faleiros
Centro de Matemática, Computação e Cognição
Universidade Federal do ABC
Santo André, SP
28 de março de 2011
Sumário
1 Sistemas de equações lineares 9
1.1 Equações lineares . . . 9
1.2 Sistemas de equações lineares . . . 12
1.3 Matriz . . . 15
1.4 Sistema escalonado . . . 17
1.5 Operações elementares . . . 21
1.6 Método da eliminação de Gauss . . . 22
1.6.1 A eliminação de Gauss-Jordan . . . 25
1.7 Operações matriciais . . . 27
1.7.1 Adição de matrizes . . . 27
1.7.2 Multiplicação de uma matriz por um número real . . . . 27
1.7.3 Multiplicação de matrizes . . . 28
1.8 Matriz inversa . . . 31
1.9 Potências . . . 32
1.10 Matriz transposta . . . 33
1.11 Matrizes elementares . . . 34
1.11.1 Sistemas equivalentes e matrizes elementares . . . 36
1.12 Um método para inverter matrizes . . . 36
1.13 Forma matricial de um sistema linear . . . 38
2 Determinantes 43 2.1 De…nição de determinante . . . 45
2.2 Propriedades do determinante . . . 47
2.3 Autovalores e Autovetores . . . 51
2.4 Cofatora, adjunta clássica e inversa . . . 52
2.5 Regra de Cramer . . . 53
3 Espaço vetorial 55 3.1 Propriedades adicionais . . . 58
3.2 O espaço vetorial das ênuplas ordenadas . . . 58
3.4 Subespaços vetoriais . . . 60
3.5 Espaço gerado . . . 62
3.6 Dependência linear . . . 63
3.7 Dependência linear de funções . . . 66
3.8 Base e dimensão de um espaço vetorial . . . 69
3.9 Matriz de mudança de base . . . 74
3.10 Espaço linha e espaço coluna . . . 77
3.11 Sistemas lineares e o espaço nulo de uma matriz . . . 82
4 Transformação linear 89 4.1 Transformação linear e bases . . . 91
4.2 Exemplos de transformações lineares . . . 94
4.3 Composição e inversa . . . 96
4.4 Matriz de uma transformação linear . . . 99
4.5 Matriz da composta e da inversa . . . 101
4.6 Matrizes semelhantes . . . 103 4.7 Núcleo e imagem . . . 106 5 Produto interno 109 5.0.1 Produtos internos . . . 109 5.1 Norma e distância . . . 110 5.2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . 112
5.3 Ângulo entre dois vetores . . . 113
5.4 Bases ortogonais e ortonormais . . . 115
5.5 Coordenadas numa base ortogonal . . . 115
5.6 Produto interno numa base ortonormal . . . 116
5.7 Complemento ortogonal . . . 117
5.8 Projeção ortogonal . . . 118
5.9 Obtendo bases ortogonais . . . 119
5.10 Decomposição QR . . . 121
5.11 Matriz ortogonal . . . 123
5.12 Mínimos quadrados . . . 126
5.13 Soluções de mínimos quadrados . . . 128
5.14 Teorema sobre matriz inversível . . . 132
6 Autovalores e autovetores 135 6.1 Autovalor e autovetor de uma matriz . . . 135
6.2 Autovalor e autovetor de um operador linear . . . 138
6.3 Potências de matrizes . . . 140
6.4 Diagonalização . . . 141
SUMÁRIO 5
Prefácio
Estas notas de aula se basearam, inicialmente, no livro de Anton e Rorres, Álgebra Linear Aplicada.
Depois elas foram in‡uenciadas pelos excelentes livros: Álgebra Linear e Aplicações do Calioli, Domingues e Costa, Álgebra Linear do Boldrini, Costa, Figueiredo e Wetzler Álgebra Linear do Nicholson,
além de minhas preferências pessoais sobre como apresentar o assunto.
Antonio Cândido Faleiros
Capítulo 1
Sistemas de equações lineares
1.1
Equações lineares
Quando estudamos a geometria analítica plana, usando um sistema de coor-denadas cartesianas ortogonais, cujos eixos caracterizamos pelos índices 1 e 2; …xada uma reta, existem três números reais a1; a2 e b tais que as coordenadas
cartesianas (x1; x2)dos pontos da reta obedecem a uma equação do tipo
a1x1+ a2x2 = b
onde a1 ou a2 é diferente de zero.
Podemos pensar em a1x1+ a2x2 = bcomo sendo uma equação, denominada
equação geral da reta, envolvendo duas incógnitas x1e x2:Os pontos (c1; c2)da
reta satisfazem a a1c1+ a2c2 = be são denominadas de soluções desta equação.
Os
Exemplo 1.1 O ponto (x1; x2) = (1; 2) do plano cartesiano pertence à reta
cuja equação geral é 3x1 x2 = 1:
Na geometria analítica espacial, quando se usa um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, com eixos caracterizados pelos índices 1; 2 e 3; …xado um plano, as coordenadas cartesianas (x1; x2; x3) dos seus pontos satisfazem
a uma equação da forma
a1x1+ a2x2+ a3x3 = b
onde a1; a2; a3 e b são números reais e, dos três números a1; a2 e a3;pelo menos
um não é nulo.
Exemplo 1.2 O ponto (x1; x2; x3) = (2; 1; 1) do espaço cartesiano pertence
Exemplo 1.3 No espaço cartesiano, x1 + x2 = 5 é a equação geral de um
plano, e não de uma reta, como poderíamos pensar num primeiro momento. A ausência do x3 se deve ao fato de, nesta equação, ele estar multiplicado por
zero.
Podemos nos esquecer da geometria e nos ater à algebra das equações de retas e planos. Seja n um número inteiro maior do que 1 e a1; : : : ; an;números
reais. Sendo b um número real,
a1x1+ + anxn = b (1.1)
é uma equação algébrica linear ou equação linear nas n incógnitas x1;
: : : ; xn: Os números reais a1; a2; : : : ; an são os coe…cientes e b é o termo
constanteda equação.
Se c1; : : : ; cn forem números reais tais que
a1c1+ + ancn= b;
diremos que x1 = c1; : : : ; xn = cn ou
(x1; : : : ; xn) = (c1; : : : ; cn):
é solução da equação linear (1.1). Ainda, por simplicidade, iremos dizer que a sequência (c1; c2; : : : ; cn) é solução de (1.1).
A equação
0x1+ + 0xn = b
onde todos os coe…cientes são nulos, é chamada de degenerada. Quando b 6= 0; ela é a única equação linear que não possui solução. Quando b = 0; toda sequência (c1; c2; : : : ; cn) é solução.
Exemplo 1.4 Uma solução de 3x1 5x2 = 1 é x1 = 12 e x2 = 7: Podemos
dizer também que (x1; x2) = (12; 7) é solução ou que o par (12; 7) é solução.
Existem outras soluções para esta equação linear. Explicitando x1; obtemos
x1 = (1+ 5x2)=3: Atribuindo um valor c2 qualquer a x2; obtemos desta
igual-dade um valor c1 para x1 tal que x1 = c1 e x2 = c2 é solução da equação linear
dada. Fazendo x2 = 1; obtemos x1 = 2 e (x1; x2) = (2; 1) é solução da equação
dada.
Na equação linear a1x1+ +anxn= b;quando a1 6= 0; pode-se explicitar
a incógnita x1 para obter
x1 =
1 a1
1.1 Equações lineares 11
Nesta equação, x1 recebe o nome de variável dependente e as demais de
variáveis independentesou livres. As incógnitas recebem também o nome de variável pois, ao escolher livremente os valores de x2; : : : ; xn; a equação
acima estabelece um valor para x1; que depende dos valores das demais
incóg-nitas. Para obter uma solução, pode-se variar os valores das incógnitas que passam a ser chamadas de variáveis.
Sendo c2; : : : ; cnnúmeros reais, fazendo x2 = c2; : : : ; xn= cnobtemos pela
equação acima x1 = a1
1 (b a2c2 ancn) : Denotando o número real do
lado direito desta igualdade por c1; a sequência (c1; c2; : : : ; cn)é uma solução
da equação linear original.
De modo geral, se ak 6= 0; pode-se explicitar a variável xk;que passa a ser a
variável dependente, sendo as incógnitas restantes as variáveis independentes. Excetuando as equações lineares degeneradas com termo constante não nulo, as demais, com duas ou mais variáveis, possuem in…nitas soluções. O conjunto de todas elas é denominado de conjunto solução ou solução geral da equação.
Para obter o conjunto solução da equação linear a1x1+ +anxn = b
basta explicitar uma incógnita em função das demais. Se a1 6= 0; a solução
geral será o conjunto
f (x1; : : : ; xn) : x1 =
1 a1
(b a2x2 anxn) com x2; : : : ; xn 2 R g
Exemplo 1.5 Explicitando o x2 em função de x1 na equação linear 5x1 x2 =
1 obtém-se x2 = 5x1 1 e a solução geral da equação linear original é
f (x1; x2) : x2 = 5x1 1 com x1 2 R g:
Aproveitando o exemplo anterior, vamos observar que a solução geral do sistema pode ser apresentada de modo que as incógnitas x1 e x2 sejam tratadas
em pé de igualdade, como funções de uma terceira variável. Se introduzirmos uma nova variável t de…nida por t = x1;então x2 = 5t 1e o conjunto solução
passa a ter o formato
f ( t; 5t 1 ) : t2 Rg:
A variável t é denominada de parâmetro da solução geral. Em lugar de expres-sar a solução geral na forma de um conjunto pode-se simplesmente escrevê-la na forma x1 = t e x2 = 5t 1; destacando que t é um parâmetro que percorre
os reais. Aqui se subentende que o conjunto formado pelos pares (x1; x2)onde
x1 = t e x2 = 5t 1; com t 2 R; é o conjunto solução da equação.
Exemplo 1.6 Na equação x 4y + 7z = 5 podemos explicitar x em função de y e z para obter x = 5+ 4y 7z: A solução geral desta equação é
De…nindo os parâmetros r e c por r = y e c = z; obtemos a solução geral na forma paramétrica
x = 5 4t + 7c y = t
z = c
onde os parâmetros t e c que podem assumir qualquer valor real. A cada valor atribuído a t e a c temos uma solução da equação.
1.2
Sistemas de equações lineares
Quando estudamos Geometria Analítica Plana, quando se pretende analisar a posição relativa de duas retas cujas equações gerais são
a11x1+ a12x2 = b1
a21x1+ a22x2 = b2
é preciso determinar os pontos (x1; x2) do plano que satisfazem
simultanea-mente às duas equações. Quando as retas forem paralelas e disjuntas, elas não possuem pontos em comum, de modo que nenhum par ordenado (x1; x2) de
números reais satisfaz às duas equações. Quando as retas forem coincidentes elas possuem uma in…nidade de pontos em comum e há uma in…nidade de pares de números reais que satisfaz às duas equações. Quando a interseção das retas ocorre em um ponto, há um único par (x1; x2) de números reais satisfaz
às duas equações.
Ainda na Geometria Analítica Plana, se faz o estudo da posição relativa de três ou mais retas. Como no caso anterior, as retas podem ter uma in…nidade de pontos, um único ponto ou nenhum ponto comum, casos em que as equações gerais das retas serão satisfeitas simultaneamente por uma in…nidade de pares de números reais, por um único par ou nenhum par, respectivamente.
Na Geometria Analítica Espacial, dois planos cujas equações gerais são a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1
a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2
podem ter nenhum ou in…nitos pontos em comum. Eles podem ser paralelos e distintos, paralelos e coincidentes ou a interseção pode ocorrer ao longo de uma reta que pertence a ambos. Se os planos forem paralelos e distintos, não existe nenhum terno ordenado (x1; x2; x3) de números reais que satisfaz às
duas equações gerais. Nos outros casos, onde a interseção não é vazia, há uma in…nidade de pares a satisfazer as duas equações.
1.2 Sistemas de equações lineares 13
Ainda na Geometria Analítica Espacial, é interessante determinar a posição relativa de três planos quando eles poderão coincidir, ou ter interseção vazia, ou interseção ao longo de uma reta ou interseção num único ponto. Neste último caso, haverá um único terno (x1; x2; x3)de números reais que satisfaz às três
equações das retas e, no segundo caso, não haverá nenhum terno satisfazendo às três equações das retas. No primeiro e terceiro caso, de coincidência dos três planos ou interseção ao longo de uma reta, teremos uma in…nidade de ternos de números reais satisfazendo às equações das três retas ao mesmo tempo.
Estes exemplos nos mostram a importância de se estudar equações como as que surgem no contexto da geometria plana e espacial. Equações dessa na-tureza surgem no contexto do Cálculo Numérico e são de extrema importância para as aplicações da Matemática na Engenharia, na Física, na Química, na Biologia, na Economia.
As equações gerais de retas e planos são equações lineares. Quando nos deparamos com mais de uma equação linear, dizemos estar diante de um sis-tema de equações lineares. Passemos a estudar tais sissis-temas em sua forma geral.
Sejam m e n inteiros maiores do que 1: Sejam aij e bi; com i = 1; 2; : : : m
e j = 1; 2; : : : ; n; números reais. Um conjunto …nito de m equações lineares
a11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ + a2nxn= b2 (1.2)
am1x1+ am2x2+ + amnxx = bm
nas incógnitas x1; : : : ; xn;é chamado de sistema de equações algébricas
lineares ou um sistema linear com m equações e n incógnitas.
Se x1 = c1; : : : ; xn = cn for solução de todas as equações em (1.2), diremos
que ela é solução do sistema (1.2). Também diremos que
(x1; : : : ; xn) = (c1; : : : ; cn)
ou que a ênupla ordenada de números reais (c1; : : : ; cn) é solução do sistema
linear.
Um sistema de equações lineares pode ter solução ou não. Quando uma equação do sistema for degenerada,
0x1+ + 0xn= b;
com todos os coe…cientes nulos e b diferente de zero, já podemos a…rmar que o sistema não possui solução.
Podemos simpli…car a notação de um sistema usando o símbolo de so-matório. Com ele pode-se escrever a i ésima equação na forma
n
X
j=1
aijxj = bi
e assim denotar todas as equações do sistema observando que i assume todos os valores inteiros de 1 a m; como em
n X j=1 aijxj = bi; com i = 1; : : : ; m: Exemplo 1.7 O sistema x1+ x2 = 1 0x1+ 0x2 = 2
não tem solução pois a segunda equação é degenerada e seu termo constante é diferente de zero. O sistema
x1+ x2 = 1
x1+ x2 = 2
não possui solução pois a soma x1+ x2 não pode ser ao mesmo tempo igual a
1 e a 2: Já o sistema
x1+ x2 = 2
0x1+ 0x2 = 0
possui in…nitas soluções pois a segunda equação é satisfeita para quaisquer valores que se atribua a x1 e a x2: A primeira é satisfeita sempre que x1 = t
e x2 = 2 t; para todo t real. O sistema
x1 x2 = 2
x1+ x2 = 4
tem uma única solução (x1; x2) = (3; 1) que pode ser obtida observando que,
ao adicionar as duas equações obtemos 2x1 = 6 e, ao subtrair a primeira da
segunda, obtemos 2x2 = 2:
Um sistema de equações lineares é consistente ou compatível quando tiver ao menos uma solução e inconsistente ou incompatível quando não possuir solução. O conjunto de todas as soluções é chamado de conjunto solução ou solução geral do sistema.
1.3 Matriz 15
Exemplo 1.8 Todas as soluções do sistema
x1 3x2+ x3 = 0
x2 x3 = 1
são tais que x1 = 3 + 2x3; x2 = 1 + x3 com x3 percorrendo os reais, e o seu
conjunto solução é
f (x1; x2; x3) : x1 = 3 + 2x3; x2 = 1 + x3 com x3 2 R g:
Para veri…car este fato, basta explicitar x1 na primeira equação, x2 na segunda
equação, usando-a para eliminá-la da primeira equação.
1.3
Matriz
Para determinar a solução de um sistema precisamos apenas dos seus coe…-cientes e das suas constantes. Estes coe…coe…-cientes e constantes podem ser dispos-tos em uma matriz que é uma coleção de números disposdispos-tos em uma tabela retangular e delimitada por colchetes.
Os números que compõem uma matriz são denominados des entradas ou elementos d matriz. As linhas e as colunas da tabela serão as linhas e as colunas da matriz. Uma matriz de tamanho m n é aquela que possui m linhas e n colunas. Quando o número de linhas for igual ao número de colunas se diz que a matriz é quadrada. Uma matriz quadrada n n é chamada matriz de ordem n: Matrizes com um única coluna são denominadas matrizes coluna ou vetores coluna. Matrizes com uma única linha são denominadas matrizes linha ou vetores linha. Vamos usar letras maiúsculas para designar as matrizes e letras minúsculas com subíndices para designar suas entradas. Estes índices informam a posição da entrada na matriz, tal como em
A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... . .. ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5
onde aij é a entrada da linha i coluna j: A matriz acima pode ser representada
de forma abreviada por A = [aij] ou por [aij]m n quando for desejável indicar
explicitamente o seu tamanho. É comum usar a notação aij = (A)ij: Os
elementos aii; para i = 1; 2; : : : são os elementos da diagonal principal da
matriz também denominada de diagonal da matriz. Os elementos ai; n+1 i;
matriz quadrada onde apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero são chamadas de matriz diagonal.
Uma matriz quadrada na qual todas as entradas acima da diagonal prin-cipal são zero é chamada triangular inferior e uma matriz quadrada naqual todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero é chamada triangu-lar superior. Uma matriz que é triangutriangu-lar inferior ou triangutriangu-lar superior é chamada triangular.
Quando se tratar de uma matriz linha ou coluna, podemos abrir uma ex-ceção e usar uma letra minúscula em negrito para designá-la tal como em
a= a1 a2 an e b= 2 6 6 6 4 b1 b2 .. . bm 3 7 7 7 5
Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] são iguais quando ambas possuírem o
mesmo tamanho e suas entradas correspondentes forem iguais, isto é, aij = bij;
para i e j percorrendo todas as linhas e todas as colunas de A e B: Quando duas matrizes A e B forem iguais, escreveremos A = B:
Como enfatizamos no início desta seção, as matrizes mostraram-se muito úteis na representação de sistemas lineares. Dado o sistema linear
a11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ + a2nxn= b2
am1x1+ am2x2+ + amnxx = bm
com m equações e n incógnitas, a tabela retangular de números
A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... . .. ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5
é chamada de matriz dos coe…cientes do sistema e
b= 2 6 4 b1 .. . bm 3 7 5
1.4 Sistema escalonado 17
é a matriz das constantes do sistema. Ao acrescentar a coluna b à direita de A; obtemos a matriz aumentada ou matriz completa do sistema
2 6 6 6 4 a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 .. . ... . .. ... ... am1 am2 amn bm 3 7 7 7 5 que será denotada por [ A j b ]:
A notação matricial simpli…ca a notação e proporciona uma ferramenta matemática e…ciente no estudo teórico e numérica dos sistemas, mormente quando se estudam os sistemas de grande porte, que são aqueles com muitas equações e muitas incógnitas.
Exemplo 1.9 A matriz completa do sistema
x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0 é 2 4 1 1 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 3 5 :
1.4
Sistema escalonado
É muito simples obter a solução geral de alguns sistemas especiais e, dentre eles, se destacam os sistemas escalonados.
Uma matriz escalonada é aquela em que
1. as linhas nulas …cam agrupadas na parte inferior da matriz;
2. nas linhas não nulas, o primeiro elemento não nulo da esquerda para a direita é o número 1: Este número é o líder ou pivô da linha;
3. a partir da segunda linha, o elemento líder …ca à direita do líder da linha acima.
Uma matriz é escalonada reduzida se
2. o líder é o único elemento não nulo de sua coluna. Exemplo 1.10 As matrizes 2 4 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 5 e 2 4 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 5 são escalonadas e 2 6 6 4 1 2 0 4 0 6 0 0 1 2 0 4 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5 é escalonada reduzida.
Um sistema linear é escalonado quando sua matriz completa for escalon-ada e escalonado reduzido quando sua matriz completa for escalonescalon-ada re-duzida. Exemplo 1.11 O sistema x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4 = 5 x2+ 2x3+ 3x4 = 4 x4 = 2 é escalonado e x1 x3 = 5 x2 +2x3 = 6 x4 = 7 é escalonado reduzido.
Um sistema escalonado não possui solução quando uma de suas equações for degenerada,
0x1 + 0x2+ + 0xn= b
com b diferente de zero. Nos demais casos, o sistema escalonado será consis-tente e podemos obter sua solução geral com o procedimento descrito abaixo. Inicialmente explicita-se em cada equação a incógnita que está multiplicada pelo pivô. Estas são as incógnitas líderes do sistema. Em seguida, segue-se um procedimento conhecido por substituição reversa. A expressão que está do lado direito da última equação é usada para eliminar a última incógnita lider das equações acima. A expressão que está do lado direito da penúltima equação é usada para eliminar a penúltima incógnita líder das equações acima.
1.4 Sistema escalonado 19
Este procedimento é continuado até eliminar todas as incógnitas líderes do lado direito das equações que formam o sistema.
Num sistema escalonado consistente, as incógnitas que restarem do lado direito depois da substituição reversa, são denominadas de variáveis livres ou independentes. O termo variável tem sua origem no fato de podermos atribuir a elas qualquer valor real para obter uma solução do sistema. As incógnitas líderes que permaneceram do lado esquerdo passam a depender dos valores das variáveis livres e, por este motivo, recebem o nome de variáveis dependentesou variáveis líderes.
Quando não houver variável livre, o sistema terá uma única solução. Ex-istindo variáveis livres, o sistema possuirá in…nitas soluções. Quando houver uma equação degenerada com termo constante não nulo, o sistema não tem solução.
Para obter a solução geral de sistemas escalonados reduzidos, a etapa de substituição reversa é desnecessária pois, ao explicitar as variáveis líderes, restarão apenas as variáveis independentes no lado direito das equações.
Exemplo 1.12 Para resolver o sistema escalonado x1 x2+ 2x3 = 3
x2 x3 = 1
x3 = 2
Explicitamos as variáveis dependentes x1; x2 e x3; que são as variáveis dos
pivôs da matriz completa do sistema
x1 = x2 2x3+ 3
x2 = x3 1
x3 = 2
Podemos eliminar as as variáveis dependentes do lado direito das equações, usando substituição reversa. A última equação é usada para eliminar x3 do
lado direito das equações acima. Depois, a penúltima equação é usada para eliminar x2 do lado direito da equação acima. Usando este procedimento,
chegamos a
x3 = 2
x2 = x3 1 = 2 1 = 1
x1 = x2 2x3+ 3 = 1 4 + 3 = 0
Exemplo 1.13 Para resolver o sistema escalonado x1+ 2x2 x3 = 1
x2+ x3 = 2
explicitamos as variáveis dependentes x1 e x2;
x1 = 2x2+ x3+ 1
x2 = 2 x3
e usamos a segunda equação para eliminar o x2 da primeira equação
x1 = 2(2 x3) + x3+ 1 = 3x3 3
O x3 é a variável livre deste sistema, que terá in…nitas soluções. Sua solução
geral é x1 = 3x3 3; x2 = 2 x3; com x3 percorrendo os reais. Se
desejar-mos tratar x1; x2 e x3 em pé de igualdade, introduzimos uma nova variável t;
de…nindo-a por t = x3 quando então se escreve a solução geral na forma x1 =
3t 3; x2 = 2 t; x3 = t; com t percorrendo o conjunto dos números reais.
A nova variável t recebe o nome de parâmetro e com ele a solução geral se apresenta na forma paramétrica.
Exemplo 1.14 Para resolver o sistema escalonado reduzido
x1 2x2+ 3x3+ x4 = 1
x3 3x4 = 2
explicitamos as variáveis dependentes x1 e x3
x1 = 1 + 2x2 3x3 x4
x3 = 2 + 3x4
Usamos a segunda equação para eliminar a variável dependente x3 do lado
direito da primeira equação e obter
x1 = 1 + 2x2 3(2 + 3x4) x4 = 2x2 10x4 5:
Temos duas variáveis livres, a x2 e a x4 e a solução geral deste sistema é
x1 = 2x2 10x4 5
x3 = 2 + 3x4
1.5 Operações elementares 21
Querendo tratar as quatro variáveis em pé de igualdade na solução geral, pode-se introduzir duas novas variáveis r e s; de…nindo-as por r = x2 e s =
x4: A solução geral poderá ser escrita na forma paramétrica
x1 = 2r 10c 5
x2 = r
x3 = 2 + 3s
x4 = s
onde os parâmetros r e s podem assumir qualquer valor real.
Diremos que a solução geral é uniparamétrica quando depender de um parâmetro, biparamétrica quando depender de dois, triparamétrica se de-pender de três. Quando a solução geral dede-pender de mais do que três parâmet-ros podemos continuar com os pre…xos tetra, penta, hexa ou chamá-la de poliparamétrica.
Nos resta agora discutir a solução de sistemas genéricos. Veremos como aplicar transformações ao sistema original até chegar a um sistema escalon-ado equivalente. Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução.
1.5
Operações elementares
A transformação de um sistem em outro equivalente é realizada por meio de operações elementares sobre as equações do sistema que são de três tipos: 1. Trocar de posição duas equações, levando cada uma para a posição da
outra.
2. Multiplicar uma equação por uma constante não nula. 3. Adicionar a uma equação um múltiplo de outra.
Quando se multiplica uma equação por um número real, a equação obtida é denominada de múltiplo da equação original.
As três operações elementares sobre as equações de um sistema correspon-dem às operações elementares sobre as linhas da matriz completa:
1. Trocar de posição duas linhas, levando cada uma para a posição da outra. 2. Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
As operações elementares são reversíveis e transformam um sistema em outro equivalente. Por reversíveis queremos dizer que, se mediante uma oper-ação elementar podemos levar uma matriz A noutra matriz B; então é possível levar a matriz B na matriz A efetuando uma operação elementar. Se B for obtida de A permutando suas linhas r e s; podemos recuperarA permutando as linhas r e s de B: Se B for obtida multiplicando a linha i de A por um número real diferente de zero, podemos recuperar A multiplicando a linha i de B por 1: Se B for obtida adicionando à linha r de A um múltiplo da sua linha s; podemos recuperar A adicionando à linha r de B o múltiplo da sua linha s:
Quando aplicamos sucessivas operações elementares sobre uma matriz M e chegamos a uma matriz escalonada R; dizemos que R é uma forma escalon-ada da matriz M: Se R for escalonada reduzida, diremos que R é a forma escalonada reduzida da matriz M: A forma escalonada reduzida de uma matriz M é única.
1.6
Método da eliminação de Gauss
Quando todos os coe…cientes que multiplicam uma incógnita forem iguais a zero, como em
x1+ 0x2+ 4x3 = 5
x1+ 0x2 8x3 = 7
a variável x2 é livre. Independentemente do valor que a ela for atribuído,
ela não contribuirá com a soma. A segunda coluna da matriz completa deste sistema
1 0 4 5 1 0 8 8
é nula. Na prática, nem se escreve o termo x2 em sistemas como o acima e ele
é apresentado na forma
x1+ 4x3 = 5
x1 8x3 = 7
e se elimina a segunda coluna de sua matriz completa que passa a ser
1 4 5 1 8 8 :
1.6 Método da eliminação de Gauss 23
Se uma equação do sistema for identicamente nula como é o caso da terceira equação do sistema
x1 3x2+ 2x3 = 9;
x1+ 4x2+ 6x3 = 1;
0x1+ 0x2+ 0x3 = 0:
o fato de qualquer solução das duas primeiras equações ser uma solução da terceira, podemos eliminá-la e buscar soluções para as duas primeiras equações
x1 3x2+ 2x3 = 9;
x1+ 4x2+ 6x3 = 1:
Com relação à matriz completa do sistema, 2 4 1 3 2 9 1 4 6 1 0 0 0 0 3 5
a eliminação da última equação corresponde à eliminação da linha nula e es-crever
1 3 2 9 1 4 6 1 :
Vamos trabalhar com a matriz completa do sistema e, numa primeira etapa, iremos eliminar suas linhas e colunas nulas pelos motivos explicados acima.
Passemos à descrição do método da eliminação de Gauss, que consiste na realização de operações elementares sobre a matriz completa até transformá-la numa matriz escalonada. Denotaremos por bij a entrada da linha i coluna j
da matriz completa [ A j b ]:
1. Faça i = 1 e j = 1:
2. Se bij = 0; percorra a coluna r de cima para baixo.
(a) Se bis = 0 para todo s > j; passe para a próxima coluna fazendo
j = j + 1 e retorne à etapa 2.
(b) Se brs6= 0 para algum s > j; leve a linha i para a posição da linha r
e leve esta para a posição da linha i: Agora a entrada bij é diferente
de zero.
4. Adicione múltiplos da linha i às linhas que estão abaixo, de modo a zerar todas as entradas embaixo do pivô.
5. Passe à linha seguinte fazendo i = i + 1 e retorne à etapa 2.
6. Quando chegar à última linha, se bij 6= 0; divida-a por bij:
Ao …nal deste processo chega-se a um sistema escalonado, equivalente ao sistema original. Se uma equação deste sistema for degenerada e inconsistente, ele não terá solução. Se todas as equações do sistema escalonado forem consis-tentes, havendo variável livre, o sistema terá in…nitas soluções e, quando não, uma única solução.
Exemplo 1.15 Usando o método da eliminação de Gauss para resolver o sis-tema nas variáveis x1; x2; x3; x4; x5 cuja matriz completa é
2 4 0 0 2 0 7 12 2 4 10 6 12 28 2 4 5 6 5 1 3 5
chegamos à matriz escalonada 2 4 1 2 5 3 6 14 0 0 1 0 7=2 6 0 0 0 0 1 2 3 5 :
Exemplo 1.16 Usando o método da eliminação de Gauss para resolver o sis-tema nas variáveis x1; x2; x3; x4 cuja matriz completa é
2 4 1 2 2 1 9 1 2 1 0 4 1 2 2 1 7 3 5 chegamos à matriz escalonada
2 4 1 2 2 1 9 0 0 1 1 5 0 0 0 0 2 3 5 Como a última linha corresponde à equação
0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4 = 2;
1.6 Método da eliminação de Gauss 25
1.6.1
A eliminação de Gauss-Jordan
A eliminação de Gauss-Jordan consiste na utilização de operações elementares sobre a matriz completa até transformá-la numa matriz escalonada reduzida.
Efetuada a primeira etapa do método da eliminação de Gauss, pode-se continuar o processo, aplicando operações elementares sobre a matriz completa com o intuito de anular os coe…cientes acima dos pivôs, começando com os pivôs das linhas de baixo e subindo até a primeira linha e chegar a uma matriz escalonada reduzida.
Lembre-se que a forma escalonada reduzida de uma matriz é única, seja qual for o caminho percorrido.
Quando se chega à matriz escalonada reduzida, para obter a solução geral do sistema, basta explicitar as variáveis dependentes, que são aquelas corre-spondentes aos pivôs de cada linha.
O método de Gauss e o de Gauss Jordan exigem o mesmo esforço computa-cional para resolver um sistema de equações algébricas lineares.
Exemplo 1.17 Considere o sistema linear cuja matriz completa na forma escalonada é 2 4 1 2 5 3 6 14 0 0 1 0 7=2 6 0 0 0 0 1 2 3 5
use o método descrito para zerar as entradas acima dos pivôs. Comece zerando as entradas acima do pivô da terceira linha. Em seguida, zere as entradas acima do pivô da segunda linha obtendo
2 4 1 2 0 3 0 7 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 3 5 que corresponde ao sistema
x1+ 2x2+ 0x3+ 3x4+ 0x5 = 7
x3+ 0x4+ 0x5 = 1
x5 = 2
cuja solução geral é
x1 = 7 2x2 3x4
x3 = 1
x5 = 2
Exemplo 1.18 Resolva por eliminação de Gauss-Jordan x1 +3x2 2x3 +2x5 = 0
2x1 +6x2 5x3 2x4 +4x5 3x6 = 1
5x3 +10x4 +15x6 = 5
2x1 +6x2 +8x4 +4x5 +18x6 = 6
Resolução. A matriz completa do sistema é 2 6 6 4 1 3 2 0 2 0 0 2 6 5 2 4 3 1 0 0 5 10 0 15 5 2 6 0 8 4 18 6 3 7 7 5
Realizando a eliminação gaussiana, chegamos à matriz escalonada 2 6 6 4 1 3 2 0 2 0 0 0 0 1 2 0 3 1 0 0 0 0 0 1 1=3 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5
Continuando com as operações elementares, zeramos as entradas acima do pivô da terceira linha e, em seguida, zeramos as entradas acima do pivô da segunda linha quando então se chega á matriz escalonada reduzida
2 6 6 4 1 3 0 4 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5 que nos fornece imediatamente a solução geral do sistema
x1 = 3x2 4x4 2x5
x3 = x4
x6 = 1=3
onde x2; x4 e x5 são variáveis livres e podem assumir qualquer valor real.
Quando o sistema escalonado for consistente e possuir m equações não nulas e n incógnitas, existirá uma única solução quando m = n e in…nitas soluções quando m < n:
Exemplo 1.19 Dados k sistemas Ax = b1; : : : ; Ax = bk em que as matrizes
dos coe…cientes são idênticas, podemos resolvê-los simultaneamente, realizando operações elementares sobre a matriz aumentada [A j b1j j bk] ;
reduzindo-a à formreduzindo-a escreduzindo-alonreduzindo-adreduzindo-a e resolver todos os sistemreduzindo-as de umreduzindo-a só vez usreduzindo-ando reduzindo-a eliminação de Gauss ou ainda, reduzindo-a à forma escalonada reduzida e resolvendo os sistemas usando o método de Gauss-Jordan.
1.7 Operações matriciais 27
1.7
Operações matriciais
1.7.1
Adição de matrizes
Sejam A = [aij] e B = [bij] duas matrizes m n: A adição de A com B é
a operação que resulta na matriz soma A + B = [cij]; de tamanho m n;
onde cij = aij+ bij para i = 1; : : : ; m e j = 1; : : : ; n: A matriz oposta de
B = [bij] ;denotada por B;é aquela cuja entrada da linha i coluna j é bij:
A diferença A B é a matriz A + ( B); obtida subtraindo das entradas de A as entradas correspondentes de B: Matrizes de tamanhos distintos não podem ser adicionadas nem subtraídas. Matrizes de mesmo tamanho são ditas conformes para a adição.
1.7.2
Multiplicação de uma matriz por um número real
Seja A = [aij]uma matriz m ne c um número real. A multiplicação de c por
A é a operação que resulta na matriz cA = [caij]de tamanho m n chamada
de múltiplo de A por c: Observe que cada entrada de cA é igual a c vezes a entrada correspondente de A:
Se A1; A2; : : : ; An são matrizes de mesmo tamanho e c1; c2; : : : ; cn são
números reais, então uma expressão da forma
c1A1+ c2A2+ + cnAn
é chamada de combinação linear de A1; A2; : : : ; An com coe…cientes c1; c2;
: : : ; cn:
Propriedades
Neste momento destacamos a matriz nula ou matriz zero
0 = 2 6 4 0 0 .. . . .. ... 0 0 3 7 5
onde todas as entradas são nulas. Adicionando uma matriz A com a matriz nula de mesmo tamanho, obtemos a matriz A: Por este motivo, a matriz nula é chamada de elemento neutro da adição.
Sendo A; B e C matrizes de mesmo tamanho, x e y números reais e 1 a unidade real, valem as propriedades:
2. A + (B + C) = (A + B) + C (Associatividade da adição) 3. A + 0 = 0 + A = A (Elemento neutro)
4. B + ( B) = ( B) + B = 0 (A matriz B é a matriz oposta de B) 5. (xy)A = x(yA) (Associatividade da multiplicação por um real) 6. x(A + B) = xA + xB (Distributividade)
7. (x + y)A = xA + yA (Distributividade) 8. 1A = A
1.7.3
Multiplicação de matrizes
De…nição 1.20 Seja A = [aik] uma matriz m p e B = [bkj] uma matriz
p n: A multiplicação das matrizes A e B é a operação que leva A e B na matriz AB = [cij] de tamanho m n; onde
cij = p
X
k=1
aikbkj
para i = 1; : : : ; m e j = 1; : : : ; n: A matriz AB é denominada de produto de A por B: Para obter a entrada cij da linha i e coluna j de AB; destaque a
linha i de A e a coluna j de B: Multiplique aik por bkj;para k = 1; 2; : : : ; p e
adicione os resultados para obter cij:
Para ser possível multiplicar a matriz A pela matriz B; o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda, quando então se diz que são conformes para a multiplicação.
Mesmo quando é possível calcular o produto AB; nem sempre é possível calcular BA e, quando for possível, nem sempre AB = BA pois o produto de matrizes não é comutativo. Em casos excepcionais, quando AB = BA se diz que as matrizes comutam.
O produto de matrizes triangulares superiores é uma matriz triangular superior e o produto de matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular inferior
Exemplo 1.21 A multiplicação da matriz
A = 8 6 4 3 9 5 por B = 2 4 2 3 0 9 1 3 5 2 7 3 5
1.7 Operações matriciais 29
resulta na matriz
AB = 58 26 10 50 10 62 :
Se x for um vetor coluna com m linhas e y um vetor linha com n colunas, então xy é uma matriz m n: Quando m = n; yx é uma matriz 1 1:Toda matriz 1 1;com uma única entrada, tal como [m] ; é identi…cada ao número real m e escreveremos [m] = m: Exemplo 1.22 Sendo x= 1 2 e y= 3 4 então xy= 3 4 6 8 e yx = [11] :
Propriedades das multiplicação matricial
Em cada uma das propriedades abaixo, x é real. As matrizes A e B e as matrizes B e C são conformes para a multiplicação. As matrizes A; A1 e A2
bem como as matrizes B; B1 e B2 são conformes para a adição.
1. A(BC) = (AB)C (Associatividade da multiplicação) 2. A(B1+ B2) = AB1+ AB2 (Distributividade à esquerda)
3. (A1+ A2)B = A1B + A2B (Distributividade à direita)
4. (xB)C = x(BC) = B(xC) (Associatividade em relação ao produto por um real)
Não vale a lei do cancelamento. A igualdade AD = BD não implica, necessariamente, em A = B; mesmo quando D for diferente de zero.
Exemplo 1.23 Observe que AD = BD mas A 6= B quando A = 1 3 2 4 e B = 5 3
6 4 e D =
0 0 1 2 :
É possível obter AB = 0; mesmo quando A 6= 0 e B 6= 0: Logo, AB = 0 não implica em A = 0 ou B = 0:
Exemplo 1.24 Observe que AB = 0 quando A = 0 1
0 2 e B =
3 4 0 0 : Entretanto, nem A e nem B são matrizes nulas.
Produto matricial como combinação linear Sendo A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5 e x= 2 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 5 então Ax = 2 6 6 6 4 a11x1+ a12x2+ + a1nxn a21x1+ a22x2+ + a2nxn .. . am1x1+ am2x2+ + amnxn 3 7 7 7 5 = x1 2 6 6 6 4 a11 a21 .. . am1 3 7 7 7 5+ x2 2 6 6 6 4 a12 a22 .. . am2 3 7 7 7 5+ + xn 2 6 6 6 4 a1n a2n .. . amn 3 7 7 7 5 Sendo c1 = 2 6 6 6 4 a11 a21 .. . am1 3 7 7 7 5 c2 = 2 6 6 6 4 a12 a22 .. . am2 3 7 7 7 5 cn = 2 6 6 6 4 a1n a2n .. . amn 3 7 7 7 5 as colunas de A; então Ax = x1c1+ x2c2+ + xncn:
Uma expressão do tipo x1c1 + x2c2+ + xncn é chamada de combinação
lineardas matrizes c1; c2; : : : ; cn com coe…cientes x1; x2; : : : ; xn: A matriz
Axé uma combinação linear das colunas de A cujos coe…cientes são as entradas da matriz x:
De modo análogo, sendo y uma matriz linha, yA é uma combinação linear das matrizes linha de A com coe…cientes provenientes da matriz y:
1.8 Matriz inversa 31
1.8
Matriz inversa
Neste momento destacamos a matriz identidade de tamanho n n
In= 2 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 0 1 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 1 0 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 5
que possui todas as entradas iguais a zero, exceto aquelas que se encontram na diagonal principal, que são iguais a 1: Sendo A uma matriz m ne B uma matriz n p; então AIn= A e InB = B:Quando A for n n; então
AIn= InA = A:
Não havendo a necessidade de informar o tamanho da matriz identidade, podemos indicá-la tão somente por I: A matriz identidade é o elemento neu-tro da multiplicação de matrizes quadradas.
De…nição 1.25 Uma matriz quadrada A é invertível quando existe uma ma-triz quadrada B tal que
AB = BA = I;
onde I é a matriz identidade. A matriz B é chamada de inversa de A: Uma matriz quadrada não invertível é denominada singular.
Quando uma matriz A é invertível, sua inversa é única, sendo denotada por A 1: De acordo com a de…nição, se B é a inversa de A então A é a inversa de B ou, em outras palavras,
A = A 1 1: Uma matriz diagonal, como
D = 2 6 6 6 4 d1 0 0 0 d2 0 .. . ... . .. ... 0 0 dn 3 7 7 7 5
é invertível se e só se todos os reais d1; d2; : : : ; dn forem diferentes de zero, e
sua inversa é D 1 = 2 6 6 6 4 d11 0 0 0 d21 0 .. . ... . .. ... 0 0 d 1 n 3 7 7 7 5:
Uma matriz triangular é invertível se, e só se, todos os elementos da diagonal principal forem diferentes de zero. A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular inferior e a inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular superior.
A matriz A = a b
c d é invertível se e só se ad bc6= 0 e sua inversa é
A 1 = 1 ad bc d b c a : Exemplo 1.26 A matriz B = 3 5 1 2 é a inversa de A = 2 5 1 3 :
Nenhuma matriz quadrada A com uma coluna nula possui inversa pois, para qualquer matriz B de mesmo tamanho, a mesma coluna de BA é nula e assim, BA 6= I:
Toda matriz quadrada A com uma linha nula é singular pois, para qualquer matriz quadrada B de mesmo tamanho, a mesma linha de AB será nula e assim, AB 6= I:
Propriedades da matriz inversa
Sejam A e B matrizes invertíveis de mesmo tamanho.
1. Sendo k um número real, a matriz kA é invertível e (kA) 1 = k 1A 1: 2. A matriz AB é invertível e
(AB) 1 = B 1A 1:
Se as matrizes A1; A2; : : : ; Anforem todas invertíveis e do mesmo tamanho,
então o produto A1A2 An é invertível e
(A1 An) 1 = An1 A 1 1 :
1.9
Potências
Seja A uma matriz quadrada e n um número inteiro maior do que zero. De…n-imos as potências inteiras não negativas de A por
1.10 Matriz transposta 33
Se A for invertível, então
(A 1)n = (An) 1 e de…nimos as potências negativas de A por
A n= (A 1)n = (An) 1:
Propriedades
Sejam A e B matrizes quadradas com o mesmo tamanho, r e s números inteiros não negativos. Então
1. ArAs = Ar+s
2. (Ar)s
= Ars
3. Se AB = BA; então (AB)r = ArBr:
Quando A e B forem invertíveis, as identidades acima valem quando r e s forem números inteiros negativos.
1.10
Matriz transposta
Se A = [aij]uma matriz m n: A matriz [bij] de tamanho n m; onde bij =
aji; para todo i e todo j; é chamada de transposta de A e denotada por AT:
Exemplo 1.27 A transposta de A = 1 2
3 4 é A
T = 1 3
2 4 :
Se A e B forem matrizes de mesmo tamanho e k for um número real, valem as propriedades abaixo.
1. (AT)T = A
2. (A + B)T = AT + BT
3. (kA)T = kAT
4. (AT) 1 = (A 1)T
Se A e B forem matrizes conforme para a multiplicação,
Quando os tamanhos de A1; : : : ; An forem tais que o produto A1 An
pode ser efetuado, então
(A1 An)T = ATn A T 1:
Observe que a ordem dos fatores se altera de A1 até An para ATn até AT1:
Quando A for quadrada e n for um inteiro positivo, então
(An)T = AT n:
Quando A for quadrada e invertível, o n pode ser qualquer inteiro na pro-priedade acima.
De…nição 1.28 Uma matriz quadrada A é simétrica quando AT = A:
Para qualquer matriz retangular A; as matrizes AAT e ATAsão quadradas e simétricas.
Teorema 1.29 Sejam A e B matrizes simétricas de mesma ordem e um real. Então
(a) AT é simétrica.
(b) A + B e A B são simétricas. (c) A é simétrica.
(d) Se A for invertível, então A 1é simétrica.
(e) Se A é invertível então AAT e ATA é invertível.
Nem sempre o produto de matrizes simétricas é simétrica. O produto de duas matrizes simétricas A e B é simétrica se e só se A e B comutarem, isto é, AB = BA:
Teorema 1.30 Se A é uma matriz invertível, então AAT e ATA também são
invertíveis.
Prova. Como A é invertível, também o é AT: Logo, AAT e ATA também são invertíveis por serem o produto de matrizes invertíveis.
1.11
Matrizes elementares
De…nição 1.31 Uma matriz quadrada é elementar quando for obtida a par-tir da matriz identidade executando uma única operação elementar.
1.11 Matrizes elementares 35
Exemplo 1.32 As matrizes abaixo são elementares
1 0 0 3 2 6 6 4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3 7 7 5 2 4 1 0 30 1 0 0 0 1 3 5 2 4 1 0 00 1 0 0 0 1 3 5
A última matriz é a identidade. Ela é uma matriz elementar pois pode ser obtida da identidade multiplicando sua primeira linha por 1:
Denotemos por E(i $ j) a matriz elementar obtida da identidade per-mutando as posições das linhas i e j: Denotemos por E( i ! i) a matriz elementar obtida da identidade multiplicando sua linha i por um real não nulo. Denotemos por E(i + j ! i) a matriz elementar obtida da identidade adicionando vezes sua linha j à sua linha i:
Seja A uma matriz m n e vamos supor que as matrizes elementares a seguir sejam m m: Trocando a linha i pela linha j de A; obtemos a matriz E(i$ j)A: Multiplicando a linha i de A por obtemos a matriz E( i! i)A: Adicionando vezes a linha j de A à sua linha i; obtemos a matriz E(i + j ! i)A:
Resumindo: Seja A uma matriz m n e E uma matriz elementar m m:A matriz EA é igual à matriz obtida quando se realiza sobre A a mesma operação efetuada sobre I para obter E:
As matrizes elementares são invertíveis pois
E(i$ j) é a inversa de E(i $ j); E( 1 i! i) é a inversa de E( i! i); E(i j ! i) é a inversa de E(i + j ! i):
No processo de obter a forma escalonada reduzida de uma matriz quadrada A; aplicamos a ela uma sequência de operações elementares E1; E2; : : : ; Es
tais que R = Es E2E1A é a forma escalonada reduzida de A: Como A é
quadrada, esta matriz R é a identidade ou pelo menos sua última linha é nula. As matrizes elementares são invertíveis. Se A for invertível, então R é invertível e, portanto, só pode ser a matriz identidade. Se A for singular, então R é singular (se não fosse, A seria invertível) e, portanto, pelo menos sua última linha é nula. Provamos o seguinte teorema:
Teorema 1.33 Seja A uma matriz quadrada e R sua forma escalonada re-duzida. Se A for invertível se e só se R é a identidade. Se A for singular se e só se pelo menos a última linha de R é nula.
1.11.1
Sistemas equivalentes e matrizes elementares
Sejam A e B matrizes m n; b e c matrizes coluna m 1: Os sistemas lineares Ax = b e Bx = c são equivalentes se possuírem a mesma solução geral. Para serem equivalentes, as matrizes ampliadas [A j b] e [B j c] devem possuir a mesma forma escalonada reduzida [R j d] onde o tamanho de R é m n e o de d é m 1:Logo, existem matrizes elementares E1; : : : ; Er e E1;
: : : ; Es tais que
[Rj d] = Er E1[Aj b] e [Rj d] = Es E1 [Bj c]
de onde se obtém
[Aj b] = E11 Er1Es E1[Bj c] :
Nota-se assim que dois sistemas lineares com o mesmo número de equações e o mesmo número de incógnitas são equivalentes quando for possível levar um no outro mediante operações elementares. Note ainda que
A = E11 Er1Es E1B
ou seja, a matriz dos coe…cientes de um sistema pode ser levado no outro mediante operações elementares.
1.12
Um método para inverter matrizes
Para obter a forma escalonada reduzida de uma matriz aplica-se a ela uma sucessão de operações elementares. Quando a matriz for quadrada, sua forma escalonada reduzida é a identidade ou então possui uma ou mais linha nulas. No primeiro caso, a matriz é invertível e, no segundo caso, singular.
Se A é invertível, realizando operações elementares sobre ela, chegamos à matriz identidade, que é sua forma escalonada reduzida. Isto signi…ca que existem matrizes elementares Er; : : : ; E1 tais que
Er E1A = I
de onde obtemos
A 1 = Er E1 = Er E1I:
Se
Er E1A = I então Er E1I = A 1:
Observe: Realizando sobre I as mesmas transformações que levam A na ma-triz identidade, chega-se à inversa de A: Tal observação sugere um dispositivo
1.12 Um método para inverter matrizes 37
prático para determinar a inversa de uma matriz. Coloque a matriz identidade à direita de A obtendo a matriz ampliada [A j I]: Efetue operações elementares sobre esta matriz ampliada até obter a matriz [I j B]; quando a matriz original Ase transformou na identidade e a matriz identidade se transformou na matriz B: Esta matriz B é, exatamente, a inversa de A:
Se a matriz A não for invertível, sua forma escalonada reduzida conterá uma linha nula. Se em algum momento do processo de escalonamento da matriz ampliada [A j I]; uma linha de A se anular, pode encerrá-lo, a…rmando que A não possui inversa.
Exemplo 1.34 Calcule a inversa de
A = 2 4 1 2 32 5 3 1 0 8 3 5 :
Resolução. Justapomos as matrizes A e I formando a matriz ampliada [Aj I] e realizamos operações elementares sobre ela, até transformar A em I: Quando isto acontecer, a matriz I terá se transformado em A 1
2 4 1 2 3 2 5 3 1 0 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 2 4 1 2 3 0 1 3 0 2 5 1 0 0 2 1 0 1 0 1 3 5 2 4 1 2 3 0 1 3 0 0 1 1 0 0 2 1 0 5 2 1 3 5 2 4 1 2 3 0 1 3 0 0 1 1 0 0 2 1 0 5 2 1 3 5 2 4 1 2 0 0 1 0 0 0 1 14 6 3 13 5 3 5 2 1 3 5 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 40 16 9 13 5 3 5 2 1 3 5
e assim, A 1 = 2 4 40 16 9 13 5 3 5 2 1 3 5 :
Exemplo 1.35 Repita o procedimento do exemplo anterior com a matriz
A = 2 4 1 6 4 2 4 1 1 2 5 3 5 e conclua que ela não é invertível.
1.13
Forma matricial de um sistema linear
O sistema de equações algébricas lineares
a11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1
a21x1+ a22x2+ + a2nxn= b2
am1x1+ am2x2+ + amnxx = bm
nas incógnitas x1; : : : ; xn pode ser escrito na forma matricial
Ax = b onde A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... . .. ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5 é a matriz dos coe…cientes do sistema,
b= 2 6 4 b1 .. . bm 3 7 5 e x= 2 6 4 x1 .. . xn 3 7 5
são, respectivamente, a matriz das contantes e a matriz das incógnitas do sistema. Na forma matricial diremos que x = c; onde c é uma matriz
1.13 Forma matricial de um sistema linear 39
coluna n 1; é uma solução do sistema quando Ac = b: Também pode-se dizer simplesmente que c é uma solução do sistema.
Um sistema linear
Ax = 0;
no qual o lado direito é a matriz nula, recebe o nome de sistema linear ho-mogêneo. Ele sempre admite a solução x = 0; denominada solução trivial. Além desta, tais sistemas podem ou não ter outras soluções. Quando o sis-tema homogêneo possuir uma solução não trivial x = c; onde c 6= 0; então, sendo k um número real, x = kc será solução do sistema homogêneo. Esta é uma indicação de que, quando o sistema homogêneo possuir uma solução não trivial, terá in…nitas soluções. Então, de duas uma: ou o sistema homogêneo possui apenas a solução trivial ou possui in…nitas soluções.
Um sistema homogêneo com mais incógnitas do que equações sempre terá in…nitas soluções e, dentre elas a solução trivial. Tal fato se deve ao processo de escalonamento que sempre redunda num sistema escalonado compatível com variáveis livres.
O sistema Ax = 0 é denominado de sistema homogêneo associado ao sistema linear Ax = b:
Se c0 for solução de Ax = 0 e c1 for solução de Ax = b; então c0 + c1 é
solução de Ax = b: Se c1 e c2 forem soluções de Ax = b; então a diferença
c2 c1 é solução do sistema homogêneo Ax = 0: Logo, ao encontrar uma
solução c1 de Ax = b; sendo c2 outra solução, ela será da forma c0+ c1;para
alguma solução c0 do sistema homogêneo associado Ax = 0:
Se o sistema linear Ax = b for compatível, ele terá uma única solução se e só se o sistema homogêneo Ax = 0 possuir apenas a solução trivial. Quando o sistema homogêneo Ax = 0 possuir outras soluções além da trivial, o sistema Ax = b terá in…nitas quando for compatível ou nenhuma solução quando for incompatível.
Exemplo 1.36 A matriz aumentada de um sistema homogêneo é 2 6 6 4 2 2 1 0 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 3 7 7 5 que, levada à forma escalonada reduzida …ca
2 6 6 4 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 5
e a solução geral deste sistema é
x1 = x2 x5
x3 = x5
x4 = 0
onde x2 e x5 são variáveis livres e podem assumir qualquer valor real.
Intro-duzindo os parâmetros r = x2 e s = x5; pode-se escrever a solução geral na
forma paramétrica
x1 = r s; x2 = r; x3 = s; x4 = 0; x5 = s
onde r e s podem assumir qualquer valor real.
Teorema 1.37 A…rmações equivalentes para uma matriz quadrada A: (1) A é invertível.
(2) O sistema homogêneo Ax = 0 tem somente a solução trivial.
(3) A forma escalonada reduzida por linhas de A é a matriz identidade I: (4) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares.
Prova. (1) =) (2): Se A é invertível e c0 for uma solução de Ax = 0; então
c0 = Ic0 = (A 1A) c0 = A 1(Ac0) = A 10 = 0; mostrando que a equação
homogênea Ax = 0 possui apenas a solução trivial.
(2) =)(3) Se a única solução do sistema Ax = 0 for a trivial, ele é equiv-alente ao sistema Ix = 0; onde I é a matriz identidade. Neste caso, podemos levar A em I por meio de uma sucessão de operações elementares. Como I é uma matriz escalonada reduzida, isto signi…ca que I é a forma escalonada reduzida de A:
(3) ) (4) Se a forma escalonada de A; for I; então existem matrizes ele-mentares E1; : : : ; Ek tais que
Ek E1A = I
e assim
A = E11 Ek1
provando que A é igual ao produto de matrizes elementares.
(4) ) (1) Sendo A um produto de matrizes elementares, que são invertíveis, ela é invertível.
Corolário 1.38 Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesmo tamanho. (a) Se BA = I; então A é invertível e B = A 1:
1.13 Forma matricial de um sistema linear 41
Prova. (a) Se BA = I e c0for uma solução do sistema homogêneo Ax = 0;
então c0 = Ic0 = (BA)c0 = B(Ac0) = B0 = 0: Logo, o sistema homogêneo
Ax = 0 possui apenas a solução trivial, donde se conclui que A é invertível. Multiplicando os dois membros de BA = I pela direita por A 1 segue B =
A 1:
(b) Quando AB = I; pelo item anterior, B é invertível e A = B 1: Sendo
a inversa de B; a matriz A é invertível e A 1 = B:
Corolário 1.39 Sejam A e B matrizes quadradas de mesmo tamanho. Se A for singular, então AB e BA são singulares.
Prova. Se A for singular, o sistema linear homogêneo Ax = 0 possui solução não trivial c0: Daí, BAc0 = 0; mostrando que BA é singular.
Se A for singular, sua forma escalonada reduzida R pelo menos sua última linha é nula. Existem matrizes elementares E1; : : : ; Ek tais que R = Ek
E1 A: Se AB for invertível, RB = Ek E1 (AB) também será, o que não
pode ocorrer pois pelo menos a última linha de RB é nula.
Corolário 1.40 A matriz A é invertível se e só se a única solução do sistema Ax = b for x = A 1b:
Prova. Se A é invertível, então c1 = A 1bé uma solução de Ax = b: Sendo
c2 outra solução deste sistema, A(c1 c2) = 0 e, como o sistema homogêneo
Ax = 0possui apenas a solução trivial, c1 = c2;mostrando que Ax = b possui
uma única solução dada por x = A 1b:
Se Ax = b tem uma única solução para todo b; então Ax = 0 tem uma única solução e A é invertível.
Exemplo 1.41 Como consequência da invertibilidade da matriz
A = 2 4 1 2 32 5 3 1 0 8 3 5 o sistema homogêneo x1 +2x2 +3x3 = 0 2x1 +5x2 +3x3 = 0 x1 +8x3 = 0
Exemplo 1.42 Para determinar a consistência do sistema linear x1 +x2 +2x3 = b1
x1 +x3 = b2
2x1 +x2 +3x3 = b3
basta realizar operações elementares na matriz completa do sistema para obter 2 4 1 1 2 b1 0 1 1 b1 b2 0 0 0 b3 b2 b1 3 5
O sistema será consistente se e só se b3 b2 b1 = 0 ou b3 = b2+ b1; ou seja,
quando b for igual a
b= 2 4 b1 b2 b1+ b2 3 5 = b1 2 4 1 0 1 3 5 + b2 2 4 0 1 1 3 5 :
Quando b = 1 1 2 T o sistema tem solução e sua solução geral pode ser obtida pelo métodos de Gauss
x1 = 1 e x2 = x3
com x3 percorrendo o conjunto dos números reais. Quando b = 1 0 3 T
; o sistema não possui solução.
Exemplo 1.43 Escalonando a matriz completa do sistema x1 +2x2 +3x3 = b1 2x1 +5x2 +3x3 = b2 x1 +8x3 = b3 chega-se a 2 4 1 20 1 33 bb12 2b1 0 0 1 b3+ 3b1 2b2 3 5
quando então se percebe que o sistema é sempre consistente, não havendo re-strições sobre b:
Capítulo 2
Determinantes
Para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas a11x1+ a12x2 = b1
a21x1+ a22x2 = b2
podemos usar o método de eliminação das incógnitas. Multiplicando a primeira equação por a22, a segunda por a12e subtraindo a segunda equação da primeira,
obtemos (a11a22 a12a21)x1 = b1a22 b2a12: Quando a11a22 a12a21 6= 0; obtemos x1 = b1a22 b2a12 a11a22 a12a21 :
As expressões do denominador e do numerador envolvem as entradas das ma-trizes
A = a11 a12
a21 a22 e 1
= b1 a12 b2 a22
e os matemáticos as denominaram de determinante de A1 e determinante de 1, denotando-as por det(A) e det(A1): Para uma matriz 2 2;seu
determi-nante é de…nido por
det a11 a12 a21 a22
= a11a22 a12a21:
De modo semelhante podemos eliminar x1 do sistema para obter
x2 =
det( 2)
det(A) :
Os matemáticos veri…caram que este procedimento de eliminar variáveis de um sistema poderia ser estendido para sistemas com mais do que duas variáveis.
Por exemplo, para sistemas com três equações e três incógnitas, a11x1+ a12x2+ a13x3 = b1
a21x1+ a22x2+ a23x3 = b2
a31x1+ a32x2+ a33x3 = b3
é possível explicitar x2 e x3 em função de x1 usando a segunda e a terceira
equações. Substituindo as expressões obtidas na primeira equação, obtemos
x1 =
det( 1)
det(A) onde A e 1 são matrizes 3 3dadas por
A = 2 4 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 3 5 ; 1 = 2 4 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 3 5
e det(A); det( 1) são os seus determinantes, de…nidos a partir dos
determi-nantes de matrizes 2 2:Sendo A aquela matriz 3 3 logo acima, de…nimos det(A) = a11det(A11) a12det(A12) + a13det(A13)
onde A11 = a22 a23 a32 a33 ; A12 = a21 a23 a31 a33 e A13= a21 a22 a31 a32
são matrizes 2 2; obtidas da seguinte maneira:
Para obter A11; elimine a primeira linha e a primeira coluna de A:
Para obter A12; elimine a primeira linha e a segunda coluna de A:
Para obter A13; elimine a primeira linha e a terceira coluna de A:
Desenvolvendo os determinantes de A11; A12 e A13 obtemos
det(A) = a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + a13(a21a32 a22a31) :
Do mesmo modo se mostra que
x2 =
det( 2)
det(A) x3 =
det( 3)
2.1 De…nição de determinante 45 onde 2 = 2 4 aa1121 bb12 aa1323 a31 b3 a33 3 5 ; 3 = 2 4 aa1121 aa1222 bb12 a31 a32 b3 3 5 :
Se det(A) 6= 0; o sistema possuirá uma única solução para cada b = [b1; b2;
b3]T: Do que …cou demonstrado no capítulo anterior, A é invertível, se e só se
det(A)6= 0:
Este procedimento se aplica a sistemas com n equações e n incógnitas, quando surge a idéia de determinantes de matrizes de tamanho n n; que são de…nidos em termos de matrizes quadradas de tamanho inferior.
2.1
De…nição de determinante
Seja A uma matriz quadrada n n:O determinante de A é um número real que será de…nido de forma recursiva. Quando A = [a] é uma matriz 1 1; de…ne-se
det A = a: Quando
A = a11 a12 a21 a22
for uma matriz quadrada 2 2;de…nimos
det(A) = a11a22 a12a21:
O determinante de matrizes quadradas de tamanho n n; quando n > 2 é de…nido de modo recursivo, a partir do determinante de matrizes de tamanho menor.
Se A = [aij] for uma matriz quadrada n n; denote por Aij a matriz de
tamanho (n 1) (n 1) obtida quando se elimina a linha i e a coluna j de A: O cofator (i; j) de A é o número
Cij = ( 1)i+jdet(Aij):
O determinante de A é o número real de…nido por
det(A) = a11C11+ a12C12+ + a1nC1n = n
X
j=1
a1jC1j:
Esta fórmula é denominada de desenvolvimento do determinante por cofatores ao longo da primeira linha ou desenvolvimento de Laplace ao longo da primeira linha.
Exemplo 2.1 Calcule o determinante da matriz A = det 2 4 1 0 3 2 1 0 8 4 1 3 5
Desenvolvendo o determinante pela primeira linha, obtemos
A = 1 det 1 0 4 1 0 det 2 0 8 1 + 3 det 2 1 8 4 = 1 ( 1) 0 + 3 0 = 1
O determinante também pode ser calculado desenvolvendo o determinante por cofatores ao longo da linha i
det(A) = ai1Ci1+ ai2Ci2+ + ainCin = n
X
j=1
aijCij:
e ainda pode ser desenvolvido por cofatores ao longo da coluna j
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + + anjCnj = n
X
i=1
aijCij
Exemplo 2.2 Os determinantes das matrizes 2 4 2 1 0 3 7 0 4 2 0 3 5 e 2 4 1 4 5 2 0 3 0 0 0 3 5
são iguais a zero pois ambos possuem uma …la nula. Para veri…car esta a…r-mação basta desenvolver o determinante da primeira pela terceira coluna e a segunda pela terceira linha.
Nota 2.3 Este é um fato geral. Se a matriz possuir uma linha ou coluna nula, seu determinate é igual a zero.
Exemplo 2.4 Para uma matriz for triangular inferior,
A = 2 6 6 6 4 a11 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33 .. . ... ... . .. 3 7 7 7 5; o determinante é o produto dos elementos de sua diagonal
det A = a11a22 ann:
2.2 Propriedades do determinante 47
Exemplo 2.5 Para calcular o determinante de uma matriz 3 3; pode-se usar a regra de Sarrus. Aplica-se esta regra do seguinte modo: Acrescente as duas primeiras colunas à direita da matriz A obtendo
2 4 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 3 5
Multiplique as entradas ao longo das três diagonais principais, aquelas que vão da esquerda para a direita e de cima para baixo, que iniciam nas entradas a11;
a12 e a13: Adicione os resultados. Multiplique as entradas ao longo das três
diagonais secundárias, aquelas que vão da direita para a esquerda e de cima para baixo, que iniciam nas entradas a13; a11 e a12: Adicione os produtos e o
subtraia da soma anterior para obter
det(A) = a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
(a13a22a31+ a11a23a32+ a12a21a33):
Se as matrizes não possuírem características especiais, calcular o determi-nante de matrizes 4 4 usando apenas a de…nição exige um bom trabalho. Para simpli…car o cálculo, precisamos de alternativas mais e…cientes que apenas a de…nição.
2.2
Propriedades do determinante
Teorema 2.6 O determinante de uma matriz quadrada A de tamanho n n; é igual ao determinante de sua transposta
det (A) = det(AT):
Prova. O desenvolvimento do determinante de AT pela primeira coluna,
det(AT) = ( 1)1+1a11det AT11+ + ( 1) 1+na
1ndet AT1n
= ( 1)1+1a11det A11+ + ( 1)1+na1ndet A1n
é o determinante de A desenvolvido pela primeira linha.
Nota 2.7 Este teorema garante que todo resultado válido para linha vale para coluna e vice-versa.
Teorema 2.8 Se B for obtida multiplicando uma linha de A por k; então det(B) = k det(A):
Teorema 2.9 Se B for obtida permutando duas linhas de A; então
det(B) = det(A):
Prova. Prova-se por indução no tamanho da matriz. A propriedade vale para matrizes quadradas 2 2: Supondo a propriedade válida para matrizes quadradas (n 1) (n 1)vamos mostrar que ela vale para uma matriz n n: Fixemos uma linha i que não foi permutada na passagem de A para B: Sejam, respectivamente, Aij e Bij as matrizes obtidas de A e B; eliminando em cada
uma a linha i e a coluna j: A matriz Bij pode ser obtida de Aij permutando
as mesmas linhas que levaram A em B: Pela hipótese de indução, det(Bij) =
det(Aij):Desenvolvendo o determinante de B em cofatores ao longo da linha
i;
det(B) = ( 1)i+1ai1det(Bi1) + + ( 1)i+naindet(Bin)
= ( 1)i+1ai1det(Ai1) ( 1)i+naindet(Ain) = det(A):
Teorema 2.10 Se B for obtida adicionando a uma linha de A um múltiplo de outra linha de A; então
det(B) = det(A):
Prova. Suponha que B foi obtida de A adicionando à sua linha i um múltiplo k de sua linha r: Assim, bij = aij+ k arj; com j = 1; 2; : : : ; n: As
outras linhas de B são iguais às linhas de A: Desenvolvendo o determinante de B pela linha i; det(B) = n X j=1 (aij+ karj)Cij = n X j=1 aijCij + k n X j=1 arjCij = det(A)
pois o somatório na segunda parcela é igual a zero uma vez que corresponde ao determinante de uma matriz cuja linha i é igual à linha r:
Sejam v; v1; : : : ; vm;matrizes linha ou matrizes coluna de mesmo tamanho.
Quando existirem números reais k1; k2; : : : ; km tais que
v= k1v1+ + kmvm
2.2 Propriedades do determinante 49
Teorema 2.11 O determinante de uma matriz quadrada é nulo quando
1. uma linha ou coluna for nula. 2. duas linhas forem iguais.
3. duas linhas forem proporcionais.
4. uma linha for uma combinação linear das demais.
Exemplo 2.12 Determinante das matrizes elementares. Seja E uma matriz elementar n n: Das propriedades provadas, se conclui que
1. Se E surge ao multiplicar uma linha da matriz identidade por k; então det(E) = k:
2. Se E surge da permuta de duas linhas da matriz identidade, então det(E) = 1:
3. Se E é o resultado da adição a uma linha da matriz identidade um múlti-plo de outra linha, então det(E) = 1:
Exemplo 2.13 Produto de uma matriz elementar por uma matriz quadrada qualquer. Se E for uma matriz elementar e B uma matriz quadrada qualquer, ambas de mesmo tamanho n n; então
det(EB) = det(E) det(B)
Se E1; : : : ; Ek forem matrizes elementares de tamanho n n; então
det(E1 EkB) = det(E1) det(Ek) det(B)
Matrizes invertíveis e singulares
Lema 2.14 Se A é invertível então det(A) 6= 0:
Prova. Se A for invertível, então podemos escrevê-la como um produto de matrizes elementares A = E1 Ek:Assim,
det A = det E1 det Ek6= 0:
Prova. Quando A é singular, sua forma escalonada reduzida R possui ao menos uma linha nula, de modo que seu determinante é igual a zero. Como existem matrizes elementares E1; : : : ; Ek tais que A = E1 Ek R; obtemos
det(A) = 0:
Dos dois lemas anteriores, podemos enunciar
Teorema 2.16 Uma matriz quadrada A é invertível se e só se det(A) 6= 0:
Determinante do produto
Teorema 2.17 Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho, então det(AB) = det(A) det(B):
Prova. Se A for singular, AB é singular. Daí, det A = 0 e det(AB) = 0; o que resulta na igualdade det(AB) = det(A) det(B):
Se A for invertível, existem matrizes elementares E1; : : : ; Ek tais que A =
E1 Ek: Daí, det(AB) = det(E1 EkB) = det E det Ek det B =
det(E1 Ek) det B = det A det B:
Corolário 2.18 Se A for invertível, então det(A 1) = (det A) 1:
Nota: Em geral, o det(A + B) é diferente do det(A) + det(B):
Teorema 2.19 Sejam c1; : : : ; ci; : : : ; cn e di matrizes coluna n 1: Vale a
propriedade
det c1 ci+ di cn = det c1 ci cn
+ det c1 di cn
Pode-se calcular o determinante de uma matriz realizando operações ele-mentares em suas linhas e suas colunas até transformá-la numa matriz trian-gular superior ou inferior.
2.3 Autovalores e Autovetores 51
linhas, transformando-a numa matriz triangular superior:
det 2 4 0 1 5 3 6 9 2 6 1 3 5 = (L1$L2) det 2 4 3 6 9 0 1 5 2 6 1 3 5 = (1=3)L1!L1 3 det 2 4 1 2 3 0 1 5 2 6 1 3 5 = L3 2L1!L3 3 det 2 4 1 2 3 0 1 5 0 10 5 3 5 = L3 10L2!L3 3 det 2 4 1 2 3 0 1 5 0 0 55 3 5 = 3 ( 55) = 165:
Exemplo 2.21 Vamos calcular o determinante abaixo realizando uma oper-ação elementar sobre colunas, subtraindo 3 vezes a primeira coluna da terceira, e desenvolvendo o determinante da matriz resultante em cofatores pela primeira linha det 2 6 6 4 1 0 0 3 2 7 0 6 0 6 3 0 7 3 1 5 3 7 7 5 = det 2 6 6 4 1 0 0 0 2 7 0 0 0 6 3 0 7 3 1 26 3 7 7 5 = 546:
Matrizes triangulares superiores (inferiores) por blocos Se A e B forem matrizes quadradas, então
det A X
0 B = det A det B:
2.3
Autovalores e Autovetores
Seja A uma matriz quadrada real de ordem n n:Uma matriz coluna não nula x de ordem n 1 é um autovetor de A se existir um número real tal que Ax = x: Passando x para o lado esquerdo e colocando o x em evidência, obtemos (A I)x = 0;que é um sistema linear homogêneo em x: Tal sistema possui solução não trivial quando a matriz A I for singular, fato que ocorre quando det(A I) = 0: Os valores de que satisfazem a esta equação são denominados autovalor de A: Quando for um autovalor, as soluções não triviais do sistema
(A I)x = 0
são chamadas de autovetores de A correspondentes ao autovalor : Como a matriz A I é singular, o sistema (A I)x = 0 possui in…nitas soluções.
Exemplo 2.22 Determine os autovalores e autovetores da matriz A = 1 3 4 2 : A equação det(A I) = 0 é polinominal em ; denominada de equação característica de A: O polinômio det(A I) é denominado polinômio característico da matriz A: Como os polinômios podem possuir raízes com-plexas, podemos ampliar a nossa de…nição e admitir autovetores e autovalores complexos.
2.4
Cofatora, adjunta clássica e inversa
Sendo Cij o cofator do elemento aij da matriz A = [aij] ; a matriz
cof (A) = 0 B @ C11 : : : C1n .. . ... Cn1 : : : Cnn 1 C A
é denominada de matriz de cofatores de A: A transposta da matriz cofatora de A adj(A) = 0 B @ C11 : : : Cn1 .. . ... C1n : : : Cnn 1 C A é chamada de adjunta clássica de A: Sabemos que
n
X
k=1
aikCik = det(A)
observe que, quando i 6= j;
n
X
k=1
ajkCik = 0
pois o somatório em questão corresponde ao determinante de uma matriz na qual as linhas i e j são iguais. Deste modo, para todo i e todo j no conjunto f1; 2; : : : ; ng
n
X
k=1
aikCjk = det(A) ij
o que implica na igualdade matricial
