ABD Parte1

(1)

An´

alise Bayesiana de Decis˜

ao

Parte 1: m´

etrica de incerteza

Paul Kinas

(2)

Por Que ”bayesiano”?

1 ”Importante para Ciˆencia (e para a vida): como aprender com

a experiˆencia?” (Harold Jeffreys (1891-1989) - Theory of

Probability)

2 Probabilidade ´e a m´etrica adequada para quantificar

INCERTEZA (E.T. Jaynes (1922-1998) - Probability: the logic of Science)

3 _{Pierre S. Laplace (1749 - 1827) foi o primeiro a quantificar}

(3)

Por Que ”bayesiano” em Ecologia ?

1 There is a revolution brewing in Ecology. A. McCarthy

-Bayesian Methods for Ecology (2007)

2 _{Clark, J.S. (2005) Why environmental scientists are becoming}

Bayesians. Ecology Letters 8: 2-14.

3 _{Linguagem R e bibliotecas como ’rjags’ que conectam o R ao}

(4)

Estat´ıstica Frequentista(F) vs Bayesiana (B)

1 (F) responde perguntas pr´e-dados

Ex.: Qual a possibilidade de ver 7 ou mais fˆemeas entre 10

botos se a propor¸c˜ao de sexos for 1:1

2 _{(B) responde perguntas p´}_os-dados

Ex.: Se observei mais de 7 fêmeas entre 10 botos, qual é a plausibilidade da razão 1:1 para machos e fêmeas

3 (F) n˜ao utiliza (explicitamente) informa¸c˜oes relevantes

extra-dados

4 (B) integra os dados com informa¸c˜oes relevantes

(5)

FUNDAMENTOS I

Silogismos fortes: v´

alidos por dedu¸c˜

ao

A: XX ´e guitarrista

B: XX toca um instrumento musical

1 Caso 1

Premissa: Se A é verdadeiro então B é verdadeiro; Fato: A é verdadeiro;

Conclus˜ao: B ´e verdadeiro.

2 Caso 2

Premissa: Se A é verdadeiro então B é verdadeiro; Fato: B é falso;

(6)

FUNDAMENTOS II

Silogismos fracos: racioc´ınio indutivo

A: XX ´e guitarrista

B: XX toca um instrumento musical

1 _{Caso 3}

Premissa: Se A é verdadeiro então B é verdadeiro; Fato: A é falso;

Conclus˜ao: B se torna menos plaus´ıvel.

2 Caso 4

Premissa: Se A é verdadeiro então B é verdadeiro; Fato: B é verdadeiro;

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Formaliza¸c˜

ao de L´

ogica Indutiva

(R. Cox -1946; G. Polya - 1954 )

1 Os n´ıveis de plausibilidade s˜ao representados por n´umeros

reais. [permite classificar/ordenar as proposi¸c˜oes.]

2 Existe correspondˆencia qualitativa com o senso comum. [Uma

proposi¸c˜ao mais plaus´ıvel que outra, dever´a estar associada a

um n´umero maior que aquela.]

3 Há consistência nas medi¸cões de plausibilidade.

i – Se a solu¸cão puder ser obtida de várias formas, então todas devem levar ao mesmo resultado.

ii – Sempre estará sendo levada em conta toda a evidência relevante. Não será arbitrariamente ignorada alguma informa¸cão.

iii – N´ıveis equivalentes de informa¸c˜ao correspondem a n´ıveis

(8)

A M´

etrica P(A): os axiomas

1 0 ≤ P(A|H) ≤ 1

2 Para A e B exclusivos, a probabilidade de A + B = ’ao menos

um V’ ´e dada por:

P(A + B|H) = P(A|H) + P(B|H)

3 a Probabilidade de A · B = ’ambos s˜ao V’ ´e dada por

P(AB|H) = P(A|H) · P(B|AH)

4 Conglomerabilidade:

Se {Ei; i = 1, 2, · · · } ´e uma parti¸c˜ao infinita e se

(9)

A M´

etrica: dois teoremas

Teorema da Probabilidade Total:

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Teorema de BAYES conforme Bayes e Laplace

Vers˜ao ”bayesiana” do Teorema de Bayes

θ é o parâmetro (hipótese)

X são os dados observados P(θ|X ) = P(X |θ) · P(θ) P(X ) P(θ) é probabilidade PRIORI de θ P(X |θ) é a verossimilhan¸ca de θ em fun¸cão de X P(θ|X ) é a probabilidade POSTERIOR de θ

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Exemplo 1: Qual ´

e a moeda correta?

1 Tres moedas: m₁= {C , C }, m₂ = {C , K }, m₃ = {K , K }

2 X_i = 0 se ocorre C no lan¸camento i e X_i = 1 se ocorre K

3 Ignorˆancia a priori: P(m₁) = P(m₂) = P(m₃) = 1/3

4 Experimento fornece a informa¸c˜ao X₁ = 1

P(1|m1) = 0; P(1|m2) = 1/2 e P(1|m3) = 1

P(X = 1) = P(1|m1)P(m1) + P(1|m2)P(m2) + P(1|m3)P(m3)

T. de Bayes: P(m1|1) = 0; P(m2|1) = 1/3; P(m3|1) = 2/3

5 ”Quantos K ’s preciso ver at´e me convencer de que se trata de

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Exemplo 2: A mesa de bilhar do Rev. Thomas Bayes

O Experimento

De olhos vendados lan¸camos uma bola (vermelha) sobre a mesa de

bilhar. O objetivo é saber a posi¸cão desta bola entra a borda esquerda (posi¸cão ”zero”) e direita (posi¸cão ”um”) da mesa. Para obter informa¸cões que ajudem a determinar esta posi¸cão,

lan¸camos uma segunda bolas (azul) e somos informados por um

observador se esta bola est´a localizada a direita ou a esquerda da bola vermelha

Pergunta 1: de que forma esta informa¸c˜ao modifica nossa

percep¸c˜ao sobre a posi¸c˜ao da bola vermelha?

Pergunta 2: se continuarmos lan¸cando bolas azuis, de que

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(14)

Exemplo 2: A mesa de bilhar do Rev. Thomas Bayes

1 Se θ é a posi¸cão da bola vermelha então

p(θ) = dbeta(θ, a, b) ´e uma poss´ıvel priori.

2 Se X_i ∈ {1, 0} denota a posi¸c˜ao a esquerda ou direita da

i -´esima bola azul, respectivamente, ent˜ao: p(Xi|θ) = dbinom(Xi, 1, θ)

3 Teorema de Bayes

p(θ|X1) ∝ dbinom(X1, 1, θ) · dbeta(θ, a, b)

4 _Conjuga¸_c˜_{ao Binomial e Beta}

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Exemplo 2: A mesa de bilhar do Rev. Thomas Bayes

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 priori theta p(theta) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 {E} (x.1 = 1) theta p(theta|x.1) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 {E,E} (x.1 = 1,x.2 = 1) theta p(theta|x.1,x.2) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 {E,E,D} (x.1 = 1,x.2 = 1,x.3=0) theta p(theta|x.1,x.2,x.3)

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Exemplo 2: A mesa de bilhar do Rev. Thomas Bayes

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 {EEDDDEEDDEEEE} theta p(theta|x)

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Exemplo 3: bacalhau do Pac´ıfico (Gadus macrocephalus)

1 Rela¸c˜ao Estoque Parental (S) vs Recrutamento (R) (Ricker)

2 _Parˆ_{ametros: biomassa virgem B}₁_{; produtividade b}

3 Estoque parental ´otimo (S_opt)

Sopt = B1

b

4 Esp´ecies K-estrategistas (B₁ grande) e r-estrategistas (b

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Decis˜

ao sob incerteza (A.B.D.)

Incerteza afeta a escolha de uma decis˜ao? SIM

Como proceder?

1 _{quantifique estados na natureza θ com probabilidades;} 2 _{liste as poss´ıveis a¸}_c˜_{oes ’a’}

3 _{quantifique as consequˆ}_{encias L(a, θ)} obs.: ”risco de a” ´e a somat´orioP

θL(a, θ) · p(θ)

4 _{a a¸}_c˜_{ao ´}_{otima ’a}_o_{’ minimiza o ”risco”}

mudan¸cas nos fatos afetam as probabilidades de θ

mudan¸cas na preferência afeta a quantifica¸cão das consequências L(·, ·)

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PLANO DE AULAS

1 05/5 – M´etrica de incerteza.

2 12/5 – Passeio bayesiano por Probabilidades

3 19/5 – Distribui¸cões posteriores com fam´ılias conjugadas. 4 _{26/5 – Distribui¸}_c˜_{oes posteriores via simula¸c˜}_{ao (parte 1)} 5 02/6 – Distribui¸cões posteriores via simula¸cão (parte 2) 6 09/6 – Inferência estat´ıstica bayesiana

7 26/6 – Modelos lineares [generalizados]. Perspectivas futuras

8 30/7 - Entrega do Relat´orio de An´alise Estat´ıstica RAE(*) e

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FIM

OBRIGADO paulkinas@furg.br