Mecânica dos Fluidos(Fórmulas)

RESUMO DAS FÓRMULAS – MECÂNICA DOS FLUIDOS RESUMO DAS FÓRMULAS – MECÂNICA DOS FLUIDOS

CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2

2.4

2.4 VisViscosicosidadedade

2.4.1 Fluido Newtoniano 2.4.1 Fluido Newtoniano d dyy d duu yx yx ==µµ ττ _(2.10)(2.10) 2.4.2 Fluido Não-Newtoniano 2.4.2 Fluido Não-Newtoniano n n yx yx d dyy d duu                        κ  κ  = = ττ (2.11)(2.11)

CAPÍTULO 3

CAPÍTULO 3

Estática dos Fluidos

Estática dos Fluidos

0 0 = = + + − −gradpgradp ρ ρ g g  (3.3)(3.3) 0 0 = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ − − g g _x x   x   x   p  p  ρ   ρ  0 0 = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ − − g g _y y  y  y   p  p  ρ   ρ  (3.4)(3.4) 0 0 = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ − − g g _z z  z  z   p  p  ρ   ρ  γ  γ  − − ≡ ≡ ρ ρ − − = = gg dz dz dp dp (3.6) (3.6) 3.5.1

A A p pdd F F_RR

=

=

∫ 

∫ 

_AA

−

−

(3.10) (3.10)  A  A  p  pd d  r  r  F  F  d  d  r  r  R  R  F  F  r  r ''×× ==∫ ∫  ×× ==−−∫ ∫  ×× (3.11) (3.11) 3.5.

3.5.22 ForForça Hiça Hidrodrostátstática sica sobre uobre uma Suma Superperfícfície Curie Curva Subva Submermersasa

∀

∀

ρρ

−−

==

∀

∀

ρρ

∫ ∫ 

−−

==

ρρ

∫ ∫ 

−−

==

ghdAghdA _∀∀ gdgd gg F F_{zz AzAz zz} 3.6

3.6 EmEmpupuxo xo e Ee Estastabibililidaddadee

∀ ∀ = = ∀ ∀ ∀ ∀ ∫ ∫  = = ∫ ∫  = = dF dF _z z  gd gd  g g  z  z  F  F   ρ  ρ  ρ ρ  (3.15) (3.15) 3.7

3.7 Fluidos em Fluidos em Movimento de Movimento de Corpo rígidoCorpo rígido

 x   x  a a  x   x  g  g   x   x   p  p  ρ   ρ   ρ   ρ  == + + ∂∂ ∂∂ − − y  y  a a y  y  g  g   x   x   p  p  ρ   ρ   ρ   ρ  == + + ∂∂ ∂∂ − − (3.17)(3.17) z  z  a a z  z  g  g   x   x   p  p  ρ   ρ   ρ   ρ  == + + ∂ ∂ ∂ ∂ − − zz r  r  r  r  kkˆˆ r  r  1 1 ê ê ê ê ∂∂ ∂∂ + + θ θ ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ = = ∇ ∇ θθ (3.19)(3.19) z z r  r  r  r  p p k kˆˆ p p r  r  1 1 ê ê p p ê ê p p gradp gradp ∂ ∂ ∂ ∂ + + θ θ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∇ ∇ = = _θθ

CAPÍTULO 4

4.1 Leis Básicas para um Sistema

4.1.1 A Conservação da Massa 0 dt dM sistema = _(4.1a)

∀

ρ

∫ 

=

∫ 

=

dm _∀ d

M_{sistema massa(sistema) (sistema)} (4.1b)

4.1.2 A Segunda Lei de Newton

sistema dt P d F  = (4.2a) ∀ ρ ∫  = ∫  = Vdm _∀ V d

P_{sistema massa(sistema) (sistema) (4.2b)}

4.1.3 O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento

sistema dt H d T  = (4.3a) eixo ) sistema ( massa s r  gdm T F r  T= × +∫  × + (4.3c)

4.1.4 A Primeira Lei da Termodinâmica

sistema dt dE W Q −  = _(4.4a)

∀

ρ

∫ 

=

∫ 

=

edm _∀ e d

E_{sistema massa(sistema) (sistema) (4.4b)}

gz 2 V u e 2 + + = (4.4c)

4.1.5 A Segunda Lei da Termodinâmica T Q dS ≥ δ Q T 1 dt dS sistema 

≥

(4.5a)

∀

ρ

∫ 

=

∫ 

=

sdm _∀ s d

S_{sistema massa(sistema) (sistema) (4.5b)}

4.2 A Relação entre as Derivadas do Sistema e a Formulação para Volume de Controle 4.2.2 A Interpretação Física A d V d t dt dN SC VC sistema ⋅ ηρ ∫  + ∀ ηρ ∫  ∂ ∂ = (4.11) 4.3 A Conservação da Massa A d V d t 0 ∫ _VC ρ ∀+∫ _SC ρ ⋅ ∂ ∂ = (4.13)

4.4 A Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial

A d V V d V t F F F _{s B} ∫ _VC ρ ∀+∫ _SC ρ ⋅ ∂ ∂ = + = (4.18)

4.5 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Retilínea A d V V d V t F F

F _{s B} ∫ _{VC xyz}ρ ∀+∫ _{SC xyz}ρ _xyz ⋅

∂ ∂ = + = (4.27)

 A d   xyz  V   xyz  V  SC  d   xyz  V  VC  t  d  rf  a VC  B F  s F         ⋅ ∫  + ∀ ∫  ∂ ∂ = ∀ ∫  − +  ρ   ρ  ρ  (4.34)

4.6 Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle sob Aceleração Arbitrária ( )

[

]

V d V V dA t d r  r  V 2 a F

F_{s B VC} _rf   _xyz      _{VC xyz SC xyz xyz}

⋅ ρ ∫  + ∀ ρ ∫  ∂ ∂ = ∀ ρ × ω + × ω × ω + × ω + ∫  − + (4.45)

4.7.2 Equação para Volume de Controle Rotativo

( ω× ) +ω× ρ ∀ × ω + × ω × ∫  − + ∀ ρ × ∫  + ×F r  g d T r  2 V r  r  d r  _{S VC eixo VC xyz} A d V V r  d V r 

t VC xyz SC xyz xyz

  ⋅ ρ × ∫  + ∀ ρ × ∫  ∂ ∂ = (4.53)

4.8.2 Equação do Volume de Controle

A d V gz 2 V p u d e t W W W Q 2 SC VC outros to cisalhamen S       ρ ⋅              + + υ + ∫  + ∀ ρ ∫  ∂ ∂ = − − − _(4.57)

4.9 A Segunda Lei da Termodinâmica

dA  A Q T  SC   A d  V  s SC  d  s VC  t  _                  ∫  ≥ ⋅ ∫  + ∀ ∫  ∂ ∂   1 .  ρ   ρ  (4.59)

CAPÍTULO 5

Introdução à Análise Diferencial dos Movimentos dos Fluidos

5.1 A CONSERVAÇÃO DA MASSA

5.1.1 Sistema de Coordenadas Retangulares 0 t z w x u = ∂ ρ ∂ + ∂ ρ ∂ + γ  ∂ ρυ ∂ + ∂ ρ ∂ (5.1a)

0 t V = ∂ ρ ∂ + ρ ⋅ ∇  (5.1b)

5.1.2 Sistema de Coordenadas Cilíndricas

(

)

(

)

(

)

0 t z V V r  1 r  V r  r  1 _{r  z} = ∂ ρ ∂ + ∂ ρ ∂ + θ ∂ ρ ∂ + ∂ ρ ∂ _θ (5.2)

5.3.1 Aceleração de uma Partícula Fluida num Campo de Velocidade

t V z V w y V x V u a Dt V D p ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ = ≡ (5.9) t u z u w y u x u u Dt Du a_xp ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ = = _(5.11a) t z w y x u Dt D a_yp ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ υ + ∂ υ ∂ = υ = _(5.11b) t w z w w y w x w u Dt Dw a_zp ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ = = _(5.11c) t V z V V r  V V r  V r  V V a _z r  r  2 r  r  r  p r  ∂ ∂ + ∂ ∂ + − θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ θ (5.12a) t V z V V z V V V r  V r  V V a _{p r}  r  _z ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ θ θ θ θ θ θ (5.12b) t V z V V V r  V r  V V a_{zp r}  z z _z z z ∂ ∂ + ∂ ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ = θ (5.12c)

5.3.2 Rotação dos Fluidos

z y x  jˆ kˆ iˆω + ω + ω = ω

                   ∂ ∂ − ∂ υ ∂ +            ∂ ∂ − ∂ ∂ +              ∂ υ ∂ − ∂ ∂ = ω + ω + ω = ω y u x kˆ x w z u  jˆ z y w iˆ 2 1 kˆ  jˆ iˆ _{x y z}  (5.13)

5.3.3 Deformação dos Fluidos

y u x dt d dt d dt d ∂ ∂ + ∂ υ ∂ = γ  − = β + α (5.19)

5.4 Equação da Quantidade de Movimento

      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ = = t V z V w y V x V u dm Dt V D dm F d  (5.22) dxdydz z y x g dF dF dF xx yx zx x x S x B x _           ∂ τ ∂ + ∂ τ ∂ + ∂ σ ∂ + ρ = + = _(5.23a) dxdydz z y x g dF dF dF_{y By Sy y} xy yy zy _            ∂ τ ∂ + ∂ σ ∂ + ∂ τ ∂ + ρ = + = _(5.23b) dxdydz z y x g dF dF dF xz yz zz z z S z B z _            ∂ σ ∂ + ∂ τ ∂ + ∂ τ ∂ + ρ = + = _(5.23c)

5.4.2 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento

             ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ = ∂ τ ∂ + ∂ τ ∂ + ∂ σ ∂ + ρ z u w y u x u u t u z y x g_x xx yx zx _(5.24a)              ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ υ + ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ ρ = ∂ τ ∂ + ∂ σ ∂ + ∂ τ ∂ + ρ z w y x u t z y x g xy yy zy y (5.24b)             ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ ∂ σ ∂ + ∂ τ ∂ + ∂ τ ∂ + ρ z w w y w x w u t w z y x g_z xz yz zz _(5.24c)

                 ∂ ∂ − ∂ ∂ µ ∂ ∂ +                    ∂ υ ∂ + ∂ ∂ µ ∂ ∂ +                  _{− ∇⋅} ∂ ∂ µ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ρ = ρ z u x w z x y u y V 3 2 x u 2 x x p g Dt Du x  (5.26a)                    ∂ ∂ − ∂ υ ∂ µ ∂ ∂ +                    ⋅ ∇ − ∂ υ ∂ µ ∂ ∂ +                    ∂ υ ∂ + ∂ ∂ µ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ρ = υ ρ y w z z V 3 2 y 2 y x y u x y p g Dt D y  (5.26b)                  _{− ∇⋅} ∂ ∂ µ ∂ ∂ +                    ∂ ∂ − ∂ υ ∂ µ ∂ ∂ +                  ∂ ∂ + ∂ ∂ µ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ρ = ρ V 3 2 z w 2 z y w z y z u x w x z p g Dt Dw z  (5.26c)               ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ + ∂ ∂ − ρ =              ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ x 2₂ 2₂ 2₂ z u y u x u x p g z u w y u x u u t u (5.27a)               ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ µ + ∂ ∂ − ρ =             ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ υ + ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ ρ _y 2₂ 2₂ 2₂ z y x y p g z w y x u t (5.27b)               ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ µ + ∂ ∂ − ρ =              ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ z 2₂ 2₂ 2₂ z w y w x w z p g z w w y w x w u t w (5.27c)

CAPÍTULO 6

6.1 Equação da Quantidade de Movimento para escoamento sem atrito : As Equações de Euler             ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ − ρ z u w y u x u u t u x p g_{x (6.1a)}              ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ υ + ∂ υ ∂ + ∂ υ ∂ ρ = ∂ ∂ − ρ z w y x u t y p g_{y (6.1b)}

             ∂ ∂ + ∂ ∂ υ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ = ∂ ∂ − ρ z w w y w x w u t w z p g_z (6.1c) Dt V D p g−∇ =ρ ρ (6.2)

(

V

)

V t V Dt V D p 1 z g   ∇ ⋅ + ∂ ∂ = = ∇ ρ − ∇ − _(6.3) r  V z V V V r  V r  V V t V a r  p 1 g 2 r  z r  r  r  r  r  r  θ _∂ − θ ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ ρ − (6.4a) r  V V z V V V r  V r  V V t V a p r  1 g_{θ θ} θ _r  θ θ θ _z θ + r  θ ∂ ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = θ ∂ ∂ ρ − (6.4b) z V V V r  V r  V V t V a z p 1 g_{z z} z _r  z z _z z ∂ ∂ + θ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ ρ − θ (6.4c)

6.2 As Equações de Euler em Coordenadas de Linhas de Corrente

s V V t V s z g s p 1 ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ρ − _(6.5a) R V n z g n p 1 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ρ (6.6a)

te tan cons gz 2 V p 2 = + + ρ (6.9)

6.3.3 Pressões Estática, de Estagnação e Dinâmica

2 V p 2 V p ₀2 2 0 ₊ ρ = + ρ ; onde : 2 0 V₀2 = 2 0 V 2 1 p p = + ρ (6.12)

CAPÍTULO 7

7.2 O Teorema dos PI de BUCKINGHAM

(

q ,q , ,q

)

0 g _{1 2}  _n

=

(

, , ,

)

0

G

π

₁

π

₂ 

π

_n−m

=

7.4 Grupos Adimensionais de Importância na Mecânica dos Fluidos

v D V D V Re = µ ρ = gL V Fr  = v VL VL Re = µ ρ = σ ρ = V L We 2 2 V 2 1 p Eu ρ ∆ = c V M =

7.5.2 Lei das Escalas com Parâmetros Múltiplos Dependentes 3 2 2 2 3 1 1 1 D Q D Q ω ω = _(7.3) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 D H D H ω ω = _(7.4) 5 2 3 2 2 2 5 1 3 1 1 1 D D ρ ω ω ρ ℘ = ℘ (7.5)

CAPÍTULO 8

Escoamento Viscoso, Incompressível, Interno

udA A 1 Área ∫  = ∇ μ ρVD 06 , 0 D L ≅ _(8.1)

8.2.1 Ambas as Placas Estacionárias                    −                       ∂ ∂ = a y a y x p 2 a u 2 2 μ (8.5) Vazão em Volume

(

y ay

)

dy x p 2 1 l Q a 2 0   −          ∂ ∂ ∫  = μ 3 a x p 12 1 l Q            ∂ ∂ − = μ (8.6b)

Vazão em Volume como Função da queda de Pressão

L  p a a L  p l  Q  µ   µ  12 3 3 12 1 ∆ − =     ∆− − = (8.6c)

8.2.2 Placa Superior Movendo-se com Velocidade Constante, U

                   −                       ∂ ∂ µ + = a y a y x p 2 a a Uy u 2 2 (8.8) Vazão em Volume dy  a _{y  ay}   x   p a Uy  l  Q ∫                   ₋            ∂ ∂ + = ₀ 2 2 1  µ 

                   −            ∂ ∂ µ = 2 2 R r  1 x p 4 R u _(8.12)

Vazão em Volume como Função da Queda de Pressão

L 128 pD L 8 pR L p 8 R Q 4 4 4 µ ∆ π = µ ∆ π =     ∆− µ π − = _(8.13c)

8.4 Distribuição de Tensão de Cisalhamento no Escoamento Inteiramente Desenvolvido em Tubos ' ' u dy u d υ ρ − µ = τ _(8.17) ' ' u dy u d _{− υ}  ν = ρ τ (8.18)

8.5 Perfis de Velocidade Turbulenta no Escoamento Inteiramente Desenvolvidos em Tubos + +

₌

 ν

=

=

yu y u u u * * (8.19) 0 , 5 yu ln 5 , 2 u u _* *

+

 ν

=

(8.20) n / 1 n / 1 R r  1 R y U u            ₋₋ =            = (8.22)

8.6.1 Coeficiente de Energia Cinética 2 A 3 V m dA V 

∫ 

ρ = α (8.25b) 8.6.2 Perda de Carga T l 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 _{gz h} 2 V p gz 2 V p =               + α + ρ −               + α + ρ (8.28) Escoamento Turbulento 2 V D L f  h 2 l = (8.32) Re 64 f _laminar  = (8.33)            ₊ − = _0,5 5 , 0 _{Re f}  51 , 2 7 , 3 D e log 0 , 2 f  1 (8.37a) 2 9 , 0 0 Re 74 , 5 7 , 3 D e log 25 , 0 f  −                  ₊ = (8.37

CAPÍTULO 9

9.2 Espessura da Camada - Limite dy  U  u  dy  U  u  ∫             − ≈ ∫ ∞            − = δ  δ  0 1 0 1 * (9.1)

9.3 Camada – Limite Laminar em Placas : A Solução Exata

x 2 w Re U 332 , 0 x U U 332 , 0 ρµ = ρ = τ _(9.14) x 2 w f  Re 664 , 0 U 2 1 C

=

ρ

τ

=

(9.15) 9.5.2 Escoamento Turbulento 7 1 7 1 y U u η =            δ = (9.24) 5 1 x 2 w f  Re 0594 , 0 U 2 1 C = ρ τ = (9.27)

9.5.3 Escoamento de Fluidos ao redor de Corpos Submersos

dA F d _{cisalhamen to} =τ_w A d F d _pressão =−ρ

9.7 Arrasto A V 2 1 F C 2 D D ρ ≡ (9.30) 9.8 Sustentação P 2 L L A V 2 1 F C ρ ≡ (9.38)