M : ( ( é um LVRPRUILVPR M -1 : ( ( também é um LVRPRUILVPR.

Å

Å

(

(

V

V

S

S

D

D

o

o

R

R

V

V

,

,

V

V

R

R

P

P

R

R

U

U

I

I

R

R

V

V

x

x

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

.

Dizemos que

(

e

(¶

são

LVRPRUIRV

se

H[LVWLUXPLVRPRUILVPR

M

:

( | (¶

e escrevemos,

(

!

(¶

x

x

Por exemplo,

o espaço dos vectores livres no plano é

LVRPRUIR

a

¸

,

porque podemos estabelecer um

LVRPRUILVPR

que, à extremidade de cada vector, faz corresponder

as respectivas coordenadas

[\

± ¸

.

x

x 3URSULHGDGH

:

Sejam

(

e

(¶

dois espaços vectoriais sobre

£

,

se

M

:

( | (¶

é um

LVRPRUILVPR

então

M

-1



:

(¶| (

também é um

LVRPRUILVPR

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

,

(¶

e

(¶¶

WUrVHVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

,

D

(

!

(

E

se

(

!

(¶

então

(¶

!

(

'HPRQVWUDomR

:

D

(

!

(

A

DSOLFDomRLGHQWLGDGH

 LG

:

( | (

que a todo o

X ± (

faz corresponder

LG

X X

é uma aplicação linear, injectiva e sobrejectiva,

logo

um

LVRPRUILVPR

.

E

se

(

!

(¶

então

(¶

!

(

Se existe um isomorfismo

M

:

( | (¶

então, pela propriedade anterior, a

DSOLFDomRLQYHUVD

M

-1



:

(¶| (

WDPEpPpXPLVRPRUILVPR

.

F

se

(

!

(¶

e

(¶

!

(¶¶

então

(

!

(¶¶

Se existe um isomorfismo

M

:

( | (¶

e um isomorfismo

\

:

(¶| (¶¶

então, a

DSOLFDomRFRPSRVWD

\ Ì M

:

( | (¶

é uma aplicação linear, injectiva e sobrejectiva,

logo

um

LVRPRUILVPR

.

x

x 3URSRVLomR

: Sendo

(

e

(¶

HVSDoRVYHFWRULDLVGHGLPHQVmRILQLWD

sobre

£

,

então,

(

!

(¶x

GLP

( 

GLP

(¶

.

x

x

x 3URSRVLomR

: Seja

(

um

HVSDoRYHFWRULDO

sobre

£

tal que

GLP

( Q

,

então,

(

!

£

Q

x

x

Por exemplo os

HVSDoRVYHFWRULDLV

0

(

¸

)

e

¸

VmRLVRPRUIRV

,

pois têm

GLPHQVmRILQLWD

e,

GLP

0

(

¸

)

 

GLP

¸

Podemos confirmar este resultado estabelecendo uma aplicação,

I

:

0

(

¸

)

| ¸

e provar que se trata de um

LVRPRUILVPR

.

Por exemplo a aplicação,

Assim, como o

Q~FOHR

de

I

é apenas o

YHFWRUQXOR

de

0

(

¸

),

podemos concluir que é um

PRQRPRUILVPR

e, tendo os dois espaços

D PHVPDGLPHQVmR

, podemos também concluir que é um

HSLPRUILVPR

.

Falta apenas

SURYDU

que

I

é mesmo

XPDDSOLFDomROLQHDU

...

x

x

Por exemplo os

HVSDoRVYHFWRULDLV

3

[

[

]

e

¸

VmRLVRPRUIRV

,

pois têm

GLPHQVmRILQLWD

e,

GLP

3

[

[

]

Q 

GLP

¸

Efectivamente a aplicação,

M

:

3

[

[

]

| ¸

D

[

 D

[ D

 D

 D

 D

é um

LVRPRUILVPR

de

3

[

[

]

em

¸

.

x

x

Mostre que os

HVSDoRVYHFWRULDLV

3

[

[

]

e

0

(

¸

)

VmRLVRPRUIRV

,

estabelecendo uma aplicação entre eles e provando que é um

LVRPRUILVPR

.

Å

Å

0

0

D

D

W

W

U

U

L

L

]

]

G

G

H

H

X

X

P

P

D

D

$

$

S

S

O

O

L

L

F

F

D

D

o

o

m

m

R

R

/

/

L

L

Q

Q

H

H

D

D

U

U

x

x

Nesta secção, todos os espaços vectoriais considerados têm

GLPHQVmRILQLWD

.

x

x

Sejam

(

e

(¶

espaços vectoriais sobre

£

tais que

GLP

( Q

e

GLP

(¶ S

,

sejam

)

H

 H

 H

uma

EDVHRUGHQDGD

de

(

)

H¶

 H¶

 H¶

uma

EDVHRUGHQDGD

de

(¶

e seja

M

:

( | (¶

uma

DSOLFDomROLQHDU

.

A

PDWUL]GDDSOLFDomROLQHDU

M

HPUHODomRjVEDVHV

)

e

)

é uma matriz

do

tipo

S

×

Q

, representada por

0M

)

 )

e definida por,

onde

FDGDFROXQD

L Q

é formada pelas

FRRUGHQDGDV

de

MH

na base

)

,

x

x

Por exemplo para a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M[\ [[±\\

,

para todo o

[\

∈

¸

consideremos as

EDVHVFDQyQLFDV

,

)¸

2





)¸

3



e calculemos a respectiva

PDWUL]

0M

)¸

 )¸

.

Determinando as

FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV

dos vectores da base

)¸

na

base

)¸

,

M 









)

_¸

M ±



±



±

)

_¸

e portanto,

x

x

Para a mesma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por,

M[\ [[±\\

,

para todo o

[\

∈

¸

consideremos agora as

EDVHV

,

)

±

de

¸

)

’



de

¸

e calculemos a respectiva

PDWUL]

0M

) )

’

.

Determinando as

FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV

dos vectores de

)

em

)

’,

M 







±



±)

’

M± ±±







±



±)

’

e portanto,

x

x

Por exemplo para a

DSOLFDomROLQHDU

I

:

¸

| ¸

definida por,

IDEF DE±F

,

para todo o

DEF

∈

¸

em relação às

EDVHV

,

)

±

de

¸

)

’



de

¸

calculemos a respectiva

0I

) )

’

,

PDWUL]

GDDSOLFDomROLQHDU

I

HP



UHODomRjVEDVHV

)

e

)¶

Determinando as

FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV

por

I

, dos vectores de

)

em

)

’

,

I ±



±



±)

’

I ±



±



±)

’

I± ±







)

’

e portanto,

x

x

Por exemplo para a

DSOLFDomROLQHDU

\

:

3

[

[

]

| ¸

definida por,

\D[

_{ E[F EE±DD}

para todo o

D[

 E[F± 3

[

[

].

em relação às

EDVHV

,

)

[[

base canónica de

3

[

[

]

)





de

¸

calculemos a respectiva

0\

)

 )

,

PDWUL]

GD DSOLFDomROLQHDU

\

HP



UHODomRjVEDVHV

)

e

)

Determinando as

FRRUGHQDGDVGDVLPDJHQV

por

\

, dos polinómios de

)

na base

)

,

\ 







)

\[ 



±



±)

\[

 _{±}



±±



±±)

e portanto,

x

x

Dada a

DSOLFDomROLQHDU

T

:

3

[

[

]

| 3

[

[

]

definida por,

TD[

_{ E[F D±E[F}

para todo o

D[

 E[F± 3

[

[

].

e as

EDVHV

,

)

[[

± 

de

3

[

[

]

)·

[±[

de

3

[

[

]

calcule a respectiva

0T

) )·

,

PDWUL]

GD DSOLFDomROLQHDU

T

HP



UHODomRjVEDVHV

)

e

)·



x

x

Sendo dadas uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

( | (¶

e

GXDVEDVHV

(uma de

cada espaço vectorial) sabemos como construir

XPD~QLFDPDWUL]

, que

FDUDFWHUL]DHVVDDSOLFDomR

.

x

x

Deste modo,

D DSOLFDomROLQHDUILFDFRPSOHWDPHQWHGHILQLGD

se for conhecida

apenas a

PDWUL]

e respectivas

EDVHV

.

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

HVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

e sejam

)

e

)

EDVHVRUGHQDGDV

de

(

e de

(¶

respectivamente.

e

seja

M

:

( | (¶

uma

DSOLFDomROLQHDU

tal que,

$

0M )

 )

Se as

FRRUGHQDGDVGHXPTXDOTXHUYHFWRU

X ± (

,

relativamente à base

)

formarem a

PDWUL]FROXQD

;

,

então a

PDWUL]FROXQDSURGXWR

$ ;

é formada pelas

FRRUGHQDGDVGH

MX± (¶

relativamente à base

)

.

x

x

Retomemos o exemplo da página 54.

Mas desta vez a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

é

GHILQLGDSHODPDWUL]

,

HP UHODomRjVEDVHV

,

)

±

de

¸

)

’



de

¸

Pretendemos determinar

MX

, a

LPDJHPGRYHFWRU

X ±±

.

Comecemos por calcular as

FRRUGHQDGDVGRYHFWRUQDEDVH

)

.

ou seja,

D 

( ... )

D 



DE ±



E ±



DE±F ± 

F ±

e assim,

±± ±±±



±±)

;

Pela proposição anterior, para determinar as coordenadas de

MX



na base

)·

,

basta

FDOFXODURSURGXWR

$;

,

Portanto,

M±± ±)·

Por fim, podemos calcular as coordenadas de

MX

na

EDVHFDQyQLFD

de

¸

,

M±± ±

x

x

Retomemos o exemplo da página 53,

com

a

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

é

GHILQLGDSHODPDWUL]

,





HPUHODomRjVEDVHV

,

)

±

de

¸

)

’



de

¸

Determinemos

M

e também a

H[SUHVVmRJHUDO

de

M[\

,

SDUDWRGR

o

[\

∈

¸

Calculando as

FRRUGHQDGDVGRYHFWRU



QD EDVH

)

.

 DE±

ou seja,

D ±E 

( ... )

D 



DE 



E ±

e assim,

 ±)

;

o que nos permite determinar as coordenadas de

M



na base

)·

,

e portanto,

M )·







)

_¸

Para encontrar a

H[SUHVVmRJHUDO

de

M[\

,

SDUDWRGR

o

[\

∈

¸

o método é análogo. Começamos por,

calcular

as

FRRUGHQDGDVGRYHFWRUDUELWUiULR

[\

QD EDVH

)

.

[\ DE±

ou seja,

D ±E [

( ... )

D \[



DE \



E \±[

e assim,

[\ \[\±[)

;

Para determinar as coordenadas de

M[\



na base

)·

,

EDVWDFDOFXODURSURGXWR

$;

,

Portanto,

M[\ \[±\[\)·

que na

EDVHFDQyQLFD

de

¸

,

Está assim encontrada a

H[SUHVVmRJHUDO

,

M[\ [[±\\

SDUDWRGR

o

[\

∈

¸

&RPRDOWHUQDWLYD

, partido das

FRRUGHQDGDVGH

[\

QD EDVH

)

,

[\ \[\±[)

e conhecendo a

EDVH

)

±

, podemos escrever,

[\ \[\±[±

e, como

M

é uma

DSOLFDomROLQHDU

,

M[\ \[M\±[M±

Para calcular

M

e

M±

,

recorremos à própria definição da

PDWUL]

0M

) )

’

.

M ±





M± ±



±±

Portanto,

M[\ \[\±[±±

Å

Å

,

,

V

V

R

R

P

P

R

R

U

U

I

I

L

L

V

V

P

P

R

R

H

H

Q

Q

W

W

U

U

H

H

4

4

(

(





(

(

¶

¶

H

H

0

0

_Sl

_S

_l

_Q

_Q

¤

¤

x

x

Sejam

(

e

(¶

espaços vectoriais sobre

£

tais que

GLP

( Q

e

GLP

(¶ S

.

4

((¶

o conjunto das

DSOLFDo}HVOLQHDUHV

de

(

em

(¶

0

(

£

)

o conjunto das

PDWUL]HV

do tipo

S

×

Q

com elementos de

£

x

x

Sabemos que,

4

((¶

munido das operações usuais de adição de aplicações e

multiplicação por um escalar, é um

HVSDoRYHFWRULDO

sobre

£

0

(

£

)

munido das operações usuais de adição de matrizes e

multiplicação por um escalar, é um

HVSDoRYHFWRULDO

sobre

£

x

x

Já vimos que, a partir da expressão geral de uma aplicação linear podemos

construir a respectiva matriz, bem como obter a aplicação linear a partir da

matriz.

x

x

O resultado seguinte garante-nos que,

4

((¶

!

0

(

£

)

x

x 3URSRVLomR

: Sejam

(

e

(¶

HVSDoRVYHFWRULDLV

sobre

£

tais que

GLP

( Q

e

GLP

(¶ S

sejam

)

e

)

EDVHVRUGHQDGDV

de

(

e de

(¶

respectivamente

e seja

T

:

4

((¶

|

0

(

£

)

M  TM 

0M )

 )

Å

Å

(

(

[

[

H

H

P

P

S

S

O

O

R

R

V

V

G

G

H

H

D

D

S

S

O

O

L

L

F

F

D

D

o

o

}

}

H

H

V

V

O

O

L

L

Q

Q

H

H

D

D

U

U

H

H

V

V

H

H

P

P

¹

¹

x

x

Comecemos por considerar o

TXDGUDGRXQLWiULR

,

delimitado por,

 ± ¸

x

x

Consideremos também uma

DSOLFDomROLQHDU

M

:

¸

| ¸

definida por uma matriz

$

0M

)¸

 )¸

,

x

x

Calculando as

LPDJHQV

por

M

dos quatro pontos que delimitam o quadrado

unitário,

obtemos um quadrilátero, delimitado por,



M 



M DF

x

x

Tratando-se de uma

DSOLFDomROLQHDU

obviamente que

M 

.

x

x

As duas imagens,

M DF

M EG

são as coordenadas das

LPDJHQVGRVHOHPHQWRVGDEDVHFDQyQLFD

de

¸

,

portanto as

GXDVFROXQDV

da matriz

$

.

x

x

O cálculo da imagem

M DEFG

equivale à

VRPD

,

DFEG DEFG

x

x

A

LPDJHPSRU

M

do

TXDGUDGRXQLWiULR

é portanto um

SDUDOHORJUDPR

,

x

x

Calculando o

GHWHUPLQDQWH

da matriz

$

que caracteriza a

DSOLFDomROLQHDU

,

x

x

Analisemos alguns casos particulares de transformações lineares em

¸

, com

diversas aplicações práticas.

x

x

A

URWDomRSRUXPkQJXOR

T

, no sentido directo é definida pela matriz,

Por exemplo, para

T

S

 

,

M

 ¹ ¹ 



M

 ±¹ ¹ 



M

 ¹ 

Naturalmente que a

iUHD

do quadrado não se altera pois,

x

x

Para alterar a área do quadrado, utilizamos a matriz de

DPSOLDomRUHGXomR

por um

IDFWRU

N

,

x

x

A matriz de

FRPSUHVVmR

por um factor

N

é definida por,

Por exemplo para

N 

,

M

 

M

 



M

 

o quadrado unitário é comprimido numa das direcções, mantendo a área.

x

x

A matriz de

FLVDOKDPHQWR

por um factor

N

é definida por,

Verifique que,



M

 

M

 N



M

 N