Instrumentação e Técnicas de Medida UFRJ, 2017/2

Sumário

1 Aplicações da instrumentação...1

2 Configurações e descrições funcionais...2

2.1 Elementos funcionais...2

2.2 Transdutores ativos e passivos...3

2.3 Modos de operação analógico e digital...4

2.4 Modos de nulo e de deflexão...4

2.5 Entradas e saídas...4

3 Características de desempenho estático e dinâmico...1

3.1 Características estáticas...1

3.1.1 Calibração estática...1

3.1.2 Erros aleatórios e sistemáticos...2

3.1.3 Exatidão...3 3.1.4 Precisão...3 3.1.5 Deriva...3 3.1.6 Faixa...3 3.1.7 Faixa dinâmica...4 3.1.8 Resolução...4 3.1.9 Limiar...4 3.1.10 Sensibilidade estática...4 3.1.11 Linearidade...4

3.1.12 Histerese e outras não linearidades...5

3.1.13 Ajustes...6

3.1.14 Exemplo sobre calibração estática...7

3.2 Características dinâmicas...8

3.2.1 Sistemas lineares no domínio do tempo...9

3.2.2 Resposta ao degrau...9

3.2.3 Resposta em frequência...10

3.2.4 Exemplos de sistemas de ordem zero, um e dois...11

3.3 Outras características...17

3.4 Aspectos numéricos...18

3.4.1 Algarismos significativos...18

3.4.2 Representação de incertezas...19

3.4.3 Cálculo e propagação de incertezas...19

3.4.4 Erro máximo...20 3.5 Exercícios...21 4 Transdutores e Sensores...28 4.1 Transdutores de temperatura...28 4.2 Transdutores de pressão...29 4.3 Transdutores de força...33 4.4 Transdutores de vazão...34 4.5 Transdutores de posição...38

4.6 Transdutores de inclinação, aceleração e giroscópios...42

4.7 Transdutores de nível...43

5 Transdutores resistivos...47

5.1 Potenciômetro...47

5.2 Strain gauge – extensômetro...51

5.3 Detector resistivo de temperatura ou termo resistor (RTD)...57

5.4 Termistores...61

5.5 Outros transdutores resistivos...67

5.6 Eletrônica para transdutores resistivos...68

6 Amplificador operacional...69

6.1 Introdução...69

6.2 Símbolo e Modelo...71

6.3 Amplificador inversor...73

6.4 Amplificador não-inversor...77

6.5 Amplificador somador inversor...78

6.6 Amplificador diferencial ou subtrator...79

6.7 Amplificador de instrumentação...83

6.8 Amplificador com realimentação ativa...86

6.9 Amplificador diferencial completo...87

6.10 Considerações práticas...88

7 Circuitos condicionadores para transdutores resistivos...91

7.1 Medidas de resistência...91

7.2 Circuitos em ponte de Wheatstone...92

7.3 Conversores tensão corrente...96

7.3.1 Outras topologias...97

7.4 Referências de tensão e corrente...100

7.5 Medições de resistência em ponte de Wheatstone...101

7.5.1 Instrumentação para medidas remotas...105

7.5.2 Problemas com offset...107

7.6 Amplificador chopper e auto-zero...108

7.7 Outros circuitos úteis...110

7.7.1 Amplificador de ganho programável (PGA)...110

7.7.2 Potenciômetro digital...110

7.7.3 Amplificador operacional de transcondutância (OTA)...111

7.7.4 Circuitos específicos para pontes de Wheatstone...114

7.8 Exercícios...116

8 Sistemas de aquisição de sinais e controle...126

8.1 Digitalização e frequência de amostragem...126

8.1.1 Exercício...134

8.2 Arquiteturas de conversores DA...134

8.2.1 Reconstrutores...135

8.2.2 Conversores integrados...135

8.2.3 Outros tipos de conversor DA...136

8.3 Multiplexadores...137

8.3.1 Chaves Analógicas...138

8.4 Circuito amostrador – sample and hold...138

8.4.1 Modos de operação...140

8.5 Arquitetura de conversores AD...142

8.5.1 Conversor flash...142

8.5.2 Conversor por aproximação sucessiva...143

8.5.4 Conversores sigma-delta...145

8.5.5 Dupla rampa...146

8.5.6 Conversores por largura de pulso ou frequência...148

8.6 Exercícios...148

9 Componentes Passivos...150

9.1 Resistores e potenciômetros...150

9.1.1 Efeitos térmicos...151

9.1.2 Elementos parasitas...151

9.1.3 Falhas, variação com o tempo e ruído...152

9.1.4 Potenciômetros...152

9.2 Indutores...153

9.3 Capacitores...153

9.3.1 Absorção Dielétrica...153

9.3.2 Elementos parasitas (Rp, ESR e ESL)...155

9.3.3 Tolerância...156

10 Interferência, blindagem e aterramento...158

10.1 Formas de propagação...158 10.2 Aterramento...161 10.2.1 Laços de terra...164 10.3 Cabeamento...168 10.3.1 Acoplamento capacitivo...168 10.3.2 Acoplamento indutivo...169

10.3.3 Ruídos em circuitos de alta frequência...173

10.4 Gabinetes...174

10.5 Peças...175

1 Aplicações da instrumentação

A instrumentação trata do uso de instrumentos de medida para, basicamente, três tipos de aplicações: O monitoramento de processos e operações; o controle de processos e operações, e a análise experimental. No monitoramento estamos interessados apenas na medida de diferentes grandezas físicas. No controle, por outro lado, estamos interessados em medir grandezas para fechar uma malha de controle tal qual em sistemas lineares. Também pode acontecer de estarmos estudando problemas que não tenham uma teoria bem defnida para explicá-lo, neste caso simulações e experimentos devem andar de mãos dadas para tentar solucionar o problema proposto. A compreensão sobre o desenho e a concepção dos experimentos também é de fundamental importância para que se consiga manter sobre controle os efeitos indesejados.

No mundo atual avaliamos, muitas vezes, que a solução de todos os problemas passa por uma análise computacional e que estes sistemas devem ser os mais efcientes. De um modo geral as pessoas já se convenceram que, no futuro, os computadores poderão resolver todos os problemas existentes. Os computadores, entretanto, não costumam ser os elementos críticos para a maioria dos problemas existentes e sim os atuadores ou sensores capazes de integrá-los ao mundo real.

De qualquer forma, o uso inteligente da instrumentação sempre ira depender do nosso conhecimento sobre o assunto, dos materiais disponíveis, e de qual desempenho cada solução proposta pode apresentar. Novos equipamentos estão sendo desenvolvidos a cada dia, mas os conceitos e ideias básicas de vários sistemas de medida tem sido usadas com sucesso e continuarão assim por muitos anos ainda. Estudá-los é de grande valia para entender como funcionam e como são aplicados o que possibilitará estendê-los a outras aplicações.

2 Conffurações e descrições funcionais

2.1 Elementos funcionais

É possível e desejável descrever a operação e o desempenho de instrumentos de medida e equipamentos de forma generalizada. A operação normalmente é descrita em termos de elementos funcionais enquanto o desempenho em termos de características estáticas e dinâmicas. Antes de mais nada, entretanto, é importante deixar claro alguns conceitos aparentemente simples mas que podem gerar confusão. Instrumento de medida, por exemplo, e defnido pelo Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) como o “dispositivo utilizado para realizar medições, individualmente ou associado a um ou mais dispositivos suplementares” enquanto que um sistema de medição corresponde a um ou mais instrumentos de medição e seus insumos. Já uma cadeia de medição é uma série de elementos de um sistema de medição que formam um caminho único desde a entrada até a saída do instrumento, como na Figura 2.1.

A B

C D

E

m

Figura 2.1: Cadeia de medição. m) Mensurando; A) Elemento sensor primário; B) Elemento conversor de variável; C) Elemento de manipulação de variável; D) Elemento de transmissão de

dados; E) Armazenamento ou exibição.

O elemento sensor primário é aquele que primeiro recebe energia do meio e produz uma saída (sinal) que varia em função da quantidade a ser medida (mensurando). Em metrologia este elemento é chamado de sensor sendo defnido como “o elemento de um sistema de medição que é diretamente afetado por um fenômeno, corpo ou substância que contém a grandeza a ser medida.” (VIM). Observe que o elemento primário sempre retira energia do meio. O sensor ideal é aquele que elimina este efeito de carga e não infuencia sobre o que se deseja medir. Adicionalmente ele deve ser afetado apenas pelo mensurando desejado. A saída deste sensor primário sempre é uma variável física como deslocamento ou tensão. Algumas vezes é necessário transformar esta variável em outra mais fácil de ser tratada ou manipulada. Esta é a função do elemento conversor de variável. É interessante notar que nem todos os instrumentos incluem este bloco e outros incluem mais de uma transformação de variáveis. Também é importante dizer que algumas vezes um único elemento físico é responsável por um ou mais blocos deste diagrama.

Na sequência existe o elemento de manipulação da variável relacionada a grandeza que se deseja medir. Esta manipulação pode ser um simples amplifcador ou um complexo sistema envolvendo não apenas elementos eletrônicos. Se o sinal a ser manipulado é elétrico normalmente este bloco é chamado de condicionador de sinais, circuito de interface ou front end e as operações de mudança de nível, amplifcação, fltragem, casamento de impedâncias, modulação e demodulação são as mais comuns. Assim como os demais, este elemento não necessariamente se apresenta nesta exata posição do diagrama, podendo ser necessário seu aparecimento em diferentes posições.

Por fm existem os elementos de transmissão de dados que podem ser sistemas de exibição para o operador, telemetria ou simples alavancas para mover um ponteiro. Também podem ser sistemas para armazenar os dados obtidos permitindo uma análise ou relatório posterior.

É importante observar que todos os instrumentos de medição são criados para operarem em uma faixa de valores sendo que o seu máximo costuma ser chamado de valor nominal. O valor nominal, na verdade, é mais do que isso, ele corresponde ao valor da grandeza que serve de guia para a utilização apropriada do instrumento. Assim ele pode ser o valor máximo de medida de um voltímetro ou de uma proveta mas também pode ser o valor de um resistor ou da sua potência máxima.

2.2 Transdutores ativos e passivos

Os transdutores, “dispositivos utilizados em medição e que fornecem uma grandeza de saída que guarda uma relação especifcada com uma grandeza de entrada” (VIM), podem ser ativos ou passivos. Como este texto foi criado a partir de diferentes fontes podem aparecer nele duas defnições diferentes para transdutores ativos e passivos.

Transdutores passivos serão aqueles cuja energia para seu funcionamento é fornecida total ou quase que totalmente pelo sinal de entrada. Por outro lado um transdutor ativo é aquele que uma fonte auxiliar fornece a maior parte da energia necessária para o funcionamento do transdutor. Esta defnição pode gerar algumas confusões. Uma chave, por exemplo, pode ser um transdutor ativo uma vez que a energia para ligar ou desligar o restante do circuito vem de uma fonte externa e não da chave ou do objeto que ativou a chave. Amplifcadores são elementos naturalmente ativos pois a energia na saída do amplifcador não vem da fonte de sinal mas sim da fonte de energia. Assim um transdutor resistivo pode ser considerado como ativo, uma vez que ele precisa ser alimentado por fontes de tensão ou corrente para resultar em uma tensão de saída. Neste caso a energia na saída do transdutor não é fornecida por ele mas sim pela fonte.

Um transdutor passivo, por outro lado, é aquele que provê sua própria energia, ou a deriva do próprio fenômeno que está sendo medido. Um exemplo poderia ser um termopar, normalmente utilizado para medir temperatura, uma vez que a saída do transdutor é uma tensão proporcional a uma diferença de temperatura.

Atenção especial deve ser dada a estas defnições pois elas podem ser utilizadas com sentidos diferentes em diferentes bibliografas Um sentido mais eletrônico, por exemplo, é comumente atribuído a elas e, neste caso, resistores e chaves seriam transdutores passivos. Os próprios termos, sensor e transdutor são usados com sentidos diferentes em diferentes textos e até mesmo em dicionários. Todas estas diferenças existem pois a instrumentação é usada e estudada por diversas áreas com jargões diferentes, mas mesmo restringindo a área a evolução da instrumentação ao longo dos anos levou a mudanças nos conceitos e defnições para torná-los mais claros e menos ambíguos. Neste texto, de um modo geral, os termos sensores e transdutores serão usados de forma indistinta, mas se você tiver trabalhando com metrologia, não cometa este sacrilégio! Recomenda-se ainda que, em textos escritos, defna-se cada termo logo após o seu uso inicial, ou que seja citada uma referência para o signifcado dado a cada termo, neste caso recomenda-se o VIM do ano vigente.

2.3 Modos de operação analófico e difital

Os instrumentos de medida podem funcionar em modo digital ou analógico. Normalmente o conceito de analógico implica na medida contínua enquanto que sistemas digitais utilizam quantização do que se mede. Esta quantização, entretanto, não deve ser signifcativa para não afetar a exatidão (desvio entre o valor considerado verdadeiro e o valor medido – veja defnição na seção 3.1.3) do equipamento mas deve ser usada como uma característica de imunidade a ruído. A limitação na exatidão geralmente está associada as porções analógicas e ao conversor A/D.

2.4 Modos de nulo e de defexão

Instrumentos de medida que funcionam no modo de defexão apresentam uma saída que muda proporcionalmente com mudanças na entrada. Classicamente são instrumentos com ponteiros que apresentam defexão em virtude de uma força que se opõe a um dispositivo de mola, por exemplo. Instrumentos que operam com nulo necessitam de uma realimentação (manual ou automática) para equilibrar a saída, ou seja, manter os ponteiros ou indicadores em uma posição de equilíbrio ou zero. Utilizam um sensor de equilíbrio entre uma quantidade desconhecida e uma quantidade padrão. Em geral possui maior exatidão e sensibilidade (razão entre a variação de saída e a variação correspondente de entrada – veja defnição na seção 3.1.10) mas uma pobre resposta dinâmica. Equipamentos de nulo costumam ser muito exatos porém costumam apresentar pior resposta temporal que os instrumentos de defexão.

2.5 Entradas e saídas

O instrumento ideal é aquele que responde a um único tipo de estímulo, ou seja, não é infuenciado por variáveis distintas daquelas que se deseja medir. Este instrumento ideal não existe e sempre teremos que conviver com entradas que interferem diretamente na saída ou que modifcam a função de transferência do instrumento (Figura 2.2).

+ Interferência

Sinal

Modifcador Saída

Figura 2.2: Entradas e saídas.

Entradas que interferem diretamente na saída podem ser, por exemplo, vibrações ou inclinações em equipamentos mecânicos ou com partes hidráulicas ou ainda o campo de 60 Hz gerado pelas linhas de energia e que induzem tensões em diferentes elementos alterando diretamente a saída do equipamento. Entradas que modifcam funções de transferência podem ser, por exemplo, a temperatura, alterando as dimensões de um equipamento mecânico ou valores

de um divisor resistivo ou a saída de um amplifcador, ou variações na fonte de alimentação do equipamento. Estas perturbações indesejadas no sinal (na entrada ou saída), quando aleatórias, são chamadas de ruído. Neste contexto o ruído não carrega informação enquanto que o sinal sim.

Para resolver este problema ou minimizar sua infuência podemos buscar sensores ou transdutores que respondam a um único tipo de estímulo e sejam mais insensíveis a interferências e as variáveis modifcadoras. Isto é difícil de obter então outras estratégias normalmente são empregadas. As principais estratégias são a realimentação com alto ganho de malha, como nos casos de servo mecanismos, correções matemáticas da saída a partir de estimativas de como as interferências e os modifcadores afetam a saída do equipamento, fltragens e a inclusão de outros sensores que medem as interferências e os modifcadores e os cancelam na saída do equipamento.

3 Características de desempenho estático e dinâmico

3.1 Características estáticas

3.1.1 Calibração estática

As características estáticas de um equipamento, aquelas que dizem respeito a resposta do equipamento a entradas contínuas de frequência zero, são obtidas através de um procedimento chamado calibração estática. Este procedimento consiste em apresentar, ao instrumento, diferentes valores das grandezas desejadas mantendo constante as entradas modifcadoras e as interferências. A relação entre as entradas contínuas e suas respectivas saídas é chamada de calibração estática. Este procedimento pode ser repetido várias vezes para cada entrada desejada. A calibração então, pode ser apresentada como uma curva, uma equação ou uma tabela ou ainda como uma família delas.

Apesar de a defnição acima exigir que todas as variáveis modifcadoras e de interferência sejam mantidas constantes durante o processo de calibração, isto é impossível de se obter na prática. Também não é possível garantir um valor verdadeiro para a grandeza que se deseja medir. Uma defnição mais verdadeira acerca da calibração é dada pelo VIM. No VIM 2012 a calibração é defnida como a “operação que estabelece, sob condições especifcadas, numa primeira etapa, uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões e as indicações correspondentes com as incertezas associadas; numa segunda etapa, utiliza esta informação para estabelecer uma relação visando a obtenção dum resultado de medição a partir duma indicação.” Desta forma o uso da incerteza contorna os problemas práticos apresentados.

O uso da incerteza na calibração de equipamentos é relativamente nova. A abordagem tradicional, baseada em erro (diferença) entre o valor medido e o valor verdadeiro da grandeza, defnia que existiam erros aleatórios e sistemáticos (seção 3.1.2), mas estes erros deviam ser tratados diferentemente e não há regras para determinar a combinação destes erros (na verdade eles eram tratados da mesma forma como agora, porém as defnições atuais são mais consistentes e menos sujeitas a má interpretação). Na abordagem moderna o conceito de erro (normalmente impossível de ser determinado, pois depende do valor real, verdadeiro, da grandeza) foi substituído pelo de incerteza. Na abordagem da incerteza o processo é tratado estatisticamente e dois Tipos de incerteza são defnidos, a incerteza do Tipo A e a incerteza do Tipo B. A incerteza do Tipo A é avaliada de forma estatística (medidas repetidas) e a incerteza do Tipo B é avaliada de outras formas (uma informação de erro máximo, ou associado a uma leitura entre duas marcações de uma escala, por exemplo), mas ambas são tratadas matematicamente pela teoria da probabilidade (transformadas em desvio padrão). Assim, o resultado total pode ser expresso como um desvio padrão (incerteza padrão). Desta forma a incerteza é um parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a grandeza que se deseja medir. Convém salientar que não existe relação entre erro aleatório e a incerteza do Tipo A nem entre o erro sistemático e a incerteza do Tipo B.

Mais detalhes sobre este tipo de abordagem podem ser obtidos no Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM).

3.1.2 Erros aleatórios e sistemáticos

O erro de medição é a diferença entre o valor medido e um valor de referência. Se este valor de referência corresponde ao valor verdadeiro do mensurando então o erro (verdadeiro) é desconhecido, pois o valor verdadeiro nunca poderá ser defnido. Se o valor de referência corresponde ao valor de um padrão de medição ou um valor convencional (uma constante, como a aceleração da gravidade, uma equação teórica…) então o erro pode ser determinado.

Em medidas repetidas a parcela do erro que permanece contante é chamada de erro sistemático e aquela que varia de forma imprevisível é chamada de erro aleatório. O erro aleatório é aquele devido a causas desconhecidas que ocorrem mesmo que todos os erros sistemáticos tenham sido levados em conta. Esses erros têm características estatísticas e só assim podem ser considerados.

Já os erros sistemáticos correspondem a erros previsíveis mas que não se devem a um uso inadequado dos instrumentos. Nesta família de erros podemos listar os erros instrumentais (equipamento não calibrado, danifcado…), erros característicos do instrumento (diferença entre a curva ideal e a curva real de calibração…), erros dinâmicos (caso um equipamento seja calibrado em condições estáticas e usado em medidas dinâmicas, tempo de resposta inadequado, resposta em frequência, distorções de amplitude e fase…), e erros ambientais (aqueles derivados do ambiente onde o sistema de medição é utilizado como temperatura, pressão, vibrações, choques, altitude…). A presença de erros sistemáticos pode ser descoberta realizando a medida com diferentes dispositivos, diferentes métodos, mudança nas condições de medida e até mesmo trocando o operador. Os termos tendência (bias) são comuns para designar a estimativa de um erro sistemático.

Além destes, também nos deparamos com erros grosseiros devidos ao uso inadequado do instrumento como erros de leitura, erros de cálculo e registro de resultados e erros de inserção (aqueles onde o instrumento é inserido de forma incorreta no local da medição, como por exemplo o uso de um voltímetro com impedância de entrada da mesma ordem de grandeza dos resistores sobre os quais se deseja medir a tensão) ou erros de aplicação (causados pelo operador, tais como o fechamento de um sensor de pressão com bolhas de ar em seu interior). Estes erros devem ser evitados a qualquer custo.

Informações sobre erro podem ser fornecidas na forma absoluta, relativa ou ambas. Qando apenas uma informação de erro absoluto, ou o erro relativo a um valor fxo, é fornecida este costuma ser o erro máximo apresentado pelo dispositivo. Este valor pode representar um erro proporcionalmente pequeno quando estamos realizando medidas próximas do valor nominal do dispositivo, mas proporcionalmente elevado quando a medida é feita para valores pequenos. Por exemplo, se um dispositivo pode medir até 100 N com erro de 0,1% (0,1 N) ele pode errar 100% quando medir coisas da ordem de 0,1 N. Se o erro for apresentado de forma relativa ao valor que está sendo medido o dispositivo de medida deve ser capaz de perceber variações de entrada cada vez menores quando estamos medindo valores baixos da grandeza. Por exemplo, se um dispositivo apresenta erro de 0,1% do valor medido ele pode errar 0,1 N quando medir 100 N ou 0,00011 N se estiver medindo 0,1 N. No primeiro exemplo fca claro como é ruim fazer medidas longe do valor nominal do dispositivo e o segundo exemplo mostra que quando a medida se aproximar de zero as incertezas também devem zerar, o que é impossível. Alternativamente o erro de alguns dispositivos é fornecido com um valor absoluto e outro relativo. Neste caso ou o erro total é a soma dos dois erros em cada valor medido ou o maior erro é usado.

3.1.3 Exatidão

Grau de concordância entre o valor medido e o valor verdadeiro de um mensurando. A exatidão (accuracy) refete um comportamento de tendência central mas não é uma grandeza e, portanto, não pode ser quantifcada numericamente. Recentemente passou a se adotar também o termo “veracidade de medição” como sendo o grau de concordância entre a média de infnitos valores medidos e o valor de referência (observe que veracidade de medição é diferente de exatidão), mas também não pode ser quantifcada. A exatidão e a veracidade de medição estão ligadas ao erro sistemático mas não ao erro aleatório.

Nos catálogos dos fabricantes de sensores, transdutores e equipamentos, assim como na norma IEC 612298-2 a exatidão (ou inexatidão) é defnida como o erro máximo entre o valor verdadeiro e o valor medido. Nela são incluídos os erros relacionados a linearidade (seção 3.1.11) e a histerese (seção 3.1.12) entre outros. Observa-se, no exemplo da seção 3.1.14, que a exatidão é obtida pela diferença entre o maior erro positivo e o maior erro negativo, mesmo que estes tenham sido obtidos em pontos diferentes da curva.

Muitas vezes a medida de erro é dada de forma percentual calculada com relação ao valor medido, valor do fundo de escala ou faixa dinâmica (seção 3.1.7). Este último é o recomendado pela IEC 612298-2 mas, mesmo para a faixa dinâmica, existem variantes (faixa dinâmica de saída ideal ou faixa dinâmica de entrada nominal).

3.1.4 Precisão

O conceito de precisão refere-se ao grau de concordância de uma medição realizada diversas vezes em condições de repetibilidade (mesmo procedimento, operadores, sistema de medição, condições de operação e local onde são realizadas medidas repetidas de um objeto num curto espaço de tempo) ou reprodutibilidade (diferentes procedimentos, operadores, sistema de medição, condições de operação e local onde são realizadas medidas repetidas do mesmo objeto). A precisão é uma medida de dispersão e geralmente é expressa como um desvio padrão, variância ou coefciente de variação. A precisão está ligada a um erro aleatório.

3.1.5 Deriva

A deriva ou drif corresponde a variação de um determinado valor ao longo do tempo e ocorre em função de características específcas de cada dispositivo. Também é possível especifcar esta deriva em função de alguma outra variável específca como a temperatura.

3.1.6 Faixa

A faixa, ou, segundo o VIM, intervalo de medição (range), diz respeito aos valores máximo e mínimo do parâmetro de entrada que podem ser medidos. Para um dado sensor de pressão, por exemplo, a faixa de operação pode ser de –60 a +400 mmHg. Não existe a necessidade da faixa incluir valores negativos e positivos, ser simétrica, ou englobar o zero. De qualquer forma a faixa é sempre informada como um intervalo de valores.

Em instrumentos completos, onde a saída já é calibrada (a saída é idealmente igual à entrada), a faixa é estipulada com relação a saída. Com relação a sensores e transdutores normalmente o interesse é a grandeza que se deseja medir, ou seja, a entrada. Mesmo assim em alguns contextos o termo faixa, ou range, se refere apenas a um intervalo de valores independente deles serem entrada ou saída, ou ainda, variáveis modifcadoras, como no caso da faixa de

3.1.7 Faixa dinâmica

A faixa dinâmica, formalmente conhecida por amplitude de medição (span), é um escalar que indica a amplitude do intervalo de medição. Assim, se um sensor tem faixa de –60 a +400 mmHg ele apresenta uma faixa dinâmica de 460 mmHg.

Assim como ocorre para a defnição de faixa, a faixa dinâmica é estipulada com relação a saída dos equipamentos calibrados (entrada e saída com a mesma unidade) e com relação a grandeza que se deseja medir, para o caso dos sensores e transdutores. O termo faixa dinâmica, ou span, também pode ser utilizado apenas para indicar a variação máxima de entrada, saída ou variáveis modifcadores. Qando a faixa dinâmica for utilizada para fazer normalizações, por exemplo, como no cálculo da linearidade ou histerese, emprega-se a faixa dinâmica da grandeza onde é calculado o erro (normalmente na saída). De qualquer forma, a faixa dinâmica é um escalar cujo valor é igual à diferença entre o máximo e o mínimo de uma determinada grandeza.

3.1.8 Resolução

Esta especifcação é a menor mudança incremental do parâmetro de entrada que causa uma variação detectável no valor de saída do sensor. A resolução pode se expressa como um percentual da faixa dinâmica ou em valores absolutos. Em sistemas digitais a resolução está fortemente ligada ao nível de quantização (conversores analógico para digital e vice-versa) e em sistemas analógicos ao ruído, que limita a precisão e o menor valor detectável do mensurando. 3.1.9 Limiar

Maior valor de um mensurando e que não causa variação perceptível na indicação correspondente. Assim como na resolução o seu valor pode depender, por exemplo, de ruído ou atrito.

3.1.10 Sensibilidade estática

Qando uma calibração estática é realizada a sensibilidade corresponde a inclinação da curva de calibração. Esta inclinação pode variar com a relação a entrada (quando a relação entre entrada e saída é não linear) e neste caso duas coisas podem acontecer: a sensibilidade estática deixa de ser um parâmetro importante (casos muito não lineares ou onde a exatidão requerida é grande) ou uma reta de calibração é fornecida e os desvios com relação a está reta são considerados erros. É interessante notar que a cuva de calibração para um elemento sensor é diferente da curva de calibração do equipamento onde ele está inserido, mesmo que após o sensor exista apenas um amplifcador com ganho unitário. Isto acontece pois a saída do sensor será uma tensão, por exemplo, e a saída do equipamento é um valor correspondente a grandeza que está sendo medida. Ou seja, o equipamento faz uma dupla conversão de valores. Um sensor de pressão, por exemplo, apresenta uma sensibilidade em V/cmH2O mas antes de apresentar o valor no

mostrador do equipamento este sinal em Volts deve ser novamente convertido para cmH2O.

Algumas vezes, quando se utilizam sensores ativos, a sensibilidade também pode aparecer como uma função da tensão de alimentação ou o valor nominal do sensor, ou seja, como uma dupla razão entre grandezas. Neste caso uma sensibilidade de 10 V/V/mmHg, por exemplo, signifca que o sensor produzirá 10 V de tensão de saída por Volt de tensão de excitação e por mmHg de pressão aplicada.

3.1.11 Linearidade

A linearidade de um sensor é um tipo de parâmetro que expressa o quanto a sua curva característica se desvia da reta de calibração. A linearidade é uma característica típica de

equipamentos ou sensores cuja relação entre entrada e saída pode ser considerada linear. Neste caso o fabricante específca uma reta de calibração para o equipamento. Segundo a IEC 612298-2, entretanto, esta reta pode ser defnida de três formas diferentes. Ela pode ser a reta que passa pelos pontos extremos (menor e maior valor) da curva de calibração média, a reta que minimiza o erro com a curva de calibração média ou a reta que passa pela origem e minimiza o erro com a curva de calibração média, mas, dependendo da área, outras defnições podem surgir, fque atento.

A linearidade (3.1) é normalmente especifcada em termos do percentual de não linearidade, relativa a medida atual, ao fundo de escala (neste caso costuma-se apresentar as letras FS – full scale – ou outro indicador semelhante) ou faixa dinâmica (FSS – full span scale).

NL(%)=ErroMÁX

Norm ⋅100% (3.1)

onde NL(%) é a não linearidade ErroMÁX é o erro máximo de saída entre o valor medido pela curva

de calibração média (real) e a reta de referência, tida como a curva de calibração ideal (Figura 3.1); Norm é um normalizador que pode ser a saída atual, o fundo de escala de saída ou a faixa dinâmica de saída (recomendado pela IEC 612298-2). Observe que a não linearidade é uma razão entre valores de mesma unidade e, portanto, é adimensional.

Reta de Calibração Curva de Calibração Média Erro Máximo Saída Entrada FS FSS

Figura 3.1: Avaliação da linearidade. 3.1.12 Histerese e outras não linearidades

Sensores, transdutores ou dispositivos podem apresentar diversos tipos de não linearidades. Os tipos mais comuns estão apresentados na Figura 3.2.

Qando a saída do dispositivo difere para um mesmo valor de entrada, dependendo se o sinal está subindo ou descendo em amplitude o dispositivo apresenta histerese (Figura 3.2a). Para a determinação ou caracterização da histerese devem ser estimadas as diferenças de saída para cada entrada (durante a subida e a descida) e, então, o maior valor é usado. O valor pode ser indicado como um percentual com relação a faixa dinâmica de saída (assim como a maioria dos erros). Normalmente encontramos histerese em sistemas magnéticos, sistemas elásticos ou outros com perdas no armazenamento de energia, engrenagens e outros. Dispositivos onde há um valor máximo (ou mínimo) para a saída a partir do qual incrementos na entrada não acarretam em modifcações na saída apresentam saturação (Figura 3.2b). É um efeito muito comum devido a

limitações físicas dos componentes e ocorrem marcadamente em dispositivos magnéticos, com fontes de alimentação, ou com qualquer tipo de limitador mecânico. Um efeito dual é conhecido como rompimento (breakdown), nele a saída dispara a partir de uma determinada entrada (aumenta com elevada derivada – Figura 3.2c). Isto pode estar associado a situações catastrófcas de ruptura de elementos, dielétrico, por exemplo, mas pode ser intencional e útil como nos casos de diodos. Outra não linearidade muito comum é a zona morta (dead zone) que ocorre quando variações da entrada em uma determinada região, tipicamente em torno do zero, não produzem uma saída correspondente (Figura 3.2d). Dispositivos mecânicos normalmente apresentam este comportamento em função das diferenças entre o atrito estático e dinâmico, mas este efeito também pode ser visto em circuitos eletrônicos com componentes não lineares como diodos. Por último há o bang-bang (Figura 3.2e) que se caracteriza por uma variação abrupta da saída para uma variação mínima da entrada. As razões para este efeito não linear podem ser as mesmas encontradas na zona morta e por esta razão este tipo de não linearidade também é chamada de Coulomb frictional.

Figura 3.2: Não linearidades mais comuns. a) Histerese; b) Saturação; c) Rompimento; d) Zona Morta; e) Bang-Bang. Entrada na abcissa e saída na ordenada.

3.1.13 Ajustes

Segundo o VIM os ajustes correspondem a um “conjunto de operações efetuadas num sistema de medição, de modo que ele forneça indicações prescritas correspondentes a determinados valores duma grandeza a ser medida”. Existem vários ajustes que podem ser feitos em sistemas de medição e dentre eles podemos citar o ajuste de zero (ofset) e o ajuste de ganho ou sensibilidade (Figura 3.3).

O ajuste de zero é feito para tornar a saída do sistema de medição igual a zero quando a entrada for nula. Também pode ser atribuído a diferença entre o valor de saída realmente observado e aquele especifcado para uma dada condição. O ajuste de ganho ou sensibilidade, por sua vez, é realizado para fazer com que a saída do dispositivo varie conforme prescrito. Estes ajustes não devem ser confundidos com calibração, que é um pré-requisito para o ajuste, e muito provavelmente, após um ajuste, o sistema deve ser recalibrado.

x y x y x y x y x y y a) b) a) c) d) e)

Figura 3.3: Ajuste de zero (esquerda) e de sensibilidade (direita).

O termo ofset também é comumente empregado para indicar quando a saída de um dispositivo não é zero para uma entrada nula. Isto é mais comum em sensores e transdutores do que em instrumentos.

3.1.14 Exemplo sobre calibração estática

Uma tabela de calibração foi feita com três ciclos de medida onde a entrada foi gradativamente aumentada e diminuída. A tabela abaixo mostra os erros relativos obtidos pela diferença entre cada medida e seu valor de referência dividido pelo valor máximo de saída (IEC 612298-2). Determine a não repetibilidade, a histerese, a inexatidão e o erro máximo.

Entrada %

Ciclo 1 Ciclo 2 Ciclo 3 Média

Média Erro percentual Erro percentual Erro percentual Erro percentual

Subindo Descendo Subindo Descendo Subindo Descendo Subindo Descendo Geral

0 -0,04 -0,05 0,06 -0,05 -0,050 10 0,06 0,14 0,04 0,15 0,05 0,16 0,05 0,15 0,100 20 0,13 0,23 0,08 0,26 0,09 0,26 0,10 0,25 0,175 30 0,11 0,24 0,09 0,25 0,1 0,26 0,10 0,25 0,175 40 -0,04 0,13 -0,07 0,15 -0,04 0,17 -0,05 0,15 0,050 50 -0,18 -0,02 -0,16 0,01 -0,13 0,01 -0,16 0,00 -0,078 60 -0,27 -0,12 -0,25 -0,1 -0,23 -0,08 -0,25 -0,10 -0,175 70 -0,32 -0,17 -0,3 -0,16 -0,28 -0,12 -0,30 -0,15 -0,225 80 -0,27 -0,17 -0,26 -0,15 -0,22 -0,13 -0,25 -0,15 -0,200 90 -0,16 -0,06 -0,15 -0,05 -0,14 -0,04 -0,15 -0,05 -0,100 100 0,09 0,11 0,1 0,10 0,100 Ajuste de ofset Saída Entrada Ajuste de ofset Curva Ideal Curva Real Saída Entrada Ajuste de Sensibilidade

Não repetibilidade (tracejado – dif. máxima nas mesmas condições): 0,13-0,08 = 0,05% Histerese (pontilhado – dif. máxima no mesmo ciclo): 0,15-(-0,07) = 0,22%

Inexatidão (linha dupla – máximo e mínimo erro): [-0,32%; 0,26%] Erro máximo (linha cheia – máximo da curva média): -0,30%

Linearidade (depende da reta de calibração escolhida – curva média geral):

1. Reta que passa pelos pontos médios extremos: -0,28%;

2. Reta que passa pela origem e minimiza os erros quadrados: +0,22%; 3. Reta de mínimos quadrados: +0,2%.

Neste exemplo vale a pena observar que as medidas de histerese e linearidade são independentes o que torna possível a obtenção de valores de histerese menores ou maiores do que os de linearidade. As diferenças entre as duas defnições podem ser vistas na Figura 3.4.

Figura 3.4: Diferenças entre as forma de cálculo da histerese e da linearidade.

3.2 Características dinâmicas

As características dinâmicas de um dispositivo dizem respeito a sua resposta temporal ou resposta em frequência (resposta a excitações senoidais de diferentes frequências). Em sistemas que não apresentam elementos armazenadores de energia (capacitores, indutores, massa, elementos elásticos…) a saída muda instantaneamente com a entrada, mas quando armazenadores de energia estão presentes a saída sempre apresenta uma dinâmica temporal. A caracterização dinâmica destes sistemas é realizada apresentando a eles entradas variantes no tempo. Tradicionalmente estes ensaios têm como base a resposta ao impulso, ao degrau ou a sinais senoidais de frequências distintas. As duas primeiras permitem inferir diretamente sobre questões

Saída Entrada FS FSS Histerese Linearidade Curva Média

temporais e não lineares com sinais de amplitude elevada. A terceira analisa especifcamente o comportamento em frequência do sistema e deve ser realizada com amplitude baixa para evitar distorções (usualmente 20% da faixa dinâmica de saída). A forma como as entradas são produzidas e os tipos de ensaios que podem ser realizados dependem da grandeza.

3.2.1 Sistemas lineares no domínio do tempo

Para sistemas lineares e invariantes no tempo, com uma excitação (entrada) e uma resposta (saída), a relação entre entrada e saída pode ser expressa por uma equação diferencial linear de coefcientes constantes, dny dtn +a1⋅d n−1_y dtn−1 +...+an⋅y=b0⋅d m x dtm +b1⋅d m−1_x dtm−1 +...+bm⋅x (3.2)

onde y representa a saída e x a entrada do sistema.

A resposta deste sistema corresponde a solução da equação diferencial que o descreve. Genericamente esta solução apresenta uma soma de exponenciais (tantas quantas a ordem do sistema – ordem da equação diferencial) além de uma resposta forçada (as vezes chamada de particular) cujo formato é o mesmo da entrada. Assim

y(t )=

∑

onde yp é a solução particular que tem o mesmo formato da excitação x. As constantes ki são

obtidas pelas condições iniciais e os expoentes λi são as raízes da equação característica.

Apesar de não haver limites para a ordem do sistema costumam ser estudados apenas os sistemas de ordem zero, um e dois. Sistemas de ordem zero correspondem a sistemas que não são descritos por equações diferenciais e, portanto, não apresentam nenhuma dinâmica temporal na resposta. Sistemas de primeira ordem apresentam equações diferenciais de ordem 1 com apenas uma exponencial. Sistemas de segunda ordem (equações diferenciais de ordem 2) apresentam duas exponenciais que podem ter expoentes reais ou complexo conjugados, o que pode levar ao surgimento de oscilações. Sistemas de ordem maior apresentam soluções semelhantes as anteriores. Atrasos na resposta também podem estar presentes e costumam ser modelados separadamente.

3.2.2 Resposta ao defrau

A resposta ao degrau é uma das formas mais comuns de avaliação da dinâmica de sistemas. Degraus de entrada correspondendo a 80% da faixa dinâmica de saída devem ser aplicados mudando a saída de 10% para 90% e de 90% para 10%. Degraus menores, produzindo uma saída correspondente a 10% da faixa dinâmica de saída também devem ser ensaiados. Estes degraus podem ser aplicados em diferentes faixas cobrindo toda a operação do dispositivo. As faixas de 5% a 15%, de 45% a 55% e de 85% a 95% são as recomendadas pela IEC 612298-2.

A IEC 612298-2 também recomenda que neste teste sejam anotados o tempo de estabilização (setling time) da saída em 99% do seu valor fnal, o tempo em que a saída permanece em zero (dead time), os tempos e amplitudes de sobrepassos (overshot), o tempo de subida entre

10% e 90% do valor fnal (rise time), o tempo de resposta (tempo até a primeira vez que a saída atinge 90% do seu valor fnal), constantes de tempo entre outros. Na Figura 3.5 são apresentados algumas das características listadas.

Figura 3.5: Características dinâmicas obtidas da resposta ao degrau.

É importante ter em mente que nem sempre estas informações estarão disponíveis e nem sempre serão apresentadas da forma estipulada. Os percentuais para tempo de estabilização, e tempo de resposta, por exemplo, mudam com frequência. Para saber exatamente o que está sendo caracterizado é necessário ler completamente os manuais dos dispositivos e se estivermos caracterizando o nosso próprio dispositivo convém fazê-lo de acordo com as normas vigentes e o padrão da área.

3.2.3 Resposta em frequência

Além da análise pelo domínio do tempo os sistemas lineares também podem ser descritos pelo domínio da frequência (Figura 3.6). Isto é feito pelas transformadas de Laplace ou Fourier e, indiretamente, usando-se fasores. Neste tipo de análise é comum a apresentação de um gráfco de módulo e fase da sensibilidade em função da frequência (gráfco de resposta em frequência ou diagramas de Bode). Nos gráfcos são analisados o ganho (sensibilidade) e a fase do sinal para cada frequência.

Normalmente são analisadas desde frequências que permitam obter o ganho estático do sistema (frequência zero) até frequências onde a saída corresponda a 10% do sinal de entrada ou a fase apresente variação de 360º. Também devem ser marcados os pontos onde o ganho seja máximo ou reduzido para 70% do valor basal além dos pontos onde a fase atinja 45º ou 90º (IEC 612298-2 ).

Na maioria das vezes os sensores ou transdutores apresentarão comportamentos semelhantes aos de fltros passa baixas (Figura 3.6) de primeira e segunda ordem ou de fltros passa faixa, para dispositivos que só atuam em uma determinada faixa de frequência. Um fltro passa baixas é aquele onde o ganho é maior nas frequências baixas do que nas altas.

Figura 3.6: Resposta em frequência de cinco sistemas de segunda ordem. Detalhes na seção 3.2.4. 3.2.4 Exemplos de sistemas de ordem zero, um e dois

Sistemas de ordem zero, um e dois serão ilustrados com exemplos elétricos, mas, por analogia, poderiam ser sistemas de qualquer natureza.

Para o sistema de ordem zero da Figura 3.7, supondo que a entrada x do sistema seja a fonte de tensão vs e a saída seja a tensão v sobre o resistor R2, a equação da saída pode ser obtida algebricamente por meio de (3.6).

Figura 3.7: Sistema de ordem zero.

iTOT=

vs R1+R2+R3

(3.4)

v= vs R1+R2+R3

⋅R2 (3.6)

Observa-se que a saída é independente do tempo. Isto signifca que, se a entrada muda, a saída muda instantaneamente, ou seja, a resposta a um degrau será um degrau e um gráfco de resposta em frequência mostra ganho constante com fase nula para todas as frequências. Na prática os sistemas de ordem zero são apenas uma idealização da realidade, afnal todos os sistemas elétricos apresentam capacitâncias e indutâncias parasitas, os sistemas mecânicos sempre apresentam massa e alguma elasticidade, ou seja, todos os sistemas sempre apresentam uma dinâmica temporal. Acontece que nos sistemas de ordem zero esta dinâmica pode ser considerada insignifcante se comparada a velocidade com que as grandezas de entrada variam.

Para o sistema de ordem 1 da Figura 3.8, considerando que a tensão v é a entrada do sistema e a tensão sobre capacitor, vc, é a saída do sistema, a equação que relaciona entrada e saída (3.10) é uma equação diferencial.

Figura 3.8: Sistema de primeira ordem.

Transformando a fonte de tensão em série com o resistor no seu equivalente Norton e equacionando a corrente em cada componente temos

iC+iR= v R (3.7) e sabendo que iC=C⋅ dvC dt (3.8) temos C⋅dvC dt + vC R = v R (3.9) dvC dt + vC R⋅C= v R⋅C (3.10)

A solução de (3.10), uma equação diferencial de ordem 1, linear e de coefcientes constantes, é uma exponencial somada a uma constante (resposta particular). O expoente pode ser obtido da equação característica

S+ 1

R⋅C=0 (3.11)

cuja raiz é S=-1/RC. Desta forma

vC=k1⋅e − 1

R⋅C⋅t_+k

2 (3.12)

onde os coefcientes k1 e k2 dependem, entre outros, das condições iniciais do problema.

Isto signifca que a saída do sistema não muda instantaneamente, ou seja, existe uma dinâmica temporal entre a entrada e a saída (3.12). Neste caso a dinâmica temporal é controlada pela exponencial. Observa-se para t=R·C, 2·R·C, 3·R·C… que a exponencial se reduz a e-1_{, e}-2_{, e}-3_{… e}

por esta razão o produto R·C é chamado de constante de tempo do circuito (τ). Toda exponencial decrescente apresenta 37% de seu valor inicial em τ, 14% em 2·τ, 5% em 3·τ, 2% em 4·τ e 0,7% em 5·τ. A Figura 3.9 mostra a resposta do circuito para uma entrada em degrau. Nesta simulação v=1 V e R·C=1 s.

Figura 3.9: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem.

A constante de tempo tem unidade de segundos e corresponde ao recíproco da frequência natural do circuito (ω). Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto R·C. Sistemas de primeira ordem nunca terão oscilações nem sobrepasso na resposta ao degrau. O tempo de subida (para a saída mudar de 10% para 90% do valor fnal ou vice-versa) pode ser facilmente calculado a partir de (3.12)

t_r≈2,197⋅τ (3.13)

O mesmo circuito também pode ser analisado pelo domínio da frequência, usando fasores (3.14) ou Laplace (3.17). Neste caso calcula-se a chamada função de transferência (razão entre saída e entrada) cujo módulo (3.16) corresponde ao ganho ou a sensibilidade em cada frequência. Observa-se que, tanto no domínio do tempo quando no domínio da frequência a resposta ao

degrau e a função de transferência são calculadas levando-se em conta condições iniciais nulas para os elementos armazenadores de energia.

HC( j ω)= VC( j ω) V( j ω)=

[

]

√

[

]

Os gráfcos de resposta em frequência, módulo e fase, podem ser vistos na Figura 3.10.

Figura 3.10: Resposta em frequência de um sistema de primeira ordem. O eixo das frequências e do ganho estão em escala logarítmica.

HC(S)=

a

S+a (3.17)

Com esta notação é fácil perceber que máx(HC(S ))=1 quando S→0 . Também é possível

observar que o denominador apresenta o mesmo formato e a mesma raiz da equação característica da equação diferencial de ordem 1, ou seja, a=1/τ. Este padrão se repete para todas as funções de transferência de ordem 1. Nas funções de transferências as raízes do denominador são chamadas de polos do sistema e, neste caso, estão relacionadas com a constante de tempo e indiretamente com o rise time.

Para a frequência que corresponde ao recíproco da contante de tempo (ωC=1/τ) o ganho da

função de transferência cai para 70,7% do seu valor original (é reduzida em 3 dB com relação ao valor original em dB) e a fase do sinal de saída fca 45o _{atrasada com relação a senoide de entrada.}

A maior defasagem que pode ser obtida com um sistema de ordem 1 é 90o _{e a menor é zero.}

Já para um sistema de segunda ordem, como o da Figura 3.11, uma equação diferencial de ordem 2 é necessária para equacionar a saída (no nosso caso iL – corrente no indutor) em função

da entrada (no nosso caso I – fonte de corrente independente). Assim

Figura 3.11: Sistema de segunda ordem.

i_CiRiL= I (3.18) e sabendo que v_R=vC=vL=L⋅ di_L dt (3.19) C⋅L⋅d 2 iL dt2 + L R⋅ diL dt +iL=I (3.20) d2_i L dt2 + 1 R⋅C⋅ diL dt + 1 C⋅L⋅iL=_C⋅LI (3.21)

Observe que a equação diferencial de ordem 2 com coefcientes constantes e invariantes no tempo (3.21) apresenta equação característica

S2+ 1 R⋅C⋅S +

1

cuja forma geral é

S2+ω0

Q⋅S +ω0 2

=0 _(3.23)

e as raízes são s1 e s2 tal que

iL(t )=k1⋅e

s1⋅t+k

2⋅e

s2⋅t+k

3 (3.24)

As raízes s1 e s2 podem ser reais ou complexas e, neste último caso, segundo a fórmula de

Euler, a solução pode conter senos e cossenos amortecidos (multiplicados por exponenciais reais). Na Figura 3.12 são apresentadas as soluções para ω0=1 e Q=0,5 (raízes reais e iguais), Q=0,707

(raízes com parte real igual à imaginária), Q=1, 2 e 10 (raízes com parte real menor que a imaginária).

Figura 3.12: Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem. Verde Q=0,5; azul Q=0,707; vermelho Q=1; azul claro Q=2; magenta Q=10.

Pelo domínio da frequência a função de transferência entre as correntes no indutor e na fonte pode ser obtida pelo simples divisor de corrente

HL( j ω)= IL( j ω) I( j ω)=

[

]

Simplifcando a equação e substituindo j⋅ω por S

HL(S )= 1 C⋅L S2 + 1 R⋅C⋅S + 1 C⋅L (3.26)

Mais uma vez o polinômio característico forma os polos da função de transferência e, da mesma forma que no domínio do tempo, ele pode ser escrito em função de ω0 e Q. A resposta em

frequência (Figura 3.13) pode, então, ser desenhada em função do módulo e da fase de HL(jω). Para

funções de ordem maior do que 2 os polinômios formados no denominador podem ser fatorados em polinômios de ordem 1 e 2.

Figura 3.13: Resposta em frequência de sistemas de segunda ordem. Verde Q=0,5; azul Q=0,707; vermelho Q=1; azul claro Q=2; magenta Q=10.

3.3 Outras características

Outras características funcionais podem ser informadas. As mais comuns são a isolação elétrica do dispositivo em condições de temperatura e umidade distintos, consumo energético, futuação do sinal de saída (ripple), limites ajustáveis, futuações com temperatura (drif) ou de longo tempo, impedâncias de entrada e saída, características de dispositivos pneumáticos como consumo de ar, consumo de gás, fuxos entre outros. Cada dispositivo deve vir com informações complementares específcas de acordo com cada aplicação.

3.4 Aspectos numéricos

3.4.1 Alfarismos sifnifcativos

Em instrumentação não são usados todos os algarismos que resultarem das contas efetuadas uma vez que o número de algarismos signifcativos, ou o número de casas decimais, está ligado a precisão e a incerteza. De um modo geral os algarismos incertos não devem ser apresentados, pois levam a uma falsa impressão de precisão ou incerteza. Para evitar este problema, o melhor é realizar os arredondamentos adequados e entender como as incertezas se propagam nos cálculos.

Antes de mais nada é necessário defnir algarismos signifcativos e casas decimais. A forma mais fácil de entender estes conceitos é com exemplos. O número 0,04513, por exemplo, tem apenas 3 algarismos signifcativos, mas 4 casas decimais, enquanto que o número 4,350 tem 4 algarismos signifcativos e apenas 3 casas decimais. Ou seja, o último algarismo de um determinado valor ou medida representa uma incerteza associada a este valor ou medida. Se a medida indica 101 V é mais provável que a resposta certa esteja mais próxima de 101 V do que de 100 ou 102 V. Se a medida indica 101,0 V é mais provável que a resposta verdadeira está mais próxima de 101,0 V do que de 100,9 ou 101,1 V. Entretanto, para o caso de números inteiros que terminam com zero isto pode não ser verdade. O valor 10.000 Ω pode ter sido obtido com cinco algarismos signifcativos ou menos. Para evitar esta confusão estes números são melhores apresentados na notação científca. Assim, 1,00·104 _{Ω possui 3 algarismos signifcativos e 1,00010·10}4 _{Ω possui cinco}

algarismos signifcativos.

Regras de arredondamento também devem ser defnidas. De um modo geral os arredondamentos devem ser feitos sempre para o número mais próximo, porém quando os números terminarem em 5 devem, preferencialmente, ser arredondados para o algarismo par mais próximo. Por exemplo 2,635 deve ser arredondado para 2,64 e 7,63415 para 7,634.

Para fazer adições ou subtrações utiliza-se um algarismo signifcativo a mais que no número de menor precisão. O resultado deve ser arredondado para o mesmo número de casas decimais ou algarismos signifcativos do número menos preciso. Por exemplo, a soma de 18,7 com 3,624 deve ser feita como 18,70 somado a 3,62 cujo resultado é 22,3. Por outro lado 1,02·103 _somado

a 5,36 resulta em 1,02·103 _{mas 1,02·10}3 _{somado a 6,36 resulta em 1,03·10}3_.

Para multiplicação, divisão, radiciação e outras funções matemáticas se utilizam números com um algarismo signifcativo a mais que o do número com menor número de algarismos signifcativos. O resultado é arredondado para o número com a menor quantidade de algarismos signifcativos. O produto de 35,68 por 3,18 resulta em 113,46214 que deve ser arredondado e expresso como 113, pois uma das medidas só tem três algarismos signifcativos (note que a casa depois da vírgula pode assumir qualquer valor entre 0 e 8 (35,69·3,19=113,85111 e 35,67·3,17=113,07319, então não há razão para exibir estes dígitos).

Assim, se uma medida for obtida como uma média de outras medidas, como por exemplo, a média de 5202 g, 5202 g e 5203 g, deve-se tomar cuidado com a apresentação do resultado. A apresentação do número 5202,33313 (o valor da média) não é muito indicada, pois todas as contas foram realizadas com apenas quatro algarismos signifcativos, então é melhor apresentar o resultado com quatro algarismos signifcativos. Para apresentar o valor da média é importante

informar que o valor foi obtido por uma média de três medidas, cada qual com quatro algarismos signifcativos.

Diversas ferramentas estão disponíveis para cálculos levando em conta o número de algarismos signifcativos e arredondamentos. Um exemplo, que usa as regras apresentadas, é a

Signifcant Figures Calculator. 3.4.2 Representação de incertezas

As incertezas (assim como os erros) podem ser representadas de três formas principais, absoluta, relativa e percentual (também podem ser apresentadas como partes por milhão, ppm, ou partes por bilhão, ppb) conforme indicado a seguir. No exemplo são apresentadas três formas de representar uma medida de 100 s com incerteza de 2 s. Observe o uso apropriado da unidade apenas para o caso da representação absoluta.

Absolutas – t=100±2s

Relativas – t=(100s±0,02) Percentual – t=100s±2 %

3.4.3 Cálculo e propafação de incertezas

Para o caso de medidas repetidas, onde as estimativas do mensurando podem ser feitas por processos estatísticos é possível determinar um desvio padrão desta medida. Este desvio padrão se refere a incerteza padrão da medição. Assim, uma incerteza padrão combinada pode ser obtida considerando-se a incerteza padrão individual de cada elemento que afeta a estimativa do mensurando. Esta incerteza padrão combinada pode, então, ser utilizada para estimar um intervalo onde o valor verdadeiro de um mensurando provavelmente se encontra. Isto é feito com o cálculo da incerteza de medição expandida, que corresponde a incerteza padrão combinada multiplicada por um valor constante (fator de cobertura) para aumentar o intervalo de valores prováveis para o mensurando.

Estas incertezas calculadas estatisticamente com amostras repetidas formam a chamada incerteza Tipo A. Um outro tipo de incerteza, a incerteza do Tipo B, obtida por outros métodos que não os estatísticos (não pode ser obtida por medidas repetidas), também pode ser expressa na forma de desvio-padrão e, desta forma, combinada com a anterior. Por exemplo, uma medida feita com uma régua indica que um determinado objeto mede alguma coisa entre 7,3 e 7,4 cm. Como a probabilidade do mensurando assumir qualquer valor neste intervalo é razoável, podemos considerar uma distribuição uniforme de possíveis valores para o mensurando entre 7,3 e 7,4 cm. Uma distribuição uniforme no intervalo [-a; +a], por exemplo, tem desvio padrão

ε= a

√

Porém, se considerarmos que existe mais probabilidade da medida assumir um valor mais próximo do centro da escala, por exemplo, mas sem que haja indícios de que uma distribuição normal se aplique ao caso, pode-se utilizar uma distribuição triangular para o intervalo [-a; +a], neste caso o desvio padrão é dado por

ε= a

√

Uma vez que as incertezas padrões Tipo A e Tipo B podem ser determinadas basta saber como pode ser obtida a incerteza padrão combinada. Supondo as grandezas X1, X2,…, Xn com seus

respectivos valores numéricos estimados x1, x2, …, xN, e incertezas associadas εx1, εx2, …, εxN (cada

uma destas incertezas defnida como um desvio padrão). Supondo uma grandeza R que se relaciona com as grandezas Xi através de uma função R = F(X1, X2, …, XN). R pode ser expressa

como

R=r +ε (3.29)

onde r corresponde a avaliação da função F e ε corresponde a incerteza combinada. Considerando que as grandezas Xi são variáveis aleatórias não correlacionadas as incertezas podem ser tratados

convenientemente na forma de variâncias ou desvios padrão ou valores RMS (valor efcaz). Se houver correlação entre as grandezas as covariâncias também devem ser consideradas. Neste texto serão considerados apenas os casos não correlacionados, assim

ε=

√

[

(

)

]

[

(

)

]

[

(

)

]

Para o caso particular em que F é uma soma ou uma subtração de grandezas então a incerteza absoluta pode ser obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas. Por exemplo, se T1=(200±4) s e T2=(100±2)s , então

T1 –T2=200 – 100±



22

=100±4,47s .

Para o caso particular em que F apresenta apenas produtos ou divisões então a incerteza relativa pode ser obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas. Por exemplo, se L₃=551±1⋅10−6_{m e T} 1=100±2 s , então (L3/T1)=

(

√

)

Nem sempre as incertezas são informadas diretamente. Muitas vezes a informação dada consiste de um erro limite. Por exemplo, em alguns instrumentos a exatidão é garantida no que concerne ao valor de fundo de escala, e no caso dos componentes eletrônicos estes são garantidos dentro de limites percentuais do valor nominal do componente. Os limites destes desvios são chamados de limites de erro. Se considerarmos uma probabilidade uniforme entre os limites de erro, este pode ser considerado como uma incerteza de medição expandida com um fator de cobertura sufcientemente grande.

Exemplo: Um voltímetro tem exatidão de 1% do valor do fundo da escala (FS) e está sendo utilizado para medir uma tensão de 30 V, na escala 0 – 200 V. Calcule o erro limite percentual

Erro limite=200⋅1 %=2V Erro%= 2

30⋅100 %=6,7 %

Observe que para valores relativos ao fundo de escala a exatidão absoluta é constante mas o erro percentual é variável.

Em alguns equipamentos outras formas de tolerância para os valores medidos ou erros limites podem ser empregadas, por exemplo, percentuais do valor lido somados a resolução ou percentuais do fundo de escala.

Exemplo (GUM 4.3.7 e 5.1.5): As especifcações do fabricante para um voltímetro digital estabelecem que a exatidão na faixa de 1 V é de 14·10-6 _{V vezes a leitura mais 2·10}-6 _{V vezes a}

faixa. Considere que o multímetro está sendo usado para medir em sua faixa de 1 V e que a média aritmética de um número de observações repetidas independentes de tensão é encontrada como sendo ̄V=0,928571V , com uma incerteza-padrão do Tipo A de 12 µV. Qal a incerteza padrão combinada para esta medida?

Erro limite=14⋅10−6⋅0,928571+2⋅10−6⋅1=15μV

Supondo que a exatidão declarada fornece limites simétricos para uma correção aditiva do valor medido (com esperança igual a zero e com igual probabilidade de estar em qualquer parte dentro dos limites), então a incerteza padrão Tipo B é

εTipoB=

15μ V

√

Uma vez que V= ̄V+Δ V então ∂V /∂ ̄V=1 e ∂V /∂Δ V =1 então

ε=

√

√

3.5 Exercícios

1) Determinar os tipos de erros para cada um dos 4 gráfcos abaixo. Considere a linha cheia como a curva ideal e a curva tracejada a curva real.

2) A curva de calibração de um sensor é mostrada abaixo. Escreva uma função de calibração que descreva a tensão de saída em função da pressão de entrada. Assegure-se que esta função passa pela origem e determine: a) linearidade; b) histerese; c) sensibilidade; d) ofset; e) limiar; f) faixa e faixa dinâmica para a entrada.

0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Subindo Descendo P. Entrada (kPa) V . S a íd a ( m V )

3) Determinar a sensibilidade e o ofset de um transdutor de temperatura para faixa de 100 a 200 ° e com uma saída de 4 a 20 mA. Escreva uma equação para a corrente de saída do transdutor.

4) Um sistema eletrônico de medição de temperatura utiliza um transmissor eletrônico para enviar o sinal correspondente para a sala de controle. Este transmissor tem uma escala que varia de 50 ° até 350 ° e sua precisão é de ±1% do tamanho total da faixa de excursão do sinal. O valor da precisão inclui o sensor de temperatura e o transmissor propriamente dito. Se a temperatura indicada for de 200 °, entre que valores, mínimo e máximo, respectivamente, estarão

situados todos os valores possíveis para o verdadeiro valor da temperatura? (PETROBRAS, prova para engenheiro de equipamentos pleno, 2006)

5) Para a tabela de calibração estática, de um transdutor de pressão, apresentada a seguir, determine: a) a equação de uma curva de calibração; b) a utilidade desta equação de calibração em especial; c) a sensibilidade estática; d) histerese; e) linearidade; f) ofset. Para este problema use programas de computador para desenhar os gráfcos e calcular os itens acima. Mostre não apenas a resposta mas gráfcos ou tabelas que permitam chegar aos resultados que você apresentou.

Pressão real Pressão indicada

(kPa) Aumentando Diminuindo

0,00 -1,12 -0,69 1,00 0,21 0,42 2,00 1,18 1,65 3,00 2,09 2,48 4,00 3,33 3,62 5,00 4,50 4,71 6,00 5,26 5,87 7,00 6,59 6,89 8,00 7,73 7,92 9,00 8,68 9,10 10,00 9,80 10,20

6) Um sensor de esforços (strain-gauge), com resistência de 120Ω±0,3% @ 24ºC e fator de gauge (FS) de 2,085±0,5% @ 24ºC, foi colado sobre uma barra de aço que sabidamente sofre uma deformação longitudinal de 0,02% desta dimensão para cada kgf aplicado. O arranjo foi usado na construção de um dinamômetro que mede entre 0 e 100 kgf. O sensor foi inserindo como quarto resistor de uma ponte de Wheatstone onde os demais elementos possuem todos 120Ω. O condicionador de sinais fornece um sinal entre 0 e 1 V. Se usarmos um multímetro de 3½ dígitos, qual a resolução do equipamento?

7) Considere o gráfco a seguir como a resposta a um degrau de amplitude 45 mmHg de um sistema de segunda ordem. Com base em tal informação responda: a) Qal a sensibilidade estática do sistema? b) Qal o valor aproximado do setling-time para um erro de 10%?

8) Diga qual a diferença entre limiar e resolução e como podemos determiná-las em sistemas analógicos e digitais.

9) Qal a diferença entre precisão e exatidão? Como podemos estimar a precisão de um sistema? O que pode ser utilizado para caracterizar a exatidão de uma medida?

10) O que signifca calibração?

11) Qal a diferença entre repetibilidade e reprodutibilidade?

12) Um determinado sensor apresenta sensibilidade de 10 mV/V/mmHg. Qal o signifcado dessa unidade?

13) O uso de transdutores não lineares afeta a exatidão ou a precisão de uma medida? 14) O ruído aleatório de média zero afeta a exatidão de uma medida, sua precisão, ambos ou nenhum deles?

15) Ruído afeta a resolução de um sistema de medidas analógico ou digital?

16) Cite um indicador de exatidão, um de precisão e um de resolução apresentado em manuais de transdutores.

17) Num experimento você vai utilizar a célula de carga abaixo para construir uma balança cujo fundo de escala é 50 kgf. a) Projete um condicionador de sinais para a ponte de forma que o sinal de saída ocupe 50% da faixa de entrada do seu AD (considere que a instrumentação é ideal e sem ruído) b) Nestas condições, qual a equação para determinar a força a partir do valor lido pelo AD? c) Estime o ofset máximo esperado (em kgf). d) Estime a precisão (em kgf). e) Estime a exatidão (em kgf). f) Se você substituir o AD por um voltímetro quantas casas depois da vírgula

você recomenda que ele meça? g) Para compensar variações de ofset causados por temperatura podemos utilizar um fltro passa altas? h) o que podemos fazer para usar esta ponte a 50 m de distância? Justifque suas respostas.

18) A tabela a seguir mostra as especifcações de uma célula de carga cujo valor nominal (fundo de escala) é de 1,1 N. Se este sensor for alimentado com 10 V, informe: a) qual a sensibilidade (V/N)? b) qual a precisão (em N)? c) qual o erro máximo (em N)? d) qual o ofset máximo?

19) Qual a diferença entre linearidade e exatidão? 20) Qual a diferença entre limiar e resolução? 21) Circuitos analógicos têm resolução infinita?

22) Para o sensor de pressão 163PC01D48, cujas informações do manual estão transcritas a seguir, responda: a) Qal a sensibilidade? b) Qal a faixa de frequência? c) Como a histerese pode ser menor do que o erro? Use um desenho para explicar como isto ocorre. d) Qal a equação da curva de calibração mais provável? e) Qal a informação de manual está errada? Qe valor você acha que é correto para ela?

23) Aparelho para medidas de distância tem as seguintes especifcações listadas a seguir. Com base nestas especifcações responda: a) Qal a precisão do aparelho? b) Qal a exatidão? c) A exatidão e a linearidade não deveriam ser iguais?

24) Para o sensor de aceleração apresentado abaixo determine a equação mais provável para o sinal de saída em função de acelerações no eixo X. Supondo que o sinal será fltrado por um passa baixas com banda passante (BW) de 10 Hz (-3 dB) estime a resolução que pode ser obtida com este sensor.