LISE DE CIRCUITOS I

(1)

ENG04030

AN

Á

_Á

LISE DE CIRCUITOS I

_{LISE DE CIRCUITOS I}

Aulas 19

–

Circuitos de 1

ª

ordem: an

á

lise

no dom

í

nio do tempo

Caracter

Caracterí

ísticas de capacitores e indutores;

sticas de capacitores e indutores;

energia armazenada nos componentes;

associa

ç

ão de capacitores/indutores

S

(2)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Circuitos de 1

ª

_ª

ordem

_ordem

Circuitos de 1

ª

ordem

constitu

constituíídos por fontes, resistores e indutor(dos por fontes, resistores e indutor(eses) ou ) ou capacitor(

capacitor(eses))

RL

RL –– resistor e indutorresistor e indutor RC

RC –– resistor e capacitorresistor e capacitor

correntes e tensões

descritas por equa

descritas por equaçções diferenciais de 1ões diferenciais de 1ªª ordemordem

indutor (L) e capacitor (C)

podem armazenar energia

pode haver mais de um indutor ou mais de um

capacitor

neste caso, deverão estar ligados de tal forma que possam ser

substitu

(3)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor

Formado por duas placas condutivas separadas por um diel

Formado por duas placas condutivas separadas por um dieléétricotrico

Elemento passivo

incapaz de fornecer potência m

incapaz de fornecer potência méédia durante um intervalo de tempo infinitodia durante um intervalo de tempo infinito capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriorment

capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriormentee

C

C dado em dado em faradfarad (F)(F) capacitor ideal

(4)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

Carga, corrente, tensão e potência

bipolo

bipolo _→_→ convenconvençção passivaão passiva carga armazenada (

carga armazenada (qq) ) éé funfunçção linear da tensãoão linear da tensão constante de proporcionalidade

constante de proporcionalidade éé a capacitância (a capacitância (CC))

a corrente em um bipolo

a corrente em um bipolo éé dada pela variadada pela variaçção da carga em relaão da carga em relaçção ão ao tempo

ao tempo

potência fornecida para o bipolo

( )

dq t

( )

dv t

( )

i t C

dt dt

= =

( )

q t = C v t

( )

( ) ( )

p t = v t i t

( )

0

1 1

t t

t

v t i d v t i d

C −∞ τ τ C τ τ

(5)

S H af fn er 20 10 S H af fn er 20 10 –

–haf

fn er @ ie ee .o rg h af fn er @ ie ee .o rg

Capacitor ideal

Energia armazenada Energia armazenada é

é funfunçção da tensão instantânea ão da tensão instantânea –– não depende do que ocorre ao longo do não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a

intervalo de 0 a tt; apenas do valor instantâneo de ; apenas do valor instantâneo de vv((tt))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 = = 2 2 2 1 C t t

C _t C _t C

i t t C C t t t C t W t C

W t p d W t v i d W t

dv

v C d W t C v dv W t

d

v

C W t

v t v t

C C W t

W t C v t

τ

τ τ τ τ τ

τ

τ τ τ τ

(6)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

Exerc

Exercíício cio –– Determinar a tensão nos terminais de um Determinar a tensão nos terminais de um capacitor de 5

capacitor de 5µµF cuja corrente F cuja corrente éé dada pelo grdada pelo grááfico da fico da figura.

figura.

Considerar a tensão em

Considerar a tensão em tt=0=0 nula (nula (vv(0)=0 V(0)=0 V).).

Determinar tamb

Determinar tambéém a expressão da potência fornecida m a expressão da potência fornecida para o capacitor e a energia total armazenada.

(7)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

–

_–

solu

_solu

ç

_ç

ão

_ão

Resultado via

(8)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

Exerc

Exercíício cio –– Determinar a expressão da corrente e a Determinar a expressão da corrente e a m

mááxima energia armazenada no capacitor da figura. xima energia armazenada no capacitor da figura. Determinar tamb

Determinar tambéém a energia dissipada no resistor no m a energia dissipada no resistor no intervalo de 0 a 0,5 s.

(9)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

Exerc

Exercíício (solucio (soluçção parcial) ão parcial) –– Determinar a mDeterminar a mááxima energia xima energia armazenada no capacitor da figura e a energia dissipada

armazenada no capacitor da figura e a energia dissipada

no resistor no intervalo de 0 a 0,5 s.

Energia

armazenada

no capacitor

em fun

em funççãoão do tempo

(10)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Capacitor ideal

–

_–

solu

_solu

ç

_ç

ão

_ão

Resultado via

(11)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Associa

ç

_ç

ão de capacitores

_{ão de capacitores}

Em s

Em séérierie

( ) ( ) ( ) ( )

eq eq 0 1 0 2 0 0

1

1 1 1 N

C = v t = v t +v t + +v t

+ + +

… …

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 2

0 0 0

1 0 2 0 0

1 2

1 1 1

N

v t v t v t

t t t

s _t _t _t N

N

v t i d v t i d v t i d v t

C τ τ C τ τ C τ τ

=

_∫

+ +

_∫

+ + +…

_∫

+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

eq

eq 0

0 0

1 0 2 0 0 eq 0

1 2 eq

1 1 1 1

C

v t

t t

s N

t t

N

v t i d v t v t v t i d v t

C C C τ τ C τ τ

 

= _ + + + _ + + + + = +

(12)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Associa

ç

_ç

ão de capacitores

_{ão de capacitores}

Em paralelo

Para poder usar o equivalente,

Para poder usar o equivalente, éé necessnecessááriorio que que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 eq

eq 1 2

s N N

N

d d d

i t i t i t i t C v t C v t C v t

dt dt dt

d d

C C C v t C v t

dt dt

C C C C

= + + + = + + + =

= + + + =

= + + +

… …

…

( ) ( ) ( ) ( )

eq 0 1 0 2 0 N 0

(13)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Indutor

Formado por espiras enroladas, geralmente em torno de um n

Formado por espiras enroladas, geralmente em torno de um núúcleo de cleo de material magn

material magnééticotico

Elemento passivo

incapaz de fornecer potência m

incapaz de fornecer potência méédia durante um intervalo de tempo infinitodia durante um intervalo de tempo infinito capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriorment

capaz de armazenar energia e fornecer esta energia posteriormentee

L

(14)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Indutor ideal

Carga, corrente, tensão e potência

bipolo

bipolo _→_→ convenconvençção passivaão passiva

fluxo concatenado armazenada (

fluxo concatenado armazenada (λλ₎₎_é_é _fun_fun_ç_ç_{ão linear da corrente}_{ão linear da corrente}

constante de proporcionalidade

constante de proporcionalidade éé a indutância (a indutância (LL))

a tensão

a tensão éé dada pela variadada pela variaçção do fluxo concatenado em relaão do fluxo concatenado em relaçção ao ão ao tempo

tempo

potência fornecida para o bipolo

( )

d

( )

t d

( )

di t

( )

v t Li t L

dt dt dt

λ

= = _ _ =

( )

t L i t

( )

λ =

( )

( ) ( )

p t = v t i t

( )

0

1 1

t t

t

i t v d i t v d

L −∞ τ τ L τ τ

(15)

S H af fn er 20 10 S H af fn er 20 10 –

–haf

fn er @ ie ee .o rg h af fn er @ ie ee .o rg

Indutor ideal

Energia armazenada Energia armazenada é

é funfunçção da corrente instantânea ão da corrente instantânea –– não depende do que ocorre ao longo não depende do que ocorre ao longo do intervalo de 0 a

do intervalo de 0 a tt; apenas do valor instantâneo de ; apenas do valor instantâneo de ii((tt))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) _{( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 2 = = 2 2 2 L t t

L _t L _t L

v t t L L t t t L t W t L

W t p d W t v i d W t

di

L i d W t L i di W t

d

i

L W t

i t i t

L L W t

i t

W t L

τ

τ τ τ τ τ

τ

τ τ τ τ

(16)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Associa

ç

_ç

ão de indutores

_{ão de indutores}

Em s

Em séérierie

Para poder usar o equivalente,

Para poder usar o equivalente, éé necessnecessááriorio que que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 eq

eq 1 2

N N

N

di t di t di t

v t v t v t v t L L L

dt dt dt

di t di t

L L L L

dt dt

L L L L

= + + + = + + + =

= + + + =

= + + +

… …

…

( ) ( ) ( ) ( )

eq 0 1 0 2 0 N 0

(17)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

Associa

ç

_ç

ão de indutores

_{ão de indutores}

Em paralelo

( ) ( ) ( ) ( )

eq eq 0 1 0 2 0 0

1

1 1 1 N

L i t i t i t i t

L L L

= = + + +

+ + +

… …

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 2

0 0 0

1 0 2 0 0

1 2

1 1 1

N

i t i t i t

t t t

s _t _t _t N

N

i t v d i t v d i t v d i t

L τ τ L τ τ L τ τ

=

_∫

+ +

_∫

+ + +…

_∫

+ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

eq

eq 0

0 0

1 0 2 0 0 eq 0

1 2 eq

1 1 1 1

C

i t

t t

s N

t t

N

i t v d i t i t i t v d i t

L L L τ τ L τ τ

 

= _ + + + _ + + + + = +

(18)

S

H

af

fn

er

20

10

S

H

af

fn

er

20

10

–

–haf

fn

er

@

ie

ee

.o

rg

h

af

fn

er

@

ie

ee

.o

rg