Respostas memorizadas mas sem justificativas n˜ ao recebem pontos ! Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar as solu¸c˜ oes expl´ıcitas dos problemas abaixo.

(1)

universidade federal de pernambuco – ´ area ii – 2014.1 MA129 (c´ alculo diferencial e integral 4) – turmas Q3 e Q7

3

^o

EXERC´ICIO ESCOLAR – 06/08/2014

Orienta¸ c˜ ao: O exame é estritamente individual, sem consulta ou calculadora. A ordem das quest˜ oes n˜ ao é importante. Responder a caneta preta ou azul, ou a l´ apis. Circular as respostas ! O valor de cada item está entre parênteses. Ao usar a tabela de transformadas de Laplace, indicar os parâmetros e o n´ umero de cada regra no passo em que é utilizada. Apenas solu¸cões leg´ıveis e justificadas recebe- r˜ ao pontos: escrever os passos, detalhes e propriedades relevantes.

Respostas memorizadas mas sem justificativas n˜ ao recebem pontos ! Quest˜ ao 1. Calcular e simplificar as solu¸c˜ oes expl´ıcitas dos problemas abaixo.

1.a (1,5). y

^′

(t) + 5 Z

t

0

exp(2v) y(t − v) dv = 4 δ(t − 3); y(0) = 4, t ≥ 0;

1.b (1,0). y

^′′

(x) − 3y

^′

(x) = 0, y(0) = 1, y

^′

(1) = 9e

³

.

Quest˜ ao 2. Seja a fun¸c˜ao h de per´ıodo 2 determinada por:

h(x) = 1 − 5x, se −1 < x < 1; h n˜ao est´a definida em x = ±1.

2.a (1,5). Calcular a s´erie de Fourier associada a h;

2.b (0,5). A s´erie converge em x = 1 ? Em caso afirmativo, para quanto ? 2.c (0,5). Usando a identidade de Parseval, calcular

∞

X

n=1

b

²_n

. Quest˜ ao 3 (2,0). Resolver

u

tt

(x, t) = 16 u

xx

(x, t) para x ∈ R , t > 0;

u(x, 0) = 2 exp (−x

²

), u

t

(x, 0) = 2 exp (x/4); x ∈ R Dica: A solu¸cão se decompõe como u(x, t) = A(x + 4t) + B(x − 4t) para fun¸cões A(ψ) e B(η) adequadas. Calculá-las !

Quest˜ ao 4 . Considere-se a EDP do calor com as condi¸c˜oes dadas abaixo:







u

t

(x, t) = u

xx

(x, t) para 0 < x < 3 e t > 0, u

x

(0, t) = 0 = u

x

(3, t) para t > 0,

u(x, 0) = cos(π x) − 4cos(5 π x) para 0 ≤ x ≤ 3.

4.a (2,0). Expressar a solu¸cão u(x, t) da EDP submetida às condi¸cões homo- gêneas como uma série formal (as dicas abaixo podem ser usadas);

4.b (1,0). Assumindo a convergˆencia da s´erie, calcular seus coeficientes.

(2)

Dicas sobre problemas de contorno para EDPs. Seguem-se bases para as autofun¸c˜ oes de Z

^′′

(z) = −λ Z(z) com 0 ≤ z ≤ L (logo, o autovalor ´e −λ) submetidas ` as respectivas condi¸c˜ oes de contorno (abaixo, n ´e inteiro).

Caso Z

^′

(0) = 0 = Z

^′

(L): Z

_n

(z) = cos n π z L

, λ

_n

= n π L

2

para n > 0; e Z

₀

(z) = 1, λ

₀

= 0;

Caso Z (0) = 0 = Z (L): Z

n

(z) = sen n π z L

, λ

n

= n π L

2

para n > 0.

Regra f (t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Parˆ ametros s ∈ F (s) = L{f (t)}(s)

01 e

^at

a ∈

R

(a, +∞) 1/(s − a)

02 cos (ωt) ω ∈

R

(0, +∞) s/(s

²

+ ω

²

)

03 sen(ωt) ω ∈

R

(0, +∞) ω/(s

²

+ ω

²

)

04 cosh (ωt) ω ∈

R

(|ω|, +∞) s/(s

²

− ω

²

)

05 senh(ωt) ω ∈

R

(|ω|, +∞) ω/(s

²

− ω

²

)

06 t

ⁿ

n ∈

N

(0, +∞) n! / s

ⁿ⁺¹

07 t

^r

r ∈ (−1, +∞) (0, +∞) Γ(r + 1) / s

^r+1

08 δ(t − c) c ∈ [0, +∞)

R

e

⁻^cs

Regra f (t) = L

⁻¹

{F (s)}(t) Parˆ ametros F (s) = L{f (t)}(s)

09 a f (t) + b g(t) a, b ∈

R

a F (s) + b G(s)

10 f (a t) a ∈ (0, +∞) F (s/a) / a

11 e

^at

f (t) a ∈

R

F (s − a)

12 t

ⁿ

f (t) n ∈

N

(−1)

ⁿ

F

⁽ⁿ⁾

(s)

13 f (t)

t Se h´ a lim

t→0

f (t)

t , ent˜ao

Z ₊∞ s

F(v) dv

14 f

^(k)

(t) k ∈

N

s

^k

F (s) −

k−1

X

=0

f

^()

(0) s

^k⁻¹⁻^

15

Z t

0

f (u) du F(s)

s

16 u

_c

(t) f(t) c ∈ [0, +∞) e

⁻^cs

L{f (t + c)}(s) 17 u

c

(t) f (t − c) c ∈ [0, +∞) e

⁻^cs

F (s) 18 Se f (t + P ) = f (t) onde P ∈ (0, +∞)

(per´ıodo), ent˜ao

1 1 − e

⁻^sP

Z P

0

e

⁻^st

f(t) dt

19 (f ∗ g)(t) F(s) G(s)