DAVIDSON PAULO AZEVEDO OLIVEIRA
UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE
ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E
ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE
FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE
RELEVANTE
Ouro Preto 2012
DAVIDSON PAULO AZEVEDO OLIVEIRA
UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE
ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E
ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE
FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE
RELEVANTE
Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática, oferecido pela Universidade Federal de Ouro Preto, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação Matemática.
Orientadora: Marger da Conceição Ventura Viana Doutora em Ciências Pedagógicas Co-Orientador: Milton Rosa
Doutor em Educação – Liderança Educacional
Ouro Preto 2012
Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br
Catalogação: sisbin@sisbin.ufop.br
O482e Oliveira, Davidson Paulo Azevedo.
Um estudo misto para entender as contribuições de atividades baseadas nos fundos de conhecimento e ancoradas na perspectiva sociocultural da história da matemática para a aprendizagem de funções por meio da pedagogia culturalmente relevante [manuscrito] / Davidson Paulo Azevedo Oliveira – 2012.
311 f.: il., color.; grafs.; tabs.
Orientadora: Profª. Drª. Marger da Conceição Ventura Viana. Orientador: Prof. Dr. Milton Rosa.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Matemática. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática.
Área de concentração: Educação Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino - Teses. 2. Matemática - História - Teses. 3. Professores - Formação - Teses. 4. Pedagogia culturalmente relevante - Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. II. Título.
CDU: 517.5:51(091)
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UM ESTUDO MISTO PARA ENTENDER AS CONTRIBUIÇÕES DE
ATIVIDADES BASEADAS NOS FUNDOS DE CONHECIMENTO E
ANCORADAS NA PERSPECTIVA SOCIOCULTURAL DA
HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA A APRENDIZAGEM DE
FUNÇÕES POR MEIO DA PEDAGOGIA CULTURALMENTE
RELEVANTE
Autor: Davidson Paulo Azevedo Oliveira
Orientadora: Marger da Conceição Ventura Viana Co-Orientador: Milton Rosa
Este exemplar corresponde à redação da dissertação apresentada por Davidson Paulo Azevedo Oliveira e aprovado pela __________________________________.
A todos aqueles que acreditam que
não há falta de cultura, mas
diferentes culturas...
AGRADECIMENTOS
Não há palavras para agradecer o quanto todos foram importantes para mim, sobretudo DEUS que me permitiu trilhar esse caminho.
À minha Mãe, Vilma Azevedo Oliveira, irmã Flávia de Azevedo Oliveira, e pai Antônio Rogério Araújo Oliveira, por entenderem as minhas ausências e acreditarem em mim sendo minha inspiração para seguir em frente.
Aos meus orientadores Marger Viana e Milton Rosa pelos momentos de orientação e momentos em que me deixaram em quase desespero.
Aos professores Ubiratan D‟Ambrósio e Frederico Reis pelas valiosas contribuições sugeridas neste trabalho.
Aos meus familiares e amigos, mesmo sendo redundante, pois muitos amigos são na verdade parte de minha família.
Aos professores que tive em minha vida, ressaltando-se os diretamente ligados a este trabalho, os do programa da UFOP.
Por último, mas não menos importante, agradeço a todos os alunos que tive em minha carreira pois cada um me ensinou algo importante...
RESUMO
Esta pesquisa foi realizada com o propósito de buscar as contribuições que atividades baseadas em uma parte específica da cultura (os fundos de conhecimento) dos alunos podem trazer para as aulas, pois o desenvolvimento da Matemática, no decorrer da história, depende da cultura e da época nas quais os criadores desse conhecimento estão inseridos. Da mesma maneira, a aquisição do conhecimento matemático, em sala de aula, pode estar relacionada com experiências culturais dos alunos. Este estudo está embasado em três teorias da Educação: a Perspectiva Sociocultural da História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante. O público-alvo foram 72 alunos de duas turmas da primeira série de um curso Técnico de Edificações (Ensino Médio) de uma escola pública profissional, situada no interior de Minas Gerais. O objetivo principal deste estudo foi coletar informações que pudessem responder à questão de investigação da pesquisa: quais são algumas das possíveis contribuições que atividades baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos e ancoradas na perspectiva sociocultural da História da Matemática podem trazer ao processo de ensino e de aprendizagem de funções por meio da utilização da abordagem da Pedagogia Culturalmente Relevante? Assim, foram utilizados como instrumentos de coleta de dados dois questionários, dois grupos focais, o caderno de campo do professor-pesquisador, entrevistas de acompanhamento, conversas informais com os participantes deste estudo e três registros documentais que continham atividades matemáticas relacionadas ao conteúdo “Funções”. A História da Matemática foi utilizada de maneira implícita e explícita, servindo como eixo de orientação para que o professor-pesquisador pudesse elaborar as atividades propostas com a utilização dos fundos de conhecimento dos participantes da pesquisa. Essa abordagem possibilitou a utilização dos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante, definida como uma pedagogia crítica, comprometida com o coletivo, baseada no tripé composto pela consciência crítica, sucesso acadêmico e competência cultural. Para a coleta e análise dos dados qualitativos e quantitativos, utilizou-se, como proposta metodológica, o estudo misto denominado QUAN + QUAL e a análise de conteúdo, para que os dados fossem coletados e analisados concomitantemente às etapas desta pesquisa. Essa abordagem teve por objetivo aumentar a validade e fidedignidade deste estudo por meio da triangulação dos dados coletados nos instrumentos de coleta e nas teorias discutidas
na fundamentação teórica abordada na revisão de literatura. Posteriormente, os resultados foram analisados, discutidos e interpretados para, depois, serem registrados como parte integrante da pesquisa. A interpretação da análise dos resultados mostra que houve o aprendizado e crescimento da maioria dos alunos em relação à notação algébrica simbólica, ressaltando-se a importância do estágio retórico da álgebra para o entendimento do simbolismo acadêmico e o desenvolvimento da linguagem algébrica simbólica. Os resultados deste estudo também mostram que se necessita elaborar propostas de ensino baseadas na perspectiva das teorias discutidas nesta dissertação, pois pode propiciar o desenvolvimento da reflexão crítica dos alunos. Algumas implicações e recomendações para os professores, alunos e para pesquisas futuras também são apresentadas. Este estudo pode colaborar com a prática pedagógica dos professores ao sugerir a utilização de atividades que sejam culturalmente relevantes para os alunos.
Palavras-chave: História da Matemática, Pedagogia Culturalmente Relevante, Fundos
de Conhecimento, Estudo Misto, Perspectiva Sociocultural.
ABSTRACT
This study is grounded in three theories of Education: a Sociocultural Perspective of History of Mathematics, Funds of Knowledge, and Culturally Relevant Pedagogy; and was conducted with the purpose of seeking contributions to activities based on gaining insight into specific parts of student culture such as funds of knowledge they bring to classrooms. In this regard, the development of mathematics in history depends on the culture as well as on the period of time in which the creators of that knowledge were living. The population was composed by 72 students from two classes in a first year of a technical edification course in a public technical high school in the interior of Minas Gerais. The main objective of this study was to collect information that could answer the research question: What are some of possible contributions that activities based on students' funds of knowledge and anchored in sociocultural perspective of History of Mathematics can bring to teaching and learning functions through the use of Culturally Relevant Pedagogy approach? Thus, two questionnaires, two focus groups, field notes
of the researcher-teacher, follow-up interviews, and informal conversations with participants of this study, and three documental records containing mathematics activities related to the functions content were used as instruments for data collection. The History of Mathematics was applied both implicit and explicit ways, which served as an orientation guide so the researcher-teacher could develop the proposed activities by applying the funds of knowledge of the participants of this research. It was found that the acquisition of mathematical knowledge in the classroom is related to students‟ cultural experiences. This approach allowed the use of the propositions of Culturally Relevant Pedagogy, which is defined as a critical pedagogy that is committed to the collective and based on a tripod composed by critical awareness, cultural competence, and academic success. For the collection and data analysis of qualitative and quantitative, the mixed methods study QUAN + QUAL and content analysis were used as proposed methodology so that data were collected and analyzed concurrently in all phases of this research. This approach aimed to increase the validity and reliability of this study through data triangulation, which were collected in the data collection instruments as well as by triangulating the theories discussed in the theoretical framework addressed in the literature review. Thereafter, the results were analyzed, discussed, and interpreted in order to be addressed as part of this research. The interpretation of the results of data analysis shows that the majority of the participants learned and improved their knowledge in relation to symbolic algebraic notation by highlighting the importance of rhetoric stage of algebra in order to understand the symbolism and academic development of symbolic algebraic language. The results of this study also show that it is necessary to develop educational proposals based upon the perspective of the theories discussed in this dissertation, which may encourage the development of students‟ critical thinking. Some implications and recommendations for teachers, students and for future research are also presented. This study may contribute to the pedagogical practice of teachers by suggesting the use of activities that are culturally relevant to the students.
Keywords: History of Mathematics, Culturally Relevant Pedagogy, Funds of
Lista de figuras
Figura 1: Representação gráfica de função utilizada por Oresme ... 49
Figura 2: Representação gráfica de Gelileu ... 50
Figura 3: Representação chinesa para os números negativos e positivos... 60
Figura 4: As três proposições para a Pedagogia Culturalmente Relevante ... 76
Figura 5: Idade dos alunos da turma A ... 96
Figura 6: Cidade de nascimento dos alunos da Turma A ... 97
Figura 7: Idade dos alunos da Turma B ... 98
Figura 8: Cidade de nascimento dos alunos da Turma B ... 99
Figura 9: Design de estudo misto ... 113
Figura 10: Triangulação dos instrumentos utilizados na coleta para a análise dos dados ... 115
Figura 11: Triangulação dos Instrumentos e Teorias ... 116
Figura 12: Diagrama de Elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental I ... 120
Figura 13: O enunciado do item (a) da atividade 1 ... 122
Figura 14: Resposta dada pela participante A3 ao item a da atividade 1 ... 123
Figura 15: Resposta dada pela participante A3 ... 124
Figura 16: Resposta dada pelo participante B6 ... 125
Figura 17: Resposta dada pela aluna B9 ... 125
Figura 18: Resposta dada pelo participante B6 ... 129
Figura 19: Resposta dada pela participante B21 ... 129
Figura 20: Resposta dada pelo aluno A30 ... 129
Figura 21: Resposta dada pelo participante A26 ... 130
Figura 22: Enunciado da Atividade 2 do Registro Documental I... 132
Figura 23: Resposta dada pela participante B29 ... 132
Figura 24: Resolução dada pela participante A9 ... 133
Figura 25: Diagrama de elaboração da Atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 134
Figura 26: Resposta dada por um participante não identificado ... 134
Figura 27: Informações históricas contidas no texto sobre o pensamento funcional da Atividade 3 ... 137
Figura 28: Resposta dada pelo aluno B2 ... 139
Figura 29: Resposta dada pela participante B21 ... 140
Figura 30: Resposta dada pela aluna B35 ... 141
Figura 31: Representação matemática dada pela participante A1 ... 142
Figura 32: Representação matemática utilizada pela aluna A33 ... 142
Figura 33: Resposta dada pela participante B25 ... 142
Figura 34: Resposta dada pela participante B23 ... 143
Figura 36: Diagrama de elaboração da atividade 4 ... 145
Figura 37: Resposta dada pela participante B25 ... 148
Figura 38: Resposta dada pela participante B9 ... 148
Figura 39: Resposta dada pelo participante não identificado ... 149
Figura 40: Resposta dada pela participante A29 ... 150
Figura 41: Resposta dada pela participante A33 ... 150
Figura 42: Resposta dada pela participante B9 ... 150
Figura 43: Resposta dada pela participante B25 ... 151
Figura 44: Resposta dada pela participante B1 ... 151
Figura 45: Resposta dada pela participante A5 ... 153
Figura 46: Resposta dada pela participante A31 ... 153
Figura 47: Resposta dada por um participante não identificado ... 153
Figura 48: Resposta dada pela participante A39 ... 154
Figura 49: Resposta dada pelo participante A28 ... 154
Figura 50: Resposta dada pelo participante A44 ... 155
Figura 51: Resposta dada pela participante A13 ... 158
Figura 52: Resposta dada pela participante B31 ... 158
Figura 53: Resposta dada pela participante B27 ... 158
Figura 54: Resposta dada pela participante A5 ... 160
Figura 55: Resposta dada pela participante B9 ... 160
Figura 56: Representação por meio da relação de proporcionalidade utilizada pela participante B3 ... 161
Figura 57: Resposta mista dada pela participante A9 ... 162
Figura 58: Resposta gráfica dada pela participante B25... 163
Figura 59: Texto introdutório da atividade do Registro Documental II ... 166
Figura 60: Trecho de uma conversa ocorrida no grupo focal entre o professor-pesquisador e os alunos ... 168
Figura 61: Diagrama de elaboração das atividades propostas no Registro Documental II ... 168
Figura 62: Texto introdutório ... 169
Figura 63: Resposta dada pela participante B15 ... 171
Figura 64: Resposta dada pela participante B23 ... 171
Figura 65: Resposta dada pela participante B17 ... 171
Figura 66: Resposta dada pelo participante B20 ... 172
Figura 67: Resposta dada pela participante A39 ... 172
Figura 68: Resposta dada pela participante A29 ... 172
Figura 69: Respota dada pela participante A21 ... 172
Figura 70: Resposta dada pela participante A13 ... 173
Figura 71: Resposta dada pelo participante B20 ... 175
Figura 72: Resposta dada pelo participante B20 ... 175
Figura 73: Resposta dada pela participante B41 ... 176
Figura 75: Resposta dada por um dos alunos que não se identificou ... 176
Figura 76: Resposta dada pelo participante A12 ... 177
Figura 77: Resposta dada por um aluno não identificado ... 177
Figura 78: Diagrama de elaboração da Atividade 1 proposta no Registro Documental III ... 180
Figura 79: Resposta dada pela participante A13 ... 190
Figura 80: Resposta dada pela participante B5 ... 190
Figura 81: Resposta dada pela aluna B13 ... 191
Figura 82: Resposta dada pela aluna A7 ... 192
Figura 83: Resposta dada pela aluna B9 ... 193
Figura 84: Resposta dada pela aluna A37 ... 193
Figura 85: Resposta dada pela aluna A43 ... 194
Figura 86: Resposta dada pelo participante A12 ... 194
Figura 87: Texto introdutório ao item (c) da atividade 1 ... 195
Figura 88: Resposta dada pela participante A7 ... 199
Figura 89: Resposta dada pelo participante A12 ... 199
Figura 90: Resolução dada pala aluna B29 ... 202
Figura 91: Representação gráfica elaborada pelo aluno A20 e pelo aluno não identificado para os itens (d), (e), (f) ... 202
Figura 92: Respostadada pelo aluno A22 ... 204
Figura 93: Gráfico elaborado pela aluna A39 ... 205
Figura 94: Resposta dada pela participante A13 ... 206
Figura 95: Diagrama de elaboração da atividade 2 do Registro Documental III ... 206
Figura 96: Representação do círculo e do triângulo retângulo com áreas iguais ... 209
Figura 97: Ilustração da afirmativa de Arquimedes com a utilização do GeoGebra .... 210
Figura 98: Determinação das área do círculo e do triângulo Retângulo com a utilização de 2 unidades de medida ... 210
Figura 99: Determinação das área do círculo e do triângulo retângulo com a utilização de um raio de 3,2 unidades de medida... 211
Figura 100: Resposta dada pela aluna B39 ... 213
Figura 101: Resposta dada pela participante B39 ... 214
Figura 102: Resposta dada pela participante B43 ... 215
Figura 103: Resposta dada pela participante A17 ... 216
Figura 104: Resposta dada pelo aluno A30 ao item (f) da atividade 1 proposta no Registro Documental I ... 218
Figura 105: Gráfico elaborado por A23 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 218
Figura 106: Resposta da participante A27 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 219
Figura 107: Gráfico elaborado pela participante A35 ao item (c) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 219
Figura 108: Gráfico da participante A7 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro
Documental I ... 220
Figura 109: Gráfico elaborado pelo participante A4 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 220
Figura 110: Gráfico elaborado pela participante A41 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 221
Figura 111: Gráfico elaborado pela participante B43 ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 221
Figura 112: Gráfico elaborado pelo aluno B20 referente ao item (d) da atividade 3 proposta no Registro Documental I ... 222
Figura 113: Representação gráfica da aluna A21 ao item (d) da atividade 3 Registro Documental I ... 222
Figura 114:Representação gráfica do participante B8 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I ... 222
Figura 115: Gráfico elaborado pela aluna B21 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I ... 223
Figura 116: Representação gráfica elaborada pela aluna A5 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I ... 223
Figura 117: Representação gráfica da aluna B3 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I ... 224
Figura 118: Gráfico elaborado pela aluna B33 ao item (d) da atividade 3 do Registro Documental I ... 224
Figura 119: Resposta gráfica dada pela participante B25 ao item (g) da atividade 4 do Registro Documental I ... 225
Figura 120: Resposta dada pela participante A29 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I ... 226
Figura 121: Resposta dada pela participante B9 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I ... 226
Figura 122: Resposta dada pela participante A31 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I ... 227
Figura 123: Teoria das Laitudes das Formas de Oresme... 227
Figura 124: Resposta dada pela participante B3 ... 227
Figura 125: Gráfico elaborado por um participante sem identificação ... 229
Figura 126: Resposta dada pela participante B43 ... 229
Figura 127: Resposta dada pelo participante A18 ao item (h) da atividade 4 proposta no Registro Documental I ... 230
Figura 128: Resposta dada pela participante B9 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 230
Figura 129: Resposta dada pela participante A9 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 231
Figura 130: Resposta dada pela participante A3 5ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 231
Figura 131: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 231 Figura 132: Resposta dada pela participante sem identificação ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 232 Figura 133: Resposta dada pela participante A1 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 232 Figura 134: Resposta dada pela participante sem identificaçãoao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 232 Figura 135: Resposta dada pelo participante A11ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 233 Figura 136: Resposta dada pela participante B23 ao item (b) da atividade 3 proposta no Registro Documental II ... 233
Lista de Quadros
Quadro 1: Sequência didática de atividades ancoradas na História da Matemática ... 35
Quadro 2: Quadro de notações algébricas utilizadas por Diofante ... 44
Quadro 3: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma A ... 97
Quadro 4: Informação sobre o local de residência e com quem residem os participantes da Turma B ... 99
Quadro 5: Instumentos de coleta de dados quantitativos e qualitativos ... 107
Quadro 6: Cronograma de realização de atividades ... 108
Quadro 7: Data das entrevistas com quatro participantes... 112
Quadro 8: Respostas dadas pelos 70 participantes à questão 10 do Questionário I ... 118
Quadro 9: Respostas dadas pelos participantes à questão 11 do Questionário I ... 118
Quadro 10: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da Atividade 1 ... 124
Quadro 11: Respostas dadas pelos participantes aos itens (c), (d) e (e) da Atividade 1 ... 127
Quadro 12: Respostas apresentadas pelos alunos ao item (f) da Atividade I proposta no Registro Documental I ... 131
Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes para a resolução da Atividade 2... 132
Quadro 14: Respostas dos participantes à questão 13 do questionário II ... 146
Quadro 15: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade 4 ... 151
Quadro 16: Respostas dos participantes dadas ao item (h) ... 163
Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes ao item (i) ... 164
Quadro 18: Respostas dadas pelos participantes ao item (j) ... 165
Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes ao item (a). ... 169
Quadro 20: Respostas dadas pelos alunos à representação gráfica ... 173
Quadro 21: Resposta dos participantes por meio da representação analítica de funções ... 174
Quadro 22: Respostas dadas pelos participantes para o item (d) ... 178
Quadro 23: Respostas dadas pelos participantes ao item (e) ... 179
Quadro 24: Respostas dadas a questão nove do Questionário II ... 185
Quadro 25: Respostas dadas à questão onze do Questionário II ... 186
Quadro 26: Preços dos diversos tipos de laje fornecidos pelo participante A6 ... 188
Quadro 27: Diversas maneiras de resolução apresentadas pelos alunos ao item (a) da atividade I ... 189
Quadro 28: Diversas maneiras de resolução do item (b) da atividade 1 ... 191
Quadro 29: Diversas maneiras de resolução do item (c) da atividade 1... 197
Quadro 30: Respostas dadas pelos alunos ao item (d) da atividade 1 ... 198
Quadro 31: Respostas apresentadas ao item (e) ... 200
Quadro 33: Respostas dadas pelos estudantes ao item (g) da atividade 1 ... 203
Quadro 34: Respostas dadas pelos participantes à questão 12 do Questionário I ... 208
Quadro 35: Respostas dos participantes ao item (a) da atividade 2 ... 212
Quadro 36: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade 2 ... 214
Quadro 37: Respostas dos participantes ao item (c) ... 215
Quadro 38: Respostas dadas pelos participantes ao item (h) da atividade 4 do Registro Documental I ... 225
Lista de Gráficos
Gráfico 1: Quantidade de alunos que não responderam aos itens das atividades 1 e 2 propostas no Registro Documental III ... 217
Introdução ... 22
Capítulo 1 Revisão de Literatura ... 33
1.1 História da Matemática ... 33
1.1.1 O Conhecimento da História da Matemática pelos Professores ... 36
1.1.2 A Insuficiência de Material Didático-Pedagógico para os Professores ... 39
1.2 Uma Breve História das Funções ... 42
1.2.1 Estágios da Evolução Histórica da Linguagem Algébrica ... 43
1.2.2 As Primeiras Noções de Funções ... 46
1.2.3 A Representação Gráfica de Oresme ... 47
1.2.3 O Conceito de Função ... 50
1.3 A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática ... 52
1.4 Os Fundos de Conhecimento ... 67
1.5 A Pedagogia Culturalmente Relevante ... 75
1.6 A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante ... 86 Capítulo 2 Metodologia ... 93 2.1 Contexto Escolar ... 94 2.2 Participantes da Pesquisa ... 95 2.2.1 Participantes da Turma A ... 95 2.2.2 Participantes da Turma B ... 98 2.3 Instrumentos ... 100 2.4 Coleta de Dados ... 106
2.5 Procedimentos Metodológicos ... 108
2.6 Análise dos Dados ... 112
2.6 Design da Pesquisa ... 113
2.7 Triangulação ... 114
Capítulo 3 Apresentação dos dados e análise ... 117
3.1 Dados Quantitativos (QUAN) ... 117
3.2 Dados Qualitativos (QUAL) ... 119
3.3 Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias I (Apêndice VII) ... 119
3.3.1Atividade 1 ... 120
3.3.2 Atividade 2 ... 131
3.3.3 Atividade 3 ... 133
3.3.4 Atividade 4 ... 145
3.4 Registro Documental II – Atividades Matemáticas Exploratórias II ... 166
3.4.1. O texto introdutório ... 169
3.5 Registro Documental III: Atividades Matemáticas Exploratórias III ... 179
3.5.1 Atividade 1 ... 180 3.6.1 A História da Matemática ... 206 3.6.2 Questionário I: Questão 10 ... 208 3.6.3 Questionário I: Questão 11 ... 208 3.6.4 Questionário I: Questão 12 ... 208 Capítulo 4 Interpretação dos Resultados ... 234
4.1 Análise de Conteúdo ... 234
4.1.3. Preparação das Informações ... 235
4.2.1 Unitarização ... 236
4.2.3 Categorização ... 238
4.2.4 Descrição ... 238
4.2.5 Interpretação ... 240
4.3 Quantificação dos Dados Qualitativos: Transformação dos Dados Qualitativos (QUAL) em Quantitativos (QUAN) ... 241
4.4. QUAN+QUAL: Análise e Interpretação Concomitante dos Dados Quantitativos (QUAN) e Qualitativos (QUAL) ... 245
4.5. Categorias de Análise ... 246
4.5.1 A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática na sala de aula: Possibilidades e Limites ... 247
4.5.2 Fundos de Conhecimento: A interação entre os Fundos de Conhecimento dos alunos no delinear da pesquisa – Da Análise dos dados emergentes à elaboração de novos instrumentos metodológicos ... 258
4.5.3 Pedagogia Culturalmente Relevante: Indícios da relevância de uma pedagogia que valorize o contexto sociocultural dos alunos - A experimentação e o desenvolvimento da criticidade e da cidadania a partir da participação na pesquisa ... 266
4.6 Resumindo ... 271
Capítulo 5 Problemática da Pesquisa, Implicações e Recomendações ... 273
5.1 Problemática da Pesquisa ... 273 5.2 Implicações e Recomendações ... 274 5.2.1 Implicações ... 274 5.2.2 Recomendações ... 279 Considerações Finais ... 284 Referências Bibliográficas. ... 287
INTRODUÇÃO
O primeiro contato do professor-pesquisador com o estudo da História Geral ocorreu quando de seu ingresso na Escola Básica. Nas aulas de Estudos Sociais eram discutidos e apresentados fatos que marcaram as gerações anteriores e que são considerados importantes para análise das futuras gerações, pois, para uma melhor compreensão do presente e do futuro, devem-se olhar os erros e os acertos do passado. Nessa época, o pesquisador era um aluno com facilidade para aprender Matemática, disciplina que era considerada difícil pela maioria dos seus colegas, pois tinham grandes dificuldades em entender seus conteúdos. Por outro lado, o pesquisador não apresentava afinidades com o estudo da História Geral e do Brasil.
Porém, no Ensino Fundamental, então chamado de 1º grau, o pesquisador começou, ainda que de maneira modesta e sem profundas reflexões, a realizar uma relação entre a História, a Matemática e a História da Matemática. Recorda-se que esse primeiro contato com a História da Matemática sucedeu quando estava na 7ª série, pois o livro didático, adotado na escola municipal em que estudava, apresentava informações históricas e curiosidades matemáticas ao final de cada capítulo, que eram identificadas por páginas azuis. O professor da disciplina não utilizava nem motivava a leitura dessas páginas, porém, o pesquisador as lia por considerar interessantes e curiosas as informações históricas nelas contidas. Contudo, atualmente, apesar de constar no Programa Nacional do Livro do Ensino Médio – PNLEM (BRASIL, 2004), que o livro didático deve referenciar os processos históricos de produção do conhecimento matemático e utilizar esses processos como um instrumento para auxiliar a aprendizagem da Matemática, a maneira como os textos históricos aparecem na maioria desses livros dificulta a utilização, pelos professores, da História da Matemática como parte integrante do processo de ensino-aprendizagem em Matemática. Por exemplo, os textos sobre a História da Matemática do livro Coleção de Matemática de Dante (2005), a seção Leitura aparece sempre nas páginas finais de cada capítulo, apesar dos textos serem interessantes e estarem de acordo com o assunto abordado em cada capítulo. Esses textos são curtos e não possuem um relacionamento direto com o conteúdo a ser ensinado (LUTZ, 2006).
Um fato marcante ocorreu ainda na escola, quando o professor do pesquisador perguntou como poderia ser calculada a área de um círculo. Como havia terminado de estudar como determinar as áreas de polígonos, o professor-pesquisador respondeu ao seu professor que se pode colocar “um polígono dentro de um círculo, calcule a área dele e continue aumentando o número de lados do polígono até que ele fique quase do tamanho do círculo”.
Expondo essa ideia ao professor, o professor-pesquisador explicou que esse método de calcular a área do círculo, por aproximação das áreas de polígonos inscritos cada vez mais próximas da do círculo, foi utilizada a tempos atrás e era denominada pelos matemáticos gregos de Método da Exaustão.
Esse procedimento é explicado por Garbi (2007), pois “(...) inscrevendo-se um polígono em um círculo, ficaria caracterizada uma diferença entre as áreas das duas figuras e que tal diferença poderia ser sucessivamente diminuída, à medida que o número de lados do polígono fosse sendo aumentado” (p. 15).
Hoje, aquele momento pode ser interpretado como sendo o de um aluno em uma escola pequena, pública, percorrendo os caminhos trilhados pelos gregos, (re)construindo a Matemática a sua maneira e a seu tempo. Esse fato aconteceu em um momento de aprendizagem que foi provocado e bem conduzido pelo professor da disciplina, que facilitou o debate sobre o conhecimento matemático necessário para a determinação da área do círculo de uma maneira didático-pedagógica. Com isso, o professor instigava os alunos a criarem uma maneira diferente para o cálculo da área do círculo, pois os alunos possuíam um conhecimento matemático prévio necessário e suficiente para calcular a área de diversos polígonos.
De um modo geral, a necessidade que surgiu, nesse contexto, para o desenvolvimento de uma maneira inovadora para calcular a área do círculo pode ser considerada como uma necessidade similar àquela que os gregos tiveram para calcular a área de uma figura circular por meio do método da exaustão. Esse método foi uma das grandes contribuições dos gregos para o desenvolvimento da geometria, pois tinha aplicações na determinação de áreas e volumes de figuras geométricas sofisticadas. Esse mesmo processo foi utilizado por Arquimedes para determinar a área do círculo.
Então, percebe-se como foi importante na vida do professor-pesquisador uma simples questão colocada por seu professor, pois essa o influenciou de tal modo que
pode ser considerada como a pedra fundamental para as reflexões sobre a utilização da História da Matemática em sua prática docente e, sobretudo, para a realização e elaboração desse e de outros trabalhos futuros com o enfoque da História da Matemática na Educação Matemática.
No curso de Licenciatura em Matemática, o professor-pesquisador retomou o contato com a História da Matemática, porém de modo autônomo, buscando referências na Biblioteca da Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e, também, por meio de um mini-curso de verão denominado Tópicos da História do Cálculo, lecionado em 2002, pelo professor Antônio Zumpano, na UFMG.
A primeira obra estudada pelo professor-pesquisador foi a História da Matemática, de Boyer (1996), avaliada por esse pesquisador como de difícil leitura e que, por esse motivo, pode não estimular os leitores iniciantes a continuarem a busca por aspectos históricos da Matemática. No entanto, esse livro é uma boa fonte de pesquisa para os professores organizarem um material adequado com relação à contribuição da história para a construção do conhecimento matemático.
Outras obras, de leitura mais agradável, também foram analisadas, como por exemplo, O Romance das Equações Algébricas (GARBI, 1997) e A Experiência Matemática (DAVIS e HERSH, 1985). Além desses títulos, na disciplina História da Matemática, cursada na Licenciatura, procedeu-se à leitura de História Concisa da Matemática (STRUIK, 1997).
Como professor, o pesquisador se dedicava também à leitura de livros paradidáticos da Matemática, pois, à medida que os lia, adquiria alguns conhecimentos relativos ao desenvolvimento da Matemática e procurava incorporar esses conhecimentos às suas aulas. No entanto, a História da Matemática era somente utilizada como motivação para as aulas e somente avaliada em relação aos textos colocados nos testes de aprendizagem da Matemática.
Mesmo ficando em segundo plano, os alunos se entusiasmavam pelas curiosidades encontradas nos livros e textos acerca do assunto. Entretanto, Miguel (1993) considera que essa justificativa para utilização da História da Matemática no ensino-aprendizagem da Matemática é um “otimismo ingênuo (...), [pois] se ela motivasse, o ensino da própria história seria motivador” (p. 68). Contudo, para Fauvel
(1991) e Mendes (2006), a história, dentre outros benefícios, aumenta a motivação para a aprendizagem da Matemática.
Considerando outra perspectiva, Baroni e Nobre (1999) consideram que a História da Matemática vem ganhando destaque no meio acadêmico-educacional, porém deve ser utilizada com cautela, já que não se pode considerá-la simplesmente como uma motivação para o desenvolvimento de determinados conteúdos matemáticos.
Radford (1997) afirma que os aspectos históricos devem ser considerados no momento em que se estudam os conteúdos curriculares de Matemática. Isso foi o que ocorreu com o professor-pesquisador, em diferentes períodos de sua vida, direcionando-o a refletir sdirecionando-obre quais relações existem entre direcionando-os prdirecionando-ocessdirecionando-os de ensindirecionando-o-aprendizagem da Matemática e da História da Matemática. Essa reflexão também ocorreu com relação ao conhecimento a respeito da história dos conteúdos matemáticos a serem trabalhados pelos professores, em sala de aula, pois podem ampliar o desenvolvimento profissional do educador matemático. Nesse sentido, Rosa (2010) afirma que a Matemática está atrelada ao meio no qual foi desenvolvida, com destaque para a cultura da época em que os acontecimento matemáticos foram desencadeados. Considerando essa abordagem, no ensino de determinados conteúdos matemáticos, é interessante considerar o desenvolvimento e a construção desses conceitos no decorrer da história. Assim, essa abordagem pedagógica pode diminuir a distância entre a apropriação do conhecimento matemático pelos alunos e o discurso dos professores, que ocorre em sala de aula com o apontamento dos possíveis aspectos conceituais históricos da Matemática que podem dificultar a aprendizagem dos alunos (FAUVEL, 1991).
Em sua experiência como docente, o professor-pesquisador percebeu as dificuldades que os alunos da Escola Básica têm para se apropriarem da linguagem algébrica atual. Esse fato também foi observado por Orey e Rosa (2008) ao afirmarem que “(...) um problema que aparece frequentemente em salas de aula de Matemática com alta diversidade está relacionado com alunos que, talvez, tenham dificuldades no entendimento do significado exato dos vários símbolos e representações” 1(p. 38, tradução nossa).
1
A problem that comes frequently to highly diverse mathematics classrooms is related to students who may have difficulty in understanding the exact meaning of various symbols and representations.
Nesse sentido, a História da Matemática pode fornecer subsídios aos professores para orientar os alunos em suas dificuldades epistemológicas, pois a história do conteúdo pode conter “dicas” sobre a origem dessas dificuldades (ARTIGUE apud RADFORD, 1997; FAUVEL, 1991). Esse fato sugere que os professores necessitam atender os alunos que questionam sobre determinado conteúdo matemático que os incomodam. Talvez esses conteúdos também tenham incomodado os grandes matemáticos, no decorrer da história e, atualmente, podem ser avaliados como irrelevantes pelos professores.
Porém, para se trabalhar com a História da Matemática, Baroni e Nobre (1999) enfatizam que é importante os professores conhecerem profundamente a história do conteúdo matemático a ser trabalhado. Normalmente, quando isso não ocorre, a História da Matemática é tratada somente como motivação para as aulas.
Nesse contexto, Mendes (2006) afirma que:
(...) a falta de informações sobre o desenvolvimento histórico da Matemática e de propostas metodológicas de utilização das mesmas no ensino da matemática escolar são algumas das dificuldades enfrentadas pelos professores que desejam usar a História da Matemática na sala de aula (p. 96-97).
Dessa maneira, o conhecimento da História da Matemática também oferece aos professores a oportunidade de “(...) conhecer como historicamente acontecem as relações do homem com o conhecimento, nos diferentes contextos culturais dessa produção, visando uma formação mais crítica dos professores de Matemática.” (SAD e SILVA, 2008, p.45).
De acordo com essa asserção, as relações da humanidade com o conhecimento matemático – bem como com o contexto cultural, no qual os conteúdos matemáticos foram criados – permitem a compreensão de alguns questionamentos elaborados pelos alunos e que lhes podem possibilitar uma compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos nesses questionamentos. Em especial, a linguagem algébrica e de símbolos precisam ter uma adequação histórica e cultural, pois muitos professores tendem a pensar na Matemática como uma linguagem universal (ROSA, 2010). Porém, Rosa e Orey (2008) argumentam que se “vemos a Matemática como uma linguagem universal,
então existem vários sotaques e dialetos que valem a pena serem estudados2” (p. 44, tradução nossa).
Contudo ao se relatar a História da Linguagem Algébrica, deve-se estar atento à veracidade das informações, pois a história tem lacunas que são preenchidas de acordo com a interpretação de quem a está relatando (NOBRE 2005). No entanto, mesmo que os professores não tenham a intenção de utilizar a História da Matemática, é importante conhecê-la, pois podem utilizá-la nas atividades curriculares propostas em sala de aula. Por exemplo, em 2009, um aluno perguntou ao professor-pesquisador se os números negativos poderiam ser raízes de equações de primeiro grau. Então, caso o professor desconhecesse esse aspecto da História da Matemática, não seria possível oferecer uma resposta que satisfizesse a curiosidade desse aluno. Dessa maneira, existe a necessidade de salientar que um questionamento desse tipo também ocorreu ao longo da História da Matemática, pois:
A ideia de números negativos parece não ter causado muitas dificuldades aos chineses, pois estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras – vermelha para os coeficientes positivos ou números e uma preta para os negativos. No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação (BOYER, 1996, p. 137).
Com o tempo e a experiência em sala de aula, o professor-pesquisador percebeu que conhecer a História da Matemática o instrumentalizava para entender as dúvidas e os questionamentos elaborados pelos alunos, que podem parecer simples à primeira vista, mas, se forem analisadas historicamente, foram problemas que ocuparam, durante séculos, as mentes grandiosas de muitos matemáticos. Esse é um dos argumentos apresentados por Fauvel (1991) para a utilização da História da Matemática, em sala de aula, pois há possibilidade de se apontar os possíveis aspectos conceituais e históricos de conteúdos matemáticos, que podem dificultar a aprendizagem em Matemática dos alunos.
Sabe-se, por exemplo, que, historicamente, o zero e os números negativos demoraram séculos até serem amplamente aceitos. Por exemplo, os números negativos
2
if we see mathematics as a universal language, then there are various accents and dialects worthy of study.
apareceram isolados em uma equação, pela primeira vez, na obra de Chuquet, no século XV:
Ao escrever .4.1egaulxam.2.0 (isto é, 4x2) Chuquet estava pela primeira vez exprimindo um número negativo isolado numa equação algébrica. Em geral ele rejeitava o zero como raiz de uma equação, mas ocasionalmente observava que o número procurado era zero (BOYER, 1996, p. 190).
Diante do exposto, evidencia-se que, de fato, os alunos têm dificuldades de se apropriarem da linguagem algébrica e dos símbolos atuais. Então, elaborou-se o seguinte problema de investigação que contribuirá para solucionar a problemática e determinar o produto educacional dessa dissertação3:
Quais são algumas das possíveis contribuições que atividades baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos e ancoradas na perspectiva sociocultural da História da Matemática podem trazer ao processo de ensino e aprendizagem de funções por meio da utilização da abordagem da Pedagogia Culturalmente Relevante?
O caminho seguido para se obter uma resposta a esse problema de investigação teve início com uma pesquisa no Banco de Teses da CAPES, quando foram encontradas 145 dissertações e teses relacionadas com a utilização da História da Matemática nos processos de ensino e aprendizagem em Matemática. Também foi realizada uma revisão de Literatura em livros clássicos de História da Matemática e publicações mais recentes, como por exemplo, artigos de revistas científicas e, principalmente, publicações da Sociedade Brasileira de História da Matemática, relativas ao tema dessa dissertação.
Em seguida, foi realizada a seleção de alguns textos que, após estudados minuciosamente, forneceram as ideias e conceituações aproveitadas para a elaboração da proposta desse estudo. Analisaram-se também as representações de funções realizadas por alunos da primeira série do Ensino Médio, comparando-as com algumas representações funcionais que ocorreram no decorrer da História da Matemática.
Diante desse contexto, neste estudo, a História da Matemática teve duas funções:
3 Os fundos de conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante são teorias que estão desenvolvidas
1) Atuou como um instrumento para que o professor-pesquisador pudesse compreender as dificuldades dos alunos em relação à notação algébrica e à representação de funções.
2) Foi utilizada de modo explícito para a elaboração de atividades de ressignificação da linguagem algébrica, fornecendo os recursos didáticos para a realização dessas tarefas.
Basicamente, os autores que mais influenciaram este trabalho de pesquisa, em relação à História da Matemática, cujos conceitos foram incorporados a este trabalho, foram Radford (1997), Radford e Guérette (2000), Radford e Grenier (1996), Furinghetti e Radford (2002), Furinghetti (1997), pois consideram que a construção do conhecimento matemático está situada em uma Perspectiva Sociocultural da História da Matemática. De acordo com essa perspectiva, é necessário analisar a época na qual o conhecimento matemático foi construído e também o contexto sociocultural no qual foi desenvolvido.
A partir dessas leituras, sentiu-se a necessidade de fundamentar esse estudo nos trabalhos da Pedagogia Culturalmente Relevante (LADSON-BILLINGS, 1995, 1995a, 1995b, 2006; GAY, 2002) e nos Fundos de Conhecimento dos alunos (GONZÁLEZ, ANDRADE, CIVIL, MOLL, 2001; MOLL, AMANTI, NEFF, GONZALES, 1992, HOGG, 2011) para elaborar atividades curriculares de ensino, tendo em vista o contexto sociocultural no qual se inserem os participantes dessa pesquisa.
Quanto à população alvo, essa pesquisa foi realizada, inicialmente, com 74 alunos, divididos em duas turmas de estudantes da 1ª série do Ensino Médio, que são alunos do professor-pesquisador. Apesar de serem duas turmas distintas, este estudo não é comparativo, pois tem como objetivo analisar como os participantes desenvolvem as representações de funções mediante as atividades elaboradas, que tiveram como fundamentação teórica a perspectica Sociocultural da História da Matemática, a Pedagogia Culturalmente Relevante e os Fundos de Conhecimento.
A escolha por esse número de participantes se deve ao fato de que ele facilita a aplicação das atividades propostas, pois não exclui do estudo nenhum dos alunos do professor que, nesta pesquisa, também atua como pesquisador. Além disso, como a pesquisa foi realizada com os alunos das duas turmas do professor-pesquisador, este estudo abrangeu toda a população de alunos sob estudo. Ressalta-se que, na época em
que o estudo foi conduzido, o professor-pesquisador residia no mesmo local em que a escola está localizada. Além disso, a série escolar escolhida para esta pesquisa é aquela na qual se estuda o tópico relacionado ao ensino de funções.
Como instrumentos de coleta de dados, foram aplicados dois questionários com o objetivo de identificar as características culturais e os fundos de conhecimento dos participantes da pesquisa; dois grupos focais para esclarecer as respostas dadas aos questionários; quatro entrevistas de acompanhamento, que visavam a aprofundar o entendimento das respostas às atividades matemáticas elaboradas para os três registros documentais, que foram respondidas pelos participantes da pesquisa. O diário de campo do professor-pesquisador também foi utilizado para a organização e análise dos dados coletados.
Os resultados deste trabalho foram analisados por meio da utilização do estudo misto (CRESWELL e PLANO CLARK, 2007; CRESWELL, 2003) sendo que os dados qualitativos e quantitativos foram analisados igualitária e simultaneamente, isto é, concorrentemente. Assim, esse estudo misto é do tipo QUAN + QUAL, pois está sendo implementado simultaneamente, em todas as etapas deste estudo.
Além disso, na análise de dados, o professor-pesquisador utilizou o método da triangulação, com o objetivo de verificar se é possível detectar a convergência dos dados coletados, bem como das teorias utilizadas na fundamentação teórica deste estudo. Então, a triangulação permitiu a verificação da convergência e corroboração dos dados coletados, interpretados e analisados a respeito da problematização do fenômeno estudado nesta pesquisa (CRESWELL, 2003).
Este estudo também apresentou algumas limitações, pois, por ser um estudo também qualitativo, existe uma dificuldade maior para que seja replicado na íntegra por outros professores e pesquisadores, que tenham como objetivo a obtenção de resultados semelhantes aos alcançados nesta pesquisa. Outra limitação é que os resultados deste estudo talvez não possam ser estendidos para todos os alunos do primeiro ano do Ensino Médio, em outros municípios do estado de Minas Gerais e do Brasil, pois o estudo de funções, determinado na matriz curricular do Projeto Político Pedagógico de outras unidades escolares, pode estar inserido em outra série do Ensino Médio. Assim, a metodologia do estudo misto, adotada nesta pesquisa, pode desfavorecer a replicação dos resultados deste estudo para todos os alunos do primeiro ano do Ensino Médio.
No entanto, os procedimentos metodológicos deste estudo podem ser adaptados por professores e pesquisadores que queiram elaborar aulas culturalmente relevantes para os alunos e que estejam ancoradas na abordagem da História da Matemática para o ensino e a aprendizagem da matemática. Dessa maneira, o produto final desse estudo poderá servir como um guia para os professores que estejam interessados na elaboração de atividades baseadas nos fundos de conhecimento, em que o contexto sociocultural dos alunos seja ressaltado. Além disso, este estudo também contém informações importantes sobre a evolução histórica de algumas representações de funções. Finalmente, sugestões, orientações e recomendações sobre como os professores podem desenvolver trabalhos dessa natureza são fornecidas por meio do produto, que foi elaborado com os dados e resultados obtidos por este estudo.
Assim, esta pesquisa foi elaborada com o desenvolvimento do tema sobre a linguagem algébrica no estudo das funções, pois essa linguagem tradicional – bem como a escrita algébrica simbólica – é construída no decorrer da vida acadêmica dos alunos. Então, é importante que essa construção permita que os alunos utilizem a sua própria maneira de representar o pensamento funcional, para depois apresentá-lo na maneira tradicional e acadêmica.
Esta dissertação está organizada em cinco (05) Capítulos, além de Introdução, Considerações, Referências e Apêndices.
O capítulo 1 contém a revisão de literatura pertinente ao tema estudado, com as três teorias que embasam esta pesquisa: História da Matemática, Fundos de Conhecimento e Pedagogia Culturalmente Relevante.
O capítulo 2 descreve a metodologia da pesquisa com os passos e escolhas metodológicas realizadas pelo professor-pesquisador, caracterizando os participantes desta pesquisa, apresentando os instrumentos de coleta de dados, os procedimentos metodológicos e como seria realizada a análise de dados.
O capítulo 3 apresenta os resultados da análise dos dados quantitativos e qualitativos de acordo com o estudo misto e sob o olhar do referencial teórico. Contempla, também, as respostas dos estudantes às atividades propostas nos registros documentais que foram analisadas de acordo com o referencial teórico construído na verisão de literatura.
O capítulo 4 apresenta a interpretação dos resultados segundo o estudo misto, estando ancorada nas 5 (cinco) etapas da análise de conteúdo.
O capítulo 5 apresenta as principais implicações e recomentações desta pesquisa para os alunos, professores, professor-pesquisador e futuras investigações no campo da Educação Matemática.
Finalizando, na continuidade deste estudo são traçadas as considerações finais, que foram concluídas a partir da interpretação da análise de dados e da fundamentação teórica.
Além disso, esta dissertação apresenta os apêndices contendo os roteiros dos principais instrumentos de coleta de dado utilizados pelo professor-pesquisador bem como as atividades que foram propostas nos registros documentais.
Este estudo gerou um produto educacional denominado Um pouco de história das funções: sugestões de atividades práticas para a sala de aula, que é um caderno de sugestões para os professores, podendo ser acessado no link http://www.ppgedmat.ufop.br/index.php?option=com_content&view=article&id=62&It emid=66.
33
Capítulo 1 Revisão de Literatura
O principal objetivo deste capítulo foi providenciar uma revisão de literatura relacionada com o tema deste estudo, isto é, apresentar as principais fundamentações teóricas que estão sendo discutidas nesta pesquisa em relação à História da Matemática, aos Fundos de Conhecimento e à Pedagogia Culturalmente Relevante.
Assim, o foco da revisão de literatura é baseado nos seguintes tópicos: a) História da Matemática;
b) Uma Breve História das Funções;
c) A Perspectiva Sociocultural da História da Matemática; d) Os Fundos de Conhecimento;
e) A Pedagogia Culturalmente Relevante;
f) A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante.
A seguir, apresenta-se a fundamentação teórica para cada um desses tópicos.
1.1 História da Matemática
Apesar de acontecerem de maneira isolada e não sistemática, as preocupações sobre a utilização da História da Matemática na Educação Matemática não são recentes. Por exemplo, em 1741, o matemático francês Clairaut mostrou preocupação com o uso da História da Matemática no ensino e na aprendizagem da Matemática, na obra intitulada Eléments de Geometrie. Miguel (1993) ressalta a importância dessa obra, pois mostra que o interesse em utilizar a História da Matemática como um meio auxiliar, potencialmente rico, no processo de ensino e de aprendizagem de Matemática realmente não é recente.
Nessa referida obra, Clairaut propôs um caminho para o ensino da geometria baseado na história, isto é, diferentemente da maneira como era apresentada em os Elementos de Euclides. Nesse sentido, Miguel (1993) argumenta que “Clairaut tinha consciência de que essa obra constituía-se em um curso preparatório aos Elementos de
Euclides” (p. 12). Por outro lado, Silva (2007) classificou o livro de Euclides como uma cartilha4 utilizada para o ensino de geometria da época.
Em estudos recentes, percebe-se que a História da Matemática é utilizada de duas maneiras distintas: explícita e implícita. Essas duas maneiras de utilizar a História da Matemática, nos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática, foram utilizadas por Ferreira e Rich (2001) apud Dambros (2006). Assim, tem-se que os problemas legítimos são aqueles que ocorreram de maneira idêntica, ao longo da história. Nesse caso, a História da Matemática é tratada de maneira explícita, pois se podem utilizar problemas que aparecem na Antologia Grega, em sala de aula. Nesse sentido, Eves (1962) apresenta um exemplo desse tipo de problema: “Quantas maçãs são necessárias se quatro entre seis pessoas recebem um terço, um oitavo, um quarto e um quinto, respectivamente, do número total de maçãs, enquanto que a quinta recebe dez maçãs, e resta uma maçã para sexta pessoa?5 “(p. 173, tradução nossa).
Outro exemplo de um problema na forma explícita, que pode ter um potencial didático-pedagógico para a utilização no Ensino Fundamental e nas séries iniciais do Ensino Médio foi retirado de uma tábua da Dinastia Babilônia, escrita em 1750 BC: “Uma área A que consiste na soma de dois quadrados é 1000. O lado de um dos quadrados é 2/3 do lado do outro quadrado, diminuído de 10. Quais são os lados dos quadrados?6 “(STRUIK, 1987, p.27, tradução nossa).
No entanto, a história dos conteúdos e dos conceitos matemáticos não precisa estar explícita nos livros e nas atividades desenvolvidas pelos professores. Nesse sentido, Miguel e Miorim (2008) afirmam que:
(...) é possível considerar que a história pode ser um elemento orientador na elaboração de atividades e situações-problema, de seleção e sequenciamento de tópicos de Matemática em livros didáticos, sem que elementos históricos sejam explicitamente colocados (p.44).
O estudo conduzido por Roratto (2009, p.71) pode ser considerado como um exemplo de como a História da Matemática pode ser utilizada, de maneira implícita,
4Termo utilizado por Silva (2007) em sua pesquisa. 5
How many apples are needed if four persons of six receive one third, one eight, one fourth, and one fifth, respectively, of the total number, while the fifth receives ten apples, and one apple remains left for the sixth person?
6
An area A, consisting of the sum of two squares, is 1000. The side of one square is 2/3 of the side of the other square, diminished by 10. What are the sides of the square?”
para orientar uma sequência didática de ensino da Matemática pelos professores, pois “O motivo de [se iniciar] a sequência didática pelo estudo das relações de dependência é, justamente, por estarmos adotando a história do desenvolvimento conceitual das Funções como guia de nossa proposta”.
No quadro 1, apresentam-se as atividades que guiaram o estudo de Roratto (2009), que seguiram os passos históricos da construção do conceito de função sem que a História da Matemática tivesse sido utilizada de maneira explícita, pois serviu de guia para que Rorrato organizasse a sequência didática utilizada como recurso metodológico na sala de aula de matemática. A História da Matemática não foi discutida diretamente e, portanto, não estava explicitamente presente nas atividades direcionadas aos participantes da pesquisa.
Da mesma maneira, Radford (1997) considera que as atividades matemáticas não devem ser, necessariamente, reconstruções idênticas àquelas ocorridas na história. Nessa perspectiva, para a elaboração das atividades curriculares e a preparação das aulas, existe a necessidade de que os professores tenham “em mente, é claro, que um problema antigo ou uma situação matemática antiga nunca mais será a mesma”7
(RADFORD, 1997, p.32, tradução nossa). Assim, o fato de se utilizarem situações não idênticas àquelas ocorridas na história também é ressaltado por Brito e
7
We will have to keep in mind, of course, that an ancient problem or an ancient mathematical situation will never again be the same.
Fonte: Adaptado de Roratto (2009, p.66)
Mendes (2009), pois, de acordo com esses autores, dentre as preocupações de se recorrer à História da Matemática está a de:
(...) criar problemas que possibilitem emergir discussões sobre dúvidas que frequentemente nossos alunos apresentam. Tais problemas não são obrigatoriamente os mesmos que os encontrados na história da Matemática, mas recriações desses (p. 17).
No entanto, a fim de se conseguir recriações, ou mesmo, utilizar situações históricas, é importante que os professores conheçam a história do conteúdo a ser ensinado (LIU, 2003). Em concordância com esse ponto de vista, Furinghetti (1997) argumenta que “um bom conhecimento da História da Matemática pode promover a criatividade pedagógica para integrar a história em atividades matemáticas”8 (p.420, tradução nossa).
Nesse contexto, a questão do conhecimento da História da Matemática pelos professores não é uma preocupação somente de Liu (2003), pois há um consenso entre educadores e pesquisadores dessa área (BROLEZZI, 1991; D‟AMBROSIO, 1999; SOUZA, 2009; VALDÉS, 2006A) quanto à importância desse conhecimento para a prática pedagógica dos professores em sala de aula.
1.1.1 O Conhecimento da História da Matemática pelos Professores
Com relação ao conhecimento da História da Matemática pelos professores, Valdés (2006) afirma que:
Um certo conhecimento da História da Matemática deveria se constituir em uma parte indispensável da bagagem de conhecimentos do matemático em geral e do professor de qualquer nível de ensino (primário, secundário ou superior) (p.15).
Da mesma maneira, Brolezzi (1991) alega que “para estudar o valor didático da História da Matemática é necessário inicialmente conhecer essa História, sendo que esse conhecimento é construído fundamentalmente a partir do contato com suas fontes” (p. 3). Por outro lado, Souza (2009) destaca a importância do conhecimento da História da Matemática pelos professores, justificando que:
8A good knowledge of the history of mathematics may foster pedagogical creativity for integrating history into mathematical activities.
(...) se aquele que ensina os conceitos matemáticos entende que estes foram construídos historicamente e que nunca estarão prontos e acabados, procurará considerar, em suas aulas, o aspecto lógico-histórico destes conceitos em atividades de ensino (p. 84).
Nesse sentido, Liu (2003) comenta que a importância desse conhecimento pelos professores não está relacionado, somente, com a elaboração de atividades matemáticas ou para o desenvolvimento da criatividade dos alunos, mas, também, na busca pela compreensão das dúvidas dos alunos referentes às notações e símbolos utilizados nessas atividades. Assim, Liu (2003) afirma que o conhecimento do esforço dos matemáticos, por meio da história, para escolher as notações adequadas para os conteúdos desenvolvidos, pode aumentar a compreensão dos professores em relação às dificuldades e barreiras que os alunos comumente apresentam para o entendimento da simbologia matemática.
No entanto, é importante que os professores não se atenham às informações aleatórias e simplificadas sobre os aspectos específicos da História da Matemática, que são apresentados pela maioria dos livros didáticos. Diante desse assunto, Neto (2009) argumenta que: “(...) o livro didático cumpre um papel eminentemente informativo quando o assunto é a História da Matemática, auxiliando de maneira não muito profunda o professor, que não teve em sua formação os temas relacionados à História da Matemática.” (NETO, 2009, p. 13).
Do ponto de vista de D‟Ambrosio (1999), é de suma importância ir além do conhecimento histórico restrito à Matemática, pois é importante que os professores e alunos adquiram um conhecimento profundo do passado para que possam relacioná-lo com os acontecimentos do presente. Nesse sentido,
Somente através de um conhecimento aprofundado e global de nosso passado é que poderemos entender nossa situação no presente e, a partir daí, ativar nossa imaginação e nossa criatividade com propostas que ofereçam ao mundo todo um futuro melhor (D‟AMBRÓSIO, 1999, p.113).
Compartilhando desse ponto de vista, Sastre Vázques, Rey e Boubée (2008) pontuam que é importante a utilização do conhecimento da História da Matemática como uma atividade pedagógica que possui um embasamento histórico profundo e não
como um conjunto de informações simplificadas sobre um determinado fato matemático. Assim, esses autores afirmam que:
Todo professor de Matemática deveria ter um conhecimento aceitável da história dessa ciência, não com o objetivo de organizar um curso com conteúdos históricos, mas para poder utilizar, em um plano de aproximação do objeto de estudo do aluno, as considerações mais relevantes de seu desenvolvimento e, sobretudo, para favorecer a compreensão de que essa ciência evolui com o marco do desenvolvimento sociocultural da humanidade9(SASTRE VÁZQUEZ; REY; BOUBÉE, 2008, p.142, tradução nossa).
No entanto, Silva (2001), acerca da História da Matemática, argumenta que “o simples estudo dessa disciplina não fornece ao professor condições para introduzi-la em sala de aula como uma ferramenta auxiliar no ensino da Matemática” (p. 136). Por exemplo, na pesquisa conduzida por Silva (2001), sobre a História da Matemática, nos cursos de formação de professores, foi constatado que, dentre as dificuldades de oferta da disciplina está a “falta de professores qualificados para ministrar a disciplina e a dificuldade de acesso à bibliografia e outros materiais para o ensino” (p.148). Então, diante da falta de especialistas e profissionais na área da História da Matemática, essa disciplina é usualmente oferecida por curiosos e autodidatas (SILVA, 2001). Então, para encerrar esse ciclo vicioso, surge a necessidade de que os cursos de Licenciatura em Matemática ofereçam aos futuros professores a oportunidade de:
(...) trabalhar segundo metodologias de ensino e de aprendizagem diversificadas, de modo a desenvolver uma variedade de conhecimentos, de capacidades, de atitudes e de valores. Esta exposição a diferentes métodos também funciona como um mecanismo de aprendizagem (PONTE, 2000, p. 15).
Nesse sentido, Miguel e Brito (1996) argumentam que a utilização da historicidade da Matemática possibilita que os licenciandos construam os seus conhecimentos matemáticos em uma perspectiva histórica e sociocultural.
9Todo profesor de Matemática debiera tener un conocimiento aceptable de la historia de esta ciencia, no
con el objetivo de organizar un curso con contenidos históricos, sino para poder utilizar, en el plano del acercamiento del objeto de estúdio al alumno, las consideraciones más relevantes de su desarollo y, sobre todo, para favorecer la comprensión de que esta ciência evoluciona en el marco del desarollo socio-cultural de la humanidad.