Com relação ao estudo da História da Matemática, Silva (2001) apresenta duas abordagens distintas que estão relacionadas com o enfoque reflexivo desse estudo:
1. A evolução dos conceitos matemáticos, em ordem cronológica, valorizando os resultados obtidos nessas conceituações. Nessa abordagem, a Matemática é vista e apresentada como se fosse “concebida por seres superdotados, despida de seu caráter social e cultural” (SILVA, 2001, p. 163).
2. O contexto sociocultural, no qual a História da Matemática “é construída por seres humanos, com seus momentos de genialidade, momentos de insucessos, de trabalho árduo” (SILVA, 2001, p. 163-164). Nessa abordagem, é possível perceber o lado humano do desenvolvimento do conhecimento matemático.
Diante desse contexto, a Perspectiva Sociocultural pode ser considerada como uma abordagem relevante para o ensino e para a aprendizagem da Matemática, pois:
(...) a sala de aula é considerada como um micro-espaço de um espaço geral de cultura, e o entendimento que o estudante pode ter da Matemática é visto como um processo da apropriação cultural intelectual de significados e conceitos ao longo de linhas do estudante e atividades do professor20 (RADFORD; BOERO; VASCO apud FAUVEL e MAANEN, 2000, p.164, tradução nossa).
Com relação ao papel desse estudo para a Educação Matemática, a visão da História da Matemática, que direciona esta pesquisa, é diferente daquela atribuída no início do século, uma visão que possuía um poder mágico, um caráter de história- anedotário, considerada como um momento de descanso durante a aula para que os alunos pudessem se recuperar do esforço requerido pelo estudo da Matemática (MIGUEL e MIORIM, 2008).
Por outro lado, atualmente, o campo de pesquisa da História da Matemática vem evoluindo consideravelmente em relação à sua prática pedagógica em sala de aula21. Nessa perspectiva, Miguel e Miorim (2008) defendem o ponto de vista de que as diferentes perspectivas teóricas de pesquisa em História da Matemática “que até o momento constituíram o interior do campo de investigação História na Educação
20In this socio-cultural perspective, the classroom is considered as a micro-space of the general space of culture, and the understanding that a student may have of mathematics is seen as a process of cultural intellectual appropriation of meanings and concepts along the lines of student and teacher activities. 21Miguel e Miorim (2008) também identificam as seguintes perspectivas teóricas no campo História na
Educação Matemática: a Perspectiva Evolucionista Linear, a Perspectiva Estrutural-Construtivista Operatória, a Perspectiva Evolutiva Descontínua, a Perspectiva Sociocultural e a Perspectiva dos Jogos de Vozes e Ecos.
Matemática o fizeram aderindo ou rejeitando o argumento recapitulacionista (MIGUEL e MIORIM, 2008, p.79).
De acordo com esses autores, a Perspectiva Sociocultural, que fundamenta este trabalho, não tem embasamento teórico no argumento recapitulacionista de cunho biológico, já que, nesse argumento, o desenvolvimento psíquico dos alunos se dá por meio de “uma repetição abreviada da evolução filogenética” (MIGUEL e MIORIM, 2008, p. 80). Nesse sentido, Miguel e Miorim (2008) explicam que, no princípio recapitulacionista, a Matemática pode ser entendida como uma disciplina composta por um conhecimento cumulativo e sequenciado, na qual os conceitos devem ser recapitulados, durante o ensino. Então, a utilização da História da Matemática, como recurso metodológico de ensino de Matemática, enfatiza a ordem cronológica dos acontecimentos, na qual os conceitos matemáticos surgiram, para a elaboração das atividades curriculares necessárias para o desenvolvimento do conteúdo matemático.
Contrapondo esse ponto de vista, Miguel e Miorim (2008, p.130) argumentam que, na Perspectiva Sociocultural “(...) existe a consciência de que um projeto de participação da história no ensino (...) da Matemática não deve e nem necessita se pautar em quaisquer das inúmeras variações do princípio recapitulacionista”.
Então, essa perspectiva é utilizada de acordo com o ponto de vista cultural, no qual a História da Matemática é contextualizada, pois considera os ambientes social, cultural, político, ambiental e econômico, nos quais os alunos estão inseridos, para a elaboração das propostas pedagógicas para a sala de aula (D‟AMBRÓSIO, 1990).
Assim, o ensino da Matemática não deve estar desvinculado da época e da cultura em que o conhecimento matemático foi construído, devendo, portanto, estar relacionado com o ensino da História da Matemática (D‟AMBROSIO, 1990). Nesse sentido, para que os alunos tenham uma formação crítica, existe a necessidade de utilizarmos o contexto sociocultural no ensino da Matemática (ROSA, 2000). Dessa maneira, existe a necessidade de que a Matemática e outras disciplinas sejam ensinadas atreladas à história de seu desenvolvimento, bem como às condições socioculturais da época da construção dos conceitos relacionados a essas disciplinas (D‟AMBROSIO, 2003).
Assim, a atenção dada à época e ao contexto sociocultural discutida anteriormente é um ponto de vista diferente da proposta de história satírica proposta por Grattan- Guiness (1973) para o nível básico de ensino. Nesse sentido, Miguel (1997) afirma que
a história satírica é “nada mais do que uma imitação do desenvolvimento de um determinado tema ou teoria, omitindo os contextos históricos nos quais ela se desenvolveu. A história satírica seria, portanto, nada mais do que uma história cronológica descontextualizada de um tema” (p. 97).
Contudo, para o Nível Superior, Grattan-Guinness (1973)apud Miguel (1997) sugere que a História da Matemática esteja presente nos conteúdos abordados no currículo escolar, sem que essa seja considerada como uma disciplina própria, mas que seja entendida “como parte essencial de todos os ramos” (MIGUEL, 1997, p. 97) e das atividades pedagógicas desenvolvidas no ensino da Matemática. Por outro lado, para o ensino básico, existe a proposta da história satírica, porque, de acordo com Grattan- Guinness (1973), seria inútil a utilização da história da Matemática no Nível Básico da mesma maneira como é proposta para o Nível Superior.
Nesse sentido, Silva (2007) afirma que, para os níveis superiores, “a História da Matemática poderia ser permeada em várias disciplinas do currículo de Matemática, sem, contudo, se consolidar como disciplina específica” (p.111). De acordo com Motta (2006), a História da Matemática abordada e ensinada nos cursos de formação de professores é:
(...) de fundamental importância, nos cursos de licenciatura, que [a História da Matemática] não se apresente aos futuros docentes somente uma história internalista e descontextualizada da Matemática, mas também os fatores externos de sua produção, aceitação e transmissão, de maneira crítica e articulada com os conteúdos que esses professores irão trabalhar em suas salas de aula (p.103).
Apesar de concordar com a proposta de Grattan-Guinness (1973) para os cursos superiores, Silva (2007) restringe o estudo da História da Matemática aos cursos de Licenciatura em Matemática, pois uma disciplina específica de História da Matemática para os futuros professores exige uma reflexão, por parte de quem oferece o curso, para que essa não seja uma disciplina isolada das demais disciplinas que compõem a grade curricular do curso.
De acordo com Valdés (2006), a história pode aproximar os alunos e os professores das interessantes figuras humanas que têm ajudado a impulsionar a Matemática durante muitos séculos, mediante as distintas motivações. Assim, a perspectiva histórica pode possibilitar a aproximação da Matemática com a Ciência
Humana, muitas vezes desenvolvida com muitas dificuldades, pois é uma ciência falível, porém, capaz de corrigir os próprios erros, mesmo que tardiamente. Nesse sentido, Radford (1997) afirma que:
(...) embora, à primeira vista, parece evidente que o desenvolvimento histórico da Matemática deve ter algo a nos informar em relação às dificuldades que os alunos modernos encontram quando aprendem Matemática, um olhar mais cuidadoso na situação revela que a ligação entre ambos os domínios – histórico e psicológico – está longe de ser fácil 22 (p. 28, tradução nossa).
Além disso, D‟Ambrosio (1990) afirma que os professores também necessitam ter consciência de que não é produtivo ensinar o conteúdo matemático por meio da História ao ignorar o contexto cultural da época em que esses conteúdos foram desenvolvidos, pois há uma necessidade de analisarmos o contexto sociocultural da produção desse conhecimento. Dessa maneira, a utilização da Matemática na vida cotidiana varia de acordo com as necessidades de cada grupo cultural (D‟AMBROSIO, 1990).
Embora Struik (1985) não tenha se preocupado, especificamente, com o estudo da História da Matemática para o ensino dessa disciplina, esse autor comenta sobre a importância do contexto cultural para a matemática ao afirmar que “para Descartes, quando ele escreve xx ou x², o significado é o quadrado de um número real racional ou irracional, enquanto Apolônio fala do quadrado de um segmento de reta, ambos de acordo com seu contexto cultural” (STRUIK, 1985, p. 202).
Esse contexto cultural da Matemática pode ser observado e analisado na perspectiva sociocultural. Para Motta (2006), nessa perspectiva,
(...) a investigação dos textos matemáticos de outras culturas busca examinar as práticas culturais nas quais eles estavam envolvidos e, através do contraste com as notações e conceitos que são ensinados hoje, perceber os tipos de exigência intelectual exigidas dos estudantes (p.54).
22Although, at a first glance, it seems evident that historical mathematical developments must have something to inform us about the difficulties that modern students encounter when they learn mathematics, a closer look at the situation reveals that it is far from easy to link both domains – the historical and the psychological.
Assim, com relação às fontes de consultas e às histórias da matemática escrita, Nobre (2005) ressalta a importância das culturas e dos povos não-europeus para o desenvolvimento da Matemática, pois:
Historiadores de diferentes países contribuem para o fortalecimento desse movimento de escrita de uma história das ciências de forma que, além das já conhecidas informações acerca do mundo europeu, também se considerem as contribuições de outros povos e se revejam alguns enganos históricos quando determinados descobrimentos foram atribuídos a personagens europeus, embora tenham se dado em algum outro lugar no mundo (p. 532-533).
Para Radford e Furinghetti (2002), a cultura influencia os trabalhos pedagógicos realizados na Perspectiva Sociocultural. Nesse sentido, esses autores concluem que:
Na abordagem sociocultural que defendemos, textos matemáticos de outras culturas são investigados levando em consideração a cultura na qual eles estavam envolvidos. Isso permite ao pesquisador examinar o modo como conceitos, notações e significados matemáticos foram produzidos23 (p. 647, tradução nossa).
A cultura também está presente nas argumentações de Silva (2009) quanto à utilização da História da Matemática com fins pedagógicos, pois “a Matemática como uma atividade cultural e humana acontece sempre num determinado local e tempo e, portanto está relacionada a um certo contexto, assim seu ensino-aprendizagem não deve estar desvinculado de sua história” (p. 1).
Nesse contexto, Rosa e Orey (2006) também afirmam que a Matemática não deve estar desvinculada dos acontecimentos da época e dos aspectos socioculturais sobre os quais essa ciência foi desenvolvida.
Por outro lado, Miguel (1997) argumenta acerca da existência de várias histórias da Matemática. Nessa perspectiva, quanto à utilização da História da Matemática no ensino, Miguel (1997) “não acredita que exista uma única história da matemática da qual o professor pudesse fazer uso e abuso e que pudesse ser recortada e inserida homeopaticamente no ensino” (p. 101). Porém, para que as histórias da Matemática sejam escritas com objetivos educacionais relevantes e para que possam ser pedagogicamente úteis, é necessário que elas sejam abordadas
23 In the sociocultural approach that we advocate, mathematical texts from other cultures are investigated while taking into account the cultures in which they were embedded. This allows the researcher to scrutinize the way mathematical concepts, notations, and meanings were produced.
(...) sob o ponto de vista do educador matemático. (...), assim pode enfatizar a reconstituição, não apenas dos resultados matemáticos, mas, sobretudo dos contextos epistemológico, psicológico, sócio- político e cultural nos quais esses resultados se produziram, contribuindo, desse modo, para a explicitação das relações que a Matemática estabelece com a sociedade em geral e com as diversas atividades teóricas específicas e práticas produtivas setorizadas (MIGUEL, 1997, p. 101).
Percebe-se, então, que o não-eurocentrismo e a valorização das diversas culturas, ao longo do desenvolvimento da Matemática, também é preocupação no trabalho desenvolvido por Silva (2009), já que, para ele, a História da Matemática auxilia:
(...) na compreensão de conceitos ao explicar a origem de certas idéias (sic) e procedimentos, a História ajuda a estabelecer conexões entre a Matemática e as demais ciências, a História conscientiza os alunos das relações entre a Matemática e a sociedade, a História é uma fonte inesgotável de problemas curiosos e interessantes que permitem desenvolver e auxiliar a capacidade de resolução de problemas, ela auxilia a superar pré-conceitos e uma visão eurocentrista de conhecimento ao mostrar as reais contribuições de civilizações não ocidentais (p. 2).
Dessa maneira, Artigue (1995) apud Radford (1997) afirma que o conhecimento sobre a História da Matemática pode possibilitar aos professores a identificação dos obstáculos epistemológicos e das dificuldades que atrapalham os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática pelos alunos, pois tais obstáculos e dificuldades podem estar relacionados com os desafios surgidos no decorrer da história. Assim, de posse desses conhecimentos, os professores podem compará-los para melhor compreendê-los e buscar soluções adequadas que facilitem os processos de ensino e de aprendizagem da Matemática.
No entanto, não se pode afirmar que os obstáculos epistemológicos enfrentados, ao longo da história, serão os mesmos que os alunos apresentarão, ou seja, não é possível afirmar, categoricamente, que os alunos apresentarão as mesmas dificuldades, pois esses obstáculos estão relacionados com os aspectos da cultura local presentes no desenvolvimento da Matemática. De acordo com Artigue (1995) apud Radford (1997), os “obstáculos epistemológicos identificados na história são somente candidatos a
obstáculos no processo de ensino e aprendizagem dos dias atuais” 24 (p. 29, tradução nossa). Nesse sentido, os professores necessitam conhecer a história dos conteúdos que ministram, pois esse fato pode auxiliar a antecipar e sanar as possíveis dificuldades dos alunos. Assim, Brousseau (1989) afirma que os pesquisadores poderiam:
(i) encontrar os erros recorrentes dos estudantes e mostrar que eles se agrupam ao redor de conceitos, ii) encontrar os obstáculos da história da matemática, iii) e confrontar os obstáculos históricos com os obstáculos de aprendizagem para o estabelecimento de seu caráter epistemológico 25·(p. 2, tradução nossa).
Esses obstáculos e dificuldades também podem traduzir as concepções matemáticas que os alunos trazem, pois essas concepções podem estar baseadas no background cultural dos alunos (ROSA, 2010).
Como os alunos trazem diferentes conhecimentos para a sala de aula, as dúvidas, os questionamentos e as representações matemáticas também são diferenciadas, pois diferentes culturas apresentam diferentes maneiras de se pensar e de representar o conhecimento matemático (ROSA e OREY, 2008). Radford (1997) mostra os obstáculos que os números negativos representaram, ao longo da história, e compara os procedimentos utilizados por outras civilizações, como a chinesa.De acordo com Smith (1958), a civilização chinesa não teve grandes problemas com os números negativos, pois encontrou uma forma alternativa para representá-los com o auxílio de hastes de madeira da cor negra. Os números positivos eram representados por hastes de madeira da cor vermelha. Dessa maneira, os chineses da Antiguidade utilizavam as hastes de contagem para efetuar os cálculos numéricos. A figura 3 mostra a representação dos números positivos e negativos com as hastes de contagem coloridas e as respectivas representações no sistema decimal.
24
epistemological obstacles identified in history are only candidates for obstacles in the present day learning processes.
25 i) Trouver ces erreurs récurrentes, montrer qu’elles se regroupent autour de conceptions, ii) Trouver des obstacles dans l’histoire des mathématiques, iii) Confronter les obstacles historiques aux obstacles d’apprentissage et établir leur caractère épistémologique.
Figura 4: Representação chinesa para os números negativos e positivos
Fonte: Smith (1958)
De acordo com Radford (1997), os números negativos, no decorrer da história, tiveram impactos diferentes em culturas distintas, pois “(...) a dificuldade que os números negativos levantaram em relação aos números positivos não é um problema intrínseco do conhecimento, pois depende do local, das ideias culturais sobre Matemática, Ciência, os objetos e os métodos deles” 26 (p. 39, tradução nossa).
Diante desse contexto, Schubring (1998) apud Motta (2006) apresenta uma discussão a respeito da aceitação dos números negativos, no século XVIII, “principalmente em decorrência dos posicionamentos filosóficos diferentes” (MOTTA, 2006, p. 80) nos países que possuíam um maior número de matemáticos naquela época, como por exemplo, a França, a Inglaterra e a Alemanha. Nessa discussão, Motta (2006, p.80) argumenta que “(...) na Inglaterra havia uma rejeição quase absoluta dos números negativos, na França havia um posicionamento ambivalente e na Alemanha ocorria uma clara aceitação”.
Em outro exemplo, referente às notações, Rosa e Orey (2008) salientam que “a Matemática é um sistema de linguagem que possui sua própria história, símbolos, sintaxe, gramática e se apresenta como uma enorme variedade de representações” 27 (p. 30, tradução nossa), sendo possível que os alunos utilizem as suas próprias representações matemáticas na resolução de situações-problema. Por exemplo, Bell (1992) afirma que as equações resolvidas por Al-Khowarizmi “eram puramente retóricas” (p. 129). Assim, a tradução do Latim da equação retórica “census et quinque radices equantur viginti quatuor”(p. 129) é “o quadrado do desconhecido (consus) e cinco desconhecidos (radices) é igual a vinte e quatro” (p. 129), que tem como
26
Thus, the difficulty that positive numbers pose to the rise of negative numbers is not an intrinsic problem of knowledge. It depends upon the local, cultural ideas about science, mathematics, their objects and methods.
27Mathematics is a language system that has its own history, symbols, syntax, grammar, and comes with an enormous variety of representations.
significado“
x²5x24
” (p. 129) na notação moderna. Analogamente, no ambiente escolar, pode haver alunos provenientes de diferentes culturas, especificamente na sala de aula de Matemática. A respeito disso, Rosa (2010) afirma que é necessário utilizar as experiências prévias dos alunos na tentativa de tornar ativo o processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Portanto, existe a necessidade de que os professores utilizem estratégias diferenciadas na sala de aula, levando em consideraçãoos aspectos culturais e o conhecimento prévio dos alunos (ROSA, 2010).Porém, é necessário atentar para as dificuldades históricas e para a história da matemática, pois “A forma como a história é apresentada, muitas vezes, isola o grande pensador do mundo do qual ele fez parte, mas não se pode esquecer que, nesse mundo, estavam presentes a família, o ambiente social, os amigos, a escola e seus professores.” (NOBRE, 2005, p. 540).
Da mesma maneira, Valdés (2006) defende o aprendizado da História da Matemática pelos professores para que eles possam “compreender melhor as dificuldades do homem genérico, da humanidade, na elaboração das ideias matemáticas e, através delas, as de seus próprios alunos” (p. 16). Assim sendo, a História da Matemática pode ser uma aliada dos professores na relação entre os Fundos de Conhecimento28 dos alunos e os conteúdos matemáticos a serem estudados, bem como o estudo da notação, da simbologia e dos algoritmos tradicionais de ensino com aqueles desenvolvidos e (re) criados pelos alunos. Motta (2006) afirma que os pesquisadores da perspectiva sociocultural sugerem que “(...) o conhecimento matemático é re-criado e co-criado pelos alunos através do uso de signos e do discurso, ou seja, o conhecimento matemático resulta da negociação social dos signos, é um processo lingüístico- semântico (sic) (p. 54).
De fato, Radford e Grenier (1996) escreveram um artigo sobre a Perspectiva Sociocultural intitulado Entre les chose, les symboles et les idées... une séquence d’enseignement d’introduction à l’algébre, no qual discutem e propõem uma sequência de ensino para a introdução à álgebra, de modo que os símbolos algébricos sejam criados pelos próprios alunos. Esse trabalho se refere a uma proposta de sequência
28Fundos de Conhecimento é um termo definido por Moll et all (1992) como sendo os conhecimentos
adquiridos e passados pelos membros de uma família, de geração em geração e que são os conhecimentos essenciais para o desenvolvimento dos afazeres domésticos dos membros da família. Esse assunto será discutido com mais detalhes na sequência deste capítulo.
didática realizada com duas turmas do 9º ano (primeiro ano do secundário) e foi