cultura e o aprendizado e vê o capital cultural dos alunos como um ativo e não como um detrimento ao sucesso escolar deles63. Terceiro, o ensino culturalmente relevante está atento para como as práticas de ensino tradicional refletem na classe média, os valores culturais da Europa e América, e então procura incorporar uma grande variedade de práticas de ensino fluidas e dinâmicas64 (p. 197-198, tradução nossa).
Porém, para que esses objetivos sejam atingidos, em sua plenitude, Troutman e McCoy (2008) sugerem a utilização da História da Matemática e das próprias histórias dos alunos no ensino e na aprendizagem que ocorrem nas salas de aula.
1.6 A História da Matemática, os Fundos de Conhecimento e a Pedagogia Culturalmente Relevante
Inicialmente, pensa-se que o conhecimento matemático emerge das necessidades humanas de ordem econômica, política, social e ambiental que membros de grupos culturais distintos enfrentam em seu cotidiano. Nessa perspectiva, Boyer (1996) afirma que a Matemática surgiu nos primórdios das civilizações como parte integrante da vida diária da humanidade. Além disso, Wussing (1998) ressalta que a origem da Matemática também emerge da luta do ser humano pela sobrevivência ao afirmar que “em sua contínua luta com a natureza que o rodeava, o homem primitivo obteve os seus primeiros conhecimentos matemáticos e astronômicos65 ” (p. 13, tradução nossa).
Porém, de acordo com Karlson (1961), a hipótese de que a Matemática tenha surgido somente a partir da prática de atividades diárias pode ser refutada, considerando que essa ciência tenha se antecipado a outras ciências, pois afirma que “com a antecedência de uma ou duas gerações, às vezes mesmo de séculos, cria o instrumental
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First, teachers must acknowledge how deficit-based notions of diverse students continue to permeate traditional school thinking, practices, and placement, and critique their own thoughts and practices to ensure they do not reinforce prejudice behavior.
63Second, culturally relevant pedagogy recognizes the explicit connection between culture and learning, and sees student’s cultural capital as an asset and not a detriment to their school success.
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Third, culturally relevant teaching is mindful of how traditional teaching practices reflect middle-class, European American cultural values, and thus seeks to incorporate a wider range of dynamic and fluid teaching practices.
65En su continua lucha con la Naturaleza que lo rodeaba, El hombre primitivo obtuvo sus primeros conocimientos matemáticos y astronômicos.
que será depois aplicado pelo físico e pelo técnico” (p.374). Nesse sentido, Wussing (1998) afirma que a Matemática começa a se distanciar de suas origens primitivas entre os anos 1000 e 800 a.C. com os escribas babilônicos, quando os problemas matemáticos são retratados a partir das suas soluções, iniciando-se, assim, “uma etapa superior na história evolutiva da Matemática, etapa que se consolidará definitivamente no período jônico da Matemática helenística66 ”(p. 25, tradução nossa).
Dessa maneira, os matemáticos utilizam-se da própria Matemática para desenvolver um conhecimento matemático abstrato, pois essa ciência começa a se tornar independente e a se conformar de acordo com sua própria dinâmica interna (WUSSING, 1998). Cria-se, assim, teorias que, posteriormente, podem ser utilizadas no próprio conteúdo matemático ou em outras áreas do conhecimento, como por exemplo, as geometrias não euclidianas. Todavia, a utilização das novas teorias matemáticas por profissionais de diferentes áreas do conhecimento depende do meio no qual estão inseridos (ROSA e OREY, 2008), que pode determinar as dificuldades enfrentadas na antecipação das teorias matemáticas a serem utilizadas na resolução de situações- problema, principalmente aquelas relacionadas com a abstração de conceitos matemáticos.
Nesse contexto, este trabalho procura apresentar uma alternativa metodológica para o ensino da Matemática que vincule a História da Matemática ao contexto sociocultural, no qual os alunos estão inseridos, por meio da utilização dos Fundos de Conhecimento, em atividades curriculares elaboradas na perspectiva da Pedagogia Culturalmente Relevante. Troutman e McCoy (2008) conduziram um estudo cujos resultados mostraram que os professores desenvolviam uma prática pedagógica que conectava a História da Matemática à Pedagogia Culturalmente Relevante. Assim, a pesquisa foi realizada com participantes do estado da Carolina do Norte, Estados Unidos, cuja maioria da população estudantil é caracterizada como afro-americana. Nesse estudo, houve a participação de 15 estudantes de uma high school (equivalente a uma escola do Ensino Médio no sistema de ensino brasileiro). Dentre esses alunos, dez eram afro-americanos, três brancos, dois latinos, sete do sexo feminino e oito do masculino. Os pesquisadores utilizaram três métodos para a coleta de dados, ou seja,
66a una etapa superior en la historia evolutiva de La matemática, etapa que se consolidará definitivamente em el periodo jónico de la matemática helenística.
entrevista com questões abertas, observações da sala de aula e um questionário utilizando perguntas com alternativas baseadas na “Escala Likert” com cinco opções. Assim, os pesquisadores realizaram entrevistas com os estudantes para verificar sobre a relevância das atividades elaboradas, que tinham o propósito de reafirmar o background cultural dos alunos. Os pesquisadores também ressaltaram a relevância da História da Matemática e a possível contribuição de várias civilizações para a construção do conhecimento matemático. Nesse contexto, Jones (1989) apud Troutman e McCoy (2008) declara que “a História da Matemática revela que, na realidade, indivíduos da África, América Latina, e Oriente Médio tiveram contribuições chave para a inovação do sistema matemático moderno” (p. 20). Os pesquisadores desse estudo utilizaram cinco atividades, durante quatro semanas, mostrando a contribuição de matemáticos africanos, afro-americanos, latino-americanos e do Oriente Médio na evolução do conhecimento matemático.
As atividades eram compostas pelo sistema de numeração Maia; pelo teorema de Pitágoras – que era utilizado pelos engenheiros africanos para a construção das pirâmides; por dois matemáticos negros da América do norte do século XVIII, Thomas Fuller e Bejnamim Banneker; pelos trabalhos de Hipácia e Euclides e, por fim; pelos trabalhos focados em Al-Khowarizmi. Na etapa seguinte da pesquisa, após a realização das atividades, os pesquisadores concluíram que a maioria dos alunos foi capaz de apresentar asserções sobre a utilização da Matemática por meio de exemplos de situações extracurriculares em tarefas realizadas por pessoas que utilizam a Matemática em seu cotidiano (TROUTMAN e MCCOY, 2008). Essa conclusão pode ser confirmada pelas palavras dos próprios autores, ao afirmarem que “Em entrevistas de acompanhamento, a maioria dos estudantes foram capazes de fazer o back up de utilidade da Matemática com exemplos de tarefas extra-escolares nas quais as pessoas utilizam Matemática67 (TROUTMAN e MCCOY, 2008, p. 32)”.
Ao final do trabalho, esses pesquisadores ressaltaram as possibilidades que a História da Matemática proporciona aos professores com relação ao desenvolvimento de um ensino que leve em conta as atitudes e os valores dos alunos. Assim, foi concluído que “os resultados mostram que a incorporação da História da Matemática de culturas
67In follow-up interviews, most students were able to back up assertions of math’s usefulness with examples of out-of-school tasks that people use math to complete.
diversas, em salas de aula de ensino secundário, pode auxiliar os educadores a desenvolverem atitudes mais positivas nos seus estudantes” (TROUTMAN E MCCOY, 2008, p.43).
De acordo com esses pesquisadores, as três proposições68 de Ladson-Billings (1995a) para uma prática pedagógica culturalmente relevante foram alcançadas com as atividades desenvolvidas mediante a utilização da História da Matemática.
Diante desse contexto, os proponentes da pedagogia culturalmente relevante (LADSON-BILLINGS, 1995a; 1995b; GAY, 2000) sugerem um ensino e uma aprendizagem que ressalte, valorize, reconheça e reafirme a cultura e os valores dos alunos – que são provenientes das classes sociais dominadas e marginalizadas – por meio da utilização de atividades contextualizadas e que tenham origem nas experiências vivenciadas pelos alunos e, também, pela inserção da educação Matemática em seu cotidiano.
Contudo, Troutman e MacCoy (2008) afirmam que para se atingir complemente os objetivos da pedagogia culturalmente relevante, é necessário que os professores e “(…) instrutores encoragem os alunos a fazerem conexões entre a história que aprenderam e a influência das instituições racistas e das práticas institucionais na criação das diferenças (p. 41)”.
Nesse sentido, a utilização da História da Matemática como prática pedagógica pode ser considerada como uma aliada dos professores, pois um de seus mais importantes objetivos é salientar a cultura dos alunos ao mostrar como o conhecimento é construído e acumulado por vários povos, no percurso da história. De acordo com Furhinghetti (1997) apud Troutman e Maccoy (2008), uma das maneiras que os professores possuem para utilizar essa abordagem pedagógica é a História da Matemática, que pode ser considerada como uma referência cultural disponível para os educadores que querem elaborar aulas de Matemática culturalmente relevantes nessa tendência da Educação Matemática. Nesse sentido, as aulas sobre os principais acontecimentos da Matemática e os indivíduos que contribuíram para o
68(a) Os estudantes deveriam experimentar o sucesso acadêmico; (b) os estudantes deveriam desenvolver
e/ou manter a competência cultural e (c) os estudantes deveriam desenvolver uma consciência crítica através da qual eles desafiam o status quo da ordem social atual.
desenvolvimento desses acontecimentos podem atender aos critérios e objetivos da pedagogia culturalmente relevante.
Então, de acordo com os resultados do estudo realizado por Troutman e McCoy (2008), que elaboraram atividades baseadas na história de várias culturas, os alunos foram capazes de afirmar que a Matemática é útil no cotidiano das pessoas e puderam apresentar exemplos da utilização dessa ciência na própria rotina diária. Esses autores concluíram que essa abordagem auxiliou os alunos a enxergarem a Matemática de uma maneira humanizada e contextualizada. Além disso, os resultados desse estudo também mostraram que a História da Matemática auxiliou alguns alunos a reafirmarem a própria identidade cultural por meio da observação de como pessoas de vários grupos culturais desenvolveram conteúdos matemáticos, no decorrer da história.
A História da Matemática mostra como a Matemática vem sendo construída ao longo dos anos e com a contribuição de diversos povos, da mesma maneira, ela pode ser tratada na sala de aula pela vinculação da cultura, especificamente, dos fundos de conhecimento dos alunos, correlacionando-os com a história do conteúdo matemático a ser trabalhado em sala de aula. Nessa perspectiva, Radford (1997) argumenta que o desenvolvimento da Matemática depende da cultura na qual está inserida. Buscam-se, por isso, os fundos de conhecimento dos alunos que são essenciais para auxiliar na elaboração das atividades curriculares de sala de aula, visto que a Matemática surgiu das necessidades humanas pela sobrevivência.
As variações culturais das ideias, conceitos, procedimentos e práticas matemáticas também podem ser percebidas nas maneiras como os alunos utilizam as representações matemáticas nas atividades cotidianas (ROSA, 2010). Então, o ensino pode ser considerado como uma atividade cultural, pois está enraizado nas rotinas, tradições, credos, expectativas e valores dos alunos, professores, gestores, pais e comunidade escolar (D‟AMBROSIO, 1990). Contudo, Radford (2004) argumenta que o link entre a cultura e os conceitos matemáticos deve ser especificado, pois arrisca-se “a utilizar a cultura como um termo genérico que tenta explicar algo, enquanto na realidade não explica nada” 69
(artigo não paginado, tradução nossa).
69we risk using culture as a generic term that attempts to explain something, while in reality it does not explain anything.
Os alunos que possuem background cultural diferentes podem trazer representações e procedimentos matemáticos diferenciados para as salas de aula (OREY e ROSA, 2008). Dessa mesma maneira, Radford (2004) afirma que a História da Matemática mostra, por meio de um estudo profundo sobre a Renascença, que esse foi um período que permitiu aos indivíduos estabelecerem relações abstratas, inclusive em relação à álgebra e às representações simbólicas, pois:
Em termos de representações, o valor tornou possível perceber que uma coisa pode ser colocada no lugar de outra, ou, em outros termos, que uma coisa (uma moeda, por exemplo) podia ser utilizada para representar outra coisa. Isto é o conceito chave da representação algébrica70 (RADFORD, 2004, artigo não paginado, tradução nossa) Nesse contexto, Ladson-Billings (1995) salienta que existe a necessidade de os professores tornarem a instrução matemática culturalmente relevante para os alunos. As atividades matemáticas propostas, nessa perspectiva, permitem que os alunos utilizem o conhecimento matemático que está implícito nos fundos de conhecimento para a elaboração de atividades curriculares que facilitem o ensino e a aprendizagem de práticas matemáticas padronizadas (MOLL e GREENBERG, 1990). Em outras palavras, as atividades matemáticas cotidianas podem ser utilizadas como enriquecimento das atividades matemáticas curriculares, desenvolvidas em sala de aula.
Com a utilização da pedagogia culturalmente relevante pode-se desenvolver atividades matemáticas em sala de aula baseadas nos fundos de conhecimento dos alunos, que estão presentes nas atividades realizadas em casa e na comunidade escolar, bem como nas práticas diárias do grupo sociocultural no qual estão inseridos. Dessa maneira, é importante que os professores e pesquisadores trabalhem colaborativamente para planejar as atividades matemáticas curriculares, pois Rosa (2010) argumenta que esse tipo de currículo matemático promove o surgimento de novas unidades matemáticas de ensino, nas quais os conteúdos matemáticos podem ser desenvolvidos como uma contextualização de procedimentos matemáticos específicos, que são adaptados e incluídos no currículo matemático escolar.
Assim, os sistemas representacionais e as práticas matemáticas derivadas das atividades realizadas diariamente pelos alunos podem ser modificados, visando a
70In terms of representations, value made it possible to see that one thing could have take the place of another, or, in other terms, that one thing (a money coin, e.g.) could be used to represent something else. And this is the key concept of algebraic representation.
favorecer o surgimento de novos objetivos educacionais com relação ao currículo matemático (GALLIMORE, 1996). Então, o conjunto de ideias matemáticas presentes nos fundos de conhecimento dos alunos pode ser considerado como um sistema adaptativo que pode ser utilizado para que os alunos, criativamente, resolvam novos desafios (MOLL et al,1990), do mesmo modo que, durante o século XVI, na Renascença, se deu o desenvolvimento das representações e os “sinais se tornaram manipuláveis como as comodities foram manipuladas no comércio do século XVI”
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(RADFORD, 2004, artigo não paginado).
Porém, existe a necessidade de explorar como as atividades curriculares podem ser modificadas para a incorporação das práticas culturais no currículo matemático (BRENNER, 1998) por meio da pedagogia culturalmente relevante, já que todos os grupos culturais desenvolveram e desenvolvem vários sistemas representacionais que fornecem pistas sobre as diferentes maneiras de pensamento qualitativo e quantitativo. Nesse sentido, D‟Ambrosio (1990) afirma que grupos culturais diferentes enfatizam diferentes aspectos do conhecimento matemático.
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Signs become manipulated as commodities were manipulated in the 16th century market place.
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CAPÍTULO 2 METODOLOGIA
Esta pesquisa teve início com uma busca de trabalhos, artigos, dissertações e teses, tanto do Brasil como do exterior, em cursos de pós-graduação, que se relacionaram com o tema. Essa abordagem de levantamento de dados teve como objetivo a obtenção de ferramentas teóricas e metodológicas que propiciassem uma melhor maneira de abordar questões relativas à linguagem algébrica em sala de aula com a utilização da História da Matemática. Essas questões estavam relacionadas com o estudo das funções bem como com a leitura de livros e artigos sobre a História da Matemática, a Pedagogia Culturalmente Relevante e os Fundos de Conhecimento.
A partir disso, elaborou-se, para esse estudo, uma proposta de atividades que pudesse estabelecer um diálogo entre os aspectos cotidiano, escolar e científico da Matemática, cujo objetivo é abordar os aspectos históricos, que são necessários na busca de alguns dos porquês dos estudantes em relação ao estudo das funções e, também, a maneira pela qual as funções são representadas. Dessa maneira, as atividades matemáticas propostas neste estudo, podem fornecer condições para que os alunos entendam a Matemática praticada em outros grupos culturais, para, assim, compreenderem as ideias e os procedimentos matemáticos praticados por eles próprios e que são provenientes da cultura na qual estão inseridos, para que a Matemática formal e acadêmica ensinada e discutida na escola seja entendida com mais profundidade e clareza. Ao mesmo tempo, por meio da utilização da História da Matemática, o professor-pesquisador pode elaborar atividades matemáticas culturalmente relevantes (FURINGHETTI, 1997; TROUTMAN e MCCOY, 2008) baseadas na História da Matemática e nos Fundos de Conhecimento, que são necessárias para atender as necessidades pedagógicas dos alunos com relação ao ensino e aprendizagem da Matemática (ROSA, 2010).
Lima (2007) afirma que os professores-pesquisadores ministram, relacionam e instrumentalizam os alunos para aulas e cursos oferecidos em todos os níveis educacionais ao exercerem uma atividade que busca reunir informações sobre um determinado conteúdo matemático. No caso desta pesquisa, o professor-pesquisador
reuniu informações sobre a problemática levantada, analisou os dados com a utilização do método científico, objetivando a ampliação do conhecimento sobre como ocorre a representação das funções pelos alunos, a fim de analisar e entender esse processo de construção da linguagem algébrica, a partir de situações por eles vivenciadas. Dessa maneira, Garcia (2007) afirma que o professor-pesquisador é aquele profissional que parte de questões relativas à sua prática pedagógica, com o objetivo de aprimorá-la. Lima (2007) concorda com esse ponto de vista, pois a pesquisa possibilita aos professores o exercício de um trabalho colaborativo com os alunos, que tem como objetivo a formulação de novos conhecimentos ou os questionamentos sobre a validação das práticas pedagógicas existentes no ambiente escolar.
Assim, durante esta pesquisa, o professor-pesquisador atuou como um facilitador da aprendizagem, abandonando o papel de transmissor do conhecimento (FREIRE, 1976). Nesse sentido, os professores-pesquisadores pesquisam a sua própria prática pedagógica, pois ele se encontra envolvido com o objeto de pesquisa (GARCIA, 1997).
2.1 Contexto Escolar
Esta pesquisa desenvolveu-se em uma escola técnica, na qual o pesquisador leciona, localizada em Ouro Preto, cidade situada a 96 km de Belo Horizonte. Nessa instituição escolar, os alunos ingressam por meio de um processo seletivo e são matriculados em cursos integrados, com aulas em horário integral. Os alunos permanecem na escola das 7 horas às 16h e 40min, sendo que há um intervalo para o almoço das 10h e 40min às 13 horas. Durante esse intervalo de 2:20 horas, os alunos têm acesso a monitorias, ministradas por alunos previamente selecionados, para esclarecerem dúvidas relativas às disciplinas cursadas, participam de treinos esportivos para competições extra-escolares e de reuniões de iniciação científica júnior. Essa unidade escolar oferece Cursos Técnicos Integrados com o Ensino Médio e todos os alunos participantes desta pesquisa cursam um desses cursos. Portanto, ao mesmo tempo em que esses alunos cursam as disciplinas regulares, cursam também as disciplinas técnicas.
2.2 Participantes da Pesquisa
A população participante deste estudo é composta por 73 alunos de duas turmas da Primeira série do Ensino Médio de uma escola pública da cidade de Ouro Preto, Minas Gerais. As turmas de alunos foram denominadas de A e B. Primeiramente, todos os alunos das duas turmas do professor-pesquisador foram convidados a participar da pesquisa, de uma maneira informal, por meio de um convite verbal e, posteriormente, por meio de duas cartas formais, uma direcionada aos pais (Apêndice I) e a outra direcionada aos alunos (Apêndice II). Ao mesmo tempo, foi entregue o Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (TCLE) aos pais (Apêndice III) e aos alunos (Apêndice IV) para a autorização de participação na pesquisa e a ciência sobre os instrumentos que foram utilizados na coleta de dados. Esses documentos também continham informações de que os participantes poderiam desistir da participação na pesquisa a qualquer momento.
Para garantir o sigilo com relação à identificação dos participantes dessa pesquisa, substituíram-se os seus nomes por códigos alfanuméricos. Assim, os códigos