3.3 Registro Documental I: Atividades Matemáticas Exploratórias I (Apêndice VII)
3.3.4 Atividade 4
Para a elaboração da atividade 4, o professor-pesquisador se fundamentou nos dados que foram coletados para se elaborar a atividade 3, que estavam relacionados com os 12 (16,2%) participantes desse estudo, que não residem em Ouro Preto, utilizando, portanto, o ônibus para se locomoverem de Itabirito para a escola. Além disso, houve a utilização de informações referentes ao tempo de deslocamento do ônibus, nesse trajeto, com uma velocidade constante de 80 km/h. A figura 37 mostra como a Atividade 4 foi elaborada pelo professor-pesquisador.
Figura 37: Diagrama de elaboração da atividade 4
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Para complementar essa atividade, o professor-pesquisador também utilizou uma informação histórica sobre Oresme (1320-1382), que viveu na França na Idade Média e foi considerado o primeiro matemático e filósofo a representar, graficamente, quantidades variáveis em seu trabalho intitulado Latitude das Formas (BONETTO, 1999, WUSSING, 1998, TASCHOW, 2003, BOYER, 1996).
3.3.4.1 Questão 13 do questionário II
A questão treze79, do questionário II, solicitava que os alunos relacionassem situações matemáticas que ocorrem durante o trajeto da escola para casa (VELEZ- IBANEZ, 1988) apud HOGG, 2011). Após as codificações e quantificações das respostas dadas a essa questão, a análise desses dados mostra que o tempo gasto no trajeto de casa à escola apareceu em 9 (11,3%) respostas dos alunos da turma A e em 8 (10%) respostas dos alunos da turma B, totalizando 17 (21,3%) respostas dadas a esse questionamento. Além disso, os comentários com relação à velocidade desenvolvida nesse trajeto apareceram nas respostas de 7 (11,3%) alunos da turma A e de 3 (4,8%) alunos da turma B, ou seja, 10 (16,1%) alunos dos 62 que responderam essa questão. Por exemplo, o aluno A10 respondeu que se pode “fazer de 0 a 100 km/h em 300 metros, fazer de 100 a 140 em 400 metros e fazer de 140 a 170 em 500 metros”. Os dados também mostram que, em relação a distância percorrida, 3 (4,8%) alunos da turma A e 6 (9,7%) alunos da turma B, totalizando 9 (14,5%) alunos que responderam essa questão com informações referentes a distância percorrida pelo ônibus.
As respostas dadas pelos alunos para essa questão podem ser visualizadas no quadro 14, que apresenta esses resultados codificados e quantificados. Contudo, é importante enfatizar que 8 (11,4%) dos 70 participantes não responderam a esse questionamento.
Quadro 14: Respostas dos participantes à questão 13 do questionário II
Fonte: Dados do professor-pesquisador
79No trajeto de sua casa até a escola e vice-versa, descreva quais são as ideias, conceitos e procedimentos
matemáticos que você pode perceber nas atividades realizadas pelas pessoas que você observa durante esse trajeto. Enumere no mínimo três situações. Escolha uma delas e tente explicar, em detalhes, a conexão com algum conteúdo matemático que você aprendeu na escola.
Nesse quadro, os valores percentuais referem-se ao total de 80 vezes que os temas apresentados emergiram nas respostas dadas pelos 62 participantes. Portanto, a resposta de um(a) aluno(a) poderá estar presente em mais de um tema, o que resulta em um total superior à quantidade de participantes dessa pesquisa. Desse modo, é importante observar que os valores constantes no quadro 14 referem-se às respostas dadas por um(a) aluno(a), que contém mais de um tema selecionado. Um exemplo de uma resposta na qual se verificam dois temas selecionados é a da participante A23, que mencionou sobre o troco da passagem de ônibus e, também, sobre o tempo gasto no trajeto realizado pelo ônibus. Assim, essa aluna afirmou que ela paga a “passagem do ônibus” e verifica o “tempo que o ônibus gasta para chegar aqui na escola” enquanto que a aluna A29 comentou sobre o “tempo gasto, a velocidade e a distância da escola até em casa”.
O conhecimento matemático presente nas profissões dos pais ou responsáveis pelos alunos foi apontado nas respostas de 2 (3,2%) alunos da turma A e 2 (3,2%) da turma B, que foram dadas à questão onze80 do questionário II. Por exemplo, a aluna A39 afirma que a mãe utiliza cálculos aritméticos e que o pai “conta os passageiros e a velocidade do ônibus”. De acordo com o comentário da aluna A25, a distância também aparece como um conceito matemático utilizado no contexto profissional dos pais, ao afirmar que a matemática aparece nos “cálculos de quilometragem”.
Por outro lado, a aluna A15 afirmou que a velocidade média pode ser considerada como sendo um conceito matemático percebido nas atividades diárias. Então, essa aluna comentou que a “velocidade média é a relação de tempo e distância, [sendo o] mesmo que a relação x e y do plano cartesiano”. Nesse caso, é importante ressaltar que a mãe dessa aluna trabalha com o transporte escolar, o que pode ser um indício da utilização dos fundos de conhecimento que foram transmitidos da mãe para a filha (MOLL et al, 1992). Nessa perspectiva, essa aluna respondeu à questão onze81 do questionário II, na qual afirma que a sua mãe utiliza conceitos matemáticos no cálculo do custo e na “quantidade de litros de gasolina [utilizados] por mês” e também na
80 Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as
ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades.
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Observando as atividades profissionais exercidas por seus pais ou responsáveis, descreva quais são as ideias, conceitos ou procedimentos matemáticos que você julga que eles utilizam em suas atividades.
“distância percorrida pelo automóvel no final de uma viageme [para] calcular o custo” do combustível gasto por esse meio de transporte.
3.3.4.2 História da Matemática
Nessa atividade, a História da Matemática foi utilizada como um guia para que os alunos pudessem representar o pensamento funcional por meio do preenchimento de uma tabela e, também, a relação de dependência entre o tempo do percurso e a distância percorrida pelo ônibus. Por exemplo, a figura 38 mostra como a aluna B25 respondeu a esse questionamento.
Figura 38: Resposta dada pela participante B25
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise dessa situação mostra que os dados da tabela foram preenchidos corretamente por 61 (98,4%) dos 62 alunos que realizaram essa atividade, com exceção da participante B9 que a preencheu como mostra a figura 39.
Figura 39: Resposta dada pela participante B9
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Assim, a análise dos dados mostra que esse percentual de acerto pelos alunos pode estar relacionado a uma das proposições da Pedagogia Culturalmente Relevante proposta por Ladson-Billings (1995a), o chamado “sucesso acadêmico”, ou seja, o sucesso em aprender conteúdos novos, o objetivo dos alunos quando entram na escola.
3.3.4.3 Item (a): Se o movimento continuasse por mais tempo, poderíamos calcular a distância percorrida após 12 horas? Qual seria esse valor? Como você resolveria o problema?
Para esse item, os alunos forneceram respostas diversas ao questionamento. O quadro 15 apresenta a quantificação das respostas qualitativas dadas pelos 62 participantes.
Quadro15: Respostas dadas pelos participantes ao item (a) da atividade 4
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A utilização de símbolos foi realizada de maneiras diversas pelos 7 (11,3%) alunos, que utilizaram esse tipo de representação. Por exemplo:
Um aluno, que não se identificou, escreveu uma equação com duas incógnitas, x e y, especificando o que cada uma delas representa. A figura 40 ilustra a resposta dada por esse participante.
Figura 40: Resposta dada pelo participante não identificado
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A figura 41 mostra que a participante A29 escreveu uma equação, na qual a incógnita x representa o tempo, porém, isso não foi claramente especificado pela aluna.
Figura 41: Resposta dada pela participante A29
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A figura 42 mostra que a aluna A33 escreveu uma equação na qual a incógnita x é o valor procurado.
Figura 42: Resposta dada pela participante A33
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Os alunos A35, B1 e B9 escreveram uma expressão aberta utilizando o símbolo x para representar a incógnita. Contudo, a aluna B9 explicou, em palavras, como descobriu o valor procurado. A figura 43 mostra a resposta dada por essa participante.
Figura 43: Resposta dada pela participante B9
Fonte: Dados do professor-pesquisador
O participante B20 forneceu a resposta correta para esse questionamento, sendo que a justificativa foi dada de maneira sincopada. Assim, esse participante explica a maneira pela qual resolveu essa questão ao responder que multiplicaria “o nº de horas pela velocidade”, sendo que o resultado seria 960 km.
3.3.4.4 Item (b): Se fosse dado que o móvel percorreu a distância de 480 km, seria possível calcular o tempo gasto em percorrê-la? Qual seria esse tempo? Como você resolveria o problema?
O quadro 16 apresenta as quantificações das respostas qualitativas dadas pelos participantes para esse item.
Quadro 15: Respostas dadas pelos participantes ao item (b) da atividade 4
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise desses dados mostra que 42 alunos (67,75%) responderam que calculariam o tempo gasto pelo ônibus por meio da divisão da distância percorrida pelo ônibus por sua velocidade. Desses alunos, 14 (22,58%) escreveram a justificativa da resposta utilizando a linguagem retórica. Por exemplo, a figura 44 mostra que a participante B25 escreveu que o tempo gasto seria de 5 horas, pois é necessário dividir 480 por 80.
Figura 44: Resposta dada pela participante B25
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A figura 45 mostra que a participante B1 utilizou recursos aprendidos na disciplina de Física, ao utilizar a fórmula da velocidade média para responder a essa questão. Essa aluna também utilizou conhecimentos prévios aprendidos em outras disciplinas para a escrita algébrica simbólica para a resolução dessa situação-problema.
Figura 45: Resposta dada pela participante B1
Fonte: Dados do professor-pesquisador
No entanto, um participante sem identificação respondeu que não era possível encontrar a solução para essa questão. Porém, para determinar essa resposta, esse aluno utilizou o símbolo ñ, comumente empregado em conversas virtuais na internet. Diante
desse contexto, com base em informações levantadas por meio das respostas dadas à questão 14 do Questionário II, tem-se que 15 (46,9%) participantes da turma A e 18 (60%) da turma B afirmaram que utilizam o computador e a internet nos momentos de lazer. Isso significa que 33 (53,23%) participantes têm contato direto com o computador em seus momentos de folga. Além disso, no questionário I, que foi respondido por 70 (100%) alunos, verificou-se que 57 (81,4%) deles utilizam a internet, pelo menos uma vez ao dia.
Em resposta à questão doze do mesmo questionário, a análise dos dados mostra que 56 (80%) participantes utilizam os chats e as redes sociais disponíveis na internet, sendo que, desse total, 30 (42,9%) alunos são da turma A, enquanto que 26 (37,2%) são da turma B. Apesar de os dados coletados não permitirem uma análise profunda da associação entre a escrita sincopada utilizada nas redes sociais, essa poderia ser considerada como um dos motivos pelos quais os alunos escreveram as expressões e ideias matemáticas para responder às perguntas elaboradas nas atividades propostas nesse estudo.
3.3.4.5 Item (c): Sabendo que a distância entre Ouro Preto e Itabirito é, aproximadamente, 40 km, quanto tempo esse ônibus demoraria para chegar aqui?
O quadro 17 apresenta uma síntese das respostas dadas pelos participantes ao item c dessa atividade.
Quadro 17: Respostas dadas pelos participantes ao item (c) da atividade 4
Fonte: Dados do professor-pesquisador
De acordo com esse quadro, 5 (8,06%) dos 62 participantes, que responderam esse questionamento, montaram uma equação utilizando símbolos para determinar a resposta. Por exemplo, a figura 46 mostra que a aluna A5 montou a equação com símbolos para representar o tempo, que era desconhecido. A análise dos dados mostra
que essa participante também resolveu o item (b) dessa atividade por meio de uma equação.
Figura 46: Resposta dada pela participante A5
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A análise dos dados também mostra que 3 (4,83%) alunos responderam a essa questão de maneira equivocada. Por exemplo, a participante A31 escreveu “80 – 40 = 20”, como pode ser verificado pela figura 47. Contudo, não há dados suficientes para uma discussão detalhada sobre o raciocínio utilizado pela aluna, na resolução dessa situação-problema.
Figura 47: Resposta dada pela participante A31
Fonte: Dados do professor-pesquisador
O participante A30 respondeu “uma hora” enquanto que a resposta dada pelo participante que não se identificou foi de 50 minutos. De acordo com a análise da solução contida na figura 48, a resposta foi obtida, provavelmente, devido a um erro de transformação de horas para minutos.
Figura 48: Resposta dada por um participante não identificado
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Nesse sentido, a resposta encontrada por meio de cálculos foi de 0,5h e a solução apresentada como resposta final foi de 50 minutos. Assim, observa-se um erro conceitual cometido por essa participante, ao afirmar que 50 minutos correspondem a 0,5 horas.
3.3.4.6 Itens (d), (e) e (f): O que é constante nesse problema? O que é variável nesse problema? O que é incógnita nesse problema82?
O quadro 18 sintetiza as respostas fornecidas pelos participantes para esses itens, pois a organização dos dados em um mesmo quadro facilita a comparação entre essas respostas.
Quadro18: Respostas dadas pelos alunos aos itens (d), (e) e (f)
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A figura 49 exemplifica a resposta dada pela participante A39, que mostra, por meio da utilização de símbolos, que a incógnita desse problema é o x, representando a distância percorrida.
Figura 49: Resposta dada pela participante A39
Fonte: Dados do professor-pesquisador
De acordo com os dados coletados, 15 (24,2%) participantes afirmaram que a distância é a variável. Para 28 (45,2%) alunos, a distância é a incógnita enquanto que para 3 (4,8%) alunos, a distância é, ao mesmo tempo, a variável e a incógnita. Por exemplo, a figura 50 ilustra a resposta dada pelo participante A28.
Figura 50: Resposta dada pelo participante A28
Fonte: Dados do professor-pesquisador
82 Suponha que um ônibus partindo de Itabirito com destino a Ouro Preto venha com velocidade constante
Por outro lado, 10 (16,1%) alunos responderam que o tempo é uma variável e, também, uma incógnita. A figura 51 mostra a resposta dada pelo participante A44.
Figura 51: Resposta dada pelo participante A44
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Por outro lado, 7 (11,3%) participantes responderam que a distância e o tempo eram, ao mesmo tempo, a variável e a incógnita. As respostas apresentadas mostram como esses alunos apresentaram dificuldades em diferenciar a variável da incógnita. De fato, em entrevista realizada no dia 13 de janeiro de 2012, o aluno A22 ressalta a sua dificuldade em relação a essa diferença conceitual ao afirmar que:
Às vezes a professora falava que x era uma incógnita e x era uma variável. Aí, esse ano, eu fui saber que incógnita e variável eram diferentes. Incógnita é um valor que não varia dentro de um problema, variável pode, tem essa variação, x pode assumir vários valores. Eu fui descobrir isso esse ano, os professores ora falavam incógnita ora variável. Eu falei, pronto, sinônimo, mesma coisa.
Então, esse aluno, além de retratar a dificuldade com relação à diferença conceitual entre variável e incógnita, ressalta também que, durante o corrente ano acadêmico, descobriu que sabe diferenciar esses conceitos. Dessa maneira, pode-se levantar a hipótese de que esse aluno atingiu o “sucesso acadêmico” (LADSON- BILLINGS, 1995a) ao adquirir novos conhecimentos para estabelecer uma diferenciação entre os conceitos matemáticos apresentados nessa situação-problema.
3.3.4.7 Item (g): Estabeleça a relação matemática que modele essa situação83 para a distância
O quadro 19 apresenta as respostas dos participantes sobre a representação matemática da situação-problema apresentada. A análise dos dados mostra que foram utilizados vários tipos de representações para essa situação. De acordo com Flores (2006), essas representações podem ser verbais, simbólicas ou gráficas.
83 Suponha que um ônibus partindo de Itabirito com destino a Ouro Preto venha com velocidade constante
Quadro 19: Respostas dadas pelos participantes para estabelecer uma relação matemática para modelar a situação-problema proposta
Fonte: Dados do professor-pesquisador
De acordo com os dados apresentados no quadro 19, a notação analítica de função foi utilizada por 10 (16,13%) alunos para representar essa relação matemática. Por exemplo, os participantes B15 e B16 escreveram f(x)80x enquanto que um participante sem identificação escreveu f(x)80y. É importante ressaltar que, nos dados constantes nas anotações realizadas no Caderno de Campo do professor- pesquisador, verifica-se que a participante B15 cursou anteriormente, em outra escola, a primeira série do Ensino Médio. Porém, mesmo tendo sido aprovada, essa aluna preferiu cursar novamente a primeira série ao ser transferida para a escola na qual essa pesquisa foi realizada. Além disso, de acordo com informações fornecidas em uma conversa com o professor-pesquisador em na sala de aula, essa participante também teve um contato prévio com a notação de função ao estudar o conteúdo de funções no ano letivo anterior.
Historicamente, não existe um consenso sobre quem foi o primeiro matemático a utilizar a notação de f(x) para a denominação de uma função, pois autores como Kline (1972), Cajori (1993) e Maor (1994) atribuíram, em datas diferentes, terminologias diferenciadas para as funções. Por exemplo, para Cajori (1993), um dos primeiros matemáticos a utilizar esse símbolo foi Euler, em 1734. Contudo, Kline (1972) afirma que Leibniz foi o primeiro matemático a utilizar essa terminologia, em 1675. Na opinião de Maor (1994), em 1797, Lagrange, primeiramente, utilizou a simbologia f(x) para denominar as funções.
Porém, independentemente do matemático que tenha utilizado a notação f(x) pela primeira vez, a análise dos dados mostra que, para os participantes desse estudo, a função f varia de acordo com o valor de x. Por exemplo, o entendimento do significado dessa notação pode ser percebido por meio da resposta dada pela aluna B25, em entrevista realizada no dia 11 de janeiro de 2012. Nesse sentido, o professor- pesquisador questionou a aluna sobre o que aconteceria se fosse escrito somente f ao invés de f(x) para a notação de função. A aluna comentou sobre a ausência do símbolo x e a importância da notação utilizada atualmente, pois “se f(x) não tem x qual que é a função?”.
Em outra entrevista de acompanhamento, de acordo com o aluno A22, a notação f(x) significa “função de x (...) é (...) a função que o x assume em uma sentença, e o x (...) é o valor que x assume em uma sentença”. Assim, a análise de dados mostra que, para esse aluno, f(x) é o valor que a função assume em x. Porém, para o aluno A20, essa notação ainda não tinha sentido, já que, durante a entrevista de acompanhamento, realizada em 11 de janeiro de 2012, esse aluno afirmou que “o f está multiplicando o x porque tem parênteses”. Isso mostra que, para esse aluno, a notação de função adquire um significado diferente do usualmente empregado (RADFORD e GRENIER, 1996), pois o significado atribuído pelo aluno A20 à notação f(x) é diferente do sentido atribuído para essa função.
Por outro lado, embora os alunos A22, A6 e B25 tenham entendido o sentido da notação f(x) para uma função, interpretando-a como sendo uma relação de dependência entre f e x, essa notação não teve sentido para o aluno A20, que também interpretou a notação f(x) como uma multiplicação de f por x. Nesse contexto, para esse aluno, o símbolo é somente um rabisco (RADFORD e GRENIER, 1996), com um significado diferente do que é atribuído pela notação matemática tradicional de função.
Durante a entrevista realizada no dia 13 de janeiro de 2012, o aluno A22 afirmou que não utilizava os símbolos matemáticos em séries escolares anteriores porque esses símbolos não tinham sentido. De acordo com esse aluno, depois que entendeu o significado dos símbolos, percebeu que realmente era importante utilizá-los. Por exemplo, esse aluno afirmou que os “parênteses eram inúteis”, pois não tinham utilidade, na prática. A asserção desse aluno reforça a argumentação de Radford e Grenier (1996) de que o apoio do concreto e a atribuição de sentido para os símbolos auxiliam os alunos na construção de significados para a simbologia matemática.
Por outro lado, a utilização de letras para a representação das incógnitas foi utilizada por 19 (30,7%) alunos, ou seja, aproximadamente um terço do total de alunos que responderam a essa questão. Por exemplo, a participante B43 escreveu x80y enquanto que a participante A13, além de utilizar os símbolos x e y, também detalhou o significado de cada uma dessas incógnitas. A figura 52 contém a solução dada pela aluna A13, que especificou o elemento que representava cada incógnita.
Figura 52: Resposta dada pela participante A13
Fonte: Dados do professor-pesquisador
A utilização da regra de três para modelar, matematicamente, a situação descrita, foi utilizada pela aluna B31. Porém, a figura 53 mostra que essa aluna somente escreveu por extenso o modo pelo qual essa situação poderia ser representada, não apresentando maiores detalhes sobre essa utilização.
Figura 53: Resposta dada pela participante B31
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Outros métodos de resolução para essa situação também foram utilizados. Por exemplo, a participante B27 também resolveu esse problema utilizando uma de regra de três. Porém, a figura 54 mostra que essa aluna utilizou a letra x para designar os valores faltantes para completar os dados da regra de três, expressando, matematicamente a situação-problema, utilizando o mesmo símbolo para posições diferentes na regra de três.
Figura 54: Resposta dada pela participante B27
Fonte: Dados do professor-pesquisador
Analisando essa resposta, infere-se que esses símbolos não tivessem sentido para essa aluna, servindo unicamente para representar valores desconhecidos, independentemente de adquirirem valores diferentes ou iguais.
Em relação à representação x, o aluno A22 afirmou que não entendia essa
notação e preferia escrevê-la por extenso, pois era mais fácil utilizar a escrita retórica do que escrever os símbolos. Esse aluno afirma que “achava que aquilo ali era porque eu podia muito bem responder assim, não há resposta, não pertence ao grupo dos reais”. Contudo, quando apoiado no concreto, com situações que vivenciou e que fazem parte