Atividade 3

O início dessa atividade foi elaborado com o auxilio da História da Matemática de modo implícito. Porém, o seu desenvolvimento deu-se de modo explícito por meio de informações históricas em relação à definição de função por Leibniz em 1698. Além disso, essa atividade também foi baseada nos fundos de conhecimento dos alunos, que foram identificados nos questionário I e II, além de estar fundamentada nos pressupostos da Pedagogia Culturalmente Relevante. A figura 25 mostra o processo de elaboração da Atividade 3.

Figura 26: Diagrama de elaboração da Atividade 3 proposta no Registro Documental I

Fonte: Dados do professor-pesquisador

Para a elaboração dessa atividade, utilizou-se a análise dos dados coletados no primeiro questionário, revelando que 34 (48,6%) dos 70 alunos que o responderam, não residem em Ouro Preto, tendo que se deslocar até a escola em vários meios de transporte, como por exemplo, ônibus ou carro de passeio. Desse total, 12 alunos (35,3%) moram em Itabirito. Portanto, justificou-se a elaboração dessa atividade, que teve como objetivo salientar uma das ações realizadas pelos alunos diariamente, isto é, a utilização do ônibus como um meio de transporte para o deslocamento de Itabirito até a escola.

Assim, a análise dos dados relativos à resolução da atividade 3 revelou que 63 (98,4%) dos 64 alunos que a resolveram, não tiveram dificuldades para o preenchimento da tabela, completando-a corretamente. Ressalta-se que 6 (8,57%) dos 70 alunos não responderam a esse questionamento. A figura 26 ilustra a resposta de um dos participantes, que não se identificou.

Figura 27: Resposta dada por um participante não identificado

De acordo com a revisão de literatura, a elaboração dessa atividade está relacionada com a teoria dos fundos de conhecimento (Moll et al, 1992, Velez-Ibanez, 1988 apud Hogg, 2011), na qual existe uma valorização do conhecimento adquirido pelos alunos nas atividades realizadas no lar e na comunidade por meio da elaboração de atividades curriculares culturalmente relevantes (LADSON-BILLINGS, 1995a).

Por isso, a pergunta 1475 do questionário II questionava os alunos a respeito das ideias matemáticas que podem ser acionadas nas horas vagas para diferentes finalidades. Nesse sentido, o aluno A22 respondeu que as ideias matemáticas podem ser encontradas no “Km de estrada, número de poltrona, preço de passagem, que é preciso pensar nos trocados para o troco”.

A realização dessa atividade despertou o interesse e a atenção de alguns alunos, porém, a análise dos dados coletados não possibilitou a quantificação do percentual de alunos que se sentiram atraídos pelas informações contidas no enunciado dessa questão. Contudo, pode-se citar, por exemplo, a atitude do aluno A22, que se mostrou surpreso ao perceber que o valor da passagem do ônibus colocado nesse exercício era o preço realmente cobrado pela empresa de transporte. De acordo com as anotações do caderno de campo do professor-pesquisador, esse aluno exclamou que o professor-pesquisador havia colocado “certinho o preço da passagem, de verdade”.

No entanto, existe a necessidade de salientar que, conforme relatado pelos participantes em conversas informais, a prefeitura da cidade de Itabirito restitui os alunos, no final de cada mês, com o valor total gasto com o transporte até a escola, no momento em que apresentam os bilhetes comprovando essa despesa. Esse fato foi confirmado por meio das entrevistas de acompanhamento, realizadas nos dias 11 e 12 de janeiro de 2012, com os alunos A22 e B25, respectivamente, que compartilhavam a mesma opinião, mas com atitudes contrárias. Por exemplo, de acordo com o aluno A22, o serviço de passe gratuito da prefeitura é insatisfatório, visto que a empresa responsável pelo transporte não aceita o passe aos sábados. Dessa maneira, os alunos devem pagar a passagem para irem à escola aos sábados. Esse aluno afirma que a empresa “Pássaro Verde76

não aceita passes ao sábados (...) não faz sentido eles não aceitarem o passe no sábado”. Além disso, esse mesmo aluno também afirma que,

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O que você gosta de fazer nas horas vagas? Descreva como você pode identificar um pensamento matemático em uma dessas atividades.

durante os meses de fevereiro de 2011 e janeiro de 2012, a prefeitura não reembolsou os passes utilizados pelos alunos nesse período.

Diante disso, para a reivindicação dos passes de fevereiro de 2011, os alunos se organizaram e foram à prefeitura para discutir e requerer esse direito. De acordo com o aluno A22: “(...) 25 pessoas foram para pedir o passe de fevereiro (...) tentamos conversar e tal.. na hora que a gente fez um protesto com 40, 45 (...) a gente falou, a gente quer o passe e a gente não sai daqui sem ele. Aí sim, a prefeitura (...) liberou o passe e tal. Eu acho que eles funcionam sob pressão.”

Portanto, esse aluno adotou uma atitude de reivindicar os passes, enquanto que a aluna B25, mesmo insatisfeita com o serviço, afirmou que não poderiam reclamar do transporte pago pela prefeitura, pois de acordo com ela, “(...) a gente não pode reclamar (...) porque a gente já tem demais. A gente já ganha tudo de graça para vir para cá. E a Pássaro Verde disponibiliza ônibus para vir para a escola, que nem passa por dentro de Ouro Preto, totalmente por fora.”

A análise dos dados da entrevista realizada em 16 de janeiro de 2012 mostrou que o aluno B6 também ressaltou a ineficiência do transporte público ao afirmar que “o número de estudantes vindos de Itabirito é maior do que o de ônibus disponível. Não é certo”.

No final da realização dessa atividade, apresentou-se um texto, no qual a História da Matemática foi tratada de maneira explícita, por meio da apresentação, leitura e discussão de um parágrafo, que mostrava a evolução do pensamento funcional, no decorrer da história. Essa discussão teve como objetivo salientar como outros povos contribuíram para a evolução desse pensamento. A figura 28 mostra o texto, da atividade 3, contendo as informações históricas sobre o pensamento funcional dos participantes desse estudo.

Figura 28: Informações históricas contidas no texto sobre o pensamento funcional da Atividade 3

Fonte: Dados do professor-pesquisador

De acordo com as informações contidas no diário de campo do professor- pesquisador, referentes aos acontecimentos da aula seguinte, ocorrida no dia 30 de março de 2011, essa atividade suscitou uma discussão em relação à uma denúncia anônima, que foi seguida da cobrança de uma multa para um dos motoristas, que era responsável pelo percurso do ônibus de Itabirito a Ouro Preto. Os alunos oriundos de Itabirito relataram esse fato, que foi anotado pelo professor-pesquisador em seu caderno de campo, ao final da aula, pois poderia originar um momento importante para a discussão e análise de uma das três proposições propostas por Ladson-Billings (1995), para a utilização da pedagogia culturalmente relevante, isto é, a consciência crítica.

De acordo com os alunos, usualmente, os motoristas transportam os passageiros além da capacidade máxima estipulada pela empresa e permitida pela legislação brasileira. Assim, houve uma denúncia de uma passageira quanto ao excesso de pessoas sendo transportadas no ônibus e, com isso, a empresa foi multada. Porém, os alunos informaram que a multa não foi paga pela empresa. Assim, o motorista do ônibus teve que arcar com essa despesa, pois a empresa de transporte arca com multas com até dez passageiros em pé e, naquela ocasião, havia dezessete passageiros viajando em pé. Nessa discussão, anotada no diário de campo do professor-pesquisador, após o término dessa aula, alguns dos alunos comentaram que não gostaram dessa atitude da passageira, pois de acordo com eles, o motorista estava ajudando a todos e, se não houvesse o transporte de passageiros além do limite permitido, os alunos poderiam perder as aulas por chegarem atrasados na escola.

De acordo com o relato fornecido pela aluna B25, na entrevista conduzida em 11 de janeiro de 2012, o motorista somente “quis ajudar, não quis deixar ninguém para trás, por outro lado, a segurança de todo mundo. Mas, no final deu tudo certo”. Além disso,

o aluno B6, em entrevista realizada em 16 de janeiro de 2012, também ressalta a atitude do motorista que, em seu ponto de vista, pensou no interesse coletivo dos estudantes em detrimento do interesse individual, ao arcar com as despesas de multa. A transcrição de parte da entrevista realizada com o aluno B25 mostra a sua reação diante desse fato:

Aluno B6: Ele levou gente demais em pé (risos). Coração muito bom. Certo não é porque a lei não permite neh (...) aí ele não deveria ter levado. Mas ele levou assim mesmo.

Professor-pesquisador: Por que você fala em coração bom77? Qual a relação entre coração bom e levar gente em pé?

Aluno B6: Uai, porque se ele não quisesse levar, ele poderia deixar o resto, todo mundo lá (...) sem ir à aula, perdendo matéria (...) tem outro ônibus mas já estava cheio e já tinha saído também. Tem que ter multa porque se mexer no bolso das pessoas elas param de trazer gente em pé.

Professor-pesquisador:[O motorista] parou de trazer gente em pé depois da multa?

Aluno B6: Não (risos). Ele tem o coração muito bom.

Então, essa situação-problema serviu como ponto de partida para a elaboração de uma atividade, na qual havia a necessidade da construção de uma função que representasse o valor arrecadado, caso o lucro obtido pelo transporte de passageiros fosse do motorista. Nesse sentido, havia necessidade de se calcular o valor da multa a ser paga que, de acordo com os alunos, é de R$ 70,00 por passageiro em pé, multiplicando esse valor pelo número de pessoas viajando sem estarem sentadas. Contudo, a função obtida na discussão entre o professor-pesquisador e os participantes dessa pesquisa foi definida por duas partes, pois houve a necessidade de considerar o ônibus com todos os passageiros sentados e o ônibus com passageiros viajando em pé.

3.3.3.1 Questão (a) : É possível se determinar quantas passagens foram pagas, se o valor total pago foi de R$ 30,00?

O quadro 12 resume a resposta dada pelos alunos para esse ítem da questão.

77_{Os dados mostram que o aluno B6 afirmou que o motorista tem o coração bom, pois prefere pagar uma}

multa a deixar alunos na estrada sem o transporte para irem à escola. Isso significa que o motorista preferiu seguir atitudes que privilegiaram o coletivo e a comunidade de alunos em detrimento do bem próprio e individual. O pensamento coletivo do motorista pode ser discutido de acordo com a Pedagogia Culturalmente Relevante proposta por Ladson-Billings (1995).

Quadro 12: Resumo das respostas dadas pelos participantes para o item (a) da atividade 3.

Fonte: Dados do professor-pesquisador

A análise de dados dessa questão mostra que 35 (54,7%) alunos responderam que R$ 30,00 daria para pagar a passagem para 3 pessoas. A notação algébrica e retórica foi utilizada por 12 (34,3%) dos 35 alunos para resolver essa questão. Por exemplo, a aluna B25 resolveu essa situação retoricamente, pois determinou que “basta somar o preço das passagens até chegar a R$ 30,00”.

A análise desses dados também mostra que 10 (15,6%) alunos somente responderam que não, conforme afirmado pela aluna B23. Além disso, 10 (15,6%) alunos responderam que R$ 30,00 era um valor suficiente para comprar 4 passagens de ônibus, sem explicar como determinaram esse resultado. Por exemplo, apesar de ter efetuado o cálculo erroneamente, o aluno B2 concluiu que R$ 30,00 seria sufiente para comprar 4 passagens de ônibus. Contudo, os dados coletados não são suficientes para determinar qual foi o raciocínio utilizado pelo aluno bem como os cálculos utilizados na determinação da resposta para essa situação-problema. A figura 29 mostra como o aluno B2 resolveu essa questão.

Figura 29: Resposta dada pelo aluno B2

Fonte: Dados do professor-pesquisador

Continuando com essa análise, 5 (7,8%) alunos responderam que não era possível efetuar esse cálculo, pois dividindo R$ 30,00 pelo número de passageiros não seria possível obter um resultado exato, como por exemplo, a resposta fornecida pela aluna B21 que argumentou não ser possível efetuar esse cálculo “pois, dividindo 30 pelo

valor da passagem não dá um nº exato”, 2 (3,1%) alunos responderam corretamente a questão, utilizando a notação algébrica acadêmica. A figura 30 mostra a resolução da aluna B21 para essa situação-problema, na qual é indicado o significado do símbolo utilizado.

Figura 30: Resposta dada pela participante B21

Fonte: Dados do professor-pesquisador

3.3.3.2 Item (b): O que é constante nesse problema?

Com relação a esse item, a análise de dados revelou que 3 (4,7%) dos 64 alunos responderam que a constante era o número de passagens, enquanto que 61 (95,3%) responderam corretamente que a constante era o valor ou preço da passagem de ônibus.

3.3.3.3 Item (c): O que é variável nesse problema?

O quadro 13 apresenta um resumo das respostas dadas pelos alunos a esse questionamento.

Quadro 13: Respostas dadas pelos participantes ao item (c)

Fonte: Dados do professor-pesquisador

Para esse item, a análise de dados mostrou que 47 (73,4%) alunos responderam corretamente que a variável era o número de passagens, 16 (25%) alunos responderam que a variável era o valor pago, 1(1,6%) aluno respondeu que a variável era o valor que aumenta de acordo com o número de alunos. Por exemplo, o aluno B20 afirma que

variável é o “valor que aumenta de acordo com o nº de passagens”. Por outro lado, a figura 31 mostra a resposta dada pela aluna B35 que, apesar de responder retoricamente que o número de passagens é a solução do problema, também apresenta uma resposta simbólica para essa mesma situação.

Figura 31: Resposta dada pela aluna B35

Fonte: Dados do professor-pesquisador

A análise dessa resposta mostra que essa aluna ainda está desenvolvendo a escrita algébrica simbólica ao responder a questão em palavras, ao mesmo tempo em que expressa essa situação-problema com a utilização de símbolos.

3.3.3.4 Itens (d) e (e): Qual é a incógnita nesse problema? Como você representaria matematicamente a relação entre o número de passagens e o valor pago?

Com relação a esse item, as respostas dadas pelos alunos foram apresentadas no quadro 14.

Quadro 14: Respostas dadas pelos participantes ao item (d)

Fonte: Dados do professor-pesquisador

A análise dos dados mostra que 5 (7,8%) alunos utilizaram a representação retórica para a resolução desse item. Por exemplo, o participante B20 empregou a representação retórica e utilizou o símbolo nº para simplificar a escrita da resposta dada ao problema, escrevendo que “o nº de passagens pago com R$ 30,00. A cada passagem aumenta R$ 7,55”. A aluna B13 utilizou uma escrita retórica ao escrever que “o valor

total das passagens multiplicaria o valor da passagem pela quantidade” enquanto que a participante A1 empregou a linguagem retórica com a utilização de uma estrutura simbólica para a multiplicação de números inteiros e decimais. A figura 32 mostra a representação matemática da aluna A1 para essa situação-problema.

Figura 32: Representação matemática dada pela participante A1

Fonte: Dados do professor-pesquisador

Por outro lado, 8 (12,5%) alunos empregaram uma combinação da representação retórica e simbólica no processo de resolução dessa situação-problema. A figura 33 mostra como a aluna A33 utilizou essa combinação de representações na resolução desse item.

Figura 33: Representação matemática utilizada pela aluna A33

Fonte: Dados do professor-pesquisador

A representação gráfica somente foi utilizada pela aluna B25 (1,6%), que empregou esse mesmo tipo de representação para resolver a atividade 1 desse registro documental. A figura 34 ilustra a representação matemática utilizada por essa aluna.

Figura 34: Resposta dada pela participante B25

Além da representação gráfica utilizada, a aluna B25 repetiu a palavra gráfico 7 vezes durante a entrevista realizada, destacando também a utilização da representação gráfica para justificar uma função presente no trabalho realizado pela mãe dela.

A expressão matemática aberta para representar essa situação-problema também foi utilizada por 11 (17,2%) participantes. Por exemplo, a aluna A29 escreveu que a resposta é dada por “x7,55”, na qual não utilizou o sinal de igualdade, escrevendo, portanto, uma expressão aberta.

Outro método utilizado por 4 (6,3%) alunos foi a representação dessa situação por meio de um diagrama. Por exemplo, a figura 35 mostra como a aluna B23 representou, matematicamente, essa situação.

Figura 35: Resposta dada pela participante B23

Fonte: Dados do professor-pesquisador

A utilização da notação simbólica pode ser visualizada na resposta dada por 33 (51,6%) alunos. A representação simbólica não usual foi utilizada por 8 (12,5%) alunos; a representação simbólica x e y foi utilizada por 17 (26,6%) alunos. A notação de função foi utilizada por 8 (12,5%) alunos. Essa situação é exemplificada pela resposta dada pela aluna B35, que representou essa situação por meio da notação atual de função ao afirmar que f(x)7,55x. A análise desses dados revela que há o desenvolvimento da construção da linguagem algébrica pelos alunos, pois 33 (51,6%) desses alunos utilizaram os símbolos para representar matematicamente essa situação.

3.3.3.5 Item (f): Como seria a representação gráfica dessa situação?

A análise de dados mostrou que a representação gráfica requerida nesse item apresentou diversas peculiaridades e diferenças nas respostas dadas pelos participantes. Esses dados foram apresentados e analisados, em conjunto, ns seção 4 deste capítulo, juntamente com todas as atividades constantes nos registros documentais I, II e III.

Na sequência dessa atividade, apresentou-se um pequeno texto introdutório, contendo informações históricas sobre o desenvolvimento do conceito de função. A figura 36 mostra o conteúdo do texto introdutório.

Figura 36: Texto introdutório da atividade 3

Fonte: Dados do professor-pesquisador

Esse texto introdutório requeria que os participantes desse estudo analisassem a situação apresentada com as duas definições de função contidas no texto de acordo com os matemáticos Leibiniz e Dirichlet.

3.3.3.5 Poderemos afirmar que a situação78 descrita é uma função? Analise de acordo com as duas definições e justifique.

Nesse item, os participantes compararam a evolução do conceito de função desenvolvida durante 139 anos, desde a definição apresentada por Leibiniz, em 1698, até a que utilizamos atualmente, que foi definida por Dirichlet, em 1837. Entretanto, a análise dos dados mostra que não se obteve o resultado esperado nesse questionamento, pois 64 (100%) dos alunos somente responderam que essa situação poderia ser considerada como uma função ou não, sem se aterem à comparação entre as duas definições apresentadas no texto proposto.

Por outro lado, além de terem utilizado somente a definição atual de função para analisar essa situação, as respostas dadas para esse questionamento foram contraditórias, como por exemplo, a resposta dada pelas participantes B23 e B25. Assim, a aluna B23 afirma que a situação descrita é uma função, pois “A no caso é um valor variável e B um valor constante”. Em contrapartida, o participante B25 argumenta que essa situação

não é uma função, pois “função é o que varia de acordo com uma outra propriedade constantemente”.