Lat. Am. j. solids struct. vol.12 número3

(1)

! ! " !

! #

!

$

# #

% #

!

& & &

!"

"

#

!

'

!

( ! )*+,& -

.

! )*//& 0

! )**1& 2

3 ! 4554! 4556& .

"

! 455,& -

2 ! 455+&

7 ! 45)4 &

!

# $ % $ & % '

( )

!₍ _' _. _{! 8 9}

: ! 8 9 ! ; 9 )/< = < 9

( ' . ! ; #

: ! ; !

; ! />)6+#/,)))

' ?

@ <

?AA " A)5 )6*5A)+1*#1/46)4/5

)4 5> 45)> ; 44 5* 45)>

(2)

B

'

!

#

%C(

)*>6 & $

)*6)

%C(

!

B

#

(

! )*1/& D

! 455)& 0

! 455/

%C(

#

!

#

-C(

!

)*/> &

#

)*6/ & 2

)*/5 & $

)*/) & 3 9

)*+/ &

)*16 & 3

455*! 455, & $

45)4 & E

4556 & $

45)4 &

)**) &

0 45)5 &

45)5 & C

)**4

-C(

!

B

%C(

'

! C

4554

#

C

F

#

!

B

9 !

B

!

#

C

#

?

C

455+

"

C

455+

3 45)4! 45))

2 !

!

3 455*

G

45)4

#

!

"

45)4 !

#

45),! 45)) !

45)) !

45)4 $

G

2 ;

!

#

!

! "

!

$

(3)

#

9 ;

4!

G

, ;

>!

*

(+

+ " , -

$!,

*.

/)

0 '

%

)

;

?

!

#

σ

#

σ

!

=

+

)

#

"

!

(4)

'

!

"

∂ = −

∂

= −

∂

,

!

γ

!

γ

σ

!

σ

!

σ

9 '

B

#

!

"

∂ =

∂

=

∂

,

)

%

4

 

 

= _ − _−

 

  C(

 _  _

 _  _

= __ __− __ __−

    - -C(

    −  _{ }_{ }

= − ." .C(

π π

 _

 _

= __{ }__− C CC(

(5)

%

?

,

− =± ∂ = = − ∂

∫

>

.

0 B

)

, !

∂ ∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ = − + ∂ ∂ = +

6 #

#

&

#

5 #

!

)

?

ε ε γ     ∂  ∂    ∂        −           ∂   ∂   ∂                  ∂   ∂  ∂  ₌ ₊ ₋ ₊            _∂   _∂   _∂                 ∂ ∂       _ _ _ _∂ _ _ _∂ +   −  _∂ _∂          __ ∂ ∂ __ _ ∂ ∂ γ γ   _ _  ∂           _ _  _∂   ₌           ∂   _ _       __{ ∂ }_         

+

=

+

*. "

1

2 ;

#

%

,

G

σ

!

#

(6)

#

!

#

"

?

υ

υ υ

=

−

/

8 F

&

υ

F

!

0 !

#

σ ε

σ γ

    

   

    

   

    

  _ _ 

   

    

 ₌  

  _ _ 

  _ _ 

   

  _ _ 

   

    

  _ _ 

  _ _ 

   

   

*

.B *

{ }

σ =   

{ }

ε

)5

 

 

455>

(7)

# # #

*.3

-;

!

B

%

6 '

! )*1+ %

!

#

{ }

δ θ θ

 

_ _ 

 = 

  

  

= _ _

 

 = 

  

 

   

))

θ ∂ θ ∂

= = = =

∂ ∂

))

.B 6

?

))

{ }

δ

= =

=

∑ ∑

)4

{ }

δ

= =

′

=

∑ ∑

)4

{ }

δ

= =

=

∑ ∑

)4

{ }

δ

= =

=

∑ ∑

)4

(8)

"

!

.B )>

η η η η η

 

 

=_ − − + _

 

)>

η η η η η

 

 

= _ − − + _

 

)>

η η η η η η η η

 

 

=_ − + + − + − − − + _

 

)>

η η η η η η η η

 

 

=_ − + + − + − − − + _

 

)>

;

B

!

η

=

;

-!

#

∂

{ }

ε

{

ε

}

)>

{ }

ε =_∂ ∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ +∂ _

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

 

 

)6

{

ε

}

   

 __∂ _ __∂ _ __∂ _ 

        

   +  +   

 _ _ _ _ _ _ 

 ∂  ∂  ∂   

 _ _ 

 

 _ _ 

 _ _ _ _ _ _ 

 _ ∂ ∂ ∂ _ 

       

=_{ }___∂ __ +___∂  +__ ___∂ __ _ 

  

  

 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  + + 

 _{∂ ∂} _{∂ ∂} _{∂ ∂} 

  



    

)+

:

.B

)4

>

{ }

ε

{ }

ε

{ }

δ

= =

 

=

∑ ∑

_{ }

)1

 

 

"

{ } { }

ε

σ

=

_∫

)/

-

!

.B

)5

)1

.B )/

(9)

{ }

δ

 

!

{ }

δ

=

_{ }

)*

!  

 

"

!

"#

!

− −

  ₌      

 

∫ ∫ ∫

     

45 #

σ

%

>

"

{

} { }

"

=

∫

ε

σ

4)

0 !

"

_! _

{ }

δ



!



{ }

δ

=

_

_

44

{

}

!

σ





=



   



+



   



+



   







∫



   





   





   



4,

D

{ }

δ

= =

∂ ₊∂ ₌ _ _

 

∂ ∂

∑ ∑

4>

{ }

δ

= =

∂ ₊∂ ₌ _ _

 

∂ ∂

∑ ∑

4>

{ }

δ

= =

∂ ∂ _ _

+ = _ _

∂ ∂

∑ ∑

4>

σ









  = 



 

_

_





46

(10)

!

 _{ }! _! _

#

B

(

 _{ }! −λ_! _

){ }

=

4+

λ

{ }

!$+ " , +#!, #

$

2 0

!

;

!

#

!

"

!

'

!

#

%C(

#

-C(

"

4 $

)

455>

υ

=

$

4 455>

υ

=

!

?

# $

 _

 _



= __ _



 

41 ;

!

)>

! "

!

)5

;

! !

!

&

#

%C(

$ :

' ' ,

%C( % # 6

C( # 6

C( >

-C( - >

.C( ." >

CC( C >

(11)

. )

4

2 #

B

$

=

,

>

%

+! /

* $

) ! )5

3 F G

%C(

!

! %C(

%

=

6A+ !

'

%

+

1 $

%

/

*

,!

%C(

%

=

6A+ !

%C(

%

=

)

)6 >4H

) +H!

#

!

B

$

= =

=

B

#

"

>

%

1!

!

I)

I4

)5

B

$

=

6 #

"

%

)5

7 = = = 6 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

% + ,>1/ 6 6+1* + )/5> + +1)6 &% & * )5,* 1 ))44 / 4)** * )/>) % "" )5 61/6 1 1>)) * )5/6 )5 ,>+, )5 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

&%

* ,1,4 / /*// * 41,, *6>)6

% " &

)+ 11)* )> 15)) )6 /1,+ )+ 1+** % 44 46/) )/ ,616 45 ,5>> 4) /+54 45 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

% "

)5 +6,> )5 >*4+ )5 +)** )5 15++

% ' &

4) ,>1* 45 >5,> 45 *64/ 4) ,,+, " %&'" ,) 5+/6 4/ /655 ,5 5),* ,5 />6) 65 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

% ' &

)) 51/5 )) 5>*1 )) 514) )) 5/1) "% 4, )446 44 *,++ 4, 5>+) 4) ,,+, "#%& " ,> *1)1 ,> >//+ ,> 1>/1 ,> *4>> )55 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =) ' % "& )) )>)6 )) ),>, )) )>55 )) )>,/ )) )+4/ "%"&' 4, >551 4, ,641 4, ,/)5 4, ,*** 4, >*>*

" % '

,6 +)45 ,6 >/64 ,6 66,/ ,6 6**+ ,6 /,51

(12)

7

= = =

6

$ C(

3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

%'# "

4 /6>* 4 65>4 4 /,)* , )541

"% # '

, ,,5* 4 1,,4 , )>44 , >*,, "% && , >/55 4 /,5, , 4/44 , +1*, )5 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

#% > +1)/ > >46* > +,+1 > 115/ %&" " + 5+>+ 6 >,6) 6 /,15 + )>46 '% ' 1 46,+ + 51*1 + +,46 1 5+*5 45 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

%" & 6 ,4+1 6 4>+, 6 ,)55 6 ,6,, '% &&" 1 ++>, 1 ,15) 1 66>+ 1 +/,> &% " * ++)> / */*6 * ,5>* * 64*1 65 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =)

% " 6 6,*5 6 64>* 6 6,+) 6 6>,+ % " / 41/> / 4)** / 46++ / 4/)4

% # &

)5 +61+ )5 6))) )5 6/)5 )5 +4/4 )55 $ C( 3 455*

%C( % =4A, %C( % =6A+ %C( % =) ' % && 6 6151 6 6+14 6 6155 6 61)* 6 6/)> %"' / ,1>> / ,6*, / ,+/1 / ,16) / >5+* % & )5 /)14 )5 11// )5 1*14 )5 /5*6 )5 /1)6 )5

! # G # CCCC

B $ = "

# #

(13)

' # #

B " & =

B " & $ =

&

(14)

B

**.* )**

4

2

1

6 #

B

"

$

) !

)5

6!

#

"

( 7

= = =

6

C( -C( .C( CC( %C( % =

+ 4)4+ + 4)44 + 4,*5 + 4+,1 + +1)6

* 5)5* * 55*5 * 5*4) * 5/*1 * )/>)

)5 6),, )5 65*> )5 +611 * *6*+ )5 ,>+,

45

C( -C( .C( CC( %C( % =

)5 +),/ )5 +),/ )5 +)+/ )5 +46, )5 15++

4) 416* 4) 416* 4) 4//6 4) ,4)/ 4) ,,+,

,5 *1,5 ,5 *14* ,) 55)) ,) 5+*4 ,5 />6)

)55

C( -C( .C( CC( %C( % =

)) ),*/ )) ),*/ )) ),** )) )>54 )) )+4/

4, ,*1) 4, ,*1) 4, ,*11 4, ,**4 4, ,***

,6 +5+1 ,6 +5+1 ,6 +5/5 ,6 +))+ ,6 6**+

! G

# B "

. )

2 #

B

$

=

+

%

)) ;

!

(15)

!

$

) ! )5

;

+!

$

=

)55

!

2 #

#

45))

'

C(

%

)) ;

+!

β

"

!

9 β

β

"

!

B

$

=

6!

#

"

%

)4

β β $ 0

&& & ''

5!) )5 $ C( 45)) ' % "& )) )>)6 )) )+4/ # % ' >6 61)> >6 *451 "%" '& 4, ,,)6 4, >444 % & 4 /)*4 4 /45+ 46 $ C( 45)) ' "%"&' 4, >551 4, >*>* '%" & )51 ,6*1 )5* ,)>) "% #& 6, 5614 6, 641> % 4 /45, 4 /4)+ >5 $ C( 45)) '

" % '

,6 +)45 ,6 /,51 '% && )+1 ///1 )14 1)5, %# ' /4 >*,5 /, +,>+ % " 4 /45+ 4 /4)* )!) )5 $ C( 45)) ' % & 6 6151 6 6/)> % #& 45 )66/ 45 4*5> %' )5 141, )5 1+6/ % '# ) 41>6 ) 4165 46 $ C( 45)) '

% & #

)) 155, )) 1>16 #'%#& >1 6)44 >/ 4++/ # "'#' 4> ,1** 4> 61*4 % '" ) 41,1 ) 41>, >5 $ C( 45)) ' '% " )1 /5+5 )1 *)6> '#%" & 1> ,1*> 1+ 4>65 "'%& # ,1 *)5, ,/ ,*>> % '" ) 41,6 ) 41>) ! '

B $ = )55

.3 )

4

2

4 #

#

"

1 =

)5! 46! >5

) ;

1 /

%

),! )5

;

/!

#

=

B

"

= $

=

>5

$

4 /

#

,#(

G

)*16

(16)

# # B #

" # " & =)5 C(

B

& ? CCCC! 0? CCC'! '? CC''! (? CC%%

# #

#

B

%

),

=

>5

0 B

5A5A5A5

#

$

=

6!

#

"

#

(17)

= = =

: " '

)5 $ C( $ -C( $ CC( 455> % # % " % # 6 1>+ % " % % / )/* %# ' %# "& %#' )5 ,/) 45 $ C( $ -C( $ CC( 455> % ''' % '' % '' + 456 &% "' &% "'" &% " "

* )6, %&& %&& %&&' )) */5 )55 $ C( $ -C( $ CC( 455> '2 %" %" %" + ,+1 + ,1> &% &% &% * 6)) * 64+ % % % )4 +5) )4 +4/ 0 " '

)5

$ C(

$ -C(

$ CC(

455>

% " & % " ' % " 4 /1, #% #% #% # > 5*> % """ % " ' % " 6 )*5 45 $ C( $ -C( $ CC( 455> "% "% "% & , )54 #% & #% #% & > 61+ %&& %&&' %&& 6 **5 )55 $ C( $ -C( $ CC( 455> '2 "% " "% " "% " , )/> , )/1 #%' #%' #%' > 166 > 1+, %" %" %" + ,55 + ,)>

! ' G # # B $=

" # # 9 " #

(18)

G C . H

>

." G ! )*16 4) 41*+ #

C( ! 455> 44 61*5 + ))

%C( ! 455> 44 /5+5 1 )1

3 ! 455* 44 6155 + 5+

$ C( %"" #%&"

$ -C( %"""' #%&

$ CC( %" ## #%

'2 ,5 ,6*) >4 +1

+

." G ! )*16 4, ++/* #

C( ! 455> 4> >6*+ , ,>

%C( ! 455> 4> 6111 , />

3 ! 455* 4> >6/) , ,,

$ C( #% %"

$ -C( #% ' %"

$ CC( #% # %"

'2 ,, 6/)1 >) //

)5

." G ! )*16 4> *+,+ #

C( ! 455> 46 >446 ) />

%C( ! 455> 46 >655 ) *6

3 ! 455* 46 >446 ) />

$ C( % &' %&"'

$ -C( % &' %&"

$ CC( % %&

'2 ,6 4,)+ >) ),

! G 9 " #

# B $ = =

# 0 B 5A*5A5A*5

$ =6

(19)

!

"

?

)# ; ! C( ! -C( ! .C( CC(

) ; , 4 6 !

# C( -C( #

.C( CC( C , )!

C(

4# ; C

, >

/ !

C(

"

,#

#

>#

#

6#

"

#

+#

"

."

9 , >!

1#

!

"

!

B

!

'

9 9! - - ! ! - ! $ ! ; ! 0 ! 2 ! ! ! ! 0 . ! 45)) C

' J

4> > ? >,>#>>/

! C ! )*6/ 7 ;9 7 G ! G CCC 6? +*#11

! - ! ! ! $ ! ; ! 0 ! . ! 45)5 %

D # ; J #

$ $ ( + 4 ? )),#)4)

9 ! $ ! 3 ! 3 - ! 455> 2 "

; J C K ! C 9 : 4/? 4)#,5

0 ! L ! J ! D ! ! J ' ! )**1 #

; J C C ,> )> ? )1*1#)/44

0 ! ! ! - ( ! ! - ! ! ! ! $ C ! 45))

' 0? . >4 + ? ),/+#

),*>

0 ! C ! $ ! ; ! ! ! % ! ! ! - ! 0 ! . ! 45)5 0

(20)

>+ > ? >46#>,>

0 ! - ' ! ! J ! 455/ 0 # # $ #

? #D C >+? +>+#+64

' ! 8 3 ! )*1+ %

( ! 8 ! )*+, 0 C )) ) ? *1#)5,

( ! ( J ! ! 7 2 ! )*1/ 0 $ ' C )6 > ? >+)#

>1)

. ! $ ! " ! ! 455, 0 #D

C >) * ? /1)#//*

L ! C ! 7 ! - ! G ! $ ! 45)4 0 #

' C )5/#)5*? *,#**

- ! ; ! . ! ! )*// . #D C + 6 ? >56#>)+

- ! ; ! 2 ! J ! 455+ 0 # 3C'. J '

. )5 6 ? ,>*#,6+

3 9 ! E ! )*+/ ; ? C ! D

3 ! J - ! 2 ! D ! 4556 ." #

# ; J C C 4 )> ? >445#

>4,/

3 ! $ ! B! 3 C ! $ ! C ! 455, $ #

; J

C C >5 + ? )646#)6>+

3 ! $ ! B! 3 C ! $ ! C ! 455* 2? J

$ ( 44,? 6,#+4

3 ! C . ! ! - ! 2 ! J ! 455* 0 #D C >1? >66#>+4

3 ! C . ! ! - ! 2 ! J ! 455* ' #

C /* 4 ? )*1#456

2 ! D ! 3 ! J - ! 4554 ." CC#'#CC#'

# ; J $ C >> * ? )*46#)*>6

2 ! $ ! )*/5 $

' 1? ,>,#65

$ 9 ! ! C ! $ ! 45), % #

' C *6? >>,#>64

$ ! J 2 ! 7 ! C ! L C ! ' ! 45)4

' 0? . >,? )>/*#)>** $ ! J 2 ! 7 ! C ! L C ! ' 45)4 0

' C *> 4 ? 1)>#14, $ ! 0 ! $ ! ; ! 0 ! C ! 45)4

# ' 0?

. >,? )>6,#)>6/

$ ! ; ! $ ! 0 ! 0 ! C ! 45)4 C

% # ' 0? . >6 ) ? 1>/#161

$ ! G . ! ! ! E ! G ! $ ! ; ! 0 ! . ! 45))

(21)

C 6, > ? 4,1#4>1

$ ! ( ! )*6) ; " !

C$. J $ )/ ) ? ,)#,/

$ ! $ ! )*/) G C

G ! C ! 45)) 0 #A # #

' C *, )4 ? ,5*,#,)5,

G ! 3 ! )*16 C % C /? /)#/*

! ! )*16

! J G ! )*/> # C$. J

$ 6) > ? 1>6#164

! J G ! 455> $ 4 ! ' '

! . )*>6 C$. J

$ )4 4 ? +*#14

! J L ! )**5 0 ! !

-;! G 8 ! $ (

C ! ! 4554 ; J >5 ) ? ),1#)>+

C ! ! ! - L ! 455+ % # J

C 4*+ >#6 ? *1*#***

C ! ! ! - L ! 455+ ; #

J C C >, 44#4, ? +1/,#+1**

C ! 3 ! )**4 $

*>? )*6#445

! - ! 45)4 ! ;

J . C +4 ) ? 6+#+>

! - ! ' ! ( - ! 45)4 #

$ $ ,+ , ? )55/#)544

! - ! ' ! ( - ! 45)4

' 0? . >, 6 ? 4,,6#4,>1 ! - ! 3 ! C . ! 45)) 2 #

' C *, 1 ? )1,/#>+ ! - ! 3 ! C . ! 45)4

2 # ; J $ C 6> ) ? 4+*#41+

! - ! 3 ! C . ! 45)4 2 #

$ $ ,+ / ? ,/15#,//4

! $ ! )**) ; J . C 4* / ? 1>6#

164

! ! ! - ! 45)4

; J $ C +4 ) ? +1#1+

D ! ' ! 2 ! L ! ! J ! 2 ! 3 ! 455) $

. C 4, 1 ? /,/#>*

E ! $ ! 4556 ? 4#

(22)

5

0 ?

) 0

#

=

π

4 0

$









=

−

_

−

_





$

=

−

π

+

=

, 7

#

$

= −

$

=

+

π

> 7

$









=

−

_

−

_





$

=

+

π