SILVIANE RIGOLON LUIS
Concepção de uma seqüência de ensino para o estudo
da semelhança: do empírico ao dedutivo
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
SILVIANE RIGOLON LUIS
Concepção de uma seqüência de ensino para o estudo
da semelhança: do empírico ao dedutivo
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de
MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr.
Vincenzo Bongiovanni.
Banca Examinadora
_____________________________________ Prof(a). Dr(a). Claudina Izepe Rodrigues
_____________________________________ Prof(a). Dr(a). Sônia Pitta Coelho
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Dedicatória
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus, por tornar o meu sonho realidade.
Ao Professor Doutor Vincenzo Bongiovanni, por sua orientação, compreensão, amizade, incentivo e dedicação em todos os momentos.
Às Professoras Doutoras Claudina Izepe Rodrigues e Sônia Pitta Coelho, por participarem da banca examinadora e por suas enriquecedoras contribuições a este trabalho.
A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática da PUC-SP, por tudo o que ensinaram.
Aos meus colegas de Mestrado, pela amizade e pela convivência enriquecedora.
Aos diretores e professores da E.E. Profº Getúlio Nogueira de Sá, por terem confiado e cedido seus alunos para a pesquisa deste trabalho, em especial aos alunos que participaram das atividades e aos professores que foram os observadores durante a aplicação das mesmas.
À Secretaria de Estado da Educação, por ter me concebido a bolsa de estudos, sem a qual a realização deste trabalho não seria possível.
Ao meu marido Marcelo pelo seu amor, companheirismo e apoio nos momentos mais difíceis.
Resumo
O objetivo desta pesquisa é investigar como o conceito de figuras semelhantes pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora a alunos da 1ª série do Ensino Médio, de modo que a prova seja parte integrante desse processo.
Procuramos responder às questões de pesquisa: Como se dá a transição da geometria concreta para a espaço-gráfica no contexto das figuras semelhantes? Como ocorre a passagem das validações empíricas para as dedutivas nesse contexto? Para isto, por meio da metodologia da Engenharia Didática, desenvolvemos uma seqüência didática formada por três blocos, sendo que no primeiro e segundo trabalhamos com validações empíricas, utilizando materiais concretos e um ambiente informatizado e, no terceiro bloco com validações dedutivas, utilizando o papel e lápis.
Empregamos em nossa pesquisa, os pressupostos teóricos de Parsysz para o ensino da Geometria, onde ele destaca quatro etapas do desenvolvimento do pensamento geométrico; as idéias de Balacheff sobre processos de validações de provas, destacando-se as provas pragmáticas e a prova intelectual e com as idéias de Freudenthal que propõe para o ensino da demonstração uma organização local.
Abstract
The aim of this research is to investigate how the concept of similar figures can be presented in a significant and motivate way to the students attending the first grade of Brazilian high school system, so that the proof can be an integrant part of this process.
We tried to answer the research questions: How is the transition from concrete geometry to space-graphic geometry within the context of similar figures? How does the passing of empirical validations to the deductive occurs in this context? For this, using the Didactic Engineering methodology, we developed a didactic sequence composed by three blocks, in the first and second ones; we worked with empirical validations, using concrete materials in a computerized environment and in the third one with deductive validations using paper and pencil.
In our research we used the theoretical presuppositions of Parsysz to the Geometry teaching, where he emphasizes four stages of the development of geometric thought; The Balacheff’s ideas about proofs validations processes, are distinguished the pragmatic proofs and the intellectual proof and with the ideas from Freudenthal that proposes for the teaching of the demonstration a local organization.
Sumário
Capítulo 1
Problemática, Referencial Teórico e Metodologia
...
11.1 Introdução...
11.2 Descrição do Trabalho...
61.3 Referencial Teórico...
61.3.1 Parsysz
...
71.3.2 Balacheff: Argumentação e Prova
...
91.4 Ambiente Informatizado: Cabri-Géomètre...
121.5 Objetivo e Questão de Pesquisa...
131.6 Metodologia...
14Capítulo 2
Um estudo do Objeto Matemático – Semelhança
...
162.1 Uma Passagem pela História da Semelhança...
162.1.1 Egito Antigo
...
162.1.2 Grécia
...
172.1.3 Mundo Árabe
...
212.1.4 Europa
...
222.1.4.1 Clairaut
...
222.1.4.2 Legendre
...
252.1.4.3 Hadamard
...
282.1.5 Um Tratamento mais Recente da Semelhança
...
312.1.5.1 Semelhança de Figuras
...
312.1.5.2 Semelhança de Triângulos
...
352.1.6 Homotetia – Uma Definição Vetorial
...
382.2.2 Matemática e Realidade – Iezzi, Dolce e Machado
...
492.2.3 Educação Matemática – Pires, Curi e Pietropaolo
...
522.2.4 Confrontando as Idéias entre os Três Livros Didáticos
...
56Capítulo 3
Concepções das Atividades e Análise a Priori
...
593.1 Uma Visão Geral das Atividades...
593.2 Análise a Priori das Atividades...
623.2.1 Bloco 1: Validações Empíricas com Material Concreto
...
623.2.2 Bloco 2: Validações Empíricas com o Software Cabri-Géomètre
...
713.2.3 Bloco 3: Validações Dedutivas no Ambiente Papel e Lápis
...
90Capítulo 4
Experimentação e Análise a Posteriori
...
1064.1 Introdução...
1064.2 Organização da Experimentação...
1084.3 Coleta de Dados...
1084.4 Análise a Posteriori das Atividades...
1094.4.1 Bloco 1: Validações Empíricas com Material Concreto
...
1094.4.1.1 Conclusão do Bloco 1
...
1244.4.2 Bloco 2: Validações Empíricas com o Software Cabri-Géomètre
...
1254.4.2.1 Conclusão do Bloco 2
...
1534.4.3 Bloco 3: Validações Dedutivas no Ambiente Papel e Lápis
...
1554.4.3.1 Conclusão do Bloco 3
...
244Capítulo 1
Problemática, Referencial Teórico e Metodologia
1.1
Introdução
No segundo semestre de 2005, na PUC – SP, iniciou-se o projeto AProvame: “Argumentação e Prova na Matemática”, com duração de dois anos. Foram convidados para participar deste projeto estudantes do curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática e o seu objetivo principal é fazer uma investigação na problemática do ensino e aprendizagem da prova em matemática em algumas escolas da cidade e do interior de São Paulo.
Diante desta proposta, resolvi ser uma das integrantes da equipe como professor-colaborador e conseqüentemente, com a ajuda do meu professor orientador, surgiu à idéia de elaborarmos uma seqüência didática para o meu trabalho final, com o desafio de tornar o estudo a ser escolhido significativo ao aluno, proporcionando-lhe momentos de observação, manipulação, investigação e principalmente encorajando-o na argumentação de seus resultados, a fim de desenvolver nele a capacidade de fazer conjecturas e generalizações, bem como dar capacidade de justificar por meio de provas.
Restava apenas escolher o conteúdo a ser trabalhado. Resolvemos optar pela geometria, por ser um campo vasto para trabalhar com situações-problema e favorecer o estabelecimento de conexões entre a matemática e o mundo real. Dentro da geometria, optamos por estudar as figuras semelhantes, por ser um conteúdo de suma importância, presente no estudo de escalas, plantas, mapas, ampliações de fotos, fotocópias e, além disso, permitir estabelecer conexões com outros conteúdos matemáticos, como razões e proporções, propriedades das figuras, ângulos, medidas e conteúdos de outras áreas.
Com a finalidade de compreender as dificuldades no processo de argumentação e prova no ensino e ampliar o nosso interesse sobre este assunto, buscamos subsídios no trabalho de PAIS e FREITAS (1999), que realizaram uma pesquisa com professores de Matemática do Ensino Fundamental, da rede pública do estado de Mato Grosso do Sul. Essa pesquisa mostra que os professores apresentam uma visão inadequada dos valores dos processos dedutivos da geometria. Para eles, os procedimentos do pensamento dedutivo seriam apenas para a justificativa de algumas fórmulas, ou para a verificação da validade de casos particulares, ou seja, não há uma compreensão da demonstração geométrica enquanto recurso teórico de validação do conhecimento geométrico. Uma das conseqüências disto é a formação dos professores, que não se sentem aptos para trabalhar com a geometria e em particular com a geometria dedutiva.
Segundo PAIS e FREITAS, o ensino da geometria deve contemplar uma valorização mais significativa do trabalho pedagógico com o processo de validação do conhecimento geométrico.
“Acreditamos que a prática de produção e de reprodução de provas e demonstrações geométricas, contribui de uma forma importante para a formação de um tipo de raciocínio fundamental à construção do conhecimento científico”. (Pais e Freitas, 1999, p.69).
As informações sobre esta pesquisa nos fazem refletir o quanto o processo dedutivo está sendo esquecido no ensino, já que os professores evitam tal abordagem e isto fortalece a idéia de valorizar esse contexto em nosso trabalho.
O trabalho de MACIEL (2004), “O Conceito de Semelhança: Uma Proposta de Ensino”, que fez parte do levantamento bibliográfico inicial, traz subsídios que fortalecem a nossa escolha sobre o estudo de semelhança. Em suas conclusões sugere novas pesquisas para esse ensino, das quais destacamos a necessidade de se trabalhar seqüências diferenciadas com relação à introdução do conceito de semelhança, utilizando uma didática que promova a diversificação de atividades, materiais e experiências.
uma escola Estadual. Esse questionário tinha como objetivo investigar o grau de conhecimento que os alunos teriam diante do nosso estudo em questão e verificar se realmente tiveram um aprendizado significativo na 8ª série (lembrando que é neste ano que se estuda semelhança de figuras). As três perguntas são:
Foram pesquisados 147 alunos e a análise dos dados foi feita da seguinte forma: 1) Os alunos que responderam corretamente às três perguntas, ou seja, sabem o conceito de figuras semelhantes; 2) Os que não possuem uma noção ampla do conceito em questão; 3) Os que demonstraram não saber o que são figuras semelhantes.
1) Dez alunos mostraram a idéia correta do conceito de figuras semelhantes (6,8%), dizendo que são figuras iguais ou parecidas, mas ressaltando o fato de que podem ser diferentes quanto ao tamanho. Algumas das respostas foram: “Duas figuras “iguais”, mas com dimensões diferentes”; “Figura semelhante é a figura que é igual ou parecida com outra figura”, este aluno dá o exemplo de dois quadrados de tamanhos iguais e dois de tamanhos diferentes; “São parecidas (quase igual) uma maior e outra menor”; “Figuras parecidas e que proporcionalmente podem ser representadas de tamanhos diferentes”. Observe o gráfico abaixo:
1) Para você, o que são figuras semelhantes? 2) Desenhe duas figuras semelhantes.
Alunos que acertaram as três
questões
93,20% 6,80%
Total Alunos Respostas Certas
2) Vinte e cinco alunos responderam corretamente às duas primeiras questões, mas não conseguiram ampliar o polígono da questão três, o que equivale a 17% dos entrevistados.
3) Verificamos que sessenta e dois alunos não sabem o que são figuras semelhantes, o que representa 42,2% do total, encontrando respostas do tipo: “Mesmo formato”, desenhando um cubo e um quadrado; “Figuras parecidas”, desenhando um quadrado e um retângulo; “Figuras parecidas”, desenhando um quadrado e um triângulo; “Que tem a mesma área”, desenhando dois triângulos diferentes; “Figuras diferentes, mas com a mesma quantidade de lados ou algo parecido”, desenhando um retângulo e um quadrado; etc.
Análise dos Resultados
6,80%
17,00%
34,00% 42,20%
Acertaram as três questões
Sabem o que são figuras semelhantes, mas erraram a questão três
Consideram que figuras semelhantes são apenas figuras iguais
Não sabem o conceito de semelhança
Observando os dados acima podemos concluir a grosso modo que 23,8% dos alunos sabem lidar com o conceito de figuras semelhantes e 76,2% não sabem ou conhecem apenas um caso particular de semelhança.
Análise Geral dos Resultados
23,80%
76,20%
Sabem lidar com o conceito de semelhança
1.2
Descrição do Trabalho
Nosso projeto de pesquisa foi dividido em 5 capítulos.
No capítulo 1 será abordada a nossa problemática, o referencial teórico e a metodologia utilizada, ou seja, justificaremos as razões da realização dessa pesquisa, qual o objetivo que desejamos atingir com ela e delimitaremos nossas questões de pesquisa. Além disso, explicitaremos a metodologia adotada justificando a sua adequação ao projeto.
No capítulo 2 será apresentada a análise de alguns livros didáticos quanto ao ensino de figuras semelhantes, situaremos o nosso estudo ao longo da história da Matemática, desde os tempos antigos até os dias de hoje, além de trabalharmos com a definição de homotetia e sua relação com o conceito de semelhança.
No capítulo 3 mostraremos como concebemos a nossa seqüência de ensino e faremos a análise a priori das atividades, deixando claros os seus objetivos, os materiais a serem usados, prevendo as possíveis estratégias que o aluno poderá utilizar e nos preparando para eventuais dificuldades.
No capítulo 4 explicaremos como ocorreu a nossa observação e realizaremos a análise a posteriori, que consiste na interpretação dos resultados da experimentação, verificando quais objetivos foram atingidos, se as estratégias desenvolvidas pelos alunos foram as previstas, se superaram suas dificuldades.
No capítulo 5 faremos as conclusões finais, respondendo à nossa questão de pesquisa proposta no capítulo 1 e as implicações educacionais desta pesquisa.
1.3 Referencial Teórico
1.3.1 Parsysz
Bernard Parsysz se baseou nas teorias de Van Hiele (1984), onde se distinguem cinco níveis no desenvolvimento do pensamento geométrico na criança, sendo eles:
Nível 0 (visualização): as figuras são identificadas unicamente pelos seus aspectos gerais, ou seja, se trata do reconhecimento das formas e modelos geométricos, comparação e até mesmo classificação destas figuras.
Nível 1 (análise): as crianças começam a distinguir as propriedades das figuras, mas sem poder ainda esclarecê-las.
Nível 2 (dedução informal): a criança pode estabelecer relações intra e inter-figurais. As definições fazem sentido e os resultados obtidos empiricamente frequentemente são utilizados juntos com as técnicas de dedução.
Nível 3 (dedução formal): a dedução é vista como instrumento de validação, dentro de um sistema axiomático.
Nível 4 (rigor): o aluno é capaz de se colocar nos diferentes sistemas axiomáticos (geometrias euclidianas, por exemplo) e fazer comparações entre os mesmos.
Parsysz propõe uma síntese desses níveis, discutindo que os níveis 0 e 1 correspondem a uma geometria denominada “geometria concreta”, cujos objetos são materializados. Os níveis 3 e 4, correspondem ao que ele chama de “geometria teórica”, onde os objetos de estudo são conceituais. Já o nível 2, Parsysz classifica-o como o nível-chave entre os dois tipos de geometria, concreta e teórica, pois é possível encontrar neste nível elementos destas duas geometrias descritas, apresentando um conflito entre o sabido e o percebido.
O modelo de Parsysz repousa, por um lado na natureza dos objetos em jogo (físico x teórico) e, por outro, nos modos de validação (perceptivo x lógico-dedutivo). Além disso, considera a Geometria Não-axiomática e a Geometria Axiomática. A geometria Não-axiomática apóia-se sobre situações concretas (G0), ou seja, parte da realidade, que são idealizadas para constituir o “espaço-gráfico” (G1).
Destacaremos abaixo, as quatro etapas no desenvolvimento do pensamento geométrico segundo Parsysz, com o objetivo de complementar e organizar as informações discutidas até aqui.
Nível G0 (Geometria Concreta): nesse nível parte-se da realidade, do concreto. As figuras são identificadas unicamente pelo seu aspecto geral. É uma geometria não-axiomática.
Nível G1 (Geometria Espaço-Gráfica): é a construção do “espaço-gráfico” cuja realização se dá em função das situações concretas, por exemplo, desenhos produzidos numa folha ou numa tela de um computador. Nesse nível o aluno consegue discernir as propriedades das figuras, mas ainda sem poder explicá-las. As técnicas usadas para a resolução de exercícios podem ser relacionadas à utilização de instrumentos como régua, compasso, transferidor e esquadro. É uma geometria não-axiomática.
Nível G2 (Geometria Proto-axiomática): nesse nível os conceitos são objetos teóricos e as demonstrações dos teoremas são feitas a partir de premissas aceitas pelos alunos de modo intuitivo; os objetos e o caminho da validação são “localmente” os mesmos que na geometria axiomática, mas não há necessidade de explicitar um sistema de axiomas. As técnicas utilizadas referem-se a objetos geométricos cuja existência é assegurada pelas definições, axiomas e propriedades consideradas.
Nível G3 (Geometria Axiomática): nesse nível os axiomas são explicitados completamente. O aluno é capaz de se situar nos diferentes sistemas axiomáticos, bem como de compará-los.
A distinção de G2 em relação a G1 e a G3 é que a G2 é uma modelação do espaço físico (de G1), enquanto G3 não faz mais referência a nenhuma realidade, ou seja, G2 é uma Geometria em que os axiomas estão parcialmente implícitos, enquanto G3 é uma versão euclidiana.
Quadro comparativo entre os níveis de Parsyzs e os níveis de Van Hiele - uma interpretação local.
Do ponto de vista didático, dependendo de como são conduzidas as atividades propostas, poderemos ter distinções entre essas geometrias, ou seja, pelas rupturas de contrato didático que se produz entre uma e outra atividade. Essas rupturas acontecem principalmente na passagem de nível G1 para G2, onde as validações deixam de ser perceptivas e passam a ser dedutivas.
1.3.2 Balacheff: Argumentação e Prova
Segundo os PCNs (1998), a geometria é um campo fértil de situações-problema que contribuem para o desenvolvimento da capacidade de argumentar e construir
Geometria Não-axiomática Geometria Axiomática
Geometria Concreta (G0) Geometria Espaço-gráfica (G1) Geometria Proto-axiomética (G2) Geometria Axiomática (G3)
Objetos físicos Objetos teóricos
Validações perceptivas Validações dedutivas
Nível 0 Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4
Geometria Não-axiomática Geometria Axiomática
Geometria Concreta (G0) Geometria Espaço-gráfica (G1) Geometria Proto-axiomática (G2) Geometria Axiomática (G3)
Objetos físicos Objetos teóricos
Validações perceptivas Validações dedutivas
utilizarem com freqüência as mesmas ligações lógicas, há exigências formais para uma demonstração em Matemática que podem não estar presentes na argumentação.
“. . . a argumentação está mais próxima das práticas discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência da língua materna do que pelas leis da lógica formal que, por sua vez, sustenta a demonstração.” (PCN, 1998, p.70).
Os PCNs ressaltam também que a prática da argumentação pode ser um caminho que conduz à demonstração.
“O refinamento das argumentações produzidas ocorre gradativamente pela assimilação de princípios da lógica formal, possibilitando as demonstrações.” (PCN, 1998, p.86).
BALACHEFF (1999) defende que entre argumentação e demonstração, há uma relação complexa e construtiva de cada uma. As dificuldades para ensinar e aprender a demonstração em Matemática decorrem do contrato didático entre as posições do aluno e professor.
Segundo BALACHEFF (1982), explicação é um discurso que oferece uma ou várias razões para tornar compreensível uma afirmação. Prova é uma explicação aceita por uma comunidade num dado momento. Demonstração é uma prova aceita pela comunidade matemática. Hoje, na comunidade dos matemáticos, prova é sinônimo de demonstração.
Para BALACHEFF (1987), as provas são divididas em duas categorias: pragmáticas a intelectuais. As provas pragmáticas apóiam-se sobre conhecimentos práticos, utilizando-se recursos de ação, por exemplo, desenhos, envolvendo habilidades de observação de figuras, enquanto que as provas intelectuais, não envolvem ações, e sim formulações e relações entre as propriedades em questão. A passagem das provas pragmáticas e intelectuais é marcada por uma evolução dos meios da linguagem.
1. Empirismo ingênuo: quando o aluno conclui que uma afirmação é verdadeira observando um pequeno número de casos.
2. Experiência crucial: quando o aluno testa um exemplo com certas características para verificar sua validade para um caso específico e se for confirmado, conclui-se seu caráter geral.
3. Exemplo genérico: quando a validação de uma afirmação é feita pela realização de operações ou transformações de um objeto, sendo este representativo de uma classe, com propriedades características e uma estrutura significativa da mesma, tornando-se visível a veracidade do problema em questão.
4. Experiência mental: quando a validação é feita com uma linguagem e uma construção cognitiva mais complexa, não fazendo uso de casos particulares.
Exemplificaremos a seguir as quatro etapas de Balacheff na seguinte situação: Suponhamos que o professor pede aos alunos para verificarem se o número de diagonais de um polígono n lados é dado pela fórmula
2 ) 3 (n− n
. Como validar tal resultado?
No empirismo ingênuo: O aluno desenha um polígono de 5 lados e traça as diagonais de cada vértice, encontrando 5 diagonais. Testa a sua resposta com o resultado da fórmula
2 ) 3 5 ( 5 −
=5 e conclui que a fórmula é válida para qualquer polígono.
Na experiência crucial: O aluno desenha um polígono com o número de lados maior, por exemplo, 15 lados e traça todas as suas diagonais encontrando 90. Testa a sua resposta com o resultado da fórmula
2 ) 3 15 ( 15 −
No exemplo genérico: O aluno afirma que em um polígono de 6 vértices, como em cada vértice partem 3 diagonais, obtêm-se um total 18 diagonais, mas observa que cada diagonal é contada duas vezes, então divide o valor por 2 encontrando 9 diagonais. Neste caso o aluno percebe que o mesmo acontece para outros polígonos, mudando apenas o número de diagonais saindo de cada vértice.
Na experiência mental: O aluno mostra que para encontrar o número de diagonais de um polígono, basta considerar o número de diagonais que partem de cada vértice. Para isto basta tomar o número de vértices, menos (seus dois vizinhos + ele mesmo) e para encontrar o total de diagonais, multiplicar o resultado pelo número de vértices, restando apenas dividir tudo por 2, ou seja, considerando que n seja o número de vértices, tem-se:
2 )). 1 2 (
(n− + n .
Diante do estudo sobre argumentação e prova feita neste capítulo, percebemos a importância de incentivar o nosso aluno a justificar uma conclusão, pois só assim, ele poderá desenvolver a capacidade para o raciocínio dedutivo.
O artigo da Associação Nacional de Equipes de Investigação em Didática dos Matemáticos (“Groupement National d’Equipes de Recherche en Didactique des Mathématiques”) sugere algumas propostas de atividades para o ensino da demonstração. Um dos pontos que esse artigo ressalta é que a melhor maneira de ajudar os alunos nas dificuldades não é propor coisas fáceis, pelo contrário, é necessário encorajá-los a abordar problemas que lhes parecem difíceis. Uma das idéias importantes é ajudar o aluno a fazer uma boa representação da situação, antes de sugerir-lhes procedimentos. Um dos meios para aumentar as possibilidades de o aluno aproveitar uma atividade é escolher situações onde vários procedimentos diferentes e de diversos níveis de complexidade permitem avançar para o resultado.
1.4 Ambiente Informatizado: Cabri-Géomètre
compasso, permitindo manipulá-las e modificá-las. O “feedback” oferecido pelo ambiente propicia aos alunos o ajuste das propriedades dos objetos com as imagens mentais que são construídas ao longo do processo de exploração.
Os desenhos de objetos geométricos são feitos a partir das propriedades que os definem. Através de deslocamentos aplicados aos elementos que compõe o desenho, este se transforma, mantendo as relações geométricas que caracterizam a situação.
“A multiplicidade de desenhos enriquece a concretização mental, não existindo mais as situações prototípicas responsáveis pelo entendimento inadequado”. (Gravian e Santarosa, 1998).
Os desenhos em movimento criam naturalmente um ambiente de investigação; possibilitando criar conjeturas e buscar o entendimento do problema geométrico em questão.
O software Cabri-Géomètre é um ambiente computacional de geometria dinâmica, sendo assim, tem como objetivo a idéia de um espaço interativo no qual o sujeito rascunhe, experimente e investigue, construindo relações e compreendendo conceitos geométricos. E ainda leva a observar se as propriedades são ou não preservadas durante o movimento e evidencia a conservação das hipóteses geométricas durante as deformações ou deslocamentos contínuos dos objetos primitivos sobre os quais foi construído.
1.5 Objetivo e Questão de Pesquisa
O objetivo principal desta pesquisa é investigar como o conceito de figuras semelhantes pode ser apresentado de maneira significativa e motivadora a alunos da 1ª série do Ensino Médio, de modo que a prova seja parte integrante desse processo.
1.6 Metodologia
A metodologia caracteriza os meios que se pretende utilizar para provar aquilo que se sustenta.
Para responder à questão de pesquisa elaboraremos uma seqüência de ensino, a fim de tornar o conceito de figuras semelhantes significativo ao aluno. Utilizaremos para isto, alguns elementos da engenharia didática desenvolvida por Michele Artigue.
O termo engenharia didática é usado desde os anos 80, com o objetivo de rotular uma forma do trabalho didático. Artigue (1988) compara o trabalho da engenharia didática com o trabalho de um engenheiro.
“. . . comparável ao trabalho do engenheiro que pararealizar um projeto preciso, apóia-se em conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controlede tipo científico mas, ao mesmo tempo, se encontra obrigado atrabalhar sobre objetos muito mais complexos do que os objetos depurados da ciência, e portanto a estudar de uma forma prática, com todos os meios ao seu alcance, problemas de que a ciência não quer ou ainda não é capaz de se encarregar”. (Artigue, 1988, p.193).
Segundo Artigue (1988), a engenharia didática caracteriza-se por ser um esquema experimental baseado sobre "realizações didáticas" em sala de aula, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino.
Na engenharia didática há quatro fases: a análise preliminar, análise a priori, experimentação e análise a posteriori. Detalhadamente, pode-se dizer que:
I. Análise preliminar: Escolhido o objeto de estudo e levando em conta os objetivos específicos da pesquisa, as análises preliminares se apóiam entre outras coisas no estudo histórico dos conteúdos contemplados, uma análise de propostas curriculares, programas e de livros didáticos, uma análise do funcionamento do ensino atual e de seus efeitos, uma análise das concepções dos alunos.
II. Análise a priori: É uma análise matemática das atividades e do funcionamento didático decorrente das escolhas feitas;
IV. Análise a posteriori: É a interpretação das informações extraídas da experimentação e da seqüência de ensino e que levam a validar ou não as questões da pesquisa.
O trabalho do professor, ao elaborar ou escolher uma seqüência didática, deve levar em conta de forma integrada: o domínio do conhecimento, o conhecimento prévio do aluno, o papel do professor e dos seus alunos. A criação de uma seqüência didática se dá num processo interativo no qual o objetivo é a elaboração de um grupo de decisões para que os processos tenham significados e as estratégias sejam mais efetivas. Leva-se em consideração as respostas dos alunos e as condições às quais estão submetidos.
Capítulo 2
Um estudo do Objeto Matemático - Semelhança
Neste capítulo, faremos uma passagem pela história da matemática sobre o conceito de semelhança, desde os tempos antigos até uma definição mais recente, sendo esta última baseada nos trabalhos de Lima. Em seguida analisaremos três livros didáticos de autores bem conceituados sobre semelhança, confrontando suas idéias quanto ao desenvolvimento deste conceito.
2.1 Uma Passagem pela História da Semelhança
2.1.1 Egito Antigo
O livro “La Géométrie Égyptienne” de OBENGA (1995) apresenta um estudo sobre a geometria egípcia de maneira extremamente didática, abordando desde o simples ponto ao cálculo do volume de uma pirâmide truncada, passando pelas noções de homotetia e semelhança, o cálculo das áreas de muitos quadriláteros, pela quadratura do círculo, trigonometria, etc.
O ideal matemático e científico do Egito antigo sempre foi um ideal de perfeição moral e social, de beleza material e espiritual, de criatividade humana.
Daremos uma visão geral, tomando por base o trabalho de OBENGA de como os egípcios trabalhavam com as noções de homotetia e semelhança.
Para os egípcios ampliar ou reduzir uma figura F a uma razão K, é construir uma figura F`semelhante a F, tal que K seja a razão de semelhança de F`e F.
Os cientistas egípcios utilizavam o método dos quadrados para a ampliação e redução de um desenho, provavelmente foram os primeiros na história mundial a desenvolverem esse método e isto ocorreu por volta de 3200 a.C.
É importante ressaltarmos que os desenhos dos egípcios são considerados o resultado de uma precisão lógica, matemática e racional e artistas atuais procuram essas mesmas regras que os egípcios utilizavam.
O método dos quadrados para ampliar ou reduzir figuras só foi demonstrado concretamente, pela descoberta de pinturas e esculturas inacabadas que conservaram seu quadriculado.
Bem antes de todas as escolas da arte de um antigo mundo mediterrâneo, o Egito africano tinha concebido e tinha demonstrado a beleza artística como o resultado de uma harmoniosa proporção das partes de um todo, implicando os conceitos da homotetia, semelhança e da proporcionalidade.
Foto tirada do livro “La Géométrie Égyptienne”: “Os Egípcios empregavam o quadriculado para aumentar os desenhos e dar-lhes as medidas monumentais que admiramos”.
2.1.2 Grécia
Euclides (± 300 a.C) escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais,
conhecida como o nome de “Os elementos”, que reúne quase todo o conhecimento matemático daquele tempo. Autor de cerca de uma dúzia de tratados, cobrindo tópicos variados, desde óptica, astronomia, música e mecânica até um livro sobre secções cônicas e com exceção de “A esfera” de Autólico, os livros de Euclides que sobreviveram são os mais antigos tratados gregos existentes (BOYER, 1987, pg.74).
teoremas relativos a razões e proporções que aparecem em triângulos, paralelogramos e outros polígonos que são semelhantes (BOYER, pg.83).
Apresentaremos a seguir considerações importantes ao nosso estudo sobre o livro VI baseadas no livro “Científicos Griegos” de AGUILAR (1970).
A primeira definição do livro VI diz:
“Figuras retilíneas semelhantes são aquelas que têm os ângulos iguais e os lados proporcionais” (pg.805).
Na proposição 2, Euclides aborda o teorema das paralelas cortadas por uma transversal:
“Se traçar uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, cortará os outros dois proporcionalmente; e se os lados de um triângulo estão cortados proporcionalmente, a reta que une os pontos de secção será paralela ao terceiro lado deste triângulo” (pg.807).
Vemos nessa proposição de Euclides, o que hoje chamamos de Teorema de Tales e o seu recíproco.
Na proposição 4, é abordado o caso AA da semelhança de triângulos:
“Nos triângulos eqüiângulos, os lados opostos aos ângulos iguais são proporcionais” (pg.808).
Na proposição 5, é o caso LLL que é citado:
Na proposição 6, temos o caso LAL, enunciado da seguinte forma:
“Se dois triângulos tem um ângulo igual e os lados que o formam proporcionais, os triângulos são eqüiângulos e os ângulos iguais serão os correspondentes aos lados subtendidos” (pg.809).
Na proposição 8, temos a semelhança de triângulos a partir de um triângulo retângulo e a altura relativa à sua base:
“Se em um triângulo retângulo traçarmos uma perpendicular desde o vértice até a base, os triângulos adjacentes a essa perpendicular são semelhantes ao triângulo total e entre si” (pg.811).
Na proposição 21, temos:
“As figuras semelhantes a uma mesma figura retilínea são semelhantes entre si” (pg.819).
Na proposição 32, temos a idéia da sobreposição de triângulos:
“Se dois triângulos tem os lados proporcionais e se colocam de modo que tenham um vértice comum e os lados homólogos paralelos, os outros lados estarão sobre uma mesma reta” (pg.827).
Na proposição 20, Euclides demonstra a semelhança para polígonos em geral, na qual realiza a divisão dos polígonos em triângulos semelhantes; nas proposições 28 e 29 há uma generalização do método de aplicação de áreas, e na proposição 33 Euclides trabalha a semelhança com figura não-poligonal, ou seja, refere-se ao círculo:
“Em círculos de igual raio os ângulos são proporcionais aos arcos que compreendem o mesmo se tem seus vértices no centro que na circunferência” (pg.828).
No livro XI de Euclides, começa a ser estudada a Geometria no espaço e em relação à idéia de semelhança entre figuras espaciais, a definição 9 diz o seguinte:
“Figuras sólidas semelhantes são as limitadas pelo mesmo número de figuras planas semelhantes” (AGUILAR, pg.919).
O livro XII é formado por dezoito proposições e todas referentes à medida de figuras, usando o método de exaustão (BOYER, 1987).
O livro inicia-se com a seguinte proposição:
Veja outras proposições que falam sobre semelhança em relação aos corpos do espaço:
Proposição 8: “As pirâmides triangulares semelhantes são entre si como as razões triplicadas de suas arestas homólogas” (AGUILAR, pg. 951).
Proposição 12: “Os cones e cilindros semelhantes são entre si como as razões triplicadas dos diâmetros de suas bases” (pg. 953).
2.1.3 Mundo Árabe
Roshdi Rashed no livro “Histoire des sciences árabes”, 1997 faz comentários sobre as transformações geométricas utilizadas no mundo árabe. Na nossa investigação tomamos por base o seu trabalho.
Os primeiros vestígios escritos de geometria em língua árabe aparecem no final do século VIII e no início do século IX. A geometria era escrita em árabe, linguagem geralmente utilizada pelos cientistas dos países islâmicos. Estes escritos atestam de maneiras convincentes que as tradições antigas gregas, bem como a tradição indiana, que tem em parte origem grega, exerceram uma influência importante sobre a geometria, como também em outros ramos da matemática.
Embora essa influência seja considerável, a geometria árabe adquiriu, a partir das primeiras fases do seu desenvolvimento, caracteres específicos: lugar da geometria no sistema das ciências matemáticas, relatórios da geometria com outros ramos da matemática, sobretudo com a álgebra, nova interpretação de problemas antigos, estudo de problemas inteiramente novos.
Em combinação dos elementos de uma herança grega e assimilando os conhecimentos de outras nações, os cientistas árabes deram novas orientações às idéias geométricas e enriqueceram-na do seu próprio pensamento, criando assim um novo tipo de geometria, e de matemática em geral.
A partir do século IX (± 810) numerosos escritos de geometria foram
consagrados.
A homotetia era considerada um caso específico de transformações afins. As transformações afins do plano ou espaço são aplicações bijetoras que transformam as retas em retas e os planos em planos.
Apolônio, fundador da astronomia matemática grega, no seu tratado “Lugares planos”, teria estudado (segundo Papus) a homotetia que transforma retas em retas e círculos em círculos.
Ibn al-Haytham, retoma uma parte destes resultados, e demonstra que, por uma tradução da obra de Apolônio, em uma homotetia ou uma semelhança direta (aplicação composta de uma rotação e de uma homotetia de mesmos centros), um círculo é transformado num círculo, e uma reta numa reta. Mas antes dele, Ibrahim b. Sinan, al Farabi e Abu al-Wafa tinham proposto diversas construções que fazem intervir as homotetias.
2.1.4 Europa
Como a semelhança era tratada pelos matemáticos dos séculos XVIII e XIX? Pesquisamos o conceito de semelhança nas obras de três matemáticos: CLAIRAUT, “Elementos de Geometria”, traduzido por Feliciano; LEGENDRE, “Elementos de Geometria”, tradução da quinta edição francesa e HADAMARD, “Leçons de Géométrie élémentaire”, volume I e II, primeira edição.
2.1.4.1 Clairaut
CLAIRAUT (1713 a 1765) ao ensinar os elementos de geometria se preocupa em resolver problemas, procurando os meios de fazer alguma operação ou de descobrir alguma verdade desconhecida, determinando a relação que existe entre as grandezas dadas e as grandezas desconhecidas que se propõe a encontrar. Ele se mostra totalmente contra os primeiros matemáticos que apresentaram as suas descobertas sob a forma de teoremas, afirmando que a justificativa para isso foi para dar as suas produções um aspecto mais maravilhoso.
lados ab, bc, cd, etc., da pequena contenham tantas vezes a unidade p, quantas os lados AB, BC, CD, etc., da grande contêm a unidade P” (pg.30).
Logo após a definição acima, ele diz que para exprimir a segunda condição, os geômetras afirmam que é necessário, por exemplo, que os lados AB, BC, CD, etc., sejam proporcionais aos lados ab, bc, cd etc.
A idéia que CLAIRAUT utiliza para reduzir uma figura é garantir, por exemplo, que se AE for a metade de AB, ae deve ser tomado igual à metade de ab e o mesmo fará para determinar o comprimento de bc, relativamente a BC. Analogamente se faz para os lados ed e cd, relativamente aos lados ED e CD, concluindo a figura abcd.
O caso AA de semelhança entre triângulos que conhecemos aparece como: “Quando dois triângulos tiverem os mesmos ângulos, esses triângulos, chamados triângulos semelhantes, terão seus lados proporcionais” (pg. 35).
Logo em seguida, CLAIRAUT mostra que se dois triângulos são semelhantes a altura deles será proporcional aos seus lados e também que as áreas dos triângulos semelhantes são proporcionais aos quadrados dos lados homólogos:
“É evidente que nos dois triângulos semelhantes ABC, abc não há proporcionalidade somente entre os lados. As perpendiculares CF, cf, que se baixam dos vértices C, c sobre as bases AB, ab, seguirão também a proporção dos lados” (pg. 37).
Após o último resultado, demonstrou também que:
“As áreas das figuras semelhantes estão entre si como os quadrados de seus lados homólogos” (pg. 41).
No que diz respeito ao teorema de Pitágoras que para CLAIRAUT é a propriedade dos triângulos retângulos, temos a seguinte generalização:
“Se os lados de um triângulo retângulo servirem de bases a três figuras semelhantes, a figura feita sobre a hipotenusa será igual à soma das outras duas” (pg.72).
Partiremos agora para algumas condições que constituem a semelhança entre dois corpos segundo CLAIRAUT.
“Dois corpos terminados por planos serão semelhantes quando todos os ângulos formados pelos lados do primeiro forem respectivamente iguais aos ângulos formados pelos lados do segundo, e quando os lados de um destes corpos forem proporcionais aos lados homólogos de outro” (pg. 159).
dos dois círculos, em cada um dos cilindros, ainda precisam fazer os mesmos ângulos sobre os planos de suas bases” (pg. 160).
As mesmas definições podem-se aplicar aos cones, contanto que a linha que passa pelos centros das bases do cilindro, se substitua a que vai do vértice do cone ao centro do círculo que lhe serve de base.
Em relação às esferas, para CLAIRAUT é evidente que todas as esferas são semelhantes uma das outras, da mesma forma que todas as figuras que só tem necessidade de uma linha para serem determinadas, como o círculo, o quadrado, o triângulo eqüilátero, etc.
CLAIRAUT afirma que as figuras semelhantes, assim como os volumes semelhantes, só se diferem pelas escalas que foram construídos.
2.1.4.2 Legendre
LEGENDRE (1784) escreve sobre os elementos de geometria, cuja proposta era aprimorar pedagogicamente os Elementos de Euclides e obteve sucesso pela reordenação e simplificação presente em seu trabalho. A sua obra é formada por oito livros, com uma estrutura bem parecida com a de Euclides, ou seja, apresentando as definições, proposições (teoremas) e suas respectivas demonstrações.
No livro I, proposição XXV, LEGENDRE aborda o teorema das paralelas cortadas por uma transversal:
“Duas paralelas formam com uma transversal: 1º Ângulos alternos-internos iguais; 2º Ângulos alternos-externos iguais; 3º Ângulos correspondentes iguais; 4º Ângulos internos suplementares” (pg. 24).
No livro III, inicia-se o estudo sobre semelhança e na proposição XIX é abordado o caso AA da semelhança de triângulos:
“Dois triângulos eqüiângulos tem os lados homólogos proporcionais” (pg. 83).
Na proposição XX, temos o caso LLL:
Na proposição XXI, é citado o caso LAL:
“Dois triângulos que tem um ângulo igual compreendido por lados proporcionais são semelhantes” (pg. 85).
Na proposição XXII, temos:
“Dois triângulos que tem os lados respectivamente paralelos ou perpendiculares, são semelhantes” (pg. 86).
Em relação à semelhança entre polígonos, a proposição XXIII diz:
“Sendo dado um polígono, podemos sempre construir um outro polígono tal que, os dois polígonos sejam compostos do mesmo número de triângulos semelhantes e dispostos semelhantemente” (pg. 87).
Pela figura observamos a idéia da sobreposição de polígonos, o qual mostra os lados correspondentes paralelos.
Na proposição XXVIII, temos a semelhança de triângulos a partir de um triângulo retângulo e a altura relativa à sua base:
No livro IV se faz o estudo dos polígonos regulares e a medida do círculo e na primeira proposição temos:
“Dois polígonos regulares de mesmo número de lados são figuras semelhantes” (pg. 119).
O estudo dos poliedros é realizado no livro VI e é definido que os poliedros semelhantes são aqueles que se acham compreendidos sob o mesmo número de faces semelhantes cada uma a cada uma, e cujos ângulos sólidos homólogos são iguais, ou seja, aqueles que são formados por faces semelhantes.
Veja uma proposição que fala sobre semelhança em relação aos corpos do espaço:
“Dois poliedros semelhantes estão entre si como os cubos das suas arestas homólogas” (pg.228).
No capítulo VII, trabalha-se com as esferas, mas não se faz nenhuma referência sobre semelhança.
No capítulo VIII, temos o estudo dos três corpos redondos e apresenta logo de início a seguinte definição:
2.1.4.3 Hadamard
HADAMARD (1865 a 1963), matemático francês, escreveu a obra “Leçons de Géométrie élémentaire”, composto por dois volumes. No volume 1 temos o estudo da geometria plana, dividido em livro I ao IV (1898) e no volume 2 temos o estudo da geometria espacial, dividido em livro V ao X (1901). Primeiramente analisaremos como HADAMARD aborda a semelhança no estudo da geometria plana.
No livro I, temos o teorema das paralelas cortadas por uma transversal:
“Duas retas cortadas por uma mesma secante, estas duas retas são paralelas” (pg. 31).
O estudo da semelhança inicia-se no livro III, sendo abordado no capítulo 1, as proporções em geral e no capítulo 2 a semelhança nos triângulos, iniciando com a seguinte definição:
“Dois triângulos se dizem semelhantes quando eles têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais” (pg. 113).
Em seguida temos o teorema que diz:
“Qualquer paralelo de um dos lados de um triângulo forma com os dois outros lados um triângulo semelhante ao primeiro” (pg. 113).
Os casos de semelhança de triângulos aparecem da seguinte forma:
Primeiro caso: (AA) “Dois triângulos são semelhantes se eles têm dois ângulos iguais cada um” (pg. 115).
Segundo caso: (LAL) “Dois triângulos são semelhantes se eles têm ângulo igual compreendido entre lados proporcionais” (pg.115).
Terceiro caso: (LLL) “Dois triângulos são semelhantes quando eles têm três lados proporcionais” (pg. 115).
Após os casos de semelhança de triângulos, segue-se o teorema:
A semelhança entre dois triângulos retângulos é dada por um teorema que diz: “Dois triângulos retângulos são semelhantes, quando a razão dos lados de um ângulo reto à hipotenusa é o mesmo para os dois triângulos” (pg. 116).
No teorema acima, utiliza-se o caso LLL, mas HADAMARD afirma que podemos ter também os outros casos de semelhança se, por exemplo, considerarmos dois triângulos retângulos com um ângulo agudo igual (caso AA) ou os lados em relação ao ângulo reto, proporcionais (caso LAL).
Verifica-se até agora que o estudo da semelhança foi abordado apenas nos triângulos, mas é no capítulo 5 que este conceito é ampliado para outros polígonos, através do estudo da homotetia e semelhança, que se inicia com a definição:
“Escolhendo um ponto S, que é o centro de homotetia e um número K que é a razão de homotetia ou razão de semelhança, chama-se homotético de um ponto qualquer M o ponto M` obtido, juntando-se SM e tomando a partir do ponto S, sobre
esta reta ou sobre o seu prolongamento um segmento SM`tal que K SM SM`=
” (pg. 134).
HADAMARD destaca também que a homotetia é dita direta se o segmento SM` é tomado no sentido SM e inversa se estes dois segmentos são de sentidos opostos e diz que a simetria em relação a um ponto é um caso particular da homotetia inversa.
Em um dos teoremas HADAMARD afirma que em dois sistemas homólogos, a reta que junta dois pontos quaisquer de um dos sistemas e a que junta os pontos homólogos de outro, continuam paralelas e com a mesma razão de semelhança, conforme a homotetia é direta ou inversa. Vale à recíproca deste teorema.
Em seguida seguem-se os corolários:
“A figura homotética de uma reta é uma reta”; “A figura homotética de uma circunferência é uma circunferência e os centros são dois pontos homólogos” e “A figura homotética de um triângulo é um triângulo semelhante ao primeiro” (pg. 135).
A relação entre figuras semelhantes e homotéticas se dá pela definição:
“Duas figuras são semelhantes quando podem ser colocadas de maneira a
serem homotéticas” (pg. 139).
Nota:
F`` homotética a F e congruente a F`
A semelhança entre dois polígonos é dada pelo teorema:
“Dois polígonos semelhantes têm os seus ângulos iguais e os seus lados homólogos proporcionais” (pg. 139).
E do teorema acima resulta o corolário:
“A razão dos perímetros de dois polígonos semelhantes é igual à razão de semelhança” (pg. 139).
No volume dois, livro VII, HADAMARD estende os resultados sobre semelhança de figuras planas para figuras espaciais.
2.1.5 Um Tratamento mais Recente da Semelhança
2.1.5.1 Semelhança de Figuras
LIMA (1991, p.33) fornece a seguinte definição de figuras semelhantes:
“Sejam F e F` figuras, do plano ou do espaço, e r um número real positivo. Diz-se que F e F` são semelhantes, com razão de semelhança r, quando existe uma correspondência biunívoca σ(F)=F`, entre os pontos de F e os pontos de F`,
dizer que duas figuras são semelhantes se a razão entre dois segmentos correspondentes quaisquer é constante.
A correspondência biunívoca σ :F →F`, com esta propriedade de multiplicar as distâncias pelo fator constante r, chama-se uma semelhança de razão r entre F e F`. Se X` = σ(X), diz-se que os pontos X e X`são homólogos.
Evidentemente, toda figura é semelhante a si própria, pois a função identidade `
:F →F
σ é uma semelhança de razão 1”.
Figuras semelhantes
“Também, se F é semelhante a F` então F` é semelhante a F, pois dada uma semelhança σ :F →F` de razão r, a função inversa σ−1:F →F` é uma semelhança
de razão r 1
.
Tem-se ainda a transitividade: se F é semelhante a F` e F` é semelhante a F``
então F é semelhante a F``. Com efeito, se σ :F →F` e σ`:F`→F`` são semelhantes, de razões r e r`, respectivamente, então a função composta σ`σ :F →F`` é uma semelhança de razão r.r`.
Uma semelhança de razão 1 chama-se uma isometria. Portanto, uma isometria `
:F →F
σ é uma correspondência biunívoca tal que, para quaisquer pontos X, Y em
Quando existe uma isometria entre as figuras F e F`, diz-se que estas são congruentes”.
Na abordagem de LIMA (1991, p.37) a definição de figuras semelhantes por homotetia é vista como um teorema.
Ele define homotetia como:
“Sejam O um ponto do plano π (ou do espaço E) e r um número real positivo. A
homotetia de centro em O e razão r é a função σ:π →π (ou σ:E →E) definida do seguinte modo: σ(O)=O e, para todo X≠O, σ(X)= X` é o ponto da semi-reta
____ OX
tal que OX____`=r.OX___ .
Uma homotetia de razão 1 é simplesmente a aplicação identidade. Uma homotetia de centro O transforma toda reta que passa por O em si mesma.
Toda homotetia é uma correspondência biunívoca, cuja inversa é a homotetia de
mesmo centro e razão r 1
.
Duas figuras F e F` chamam-se homotéticas quando existe uma homotetia σ tal
que σ(F)= F`”.
O fato de que duas figuras homotéticas são semelhantes é apresentado como um teorema, que diz:
Teorema: Toda homotetia é uma semelhança que transforma qualquer reta em si
própria ou numa reta paralela.
Demonstração:
“Seja σ uma homotetia de centro em O e razão r, mostraremos que σ é uma
semelhança de razão r. O caso r = 1 é trivial, logo consideraremos r≠1.
Consideremos dois pontos quaisquer X e Y. Se X,Y e O estiverem sobre a mesma
reta, é fácil ver que X____`Y`=rXY___ . Suponhamos então que X, Y e O não são colineares. Indicaremos a área de um triângulo qualquer MNP como A∆MNP.
Como as áreas de dois triângulos com alturas iguais são proporcionais às suas
bases, de OX____´=rOX___ e
___ ____
´ rOY
OY = , podemos concluir que A∆OXY` = r.A∆OXY e A∆OYX` = r. A∆OXY. Logo A∆OXY` = A∆OYX`. Subtraindo de ambos os membros desta igualdade a área da parte comum OXY, temos que A∆XYX` = A∆XYY`. Como estes dois triângulos tem mesma base XY, da igualdade de suas áreas segue-se que suas alturas são iguais, o que significa que XY // X`Y`.
Mostraremos agora que r XY
Y X
=
___ ____ ` `
Considere a figura abaixo:
As letras a, b e c indicam as áreas dos triângulos por elas indicados. Usando novamente o fato de que áreas de triângulos com a mesma altura são proporcionais às suas bases, temos:
(i) a + b = r.a , pois OX____´=rOX___ e
(ii) a + b + c = r. (a + b), pois OY____´=rOY___ .
Subtraindo (i) de (ii) obtemos c = r.b. Como XY e X`Y` são paralelos, os
triângulos de áreas b e c tem a mesma altura. Logo, a razão b c
r= entre a suas áreas é
igual à razão entre suas bases, isto é, r XY
Y X
=
___ ____
` `
.
Portanto, σ é uma semelhança de razão r”.
2.1.5.2 Semelhança de Triângulos
Teorema: “Dois triângulos semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais. Reciprocamente, se dois triângulos cumprem uma das três condições abaixo então eles são semelhantes:
a) Têm lados proporcionais; b) Têm ângulos iguais;
c) Têm um ângulo igual compreendido entre lados proporcionais”.
Demonstração:
“Primeiramente vamos mostrar que dois triângulos semelhantes têm ângulos iguais e lados homólogos proporcionais.
Seja σ :ABC→ A`B`C` uma semelhança de razão r entre os triângulos ABC e A`B`C`, com A`= σ(A), B`= σ(B) e C`= σ(C). Então, pela definição de semelhança,
r BC C B AC C A AB B A = = = ___ ____ ___ ____ ___ ____ ` ` ` ` ` `
, logo os triângulos têm os lados homólogos proporcionais.
A homotetia de centro em A e razão r, com 0 < r < 1, transforma o ∆ABC no
triângulo parcial AB``C``. Como BC___//B______``C``, temos que Bˆ = Bˆ`` e Cˆ =Cˆ`` (ângulos
correspondentes congruentes). Os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes, pois
____ ____
` ` `` AB AB = ,
____ ____
` ` `` AC
AC = e
____ _____
` ` `` ``C BC
B = , portanto Aˆ = Aˆ`, Bˆ =Bˆ` e Cˆ =Cˆ`.
Agora, faremos a demonstração de cada um dos casos de semelhança entre dois triângulos, considerando os triângulos ABC e A`B`C:
Por hipótese temos: r BC C B AC C A AB B A = = = ___ ____ ___ ____ ___ ____ ` ` ` ` ` ` .
A homotetia de centro A e razão r, com r > 0, transforma o ∆ABC no
∆AB``C``, cujos lados medem
___ ____
. `` r AB
AB = ,
___ ____
. `` r AC
AC = e
___ _____
. ``
``C r BC
B = . Logo,
concluímos que os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes, pois AB____``= A____`B`, ____
____
` ` `` AC AC = e
____ _____
` ` `` ``C BC
B = .
Como o ∆AB``C`` é semelhante ao ∆ABC, temos então que os triângulos ABC e A`B`C` são semelhantes.
b) Se dois triângulos tem ângulos iguais, então os triângulos são semelhantes
(caso AA).
Por hipótese temos: Aˆ = Aˆ`, Bˆ =Bˆ` e Cˆ =Cˆ`.
Tomemos os pontos B`` e C``, respectivamente, nas retas AB e ___ AC___ , de modo
que AB____``= A____`B` e
____ ____
` ` `` AC
AC = . Os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes, pois
` ˆ
ˆ A
A= compreendido entre lados iguais (caso LAL de congruência), logo Bˆ``=Bˆ` e
como por hipótese temos Bˆ = Bˆ`, então Bˆ =Bˆ``.
Conclui-se assim que as retas B_____``C`` e BC___ são paralelas e os triângulos ABC e AB``C`` são semelhantes. Portanto, como os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes, resulta que os triângulos ABC e A`B`C`são semelhantes.
c) Se dois triângulos tem um ângulo igual compreendido entre lados
proporcionais, então os triângulos são semelhantes (caso LAL). Suponhamos por hipótese: Aˆ = Aˆ`,
___ ____
. `
`B r AB
A = e
____ ____
. `
`C r AC
A = .
Tomemos novamente os pontos B`` e C`` com AB____``= A____`B` e
____ ____
` ` `` AC AC = e
como já mostramos no item b), os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes.
A homotetia de centro em A e razão r transforma AB em ___ ____AB e `` AC___ em AC____``, porque AB____``=r.AB___ e
___ ____
. `` r AC
Como os triângulos AB``C`` e A`B`C` são congruentes, então os triângulos ABC e A`B`C` são semelhantes”.
2.1.6 Homotetia – Uma Definição Vetorial
Apresentaremos a seguir uma definição de homotetia que utiliza a notação vetorial.
Chama-se homotetia de centro O e fator K (K diferente de zero) a uma transformação do plano em si mesmo que associa a cada ponto P do plano um ponto P` do plano tal que OP`=k.OP, ou seja, O, P e P`são alinhados.
Se K >1 dizemos que houve uma ampliação. Se 0 < K< 1 dizemos que houve uma redução. Se K = 1 temos a transformação identidade. Se K< 0 temos uma homotetia inversa que pode ser de dois tipos: se -1 < K< 0 teremos uma figura homotética reduzida inversa e se K< -1, teremos uma figura homotética ampliada inversa. E ainda, se K = -1 temos uma identidade inversa.
Observando a figura acima, verifica-se que os ângulos correspondentes entre as figuras ABCD e A`B`C`D` são congruentes, ou seja, Aˆ = Aˆ, Bˆ =Bˆ`, Cˆ =Cˆ` e Dˆ =Dˆ`, e como Bˆ = Bˆ` e Dˆ =Dˆ`, podemos verificar que os lados
____ ___
` ` //BC
BC e CD___//C____`D`, além de termos os lados AB___ e AD___ respectivamente coincidentes (ou paralelos) a A___`B` e
___ ` `D A .
Podemos observar também a proporcionalidade entre os lados correspondentes
entre as figuras, visto que ` ` ` ` ___` ` 2 ____ ___ ____ ___ ____ ___ ___ = = = = = K CD D C BC C B AD AD AB AB .
Representaremos abaixo todos os casos de homotetia: (O centro de homotetia escolhido foi um ponto fora da figura dada, poderíamos ter escolhido este centro em qualquer vértice da figura dada ou em seu interior).
1) K >1
Figura A`B`C`D`E` homotética ampliada com fator K = 2,3.
2) 0 < K< 1
Figura A`B`C`D`E` homotética reduzida com fator K = 0,5.
3) K = 1
Figura A`B`C`D`E` identidade de ABCDE.
4) -1< K< 0
5) K< -1
Figura A`B`C`D` homotética ampliada inversa com fator K = -1,5.
6) K = -1
Figura A`B`C` identidade inversa de ABC
2.2 A Semelhança em alguns Livros Didáticos
Com o objetivo de verificar como está sendo trabalhado o conceito de figuras semelhantes e suas aplicações, procuramos analisar três livros didáticos de 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do EF, sendo eles: “Tudo é Matemática” de Luiz Roberto Dante, 1ª edição, 2003, Editora Ática; “Matemática e Realidade” de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Antonio Machado, 5ª edição, 2005, Atual Editora e “Educação Matemática” de Célia Carolino Pires, Eddna Curi e Ruy Pietropaolo, 1ª edição, 2002, Atual Editora.
2.2.1 Livro Tudo é Matemática – Dante
5ª série:
6ª série:
No capítulo de construções geométricas e simetria é interessante destacarmos que no momento em que é trabalhada a simetria central (simetria em relação a um ponto), pede-se que o aluno construa o simétrico de três figuras (dois polígonos e uma figura aberta de três lados) em relação a um centro O. Neste caso, não é mencionado, mas temos uma homotetia inversa identidade. Veja uma das figuras com sua resolução:
7ª série:
No capítulo sobre proporcionalidade em geometria é explorado o conceito de proporcionalidade em quadriláteros. O conceito de ampliação e redução de uma figura é retomado, utilizando o papel quadriculado e nesses casos, levando o aluno a perceber que há proporcionalidade entre as medidas dos lados correspondentes e igualdade entre as medidas dos ângulos correspondentes, ou seja, inicia-se a idéia de figuras semelhantes, mas sem mencioná-las.
Neste mesmo capítulo, logo mais a frente, inicia-se o estudo de polígonos semelhantes. Na primeira atividade, dado dois hexágonos regulares, o aluno tem que responder se os seus lados correspondentes são proporcionais e se os ângulos correspondentes são congruentes, justificando sua resposta. Em seguida temos a seguinte definição:
A partir dessa definição são sugeridas várias atividades com polígonos regulares e não regulares para o aluno verificar se as figuras são semelhantes ou não e sempre pedindo para que as respostas sejam justificadas.
Exemplos de atividades propostas: 1) Verdadeira ou falsa?
Verifique se cada uma das frases abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
a) Todos os quadrados são semelhantes. b) Todos os retângulos são semelhantes.
2) Copie a figura abaixo em uma folha de papel quadriculado e depois desenhe outra, semelhante a ela, cujo lado maior tenha 6 cm.
Em outra atividade mostra-se como construir um polígono semelhante a um outro já dado, utilizando a idéia da homotetia, mas não é citado o seu nome.
Depois dessa explicação, cita-se que os ângulos correspondentes são congruentes, as medidas dos lados correspondentes são proporcionais e a constante de proporcionalidade é 1,5. Em seguida pede-se que o aluno desenhe um quadrilátero em seu caderno e depois construa um quadrilátero semelhante.
Após o estudo de polígonos semelhantes, se faz o estudo de triângulos semelhantes, dizendo:
“Dois triângulos semelhantes têm: os lados correspondentes proporcionais e os ângulos correspondentes congruentes”.
E afirma-se que basta que aconteça uma das condições acima para que eles sejam semelhantes. Nas atividades, ou são dados os lados dos triângulos ou seus ângulos para a verificação da semelhança entre eles.
