CAB ˆ CBA ˆ

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III SEGUNDA ETAPA LETIVA / 2010 – INFORMÁTICA

COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

TRABALHO DE MATEMÁTICA I – 1 ª SÉRIE (Vale 1,5 pontos)

1) (UNIFOR-CE) Reduzindo-se ao primeiro quadrante um arco de medida 7344º, obtém-se um arco. Calcule a medida deste arco em radianos.

Solução. Dividindo o valor indicado por 360º e transformando a 1ª determinação em radianos, temos:

rad rad x x

rad

voltas

5 4 180

. 144 º

144 º

180 .

º 144 ) (

20 º 360 º 7344





 _{   }







. Repare que na verdade este arco é do 2º quadrante.

2) (UERJ) Duas partículas, X e Y, em movimento retilíneo e uniforme, têm velocidades respectivamente iguais a 0,2km/s e 0,1km/s. Em certo instante t

1

, X está na posição A e Y

na posição B, sendo a distância entre ambas de 10km. As direções e os sentidos dos movimentos das partículas são indicados pelos segmentos orientados

_AB

e

BC

, e o ângulo

ABˆC

mede 60º, conforme o esquema.

Sabendo que a distância mínima entre X e Y vai ocorrer em um instante t

2

, calcule o valor inteiro mais próximo de (t

2

– t

1

), em segundos.

Solução. Enquanto Y se desloca uma distância “d”, X com o dobro da velocidade se desloca uma distância “2d”. No

instante t = t2 as posições estão mostradas na figura. Considerando D a distância entre as partículas e aplicando a Lei dos Cossenos, temos:

s t

tv d

mínimo d mínimo D d d d d d d D

d d d d d D

d d d d D

36 7, 1,0 35 50 14 .

14 50 )7(

2 )50 ) ( ( )

²(

100 50 7 2 10 5 40 100

2 ). 1 )(

2 10(

2 4 40 100

º60 cos ) )(

2 10(

2 )2 10(

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2











 







 



 





















 

 



 





















3) (FUVEST) Na figura mostrada, AD = 2cm, AB =

3cm

, a medida do ângulo

BAˆC

é 30º e BD = DC, onde D é ponto do lado

AC

. Calcule a medida do lado

BC

em centímetros.

Solução. Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo ABD e depois em ABC, temos:

    ^{ }

 

    ^{ }

  ^{x BC cm}

x x

cm AC cm y y

y

3 3 9 2 12

)3 )(6 12 ( 2 .3 3 6 9 3

º30 cos 3.

3 2 )3(

3

3 1

1 1 6 2 7

)3 )(4 7 ( 2 .3 3 4 4 3

º30 cos 2.

3 2 )2(

3

2 2 2 2 2

2 2 2







 



 









 





 

 





















 



 









 





 

 











4) (UFMG) Observe a figura. Nela, tem-se: AB = AC = 6, BC = BD = 4 e

CBˆQ QBˆD

. Calcule a tangente do ângulo

CBˆQ

.

Solução. O triângulo BDC é isósceles. Como

^CBˆQ ^QBˆD

, a ceviana

^BQ

é bissetriz, mediana e altura.

O triângulo BQC é retângulo. O mesmo acontece com ABQ. Com esses dados encontramos o valor de “x”.

     

   

 

4 2 2 . 2 2 2 ) 1 ( ˆ

2 2

1 128 9

4 3 16 9

16 4 3 4 3

16 4 3 . 16

) . ( ˆ

3 4 12 16 16

12 36 36 )

6 ( 6 : ) (

16 )

( 4 : ) (

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2















 







































Q B C tg

x x adjacente

cat

oposto Q cat

B C tg

x x x

x BQ

x ABQ

T

x BQ

BQ x

BQC T

5) (UNICAMP) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem consecutivamente, 1cm, 3cm, 4cm e 6cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. Calcule o raio desta circunferência.

Solução. O quadrilátero é inscritível. Logo os ângulos opostos são suplementares. Dividindo este quadrilátero pela diagonal

AC

e aplicando a Lei dos Cossenos nos triângulos ABC e ACD, temos:

2

  ^{  }

  ^{   }  

   

 

  3

132 9 10 42 9 10 42 9

6 7 10 :

9 7 54 ˆ 42 ˆ cos cos 54 42 ˆ 0

cos 48 52

cos ˆ 6 10

cos ˆ 48 52

cos ˆ 6 10 cos ˆ

48 ˆ 42 cos) 4)(6 (2 4 6

cos ˆ 6 ˆ 10 cos) 3)(1(

2 3 1

cos ˆ cos ˆ ˆº ˆ 180 ˆ º180

ˆ

2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2









 



 

 













 

 











 

 

 









 



 





































AC AC

Logo

B B B

AC

B AC

B AC

B AC

D D

AC

B B

AC

D B D B D

B

Calculando o seno e aplicando a relação da Lei dos Senos, temos:

  8

66 3

32 . 2

66 2

. 2 . 3 32

. 32 32 2

132 3

32 2

132 3

9 / 32

3 / 2 132

ˆ 2

9 32 81

32 81

1 49 9

1 7 ˆ

9 ˆ 7

cos

2 





















 



 

 











R R

B R sen

AC

B sen B

3