PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUCP/SP
MARIA DA CONCEIÇÃO DE OLIVEIRA MALASPINA
O INÍCIO DO ENSINO DE FRAÇÃO: UMA INTERVENÇÃO COM
ALUNOS DE 2ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2007
Livros Grátis
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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUCP/SP
MARIA DA CONCEIÇÃO DE OLIVEIRA MALASPINA
O INÍCIO DO ENSINO DE FRAÇÃO: UMA INTERVENÇÃO COM
ALUNOS DE 2ª SÉRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL
Dissertação apresentada à banca examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE
em Educação Matemática, sob orientação da Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina.
SÃO PAULO
2007
Banca Examinadora
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____________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
__________________________ __________________________
Ao meu esposo, Marcos Roberto Malaspina, pelo apoio e compreensão e ao meu querido filho, Heitor Oliveira Malaspina.
A
GRADECIMENTOS
À Professora Doutora Sandra Maria Pinto Magina, pelas orientações, dedicação, incentivo, apoio e amizade. Meu muito obrigada, por todos os momentos de aprendizagem.
À Professora Doutora Janete Bolite Frant, por fazer parte da banca e pelas valiosas sugestões, comentários e críticas que contribuíram para elaboração e evolução desta pesquisa.
À Professora Doutora Abigail Fregni Lins, por fazer parte da banca e pelas valiosas sugestões, comentários e críticas que contribuíram para elaboração e evolução desta pesquisa.
À Professora Doutora Irene Carzola, pela meticulosa ajuda, sugestões e ensinamentos e enriquecimento na construção da análise.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pelo auxílio concedido (bolsa mestrado), que sem dúvida alguma possibilitou o início e o término deste trabalho.
À direção, professores e alunos da escola estadual pela colaboração para a realização deste trabalho.
A Helenir da Comissão Regional da Diretoria de Ensino de São Bernardo do Campo, pela disposição e atenção.
Aos meus amigos do grupo de segunda-feira, pelas sugestões. O meu agradecimento especial a minha amiga Raquel pelo incentivo, pelas pertinentes discussões na elaboração da seqüência e durante toda a construção da dissertação.
Ao meu querido e amado esposo, pelo apoio e a valiosa ajuda, na construção das tabelas e gráficos e sugestões.
À direção e professores da Escola Antônio Nascimento, em especial a minha companheira de trabalho e amiga Léia, pela torcida e vibração positiva.
À minha sogra, cunhados e cunhadas por te me ajudado apoiando o meu pequeno filho durante as minhas ausências.
A todas as pessoas que direta ou indiretamente auxiliaram na elaboração e desenvolvimento deste trabalho.
E finalmente, agradeço a Deus por ter me dado força, saúde, garra e perseverança para que eu pudesse conquistar mais essa vitória.
R
ESUMO
A presente dissertação teve por objetivo realizar um estudo intervencionista para introdução do conceito de fração com alunos da 2ª série do Ensino Fundamental. O estudo propôs-se a responder à seguinte questão de pesquisa: “Quais os
efeitos que cada um dos quatro significados para fração (parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida) traz para a aprendizagem inicial dos alunos do 1º ciclo (2ª série) do Ensino Fundamental sobre esse conceito?” Para tanto, foi realizado um estudo com 61 alunos, advindos de duas
turmas de uma escola pública estadual da região de Santo André, que compuseram dois grupos; um dos grupos passou por uma intervenção planejada de ensino sobre o tema fração – Grupo Experimental (GE) – e o outro grupo não passou por qualquer intervenção sobre o tema, e por isso, foi chamado de Grupo Controle (GC). Ambos os grupos, nunca tiveram contato, do ponto de vista formal da escola, com o objeto fração. A fundamentação teórica da pesquisa contou com a Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1988; 2001) e as idéias teóricas de Nunes et al. (2003) com relação aos diferentes significados da fração. A metodologia constou de um estudo quase-experimental dividido em duas etapas: a primeira, denominada etapa D, referiu-se a aplicação coletiva dos três testes-diagnóstico (pré, intermediário e pós-teste) tanto aos alunos do GE quanto GC que responderam individualmente. A segunda, chamada de etapa E, voltou-se para fase de intervenção, momento em que dividimos aos alunos do GE em quatro subgrupos nos quais foram ensinados dois significados da fração.Os dados foram analisados dentro de dois momentos: um voltado à análise quantitativa em que se buscou relacionar os percentuais de acerto, com ajuda a do pacote estatístico SPSS (Statistical Package for Social Sciene). O segundo momento referiu-se a análise dos dados do ponto de vista qualitativo, visando
identificar os tipos de erros cometidos pelos alunos, bem como analisar suas estratégias na resolução. Os resultados mostraram que cada um dos significados teve papel importante na aprendizagem da fração pelos alunos e todos trouxeram contribuições para o início da apropriação desse objeto. Dessa forma, foi possível encontrar efeitos distintos na aprendizagem inicial de fração, dependendo do significado que se utilizou para introduzir esse conceito.
Palavras-chave: Fração, intervenção, SPSS, Ensino Fundamental,
A
BSTRACT
The purpose of this dissertation was to do an interventionist study for the introduction of the fraction concept to 2nd graders. The study proposed to answer the following research question: “What are the effects that each of the four
meanings of the fraction (part-whole, quotient, multiplicative operator and
measurement) bring to the initial learning of 2nd graders about this
concept?” For such, a study with 61 students was done, coming from two classes
of a state public school of the Santo André zone, which composed two groups, one of the groups passed through a planned intervention of teaching about the fraction theme – Experimental Group (GE) – and the other group did not pass though any intervention about the theme, and because of that, it was called Control Group (GC). Both groups have never had contact, from the formal view of the school, with the fraction object. The theoretical foundation of the research counted with the Theory of Conceptual Fields proposed by Vergnaud (1988; 2001) and the theoretical ideas from Nunes et al. (2003) with relation to the different meanings of fractions. The methodology counted with a near-experimental study divided into two steps: the first one, denominated step D, referred to the collective application of three diagnostic tests (pre, intermediate and pos – test) for both students from GE and GC that answered individually. The second one, called step E, turned itself to the intervention phase, moment in which the students from the GE and the GC were divided into 4 subgroups in which two meanings of fractions were taught. The data were analyzed inside these two moments, one turned to the quantitative analysis in which was tried to relate the percentage of right answers, with help from the SPSS (Statistical Package for Social Science) The second moment referred to the analysis of the data from a qualitative point of view, aiming at identifying kind of mistakes made by the students, as well as to analyze its
strategies in the resolution. The results showed that each of the meanings had an important role in the learning of the fraction by the students and they all brought contributions to the beginning of the appropriation of this object. Thus, it was possible to find distinct effects in the initial learning of fraction, depending on the meaning that was used to introduce this concept.
S
UMÁRIO
CAPÍTULO I ... 13
1.1 INTRODUÇÃO ... 13
1.2 JUSTIFICATIVA ... 14
1.3 PROBLEMÁTICA ... 16
1.4 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA ... 18
1.5 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO ... 19
CAPÍTULO II ... 21
APOIO TÉORICO DO ESTUDO ... 21
2.1 INTRODUÇÃO ... 21
2.2 VERGNAUD: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ... 21
2.3 KIEREN ………. 27
2.4 NUNES E BRYANT ………. 29
2.4.1 Frações e seus cinco diferentes significados ... 35
CAPÍTULO III ... 42
REVISÃO DA LITERATURA ... 42
3.1 INTRODUÇÃO ... 42
3.2 PESQUISAS DO GRUPO ... 42
3.2.1 Pesquisas no Brasil e no Mundo ... 51
CAPÍTULO IV ... 71 METODOLOGIA ... 71 4.1 INTRODUÇÃO ... 71 4.2 DISCUSSÃO TEÓRICO-METODOLÓGICO ... 72 4.3 DESENHO DO EXPERIMENTO ... 73 4.3.1 Universo da Pesquisa ... 73 4.3.2 Sujeitos de Pesquisa ... 74
4.4 MATERIAL ... 75
4.4.1 Materiais da Etapa D: Os Instrumentos Diagnósticos ... 76
4.4.2 Materiais da Etapa E: A Intervenção ... 106
4.5 PROCEDIMENTO ... 107
4.5.1 Etapa D: Aplicação dos Instrumentos-diagnóstico ... 107
4.5.2 Etapa E: Aplicação da Intervenção de Ensino ... 109
CAPÍTULO V ... 118
ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 118
5.1 INTRODUÇÃO ... 118
5.2 ANÁLISE QUANTITATIVA ... 119
5.2.1 Desempenho geral do GC e GE ... 120
5.2.2 Desempenho Geral dos Subgrupos do GE ... 122
5.2.2.1 Desempenho dos subgrupos do GE no Pré-teste ... 125
5.2.2.2 Desempenho dos subgrupos do GE no Teste Intermediário .... 128
5.2.2.3 Desempenho dos subgrupos do GE no Pós-teste ... 133
5.2.3 A fração e seus significados em relação aos testes-diagnóstico ... 137
5.2.3.1 As variáveis contínuas e discretas nos testes-diagnóstico ... 138
5.2.3.2 Icônica versus não icônica nos testes-diagnóstico ... 140
5.2.3.3 Variável continua Icônica versus não icônica e variável discreta icônica versus não icônica nos testes diagnósticos ... 141
5.3 ANÁLISE QUALITATIVA ... 143
CAPÍTULO VI ... 156
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 156
6.1 INTRODUÇÃO ... 156
6.2 SÍNTESE DOS PRINCIPAIS RESULTADOS ... 158
6.3 RESGATE DA QUESTÃO DE PESQUISA ... 163
6.4 SUGESTÕES PARA FUTURAS PESQUISAS ... 166
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 168
C
APÍTULO I
INTRODUÇÃO
Neste trajeto de doze anos como professora de Matemática do Ensino Fundamental e Médio da Rede Pública e Privada, tive a oportunidade de expor e discutir com os colegas nossa formação. No meio deste trajeto com o objetivo de trazer algo melhor para minha formação e paralelamente tentar aperfeiçoar a qualidade de meu trabalho, tive, também, a oportunidade de participar de alguns projetos que traziam em seu cerne, como questão central, a formação do professor. Muitas inquietações, reflexões foram desencadeadas ao longo desse caminho.
A busca e o desejo de aperfeiçoar e ampliar esses conhecimentos para continuar exercendo minha profissão, foram os fatores motivadores para ingressar no Programa de Estudos Pós-graduados em Educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP). Ao ingressar, integrei-me ao grupo de pesquisa que traz em seu cerne dois pontos importantes: ensino e aprendizagem das frações.
No contexto, o presente estudo enfoca o número racional em sua representação fracionária
b
a , (a N, b N, com b z 0), que chamaremos de fração, com objetivo de fazer um estudo intervencionista com alunos de 2ª série do Ensino Fundamental.
1.2 JUSTIFICATIVA
Na área de Educação Matemática, diversas pesquisas como as realizadas por Nunes (1997); Silva (1997); Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005); Rodrigues (2005); Santos (2005) e Canova (2006) apontam que existem dificuldades em relação ao ensino e aprendizagem de frações, no que diz respeito ao professor e aluno.
Para Nunes, (1997) muitas vezes, a forma como a fração é apresentada pode permitir a impressão que as crianças saibam muito sobre frações. Conforme afirma:
Um método de ensino... simplesmente encorajam os alunos a empregar um tipo de procedimento de contagem dupla – ou seja, contar o número total de partes e então as partes pintadas – sem entender o significado desse novo tipo de número. (NUNES, 1997, p. 191).
As dificuldades com a aprendizagem também podem ser constatadas na análise do desempenho apresentado pelos alunos das 4ª e 5ª séries do Ensino Fundamental, em duas questões propostas pelo Sistema Nacional de Avaliação Básica (SAEB - 2001) e pelo Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP, 1998).
O relatório do SARESP (1998) pontua que era esperada uma atuação bem melhor por parte dos alunos, levantando como hipótese para essa má atuação o não domínio, por parte desses alunos do conceito de frações equivalentes.
As evidências relatadas apontam a necessidade de se construir um método de ensino que de fato possibilite ao aluno a plena compreensão do conceito de fração.
Nas pesquisas como a de Campos e cols 1995, Kerslake (1986); Mack (1993) apontadas por Nunes e Bryant (1997) houve consideráveis evidências para sugerir que o único modelo de fração nas quais as crianças sentiram-se mais confortáveis foi a fração, como parte de um todo.
Nunes e Bryant (1997) afirmam, apoiando os estudos de Mack (1993) que existe uma lacuna com que a criança aprende na escola com os números racionais e sua vida cotidiana. Esta desconexão é feita em razão da forma na qual a aprendizagem é feita, pois os alunos não pensam nas frações, como tendo qualquer relação com a divisão, apenas relacionam frações à linguagem parte-todo.
Mack (1993) sugere ser possível superar esta lacuna: “movendo-se para trás e para frente em seu conhecimento desenvolvido fora da escola e as representações simbólicas, os alunos deveriam vir a compreender quais conexões têm de ser feitas” (MACK, 1993 citada por NUNES e BRYANT, 1997, p. 213).
Como Behr et al (1983), acreditamos que desenvolver o conceito de número racional, também, é importante, pois ele desenvolve nas crianças várias habilidades, como: entender e controlar situações do mundo real, ampliar as estruturas mentais necessárias para desenvolvimento intelectual, e, também, prover a fundação, na qual podem ser desenvolvidas as operações algébricas.
Cabe ressaltar que este estudo faz parte de um projeto de pesquisa mais amplo, desenvolvido dentro do programa de cooperação entre a Oxford University – sob a Coordenação de Terezinha Nunes – e o Programa de Educação Matemática da PUC-SP, coordenado pelas Professoras Tânia Campos e Sandra Magina. O projeto intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito de fração”, tem por objetivo investigar a formação e o desenvolvimento do conceito de fração no Ensino Fundamental, Médio e Superior, quer seja do ponto de vista de seu ensino, quer seja de sua aprendizagem.
As pesquisas citadas serviram de base para o desenho de nosso estudo, pois pontuaram as dificuldades encontradas nas estratégias para resolver situações-problema que envolvem frações nos alunos dos 2º e 3o ciclos do Ensino
Fundamental (5ª e 6ª e 8ª séries), além de alunos do 3º ano do Ensino Médio e alunos da área de exatas do Ensino Superior.
Com apoio nestes estudos, elaboramos uma pesquisa que enfocou alunos do primeiro ciclo do Ensino Fundamental (2ª série), que nunca tiveram contato
com objeto frações do ponto de vista formal da escola. Nossa meta foi estender esses diagnósticos, partindo agora para a realização de uma intervenção de ensino, observando os efeitos de se trabalhar com quatro dos cinco significados propostos por Nunes et al (2003), a saber: parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente (que serão detalhados nos capítulos seguintes).
Assim, os cinco significados propostos por Nunes et al (2003) são: parte-todo, operador multiplicativo, medida, quociente e número. Em nossa pesquisa, não trataremos do significado número, por acreditarmos que a fase em que as crianças do estudo encontram-se não lhes permite ainda ler e manusear adequadamente instrumentos importantes para a apropriação desse significado, como é o caso da régua que, por sua vez, acabaria por gerar uma variável interveniente no estudo.
Após pontuadas estas dificuldades, apresentaremos na seção seguinte a problemática de nosso estudo.
1.3 PROBLEMÁTICA
Romanatto afirma que o número racional é considerado um assunto importante na escolaridade básica de Matemática. Em muitas oportunidades, apresenta-se aos alunos, como um obstáculo para sua plena compreensão. Ainda ressalta que:
Um dos aspectos que podem justificar tal situação é a complexidade com que esse assunto se manifesta. O número racional deve ser entendido como uma teia de relações onde noções, princípios e procedimentos matemáticos distintos são construídos ou adquiridos a partir de diferentes contextos. (ROMANATTO, 1997, p. 101)
A prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre a situações em que está implícita a relação parte-todo, como é o caso das tradicionais divisões de um chocolate ou de uma pizza em partes iguais. As crianças são informadas que o número total de partes é o denominador, e que o número de partes pintadas, o numerador. Desta forma, introduzir fração pode
fazer com que as crianças tenham a impressão de que sabem muito sobre frações, mas isso pode ser um engano, uma vez que as situações são limitadas, conforme constatamos no trabalho Campos e cols (1995, p. 191).
Partindo do pressuposto que, ao raciocinar sobre os números racionais como fossem naturais, pontuamos, baseados nos PCN, alguns problemas que os alunos podem enfrentar:
x conceber que a representação b
a com bz seja um número racional 0 positivo e não dois números naturais com um traço a separá-los, isto é, esse novo número representa o quociente entre dois números naturais quaisquer, sendo o segundo não nulo.
x entender que cada fração pode ser representada por diferentes e infinitas representações ...¸· 6 3 , 4 2 , 21 , a noção de equivalência de
frações. Uma determinada medida ou quantidade no campo dos números naturais era representada por um único número e agora, no campo das frações, é necessário conceber infinitas representações para uma determinada quantidade ou med
¹ ¨
© §
ida.
x a comparação entre racionais : acostumados com a relação 3>2, terá de compreender uma desigualdade que lhes pareça contraditória, ou seja,
2 1 31 ;
x se, ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este
diferente de 0 ou 1), a expectativa é encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por
21 se surpreender-se-ão ao ver que o
resultado será menor que 10;
x se a seqüência dos números naturais permite estabelecer sucessor e
antecessor, para os racionais isso não fará sentido; uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá perceber que 0,8 e 0,9 estão números, como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Frente às possíveis dificuldades apontadas pelos PCN e os resultados de pesquisas que envolveram o conceito de fração, apresentaremos nas páginas seguintes o objetivo e a questão de pesquisa deste estudo.
1.4 OBJETIVO E QUESTÃO DE PESQUISA
O objetivo desta pesquisa é realizar um estudo intervencionista com crianças do 1º ciclo do Ensino Fundamental (2ª série), que nunca tiveram contato, do ponto de vista formal da escola com o objeto fração. As noções intuitivas dos alunos constituir-se-ão nosso ponto de partida. Isto é, iniciaremos investigando os conhecimentos espontâneos do aluno referente ao objeto de estudo – fração para posteriormente, proceder uma intervenção de ensino com o uso de material manipulativo.
Como já foi dito, trabalharemos em nossa intervenção com quatro significados da fração propostos por Nunes et al (2003): parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida.
Neste contexto, lançamos a questão de pesquisa.
Quais os efeitos que cada um dos quatro significados para fração (parte-todo, operador multiplicativo, quociente e medida) traz para a aprendizagem inicial dos alunos do 1o ciclo (2ª série) do Ensino Fundamental sobre esse conceito?
A fim de buscar subsídios para responder à questão foi elaborada uma seqüência didática com 28 situações-problema em forma de livrinho, abarcando os significados de frações- parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente propostos por Nunes et al (2003) e, também, considerando as variáveis contínuas e discretas e sua representação icônica versus não icônica.
Em nosso estudo, trabalhamos com duas classes de 2ª série, sendo que denominamos uma de grupo controle (GC) e outra de grupo experimental (GE). O
grupo experimental foi subdividido em quatro subgrupos denominados GE1, GE2, GE3 e GE4 que serão descritos detalhadamente no capítulo de metodologia.
Salientamos, também que este estudo constou de duas etapas: a etapa D é
relacionada à aplicação dos instrumentos-diagnóstico (pré-teste, teste intermediário e pós-teste) e a etapa E referente à intervenção de ensino. Sendo que os instrumentos-diagnóstico preservaram a mesma equivalência matemática, tanto no que se refere aos contextos quanto as que se refere às questões.
Na etapa D, tivemos a participação dos dois grupos experimental e controle
o primeiro instrumento aplicado, foi o pré-teste que teve por objetivo verificar os conhecimentos espontâneos dos alunos no que tange à fração.
Já no que se refere à etapa E, na qual só participou o grupo experimental,
trabalhamos primeiro com a intervenção de ensino que teve por objetivo verificar como os alunos lidavam com as frações. Após esta primeira intervenção, fizemos à aplicação do teste intermediário no qual participaram os dois grupos controle e experimental. Em seguida realizamos a segunda intervenção de ensino, do qual participou somente o grupo experimental. Ao final, foi aplicado terceiro instrumento-diagnóstico, denominado pós-teste, que teve por objetivo verificar o desenvolvimento do conceito, com a participação dos dois grupos: experimental e controle.
1.5 DESCRIÇÃO DOS CAPÍTULOS DA DISSERTAÇÃO
O capítulo I consta de uma breve introdução com apresentação da problemática, justificativa, objetivo e questão de pesquisa do estudo.
No capítulo II são apresentadas as idéias teóricas que deram subsídios ao nosso estudo; no que se refere aos Campos Conceituais, temos Vergnaud (1988; 1990; 1991; 1994 e 2001) e a classificação Teórica proposta por Nunes et al. (2003) dos cincos diferentes significados da fração.
No capítulo III há uma revisão da literatura no sentido de apresentar e discutir pesquisas já realizadas que têm correlação com o presente estudo. Este
trabalho encontra-se inserido no grupo de pesquisa, “A formação,
desenvolvimento e ensino do conceito de fração” (como já foi citado), dentro do
qual já foram produzidas cinco dissertações de Mestrado e estão em fase de conclusão duas teses de Doutoramento, daremos especial ênfase a estas pesquisas, sem, desconsiderar outras.
No capítulo IV, Metodologia, é feito a apresentação em detalhes do estudo, no qual consta uma justificativa teórico-metodológica, seguida pela apresentação do universo do estudo e do desenho do experimento.
No capítulo V procede a nossa análise dos resultados, tanto no aspecto quantitativo como no qualitativo.
No capítulo VI, apresentamos as conclusões fundamentadas nas análises feitas no capítulo anterior, propondo, com base nas reflexões advindas das respostas à nossa questão de pesquisa, idéias para realização de futuras pesquisas no tema fração, que permitam o avanço no conhecimento de como ensinar fração.
Finalmente, apresentamos as referências bibliográficas que colaboraram sobremaneira na elaboração e desenvolvimento do presente estudo.
C
APÍTULO II
APOIO TÉORICO DO ESTUDO
2.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo está dividido em duas partes. A primeira, refere-se à formação do conceito, pois nos apoiamos na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990, 2001).
A segunda parte, diz respeito aos significados das frações, a partir de Kieren (1988), que foi o primeiro a classificar os números racionais em diferentes significados e, sobretudo a classificação proposta por Nunes et al (2003), que se assume para este estudo.
2.2 VERGNAUD: A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A teoria de Vygotsky exerceu uma grande influência da teoria de no trabalho de Vergnaud. Uma delas é a idéia de que o conceito é construído com base nas situações a que o sujeito se submete dentro ou fora da escola e que esses conceitos evoluem e sofisticam-se ao longo do tempo. Em sua teoria, Vergnaud procura focar a construção do conceito no próprio conteúdo do conhecimento a ser construído pelo indivíduo.
O sujeito não consegue construir com facilidade um conceito, pois o tempo necessário varia de pessoa para pessoa e pode se estender por um longo período.
Vygotsky (1987) divide os conceitos em dois tipos: cotidianos (ou espontâneos) que se referem àqueles conceitos construídos a partir da observação, manipulação e vivência direta da criança e os conceitos científicos que são os conhecimentos sistematizados, adquiridos nas interações escolarizadas.Na formação do conceito cotidiano, a motivação é interna e desenvolve-se a partir de situações particulares vivenciadas pelo sujeito. Assim, o desenvolvimento do conceito espontâneo da criança é ascendente.
Para Vygotsky, (ibid), ao operar com conceitos cotidianos, a criança não está consciente deles, pois sua atenção está sempre centrada no objeto ao qual o conceito se refere e nunca no próprio ato do pensamento. O desenvolvimento do conceito cotidiano deve atingir certo nível de generalização, para que a criança esteja apta a absorver um conceito científico.
Podemos dizer que o processo de formação dos conceitos cotidianos é ascendente, surgindo impregnado de experiência, mas, de forma ainda não consciente e “ascendendo” para um conceito conscientemente definido; já os conceitos científicos, surgem de modo contrário, seu movimento é descendente, começando com uma definição verbal com aplicações não espontâneas e, posteriormente, pode adquirir um nível de concretude, impregnando-se na experiência. Isto porque o conceito científico depende da interferência de outras pessoas, e o ensino escolar desempenha um importante papel nessa formação.
O ensino do conceito de fração que, geralmente, é formalizado na escola, possibilita estabelecer forte ligação com o cotidiano das crianças, o que facilita a compreensão desse conhecimento. Por exemplo, o conceito de metade
2 1 é formado no cotidiano da criança, ao dividir um doce igualmente, repartir igualmente um brinquedo, etc. Pode-se ir mais além e dizer que as frações de numerador 1 são usualmente encontradas no dia-a-dia das crianças.
Vergnaud (1989) reconhece que a Teoria dos Campos Conceituais foi desenvolvida, também, baseada nas idéias de Vygotsky.
Vergnaud (1993) considera a construção de um conceito matemático, como algo que não se dá de maneira imediata. Para ele, são por meio de resoluções de
situações-problema que um conceito adquire sentido para o sujeito. Para formar um conceito matemático, é preciso lidar com ele dentro de um conjunto de situações e cada situação, por sua vez, traz consigo uma variedade de conceitos. Deve-se ressaltar que o termo “situação”, tal como é empregado por Vergnaud, não tem o sentido de situação didática de Brousseau, mas sim de tarefa. “A idéia é que qualquer situação complexa pode ser analisada como uma combinação de tarefas, cuja natureza e dificuldade própria é importante conhecer” (VERGNAUDN, 2001, p. 167).
A Teoria dos Campos Conceituais (1990) é uma teoria cognitivista que oferece um referencial ao estudo do desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem de competências complexas, particularmente aquelas implicadas nas Ciências, levando em conta os próprios conteúdos do conhecimento e a análise conceitual de seu domínio.
Esta teoria também possibilita analisar a relação entre os conceitos, enquanto conhecimentos explícitos e as invariantes operatórias implícitas nos comportamentos dos sujeitos frente a uma determinada situação, aprofundando a análise das relações existentes entre significados e significantes.
Para Vergnaud (1993), significado é definido como sendo uma relação do sujeito com as situações e o significante, de modo mais preciso, os esquemas evocados no sujeito individual, por uma situação ou por um significado constituem o significado dessa situação ou desse significante àquele indivíduo.
A teoria dos Campos Conceituais retoma e aprofunda as idéias de Piaget no que se refere aos esquemas.
Para Piaget, esquema é o conceito introduzido para dar conta das formas de organização, tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades intelectuais. Vergnaud (1996) considera que os esquemas, necessariamente, referem-se às situações, a tal ponto que se deve falar em interação esquema-situação ao invés de interação sujeito-objeto da qual se referia Piaget. Decorre daí que o desenvolvimento cognitivo consiste, sobretudo, no desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas.
Vergnaud (2001 p. 157) define esquemas como “a organização invariante da conduta para dada classe da situação”
Como foi dito, para Vergnaud (2001) os esquemas referem-se a classes de situações. Dentre estas distinguem-se duas:
x Classes de situações para as quais o sujeito dispõe, em seu repertório,
em um dado momento de seu desenvolvimento, e em determinadas
circunstâncias, de competências necessárias ao tratamento
relativamente imediato da situação;
x Classes de situações para as quais o sujeito não dispõe de todas as
competências necessárias, o que o obriga a um tempo de reflexão e exploração, de hesitações e as tentativas abordadas que o conduzem ao êxito ou ao fracasso.
Segundo Vergnaud (2001), o conceito de esquema interessa às duas classes de situações, mas não funciona do mesmo modo nos dois casos. No primeiro caso, observam-se, para uma mesma classe de situações, comportamentos automatizados, organizados por um só esquema. Ao passo que, no segundo caso, observa-se à sucessiva utilização de vários esquemas que podem entrar em competição e que, para atingir a solução desejada, devem estar acomodados. Esse processo é necessariamente acompanhado por descobertas.
Desta forma, os conhecimentos contidos nos esquemas podem ser designados pelas expressões conceito-em-ação e teorema-em-ação ou também pela expressão mais global, “invariantes operatórios”.
O teorema-em-ação é uma proposição, uma crença que o sujeito toma como verdadeira sobre o real. Está ligado às ações dos alunos para resolver um determinado problema. Aparece de modo intuitivo, na maioria das vezes é
implícito1, seu âmbito de validade pode ser considerado verdadeiro ou falso. Os
teoremas-em-ação abrem caminhos para fazermos um diagnóstico do que os alunos sabem, ou não, de modo que possamos oferecer situações que lhes
1 Implícito refere-se ao conhecimento que não está conscientemente apropriado pelo o sujeito. Nesse
sentido, implícito significa que o sujeito pode resolver um problema sem, contudo, saber explicar como ele chegou ao seu resultado ou, que operação usou para tal, ou, ainda, qual, ou quais, conceitos subjazem a sua ação.
permitam consolidar seus conhecimentos, estendê-los e superar suas eventuais dificuldades.
Segundo Vergnaud (1988) apud Magina et al (2001), esse crescimento leva muitos anos, mas os professores devem estar conscientes dos resultados a longo prazo do processo de ensino-aprendizagem. O conceito-em-ação é um objeto, um predicado ou uma categoria de pensamento tida como pertinente pelo sujeito na construção dos esquemas que conduzem ao conceito e quando são manifestados, geralmente, são explícitos.
A Teoria dos Campos Conceituais considera a existência de uma série de fatores que influenciam e interferem na formação e desenvolvimento dos conceitos e o conhecimento deve emergir dentro de situações-problema.
Apoiados nas considerações anteriores, Vergnaud (1990; 2001) considera que a principal entrada do campo conceitual são as situações; e os vários conceitos constituem essas situações que, também são representadas de alguma forma. Para definir conceito, Vergnaud utiliza uma trinca de conjuntos, representada como C = (S, I, R), onde:
x S – é um conjunto de situações que dá sentido ao conceito (a
referência);
x I – é um conjunto de invariantes, nos quais repousa a operacionalidade
do conceito (objetos, propriedades, relações);
x R – é um conjunto de representações simbólicas que pode ser usada
para representar simbolicamente o conceito, suas propriedades e as situações.
A construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear, facilmente identificável. Ao contrário, é complexo, demorado, com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas. O conhecimento prévio é determinante no progressivo domínio de um campo conceitual.
Dentre muitas estruturas estudadas por Vergnaud, destacam-se duas: as aditivas e as multiplicativas. O presente estudo encontra-se inserido dentro do campo conceitual das estruturas multiplicativas. Cabe explicitar que esse campo
envolve o conjunto de situações, cujo tratamento implica uma ou várias multiplicações e divisões, e o conjunto dos conceitos e teoremas, permite analisar tais situações. Entre outros conceitos, são identificados a proporção simples e múltipla, função linear e não linear, razão escalar direta e inversa, quociente e
produto de dimensões, combinação linear e aplicação linear, fração2, número
racional, múltiplo e divisor, como conceitos pertencentes às estruturas multiplicativas.
A seguir apresentamos um exemplo que ilustra a idéia de Vergnaud no campo da multiplicação.
A aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com idéias construídas pelos alunos a respeito dos números naturais e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada. No campo dos números naturais, os alunos vivenciam um conjunto de situações que forma a concepção de que a multiplicação sempre aumenta, ou seja, o produto é sempre maior do que os dois fatores. Ao raciocinar sobre os números racionais, é necessário um outro conjunto de situações que dê conta de superar esta dificuldade, provocando a ruptura dessa expectativa, por exemplo, 10 multiplicado por
2 1 .
Com este exemplo, acreditamos que o campo conceitual multiplicativo abrange um número maior de situações, que necessitam ser melhor elucidadas e
analisadas com cuidado, a fim de facilitar a hierarquia das competências3
possíveis desenvolvidas pelos alunos, dentro e fora da escola, pois resolver algumas operações de multiplicação constituem um dos elementos que compõe esta operação, que pode ser considerada a ponta do iceberg conceitual.
Assim como Vergnaud, acreditamos que possa ser possível construir o conceito de fração, coordenando uma interação entre os três conjuntos da terna – o das Situações, dos Invariantes e das Representações.
2 Grifo nosso.
3 Competência refere-se à ação do sujeito cujo conhecimento que subjaz essa ação ainda está implícito. Ela
2.3 KIEREN
Para Kieren o conceito de número racional pode ser construído a partir de considerações dos quatro seguintes subconstrutos: quocientes, operadores, medidas e razões (KIEREN, 1988, p.166).
O autor não engloba o subconstruto4 parte-todo, entende que as idéias que
o constituem já estão presentes nos subconstrutos quociente, operador e medida (KIEREN, 1993, p. 57). Para o autor, a idéia de subconstrutos parece atribuir maior ênfase às estruturas cognitivas.
Aprofundando suas considerações sobre a construção do conceito de número racional, o autor propõe um modelo teórico para essa construção que procura apresentar as possíveis interconexões entre as idéias que formam o conceito, partindo das situações presentes no conhecimento intuitivo do sujeito até o estágio da formalização. Este é apresentado sob a forma de um mapa no qual se identificam quatro níveis pelos quais deve passar a construção do conceito de número racional (KIEREN, 1993 p. 64-65).
- O nível dos conhecimentos intuitivos;
- Os subconstrutos;
- Um terceiro nível obtido com base nos subconstrutos em direção a um
pensamento multiplicativo mais formal; e
- O conhecimento estruturado nos números racionais dentro de um campo
quociente.
No intuito de achar explicações para a evolução do processo de construção do conceito, Kieren (1993) considera que a partição e a obtenção da fração com numerador unitário da forma
b1 têm, para a criança, o mesmo papel de um
axioma na construção do número racional como elemento de um conjunto
quociente, denomina essa operação de “thinking tool”.
4 Kieren refere-se aos constructos e subconstructos. Podemos entender “constructos” como sendo o conceito
Outro aspecto importante do número racional mostrado por Kieren (1993) é o fato de ele ter, ao mesmo tempo, um caráter de quociente e um caráter de razão. Quando visto como quociente, ele responde à questão “quanto?” Quando visto como razão, estabelece uma propriedade relacional entre a parte e o todo.
Outro fator que demonstra que os números racionais não podem ser vistos somente como uma extensão dos números inteiros, é o fato de que nos racionais a adição e a multiplicação são operações independentes. Enquanto nos inteiros positivos, a multiplicação conduz a um número maior; nos racionais nem sempre isso ocorre como, por exemplo, multiplicar
2 1 por
31 significa dividir 21 em 3 partes e essa operação não pode ser reduzida a uma adição, como se fazia com os números inteiros.
Kieren (1993), também ressalta o duplo papel desempenhado pelo número 1 no campo racional, como uma consideração importante a ser levada em conta na compreensão da construção desse conceito. De fato, o número 1 é a unidade divisível “que forma uma base de comparação para os números racionais” (p. 55) e, também, serve como base conceitual para formação do inverso multiplicativo, além, claro, de servir como o elemento neutro da multiplicação. O autor defende a necessidade das crianças apropriarem-se dessas duas noções, para que possam passar a ver o número 1, dentro dessa visão mais complexa.
Uma conseqüência imediata da aplicação das idéias de Kieren é a de que os currículos montados, segundo a visão dos números racionais dentro dos subconstrutos (quociente, operador, medida e razão) propiciariam melhor interligação dos vários campos da Matemática, além de se tornarem uma janela
significativa, para que a criança tenha contato com outros domínios5 da
Matemática, desde as séries iniciais. Porém se considerados os números racionais apenas como uma extensão dos números inteiros ou um simples algoritmo numa relação parte-todo estática, os números racionais permaneceriam apenas no domínio matemático dos números.
5 Esses domínios que Kieren refere seriam que ao trabalhar os números racionais dentro dos subconstrutos,
você já mostraria outros campos da matemática como, por exemplo, o subconstruto operador aproxima os números racionais da Álgebra, subconstruto medida oferece uma ligação com a geometria, etc.
Para ilustrar a situação, o autor cita como exemplo, o fato de que partições sucessivas podem conduzir crianças muito jovens à idéia de grandezas infinitesimais, como no relato de uma estudante de 11 anos que respondeu que sua fração favorita era
2
1 , pois “me fascina a possibilidade de dividir em dois e obter pedaços tão pequenos quanto eu queira, indefinidamente”. O autor ainda ressalta que o subconstruto medida oferece, também, uma ligação importante entre geometria, espaço e estudo dos números racionais. (KIEREN, 1988 p. 59).
No que diz respeito ao subconstruto operador, o autor relata que este proporciona uma aproximação dos números racionais com a Álgebra e com a noção de função composta, em termos não-formais. Já o subconstruto razão, aponta na direção de importantes conceitos de proporção e probabilidade.
Ao final, o autor sugere que a idéia de ver os números racionais por intermédio dos subconstrutos fornece suporte para uma análise semântica, psicológica e pedagógica do ensino do número racional, bem como um suporte empírico para seu estudo. Propõe, também, que a idéia intuitiva de partição exerce um papel importante na construção do conhecimento do número racional por parte do sujeito.
2.4 NUNES E BRYANT
A aquisição de um conceito matemático pressupõe seu reconhecimento em diversas situações e contextos. Assim sendo, cuidaremos a seguir, do objeto de nosso estudo: os números racionais em sua representação fracionária, denominada fração, no que diz respeito a seus diferentes significados tratados por Nunes.
Nunes e Bryant (1997) citam que, com as frações as aparências enganam, alguns alunos podem passar pela escola sem dominar diversos conceitos de fração, mesmo usando termos fracionais corretos, falando coerentemente sobre frações e resolvendo alguns problemas.
Abarcando esta idéia, Nunes e Bryant (1997) afirmam que essa falsa impressão que as crianças têm de algum domínio do conceito de fração pode estar associada à forma como esse conteúdo lhes é apresentado – todos divididos em partes. Assim, as crianças são informadas de que o número total de partes (por exemplo, 8) é o denominador e as partes pintadas (por exemplo, 5), o numerador e escreve
8
5 , sem entender o significado desse novo tipo de número. Nesse contexto, Nunes e Bryant (1997) retomam pesquisas relevantes, cujos resultados confirmam a suspeita de que as crianças podem usar a linguagem das frações sem compreender completamente sua natureza. Estes estudos servem, como advertência dos perigos que existem por trás da complexidade e da diversidade dos conceitos envolvidos em frações. Dentre os estudos, destacam-se os realizados no Brasil por Campos e cols (1995) e na Inglaterra por Kerslake (1996).
No trabalho citado, por Nunes e Bryant (1997), Campos e cols (1995) apresentaram em suas pesquisas que a impressão de crianças raciocinando sobre frações, poderia ser falsa, sobretudo, quando são submetidas a um método de ensino que se limita e estimula os alunos a resolver os problemas, utilizando-se de procedimentos de dupla contagem, utilizando-sem entender o significado deste novo tipo de número.
Para demonstrar sua hipótese, Campos e cols (1995) apresentaram os desenhos indicados abaixo a crianças de idade aproximada de 12 anos ou mais, que haviam aprendido o procedimento de dupla contagem e pediram-lhes que nomeassem as frações apresentadas em cada uma das figuras, a seguir:
FIGURA 2.1 - Situações propostas por Campos apud Nunes e Bryant, 1997
Situação 1 Situação 2 Situação 3
Nas duas primeiras situações 1 e 2, o percentual de acertos foi perto do teto, com algumas exceções, pois alguns alunos usaram a contagem dupla de forma diferente, contando as partes pintadas para o numerador e as partes não pintadas, para o denominador.
Com relação a terceira situação, o desempenho dos alunos foi significativamente inferior ao demonstrado nas situações 1 e 2, pois ao apoiarem suas estratégias de resolução do procedimento de dupla contagem, 56% dos alunos escolheram
7
1 , como a fração correspondente.
Estes resultados confirmam a suspeita levantada pelas pesquisadoras de que as crianças podem usar a linguagem da fração sem compreender completamente sua natureza.
Nesta pesquisa, a questão do tipo da situação 1, também, foi abordada e será observado se os alunos também utilizaram o procedimento de dupla contagem.
Nunes e Bryant (1997), ainda sugerem que existe uma conexão entre divisão e fração, ficando, especialmente, claro quando se pensa em um tipo de problema, envolvendo quantidades contínuas, pois se pensarmos em um problema como, por exemplo, 3 barras de chocolate divididos por 4 pessoas, o resultado da divisão será fração. Esta conexão não é acidental, faz referência a uma análise matemática de números racionais feitas por Kieren (1988; 1994), em que sugere que as frações são números produzidos por divisões e portanto, são números do campo dos quocientes.
Nesse sentido, Nunes e Bryant (1997) argumentam que, se isso estiver certo, então, deveremos buscar a origem da compreensão do conceito de fração nas crianças, em um contexto que propicie situações de divisão.
Diante de tal reflexão, os autores citados argumentam que, de fato existe uma lacuna entre a compreensão que as crianças têm das propriedades básicas de frações e as tarefas resolvidas no contexto das avaliações educacionais. Assim, Nunes e Bryant referem que:
... quando as crianças resolvem tarefas experimentais sobre divisão e números racionais, elas se engajam em raciocinar sobre as situações. Em contraste, quando elas resolvem tarefas matemáticas em avaliações educacionais elas vêem a situação como um momento no qual elas precisam pensar em que operações fazer com os números, como usar o que lhes foi ensinado na escola, concentrando-se nas manipulações de símbolos, os alunos poderiam desempenhar em um nível mais baixo do que teriam desempenhado se tivessem se preocupado mais com a situação-problema. (NUNES e BRYANT, 1997, p. 212)
A hipótese de dissociação entre o desempenho dos alunos em situações contextuais e o desempenho frente às situações de avaliação escolar foi bastante explorada por Mack (1993) e será discutida com maior profundidade na próxima seção.
Os resultados da pesquisa de Mack (1993) vêm ao encontro com a afirmação de Nunes e Bryant (1997) que, embora os problemas da vida cotidiana não pareçam causar dificuldades, muitos dos problemas apresentados simbolicamente não são resolvidos pelos estudantes, que apresentam algoritmos falhos e comparações inadequadas.
No intuito de solucionar muitas das dificuldades apresentadas na aprendizagem do número racional na forma fracionária, Nunes et al. (2003) propõem uma classificação teórica, envolvendo a fração em cinco significados. Antes de apresentarmos esta classificação, exporemos algumas considerações de Nunes em relação ao conceito de fração.
Nunes et al. (2003) destacam dois invariantes que são considerados centrais no conceito de fração: as noções de ordenação e equivalência.
No que concerne à ordenação de fração, observamos que existem duas idéias básicas e centrais que devem ser levadas em consideração no ensino da fração. A primeira é que, para um mesmo denominador, quanto maior for o numerador, maior será a fração; contudo – a segunda idéia diz respeito a uma situação na qual para um mesmo numerador, quanto maior o denominador menor será a fração.
Observamos que a primeira estratégia é relativamente simples, pois a idéia utilizada para resolver esta situação é semelhante à comparação de dois números naturais, embora a afirmação que o denominador deve ser constante para uma comparação direta a ser feita entre os numeradores, pode oferecer alguma dificuldade. A segunda idéia pode mostrar mais dificuldade, pois as crianças precisam pensar em uma relação inversa entre o denominador e a quantidade representada pela fração.
No que diz respeito à noção de equivalência de fração, devem ser considerados dois aspectos essenciais: equivalência em quantidades extensivas e intensivas.
As quantidades extensivas referem-se à comparação entre duas quantidades de mesma natureza, a lógica parte-todo. Portanto, são suscetíveis de ser adicionadas e medidas por unidade de mesma natureza. Por exemplo: “três metros” expressam a comparação de uma unidade de comprimento, o metro, com outro comprimento, o comprimento da mesa. (NUNES et al. 2005)
Já as quantidades intensivas, referem-se às medidas baseadas na relação entre duas quantidades diferentes, portanto, não suscetíveis de adição e são medidas de uma relação de duas magnitudes, cada uma vindo de diferente quantidade intensiva. Por exemplo, quando quisermos saber se uma limonada está “forte” ou “fraca”, estaremos nos referindo à concentração do suco de limão, a medida da concentração de um copo de limão (uma quantidade) e a quantidade de água (a segunda quantidade).
A lógica das quantidades intensivas é diferente da lógica das quantidades extensivas, porque não está baseada na relação parte-todo, mas, na relação entre duas quantidades diferentes.
A diferença entre esses dois tipos de quantidade pode ser compreendida segundo Nunes et al. (2005) quando comparamos as quantidades extensivas e intensivas que podem ser medidas em uma mesma situação.
FIGURA 2.2 - Exemplo comparação entre quantidades extensiva e intensiva
FONTE: Nunes et al. (2005), Números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
O exemplo 1 desta figura representa uma situação, envolvendo quantidade extensiva. Quando juntamos duas quantidades extensivas, o todo é igual à soma das partes e no caso se subtraímos uma parte de um todo, a parte que restará será igual ao todo, menos a parte retirada.
Já o exemplo 2 desta figura, representa uma situação envolvendo quantidade intensiva. Neste caso, se juntarmos duas quantidades intensivas diferentes – um copo de suco de laranja com 80% de concentrado e outro com 20% de concentrado – a concentração do todo não será igual a 80 + 20. Os números 80 e 20 não podem ser somados sem levarmos em consideração a quantidade de água, pois 80% de suco de concentrado significa 80 partes de concentrado para 20 partes de água e 20% de concentrado significa 20 partes de concentrado para 80 de água.
Segundo Nunes et al. (2005), a lógica das quantidades extensivas baseia-se no raciocínio aditivo. Já a lógica das quantidades intensivas babaseia-seia-baseia-se em uma relação entre duas quantidades, portanto, no raciocínio multiplicativo.
Ao apresentar algumas considerações, feitas por Nunes et al. (2005) com relação ao conceito de fração, seguimos nosso estudo apresentando a fração e seus cincos significados.
2.4.1 Frações e seus cinco diferentes significados
Uma situação dada ou um simbolismo particular não evoca em um indivíduo todos os esquemas disponíveis, isto é, quando se diz que uma palavra tem determinado significado, estamos recorrendo a um subconjunto de esquemas e, dessa forma, operando uma restrição ao conjunto dos esquemas possíveis. Para ilustrar o que acabamos de discutir, tomemos, como exemplo, o significante
4
1 . O significado desse símbolo dependerá dos esquemas que o sujeito possui para dar significado a essa representação.
O sujeito poderá dar como significado à fração 4
1 , uma relação parte-todo, ou seja, uma pizza dividida em quatro partes iguais, sendo uma parte tomada, isto é,
41 significando o quociente da divisão entre duas variáveis. Poder-se-ia
interpretar, ainda, a fração
41 , como um número na reta numérica, ou seja, 0,25;
como operador, 4
1 de litro de leite, ou seja, 250 ml de leite e, finalmente, a interpretação de
41 como sendo medida, isto é, a chance de se tirar uma bola azul
em uma caixa que tenha uma bola azul e três bolas vermelhas.
Diante do exposto, acreditamos que o conceito de fração poderá ser construído se contemplado um conjunto de situações, explorando seus diferentes significados, dentro de um contexto de quantidades contínuas e discretas.
Entendemos por quantidades contínuas aquelas que são passíveis de serem divididas de modo exaustivo, sem que, necessariamente percam suas características. Por exemplo, uma pizza pode ser dividida em inúmeras partes sem deixar de ser pizza.
Por outro lado, quantidades discretas dizem respeito a um conjunto de objetos idênticos, que representa um único todo e o resultado da divisão deve produzir subconjuntos com o mesmo número de unidades. É o que encontramos,
por exemplo, em uma situação em que temos de dividir cinco bolinhas para três crianças.
No que diz respeito à representação icônica, entendemos por icônica a situação-problema que possui o desenho ou figuras e não icônica que não possui desenhos ou figuras.
A seguir os parágrafos pretendem apresentar detalhadamente cada um dos significados propostos por Nunes et al. (2003). Cabe ressaltar que, em nosso estudo abarcaremos somente quatro dos cinco significados parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.
x Fração como Parte-todo
A idéia presente neste significado é a da partição de um todo (contínuo ou
discreto) em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como n1 .
Assim, assumiremos como o significado parte-todo, um dado todo dividido em partes iguais em situações estáticas, na qual a utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente para se chegar a uma representação correta.
Por exemplo: 1- Uma barra de chocolate foi dividida em três partes iguais. Carlos comeu duas dessas partes. Que fração representa o que Carlos comeu?
A situação refere-se ao significado parte-todo contínuo, com ícone. O aluno frente a esta situação deverá identificar que o todo foi dividido em 3 partes iguais, portanto, trata-se de uma comparação parte-todo (significado); bem como identificar que o número total de partes que foi dividido é o denominador e as partes que Carlos comeu representa o numerador, escrevendo a fração
3 2 .
Exemplo 2- Em uma loja de presentes, tem 2 bonés azuis e 1 boné branco, todos do mesmo tamanho. Que fração representa a quantidade de boné branco
Para resolver esta situação, que envolve o significado parte-todo contínuo, sem ícone, o sujeito deverá identificar qual o total de bonés referindo-se ao denominador e quantos são os bonés brancos em relação ao total de bonés correspondendo ao numerador, assim, terá a fração
31 .
x Fração como Quociente
Este significado está presente em situações em que está envolvida a idéia de divisão, por exemplo, uma torta a ser repartida igualmente entre 5 crianças. Nas situações de quociente temos duas variáveis (por exemplo, número de tortas e número de crianças), sendo que uma corresponde ao numerador e a outra ao denominador – no caso,
51 . A fração, nesse caso, corresponde à divisão (1
dividido por 5) e também ao resultado da divisão (cada criança recebe 51 ).
Exemplo: 1- Na mesa do restaurante existem 5 crianças. A garçonete
serviu 3 tortas para dividir igualmente entre elas. Qual a fração que cada criança
irá receber?
Esta situação-problema envolve o significado quociente contínuo com ícone, o sujeito frente a esta situação deverá perceber que a divisão é uma boa estratégia para resolvê-la. Temos duas variáveis, uma que corresponde ao numerador, no caso as tortas e outra, ao denominador, no caso, as crianças. Teremos, então, a fração
5 3 .
Exemplo: 2- Foram divididas igualmente 8 bolas de futebol de mesmo tamanho para 4 crianças. Quantas bolas de futebol cada criança ganhará? Que fração representa essa divisão?
Esta situação-problema envolve o significado quociente discreto sem ícone. Para que possamos exemplificar a quantidade discreta no significado
quociente, temos de nos reportar às frações chamadas aparentes, ou seja,
frações que representam números inteiros, por exemplo: 2 2 ,
36 , 28 ,.... No caso da última situação apresentada à fração são
4
8 , ou seja, cada criança recebera 2 bolas de futebol.
A quantidade discreta exige que o numerador (bolas de futebol) seja divisível pelo numerador (crianças).
Este significado pressupõe, ainda, extrapolar as idéias presentes no significado parte-todo, pois na situação de quociente temos duas grandezas distintas: no exemplo, tortas e crianças; no exemplo 2 bolas de futebol e crianças.
x Significado Medida
Algumas medidas envolvem fração por se referirem à quantidade extensiva, nas quais a quantidade refere-se à relação entre duas variáveis de valor discreto. Por exemplo, a probabilidade de um evento é medida pelo quociente – número de casos favoráveis, dividido pelo número de casos possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1, e a maioria dos valores com os quais se trabalhou é fracionário.
Exemplo: 1- Na escola de Paulo, foi feito um sorteio com 8 bilhetes para um passeio. Paulo tinha comprado 4 desses 8 bilhetes. Qual a chance de Paulo ser sorteado?
Esta situação envolve o significado medida, discreto sem ícone. A possibilidade de Paulo ganhar o sorteio é expressa por uma medida (significado) obtida pelo quociente entre, o número de bilhetes comprados por Paulo e o número total de bilhetes do sorteio, ou seja, pela fração
8 4 .
Outras medidas envolvem frações por se referirem a quantidades intensivas.
Exemplo: 2- Para fazer uma certa quantidade de suco de uva são necessárias 2 medidas de água para 1 medida de concentrado de suco de uva. Que fração representa a medida de concentrado de uva em relação ao total de suco?
Esta situação refere-se ao significado medida com quantidades intensivas, com ícone. A receita é medida pela razão 1 para 2 que pode ser representada, como sendo
2
1 (relação parte-parte). Com esta medida podemos fazer, indefinidamente, diversas quantidades de suco de uva, mantendo o mesmo sabor; além disso, esta quantidade poderá nos remeter à idéia de fração, considerando-se que o todo (a mistura) é constituído de 3 partes,
31 é a fração que corresponde
a medida de concentrado de uva na mistura e,
32 é a fração que corresponde a
medida de água na mistura.
x Situação Operador Multiplicativo
Associou-se a esse significado o papel de transformação, isto é, a representação de uma ação que se deve imprimir sobre um número ou uma quantidade, transformando seu valor nesse processo. Conceber a fração, como um operador multiplicativo, é admitir que a fração
b
a funciona em quantidades contínuas, como uma máquina que reduz ou amplia essa quantidade no processo, enquanto em quantidades discretas sua aplicação atua como um multiplicador divisor.
Exemplo: 1- Um estojo contém 20 lápis coloridos. Marina deu 4
3 dos lápis para sua amiga. Quantas lápis Marina deu?
Nesta situação, o sujeito deverá perceber que a fração desempenha o papel de transformação, ou seja, deve-se multiplicar 20 por 3 e dividir o total por 4 ou dividir 20 por 4 e multiplicar o total por 3. Ao mesmo tempo que a fração desempenha um papel de transformação, também, conduz a idéia de que os números racionais formam um corpo munido de duas operações; a adição e multiplicação.
A explicação dada acima (quantidade discreta) se estende para exemplificar as situações com quantidades contínua desse mesmo significado (operador multiplicativo).
Exemplo: 2- Felipe ganhou uma barra de chocolate e comeu 4
3 . Pinte a
quantidade de chocolate que Felipe comeu?
O sujeito tem de perceber que a fração que Felipe comeu se refere a uma quantidade, ou seja,
4
3 de 1.
x Significado Número
Assim como o número inteiro, a fração nesse significado é representada por pontos na reta numérica. Os números não precisam necessariamente referir-se a quantidades específicas (discretas).
Existem duas formas de representação fracionária, ordinária e decimal. Exemplo 1: Represente na reta numérica a fração
32.
O sujeito frente a essa situação deverá reconhecer a fração, como um número (significado) e não uma superposição de dois números naturais. Dever-se-á perceber, ainda, que todo número tem um ponto correspondente na reta numérica e que sua localização depende do princípio de ordenação (invariante),
isto é,
32 é um número compreendido entre 0 e 1. Mesmo considerando esse
intervalo, há necessidade de que o sujeito compreenda que à direita e à esquerda de
3
2 existem ainda infinitos números. Terá ainda que admitir a existência de duas formas de representação fracionária, a ordinária e a decimal.
Desta forma, como já foi dito, assumiremos em nosso estudo os significados das frações propostos por Nunes et al. (2005), pois acreditamos, assim como Vergnaud que a aprendizagem de um conceito se dá por dentro de situações ou conjuntos de situações.
C
APÍTULO III
REVISÃO DA LITERATURA
3.1 INTRODUÇÃO
O presente capítulo pretende trazer idéias de autores que elaboraram pesquisas científicas sobre os números racionais no âmbito do campo de estudos da Educação Matemática.
Para tanto apresentamos o capítulo dividido em duas seções: A primeira, inicia-se com os trabalhos de mestrado que foram estudos diagnósticos, nos quais se inclui este com o objetivo de estender esses diagnósticos, partindo agora para a realização de uma intervenção de ensino, observando os efeitos de se trabalhar com quatro dos cinco significados propostos por Nunes et al. (2003), a saber: parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.
A segunda, apresenta algumas pesquisas, que investigaram o ensino e aprendizagem do conceito da fração e que muito contribuíram para nosso estudo.
3.2 PESQUISAS DO GRUPO
Como descrito no capítulo I deste trabalho, nosso estudo faz parte de um projeto de pesquisa mais amplo, intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito de fração”, cujo objetivo é investigar a formação e o desenvolvimento do conceito de fração nos Ensinos Fundamental, Médio e Superior, quer seja do ponto de vista de seu ensino, quer seja do ponto vista de sua aprendizagem.
No que diz respeito ao ensino de fração, há o trabalho de Canova (2006), intitulado “Crença, concepção e competência dos professores do 1º e 2º ciclo do Ensino fundamental com relação à fração”, que se propôs responder às seguintes questões de pesquisa: Quais as crenças que os professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental apresentam em relação ao conceito de fração e o seu ensino? Quais as concepções e competências, que esses mesmos professores, apresentam em relação à fração e seus diferentes significados?
Canova (2006) teve por objetivo identificar e analisar as crenças, concepções e competências dos professores que atuavam no 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental, no que diz respeito ao conceito de fração em seus cinco significados, a saber, Nunes et al. (2003) – parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente. Para tanto, elaborou um instrumento investigativo composto por 29 questões subdivididas em quatro partes: 1- perfil; 2- crenças; 3- concepções e 4- competências. Este instrumento foi aplicado a 51 professores do Ensino Fundamental, distribuídos em três escolas da Rede Municipal da cidade de Osasco. A pesquisa constou de dois momentos. O primeiro, diz respeito a entrega dos questionários e o segundo, às entrevistas clínicas feitas com 10% da amostra. Os resultados mostraram que as crenças dos professores não são influenciadas pela sua prática docente, o mesmo não acontece para as concepções. Pois estas eram mais restritas entre os professores do 1º ciclo do que aos professores do 2º ciclo. Quanto à competência, Canova (2006) constatou que não houve desempenho eqüitativo entre os cinco significados da fração e os invariantes. Estas evidências levaram a pesquisadora a concluir que há a necessidade de se ampliar o campo conceitual desses professores com relação ao objeto fração.
Ainda voltado ao ensino de fração, temos o estudo de Santos (2005) intitulado “O conceito de fração em seus diferentes significados: um estudo diagnóstico junto a professores que atuam no Ensino Fundamental”. Esse estudo propôs-se a responder à seguinte questão de pesquisa: “é possível reconhecer as concepções dos professores que atuam nos 1º e 2º ciclos (polivalentes) e no 3º ciclo (especialistas) do Ensino Fundamental, no que diz respeito ao conceito de fração?” Se sim, quais? Se não, por quê?
