Na seção anterior, realizamos a análise quantitativa dos resultados, cujo principal parâmetro foi o número de acertos que nossos alunos obtiveram quando responderam os instrumentos-diagnóstico. Lá consideramos, primeiramente, tanto o desempenho dos alunos do GE quanto do GC, para depois investigarmos apenas o desempenho do GE, tendo em conta os quatro subgrupos.
Na presente seção, realizamos uma análise da qualidade dos tipos de resolução e das estratégias utilizadas pelos sujeitos do GE, frente aos testes- diagnóstico (pré-teste, teste intermediário e pós-teste), complementando-a, sempre que procedente com informações trazidas das intervenções de ensino. Desta forma, decidimos agrupar algumas dessas estratégias que os levaram ao insucesso nas questões, criando categorias.
Antes da apresentação das categorias, vale lembrar que o número de respostas categorizadas do pré-teste atingiu um total de 729, aumentando em 23, o número de respostas categorizadas do teste intermediário de 514 para 557, aumentando em 43 e do pós-teste de 430 para 452, aumentando em 22, o total de respostas categorizadas.
No entanto, a análise qualitativa foi delineada dentro de categorias, com um total de 729 respostas categorizadas para o pré-teste, 557 para o teste intermediário e 452 para o pós-teste chegando há um total de 1738, aumentando, assim, 88 o número de respostas categorizadas.
Dessa forma nossa análise qualitativa foi delineada dentro de nove categorias, teve um total de 1738 respostas categorizadas. Em seguida mostraremos uma tabela com os nomes e siglas criadas para identificar tais categorias.
TABELA 5.4 - Nomes e siglas de identificação das categorias
Categoria Nome da categoria
P-P Relação Parte-parte
D/N Inversão do numerador com o denominador
Qu->PT Quociente remete para o Parte-todo
Om->PT Operador Multiplicativo remete para o Parte-todo
rep dados Utilização dos dados do problema
faz conta Utilização de operações
Nº natural Utilização da fração como número natural
Ícone Não se preocupa com a divisão do desenho, repartindo as partes segundo o seu critério
Incomp Incompreensível
Nesta seção abordamos as nove categorias, definindo-as e colocando, para cada uma delas, a possível estratégia utilizada pelos alunos para que possa justificá-las.
Parte-parte (P-P)
A categoria denominamos P-P (parte-parte), refere-se à estratégia utilizada pelo aluno ao desprezar o todo envolvido e se remete apenas às partes para resolução de uma determinada situação tanto com quantidades discretas na representação icônica versus não icônica como as quantidades contínuas na representação icônica versus não icônica. Este tipo de categoria foi encontrada nas questões que envolviam os quatro significados da fração (parte-todo, quociente, operador multiplicativo e medida). Para exemplificar esta categoria, apresentamos a resolução dos alunos nos testes diagnósticos.
Inversão do numerador com o denominador (D/N)
A categoria denominada D/N refere-se à inversão do numerador com o denominador.
Nessa categoria, o aluno compreende a situação, porém não é capaz de representá-la, utilizando a fração, ou seja, o aluno não consegue distinguir a relação que há entre o numerador e denominador. Este tipo de categoria foi encontrado nos quatro significados da fração, assim um exemplo clássico desta categoria seria:
FIGURA 5.8 - Resolução do aluno B4 Ge4 (Qu+OM) no pré-teste
Quociente remete ao Parte-todo (Qu -> PT)
Esta categoria está ligada às questões, cujo significado enfocado é o Quociente. Refere-se à estratégia que a criança não leva em consideração as duas grandezas envolvidas, levando em conta somente uma delas, como mostram os exemplos abaixo.
Operador remete ao Parte-todo (Om->PT)
A categoria Om->PT denominada como Operador remete ao Parte-todo foi criada exclusivamente para questões que envolviam o significado operador multiplicativo.
Entendemos que o erro que qualifica esse tipo de categoria, pode ser pelo fato do aluno entender a situação, mas, muitas vezes, não conseguir diferenciar a qual o todo ele se refere. Este tipo de estratégia pode ser detectada em nossas intervenções nas discussões com os alunos, mediante suas respostas.
Um exemplo que encontramos, enquadrado nesta categoria, seria:
FIGURA 5.10 - Resolução do aluno I1 Ge1 (PT+Me) no pós-teste
Representação dos dados do problema (rep->dados)
Esta categoria determinada, como representação dos dados do problema, compreende a estratégia, na qual o aluno elaborou sua resposta, de maneira equivocada com os dados contidos no enunciado.
Como exemplo, desta categoria, apresentamos a resolução de um aluno.
Utilização de operações (faz conta)
Esta categoria faz conta determinada do uso das operações que compreendem a estratégia, na qual o aluno elaborou sua resposta, utilizando qualquer tipo de operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão) entre numerador e denominador.
O exemplo que ilustra este tipo de estratégia é:
FIGURA 5.12 - Resolução do aluno I1 Ge1 (PT+Me) no teste intermediário
Utilização da fração como número natural (Nº natural)
A categoria é determinada pelo uso da fração: como número natural, compreende a estratégia que o aluno faz uso dos números naturais para representar a fração. Esse tipo de estratégia parece que ainda o aluno ainda não se apropriou desse novo conjunto; portanto, representa com o conhecimento anterior à nova situação.
Para exemplificar esta categoria, apresentamos a resolução de um aluno:
Não se preocupa com a divisão do desenho, repartindo as partes segundo o seu critério aleatório (Ícone)
O tipo de categoria determinada ícone compreende a estratégia utilizada pelo aluno, quando ele despreza o desenho, divide e distribui de acordo com seu critério. Não se preocupa se o todo está dividido de forma correta, ou mesmo, se o todo dividido condiz com o total de partes enunciadas na fração.
Para exemplificar esta categoria apresentamos o protocolo do aluno.
FIGURA 5.14 - Resolução do aluno A2 Ge2 (OM+Qu) no pós-teste
Incompreensível (Incomp)
Esse tipo de categoria foi criada exclusivamente, quando ao analisar a resposta dada pelo aluno, não conseguimos definir, o que ele mesmo escreveu ao responder os testes-diagnóstico.
Para exemplificar, esta categoria destacamos o protocolo do aluno:
Definidas as categorias de análise, a seguir, apresentamos, um panorama geral da 2ª etapa da análise.
Embora tenhamos ciência de que existem casos em que há vários tipos de erros na resolução de uma única questão, fizemos um panorama geral dos principais erros encontrados nos testes-diagnóstico e em quais grupos eles se destacaram.
Apresentamos a seguir a incidência da utilização de cada categoria – Relação Parte-parte, Inversão do numerador com o denominador, Quociente remete ao Parte-todo, Operador Multiplicativo remete para o Parte-todo, Utilização dos dados do problema, Utilização de operações, Utilização da fração como número natural, Incompreensível – nas resoluções apresentadas por cada subgrupo. Momento em que destacamos a quantidade de respostas incorretas em cada uma das categorias em relação aos grupos e, também, apresentamos um gráfico com a finalidade de mostrar qual o comportamento dos grupos em relação aos erros.
Iniciaremos mostrando o Gráfico
GRÁFICO 5.1 - Erros cometidos pelos subgrupos do GE nos testes-diagnósticos
80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210
Pré-teste Intermediário Pós-teste
T o ta l d e er ro s
GE1 (PT+M e) GE2 (OM +Qu) GE3 (M e+PT) GE4 (Qu+OM )
Em relação ao Gráfico 5.1, inferimos que, em geral todos os grupos diminui suas quantidades de erros. Alguns grupos reduzem mais seus erros, como é caso do GE2 (OM+Qu), e outros diminuem menos, como é o caso do GE1 (PT+Me).
Nesse sentido temos Vergnaud, (1996), onde afirma que a construção do conhecimento pelo aprendiz não é um processo linear. Ao contrário, é complexo, tortuoso, demorado com avanços e retrocessos, continuidades e rupturas.
É provável que tentamos montar uma seqüência que propiciasse a aprendizagem dos alunos trabalhando o significado da fração proposta por Nunes et al. (2003), porém estamos cientes de que cada aluno tem seu tempo, e a construção e a apropriação de um conceito são processos lentos que exigem fôlego que estendem- se aos longos dos anos.
A seguir, como foi dito, passamos a comentar os tipos de erro dos alunos.
TABELA 5.4 - Tipos de erros dos subgrupos do GE nos testes-diagnóstico
Com base nos dados da Tabela acima, podemos inferir que das nove categorias elaboradas para enquadrar as estratégias dos erros dos alunos
tivemos uma incidência maior em quatro categorias (parte-parte, inversão do
denominador pelo numerador, utilização dos números naturais e
incompreensíveis).
Assim, iremos dar uma atenção especial voltada a estas quatro categorias, isto não quer dizer que outros erros não são importantes, pois este não é o intuito de nossa análise, pelo contrário, nesse momento vamos tentar buscar porque alguns erros continuaram e, até mesmo, aumentaram após nossa intervenção.
A tabela evidencia que, no geral em termos absolutos todos os erros sofreram uma queda; porém, alguns continuaram persistentes (parte-parte, inversão do denominador pelo numerador, quociente remete a parte todo, operador multiplicativo remete a parte todo, representação dos dados, faz contas e ícone). É provável que esta persistência aconteça pelo fato de alguns erros diminuírem mais rápido do que outros. Por outro lado, outros praticamente desapareceram após as intervenções (utilização dos números naturais e Incompreensíveis).
Abaixo apresentamos um Gráfico com os quatro erros que mais chamaram atenção.
GRÁFICO 5.2 - Gráfico com os quatro tipos de erros nos testes-diagnóstico
0 50 100 150 200 250
Pré-teste Intermediário Pós-teste
C o m p ar at iv o d as c at eg o ri as P-P D/N Nº natural Incomp
No Gráfico 5, observamos que existe uma tendência, em todos os grupos, em empregar a categorias parte-parte, como estratégia de resolução. Quando as
crianças não sabem fração no pré-teste, está incidência é maior, tendo uma incidência pouco menor no teste intermediário e continuando no pós-teste.
Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005); em seus estudos, também observaram esse tipo de erro nas questões, envolvendo o significado parte-todo e medida, tanto em quantidade discreta com representação icônica versus não icônica, com quantidade contínua com representação icônica versus não icônica. Segundo os autores, os alunos procederam a contagem da parte destacada e, em seguida, realizaram a contagem das demais partes, esquecendo sempre de relacionar o todo.
De modo similar, Canova (2006), em seus estudos com professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Fundamental, observou esse tipo de erro nas situações envolvendo o significado parte-todo e medida.
Outro tipo de erro que foi bastante freqüente observando o Gráfico 5. é a inversão do numerador com o denominador. Este erro nos chamou bastante atenção, pois, comparando de onde as crianças partem (pré-teste) e chegam ao pós-teste, observamos quase uma estagnação. O que nos levar a supor que as crianças possam estar entendendo a fração, porém não se apropriam da escrita formal.
Esses resultados permitem conjeturar duas possibilidades que possam ter levado as crianças a praticar esse tipo de erro. A primeira, diz respeito à questão 12 dos testes-diagnósticos, pois nesta questão, temos o numerador maior o que denominador, o que não foi trabalhado durante nossas intervenções. A segunda possibilidade, refere-se às situações problema nos quais os alunos utilizaram-se do enunciado do problema como mostram os protocolos dos alunos abaixo:
Esse tipo de erro é comum entre as crianças, conforme apresentou os resultados de Bezerra (2001); Merlini (2005); Moutinho (2005) e Canova (2006) já citados neste trabalho.
Seguindo essa linha de raciocínio, encontramos uma valiosa contribuição em D’Ambrósio (1989) que mostra nos resultados de sua pesquisa algumas dificuldades dos alunos ao trabalharem com o conceito de fração. Uma dessas dificuldades citada é a confusão que os alunos fazem entre numerador e o denominador (ora o numerador era o número total de partes, ora o número de elementos).
Por outro lado, o erro que denominamos de número natural, aparece no pré-teste em patamares altos (140 em termos absolutos, segundo maior erro), porém, após a primeira intervenção, ou seja, no teste intermediário, ele aparece duas vezes menor (70 em termos absolutos). Já no pós-teste, este tipo de erro aparece em patamar bem mais baixo (11 termos absolutos). O que é razoável supor que há fortes indícios que os alunos já comecem a entender o significado desse novo campo numérico, aumentando seu Campo Conceitual.
Abaixo, apresentamos o protocolo de evolução de um mesmo aluno do subgrupo GE3 (ME+PT).
Segundo Magina et al. (2001) a formação do conceito pela criança pode ser observada por meio de suas estratégias de ação ao resolver um problema, isto é pelos invariantes que a criança reconhece na situação (muitas vezes implícitos, como no caso dos teoremas-em-ação, na estratégia). Além da estratégia de ação, pode-se ainda observar as expressões utilizadas pela criança durante a resolução de um problema, isto é, a simbologia que ela usa para representar a situação e sua ação na mesma.
Nesse sentido, concordamos com Magina et al. (2001), pois foi por meio das estratégias que os alunos utilizaram que conseguimos analisar seu crescimento. Crescimento esse que é de suma importância a seu campo conceitual.
Constatamos, ainda, em relação aos dados da Tabela 5.4 que a categoria inconsistente, teve patamares diferenciados em relação ao pré-teste e pós-teste. Este tipo de categoria começa com 8,5% e, ao final dos testes, atingiu 2,2% dos erros, o que significa uma diferença de 6,3 pontos porcentuais, mostrando que os alunos, após passarem pelas intervenções, tentam expandir o seu Campo Conceitual. Abaixo mostraremos um protocolo mostrando a evolução de um mesmo aluno após a intervenção.
Apesar da estratégia parte-parte ter sido muito utilizada, é razoável supor que não houve muita regularidade nas principais estratégias de resolução encontradas nas respostas dos alunos de nossa amostra, visto que, para uma mesma questão encontramos diferentes estratégias de resolução utilizadas pelos os alunos.
Acreditamos agora que temos dados suficientes para responder nossa questão de pesquisa, passaremos ao próximo capítulo, no qual apresentaremos as conclusões do estudo.
CAPÍTULO VI
CONSIDERAÇÕES FINAIS
6.1 INTRODUÇÃO
A presente dissertação teve por objetivo realizar um estudo intervencionista para introdução do conceito de fração com alunos da 2ª série do Ensino Fundamental. Esses alunos, advindos de duas turmas de uma escola pública estadual da região de Santo André, compuseram dois grupos, sendo que um dos grupos passou por uma intervenção planejada de ensino sobre o tema fração – Grupo Experimental (GE) – e o outro Grupo não passou por qualquer intervenção sobre o tema e por isso o chamamos de Grupo Controle (GC). Ambos os grupos nunca tiveram contato, do ponto de vista formal da escola, com o objeto fração.
O estudo utilizou a classificação teórica proposta por Nunes et al. (2003) que discute a fração, contemplando cinco significados: Parte-todo, Quociente, Operador Multiplicativo, Medida e Número. Este último significado (número) não foi abordado em nosso estudo, uma vez que para isso seria necessário que os alunos tivessem algum conhecimento sobre outros conjuntos numéricos.
Para alcançarmos o objetivo do estudo, traçamos um planejamento científico, o qual envolveu algumas etapas. A primeira delas, foi justificar o interesse e a importância de realizarmos tal investigação e, em seguida, apresentamos a problemática para, então, colocarmos, explicitamente, a questão de pesquisa (Capítulo I). Em seguida, realizamos inúmeras leituras para definição do suporte teórico que seria usado na construção e análise da pesquisa. Encontramos na Teoria dos Campos Conceituais e nas idéias teóricas de Nunes
et al. (2003) tais subsídios e esses construtos teóricos foram apresentados e discutidos no capítulo II. A Teoria dos Campos Conceituais foi muito importante para subsidiar nossa visão sobre a formação do conceito, principalmente, no que ela destaca quanto à essencialidade da resolução de problemas para surgimento do conhecimento, a grande ênfase nas situações em que esses problemas estão inseridos e as estratégias (implícitas e explícitas) que os alunos usam para resolvê-los. Já Nunes nos ofereceu subsídios para classificar os significados da fração.
Complementando a parte teórica de nosso estudo, procedemos com uma revisão bibliográfica das pesquisas correlatas à nossa, realizadas no Brasil e no mundo (capítulo III). Iniciamos a revisão a partir das pesquisas realizadas no âmbito do projeto desenvolvido dentro do programa de cooperação entre a Oxford University – sob a coordenação de Terezinha Nunes – e o Programa de Educação Matemática da PUC-SP, coordenado pelas Professoras Doutoras Tânia Campos
e Sandra Magina, intitulado “A formação, desenvolvimento e ensino do conceito
de fração”, que investigaram o objeto fração”.
Apoiando-nos nas idéias teóricas, bem como nas leituras das pesquisas relacionadas ao estudo, definimos e construímos a metodologia de nossa pesquisa, a qual se tratou de um estudo quase experimental, composto por duas
etapas: a primeira, denominada etapa Į, constitui na aplicação dos testes-
diagnóstico (pré, intermediário e pós-testes), pelos quais passaram os dois
grupos, GC e GE. A segunda, etapa ȕ, voltou-se à fase de intervenção, momento
em que ensinamos aos alunos do GE a fração, tendo em conta os quatro significados discutidos (Capítulo IV).
O passo seguinte à realização do estudo foi proceder com a análise dos dados delineada em dois momentos: primeiro em relação ao aspecto quantitativo, em que buscamos relacionar os percentuais de acertos, com ajuda do pacote estatístico SPSS (Statistical Package for Social Sciene). O segundo momento, referiu-se à análise dos dados do ponto de vista qualitativo, visando a identificar os tipos de erros cometidos pelos alunos, bem como analisar suas estratégias na resolução (Capítulo V). Para tanto, apresentaremos, na próxima seção (6.2), uma síntese desses resultados para, em seguida, retomarmos à questão de pesquisa
com o intuito de respondê-la (seção 6.3). Finalizando nosso estudo, apresentaremos algumas sugestões para futuras pesquisas (seção 6.4).