Frações e seus cinco diferentes significados

Uma situação dada ou um simbolismo particular não evoca em um indivíduo todos os esquemas disponíveis, isto é, quando se diz que uma palavra tem determinado significado, estamos recorrendo a um subconjunto de esquemas e, dessa forma, operando uma restrição ao conjunto dos esquemas possíveis. Para ilustrar o que acabamos de discutir, tomemos, como exemplo, o significante

4

1 . O significado desse símbolo dependerá dos esquemas que o sujeito possui para dar significado a essa representação.

O sujeito poderá dar como significado à fração 4

1 , uma relação parte-todo, ou seja, uma pizza dividida em quatro partes iguais, sendo uma parte tomada, isto é,

41 significando o quociente da divisão entre duas variáveis. Poder-se-ia

interpretar, ainda, a fração

41 , como um número na reta numérica, ou seja, 0,25;

como operador, 4

1 de litro de leite, ou seja, 250 ml de leite e, finalmente, a interpretação de

41 como sendo medida, isto é, a chance de se tirar uma bola azul

em uma caixa que tenha uma bola azul e três bolas vermelhas.

Diante do exposto, acreditamos que o conceito de fração poderá ser construído se contemplado um conjunto de situações, explorando seus diferentes significados, dentro de um contexto de quantidades contínuas e discretas.

Entendemos por quantidades contínuas aquelas que são passíveis de serem divididas de modo exaustivo, sem que, necessariamente percam suas características. Por exemplo, uma pizza pode ser dividida em inúmeras partes sem deixar de ser pizza.

Por outro lado, quantidades discretas dizem respeito a um conjunto de objetos idênticos, que representa um único todo e o resultado da divisão deve produzir subconjuntos com o mesmo número de unidades. É o que encontramos,

por exemplo, em uma situação em que temos de dividir cinco bolinhas para três crianças.

No que diz respeito à representação icônica, entendemos por icônica a situação-problema que possui o desenho ou figuras e não icônica que não possui desenhos ou figuras.

A seguir os parágrafos pretendem apresentar detalhadamente cada um dos significados propostos por Nunes et al. (2003). Cabe ressaltar que, em nosso estudo abarcaremos somente quatro dos cinco significados parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.

x Fração como Parte-todo

A idéia presente neste significado é a da partição de um todo (contínuo ou

discreto) em n partes iguais, em que cada parte pode ser representada como n1 .

Assim, assumiremos como o significado parte-todo, um dado todo dividido em partes iguais em situações estáticas, na qual a utilização de um procedimento de dupla contagem é suficiente para se chegar a uma representação correta.

Por exemplo: 1- Uma barra de chocolate foi dividida em três partes iguais. Carlos comeu duas dessas partes. Que fração representa o que Carlos comeu?

A situação refere-se ao significado parte-todo contínuo, com ícone. O aluno frente a esta situação deverá identificar que o todo foi dividido em 3 partes iguais, portanto, trata-se de uma comparação parte-todo (significado); bem como identificar que o número total de partes que foi dividido é o denominador e as partes que Carlos comeu representa o numerador, escrevendo a fração

3 2 .

Exemplo 2- Em uma loja de presentes, tem 2 bonés azuis e 1 boné branco, todos do mesmo tamanho. Que fração representa a quantidade de boné branco

Para resolver esta situação, que envolve o significado parte-todo contínuo, sem ícone, o sujeito deverá identificar qual o total de bonés referindo-se ao denominador e quantos são os bonés brancos em relação ao total de bonés correspondendo ao numerador, assim, terá a fração

31 .

x Fração como Quociente

Este significado está presente em situações em que está envolvida a idéia de divisão, por exemplo, uma torta a ser repartida igualmente entre 5 crianças. Nas situações de quociente temos duas variáveis (por exemplo, número de tortas e número de crianças), sendo que uma corresponde ao numerador e a outra ao denominador – no caso,

51 . A fração, nesse caso, corresponde à divisão (1

dividido por 5) e também ao resultado da divisão (cada criança recebe 51 ).

Exemplo: 1- Na mesa do restaurante existem 5 crianças. A garçonete

serviu 3 tortas para dividir igualmente entre elas. Qual a fração que cada criança

irá receber?

Esta situação-problema envolve o significado quociente contínuo com ícone, o sujeito frente a esta situação deverá perceber que a divisão é uma boa estratégia para resolvê-la. Temos duas variáveis, uma que corresponde ao numerador, no caso as tortas e outra, ao denominador, no caso, as crianças. Teremos, então, a fração

5 3 .

Exemplo: 2- Foram divididas igualmente 8 bolas de futebol de mesmo tamanho para 4 crianças. Quantas bolas de futebol cada criança ganhará? Que fração representa essa divisão?

Esta situação-problema envolve o significado quociente discreto sem ícone. Para que possamos exemplificar a quantidade discreta no significado

quociente, temos de nos reportar às frações chamadas aparentes, ou seja,

frações que representam números inteiros, por exemplo: 2 2 ,

36 , 28 ,.... No caso da última situação apresentada à fração são

4

8 , ou seja, cada criança recebera 2 bolas de futebol.

A quantidade discreta exige que o numerador (bolas de futebol) seja divisível pelo numerador (crianças).

Este significado pressupõe, ainda, extrapolar as idéias presentes no significado parte-todo, pois na situação de quociente temos duas grandezas distintas: no exemplo, tortas e crianças; no exemplo 2 bolas de futebol e crianças.

x Significado Medida

Algumas medidas envolvem fração por se referirem à quantidade extensiva, nas quais a quantidade refere-se à relação entre duas variáveis de valor discreto. Por exemplo, a probabilidade de um evento é medida pelo quociente – número de casos favoráveis, dividido pelo número de casos possíveis. Portanto, a probabilidade de um evento varia de 0 a 1, e a maioria dos valores com os quais se trabalhou é fracionário.

Exemplo: 1- Na escola de Paulo, foi feito um sorteio com 8 bilhetes para um passeio. Paulo tinha comprado 4 desses 8 bilhetes. Qual a chance de Paulo ser sorteado?

Esta situação envolve o significado medida, discreto sem ícone. A possibilidade de Paulo ganhar o sorteio é expressa por uma medida (significado) obtida pelo quociente entre, o número de bilhetes comprados por Paulo e o número total de bilhetes do sorteio, ou seja, pela fração

8 4 .

Outras medidas envolvem frações por se referirem a quantidades intensivas.

Exemplo: 2- Para fazer uma certa quantidade de suco de uva são necessárias 2 medidas de água para 1 medida de concentrado de suco de uva. Que fração representa a medida de concentrado de uva em relação ao total de suco?

Esta situação refere-se ao significado medida com quantidades intensivas, com ícone. A receita é medida pela razão 1 para 2 que pode ser representada, como sendo

2

1 (relação parte-parte). Com esta medida podemos fazer, indefinidamente, diversas quantidades de suco de uva, mantendo o mesmo sabor; além disso, esta quantidade poderá nos remeter à idéia de fração, considerando- se que o todo (a mistura) é constituído de 3 partes,

31 é a fração que corresponde

a medida de concentrado de uva na mistura e,

32 é a fração que corresponde a

medida de água na mistura.

x Situação Operador Multiplicativo

Associou-se a esse significado o papel de transformação, isto é, a representação de uma ação que se deve imprimir sobre um número ou uma quantidade, transformando seu valor nesse processo. Conceber a fração, como um operador multiplicativo, é admitir que a fração

b

a funciona em quantidades contínuas, como uma máquina que reduz ou amplia essa quantidade no processo, enquanto em quantidades discretas sua aplicação atua como um multiplicador divisor.

Exemplo: 1- Um estojo contém 20 lápis coloridos. Marina deu 4

3 dos lápis para sua amiga. Quantas lápis Marina deu?

Nesta situação, o sujeito deverá perceber que a fração desempenha o papel de transformação, ou seja, deve-se multiplicar 20 por 3 e dividir o total por 4 ou dividir 20 por 4 e multiplicar o total por 3. Ao mesmo tempo que a fração desempenha um papel de transformação, também, conduz a idéia de que os números racionais formam um corpo munido de duas operações; a adição e multiplicação.

A explicação dada acima (quantidade discreta) se estende para exemplificar as situações com quantidades contínua desse mesmo significado (operador multiplicativo).

Exemplo: 2- Felipe ganhou uma barra de chocolate e comeu 4

3 . Pinte a

quantidade de chocolate que Felipe comeu?

O sujeito tem de perceber que a fração que Felipe comeu se refere a uma quantidade, ou seja,

4

3 de 1.

x Significado Número

Assim como o número inteiro, a fração nesse significado é representada por pontos na reta numérica. Os números não precisam necessariamente referir- se a quantidades específicas (discretas).

Existem duas formas de representação fracionária, ordinária e decimal. Exemplo 1: Represente na reta numérica a fração

32.

O sujeito frente a essa situação deverá reconhecer a fração, como um número (significado) e não uma superposição de dois números naturais. Dever- se-á perceber, ainda, que todo número tem um ponto correspondente na reta numérica e que sua localização depende do princípio de ordenação (invariante),

isto é,

32 é um número compreendido entre 0 e 1. Mesmo considerando esse

intervalo, há necessidade de que o sujeito compreenda que à direita e à esquerda de

3

2 existem ainda infinitos números. Terá ainda que admitir a existência de duas formas de representação fracionária, a ordinária e a decimal.

Desta forma, como já foi dito, assumiremos em nosso estudo os significados das frações propostos por Nunes et al. (2005), pois acreditamos, assim como Vergnaud que a aprendizagem de um conceito se dá por dentro de situações ou conjuntos de situações.

CAPÍTULO III

REVISÃO DA LITERATURA

3.1 INTRODUÇÃO

O presente capítulo pretende trazer idéias de autores que elaboraram pesquisas científicas sobre os números racionais no âmbito do campo de estudos da Educação Matemática.

Para tanto apresentamos o capítulo dividido em duas seções: A primeira, inicia-se com os trabalhos de mestrado que foram estudos diagnósticos, nos quais se inclui este com o objetivo de estender esses diagnósticos, partindo agora para a realização de uma intervenção de ensino, observando os efeitos de se trabalhar com quatro dos cinco significados propostos por Nunes et al. (2003), a saber: parte-todo, operador multiplicativo, medida e quociente.

A segunda, apresenta algumas pesquisas, que investigaram o ensino e aprendizagem do conceito da fração e que muito contribuíram para nosso estudo.