4.4 MATERIAL
4.4.1 Materiais da Etapa D: Os Instrumentos Diagnósticos
Os instrumentos-diagnóstico7 constituíram-se em pré-teste, intermediário e pós-teste; todos preservaram a mesma equivalência Matemática, tanto no que se refere aos contextos quanto às que se refere às questões.
Estes instrumentos foram compostos por 28 situações-problema, apresentadas em forma de livrinho com oito páginas, sendo a primeira dedicada à identificação do sujeito (nome, idade e série) e as páginas restantes as 28 situações-problema, envolvendo os quatro significados de fração (parte-todo, operador multiplicativo, quociente e medida).
As variáveis de quantidade (contínua e discreta) e de representação (icônica e não icônica foram consideradas e controladas. Para cada significado, trabalhamos com oito situações-problema, sendo que quatro delas envolveram variáveis contínuas e as outras quatro variáveis discretas (com exceção do significado quociente, pois não conseguimos encontrar situações que envolvessem quantidade discreta dentro desse significado, a não ser que saíssemos do campo dos racionais).
Da mesma forma, havia quatro situações-problema que continham ícones e outras quatro que não continham ícones. Optamos por trabalhar dessa maneira para investigar se a presença do ícone contribui ou não na resolução das situações envolvidas nos instrumentos-diagnóstico.
Abaixo mostraremos uma tabela com o número das questões, de acordo com o significado e o tipo de variáveis envolvida, ou seja, discreta ou contínua, icônica ou não icônica.
7 Para melhor visualização do layout da folha ver o Anexo 1 testes diagnósticos (pré, intermediário e pós-
QUADRO 4.2 - Distribuição das questões segundo o significado e as variáveis investigadas no
estudo.
Contínuo Discreto
não icônico não icônico
Parte-todo Q1 e Q3 Q2 e Q8 Q5 e Q4 Q6 e Q7 Quociente Q9 e Q10 Q11 e Q12 Operador multiplicativo Q17 e Q18 Q19 e Q20 Q14 e Q15 Q13 e Q16 Medida Q25 e Q27 Q26 e Q28 Q21 e Q23 Q22 e Q24 Var. Sig. Contínuo icônico Discreto icônico
Todas as frações utilizadas nos instrumentos-diagnóstico foram chamadas de frações próprias, aquelas em que o numerador é menor que o denominador. Esta escolha baseia-se na hipótese de que a como os sujeitos investigados nunca tiveram nenhum contato do ponto de vista formal da escola com fração, talvez, o fato de utilizar apenas um tipo de fração, representando quantidades menores que um facilitasse seu entendimento.
Necessário se faz dizer que a questão 12 do nosso instrumento-diagnóstico apresenta uma fração imprópria.Isto ocorreu em razão de um erro de digitação que somente foi percebido, após a aplicação do pré-teste. Como os testes- diagnóstico mantiveram a mesma equivalência matemática de contexto e questões, decidimos por manter a questão e dar uma atenção especial em nossa análise, verificando assim o fator ordem e equivalência proposto no estudo de Nunes et al. (2003) no que se refere às frações.
No que diz respeito as frações dos testes diagnósticos usamos as seguintes frações: 2 1 , 3 1 , 41 , 32 , 42 , 82 , 43 , 3 ,5 63 , 64 , 84 , 86 , 48 .
A seguir, apresentaremos, a descrição pormenorizada de cada uma das questões desenvolvidas nos testes, como uma análise das mesmas.
Questão 1
PEDRO E PAULO COMPRARAM UMA PIZZA PARA DIVIDIR IGUALMENTE ENTRE ELES.
PINTE DE AZUL A PARTE QUE PEDRO COMEU E DE VERMELHO A PARTE QUE PAULO COMEU
UTILIZANDO NÚMEROS, ESCREVA QUAL A FRAÇÃO DA PIZZA QUE CADA UM COMeu. Resposta
Esta questão aborda o significado parte-todo com quantidade contínua e apresenta ícone para retratar a situação. O significado parte-todo é, geralmente, o mais abordado nos livros didáticos para se introduzir o conceito de fração. Para obter a resposta, o aluno pode utilizar o processo de dupla contagem, sendo a quantidade de pizzas dividida o denominador e a parte que Pedro comeu, o numerador. O ícone, pode ser um fator facilitador, pois ele retrata a situação. Nesse caso, a criança pode fazer a divisão no próprio desenho da pizza.
Nesta questão, é possível encontrarmos as seguintes respostas: x
2
1 dividida em 2 partes e comeu uma parte, indicando o estabelecimento da relação parte-parte.
x 1
2 O aluno poderia ainda ter pensado de maneira correta, mas inverteu o numerador com o denominador.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva
2 1
pizza ou, simplesmente, 2
1 , ou ainda, “meio”. Não será considerada, como resposta correta aquela em que o aluno simplesmente passar um traço na metade do ícone constante na questão.
Geralmente, este significado é utilizado para introduzir o conceito de fração e como é facilmente encontrado em livros didáticos, acreditamos que haja fortes razões para se afirmar que os alunos não terão problemas resolver para essa questão. Espera-se um grande número de acertos na questão.
Questão 2
ANTES QUE COMEÇASSEM A COMER CHEGARAM DOIS AMIGOS DO PAULO E DO PEDRO. A PIZZA FOI ENTÃO OUTRA VEZ REPARTIDA IGUALMENTE ENTRE OS QUATRO AMIGOS.
NESTE CASO QUE PARTE DA PIZZA CADA UM IRÁ COMER? DESENHE ESTA SITUAÇÃO E
ESCREVA A FRAÇÃO QUE CADA UM DOS MENINOS IRÁ COMER.
Resposta
A questão refere-se ao significado Parte-todo com quantidade contínua, e não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno consegue, apoiada na descrição de um problema, sem ausência de figuras, identificar o todo, as partes e, por fim, representar uma fração que exprima a situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
x
4
1 indicando a obtenção correta das partes e do todo, mostrando que o aluno pode ter se utilizado de dupla contagem, o que caracteriza o significado parte-todo.
x
1
4 o aluno poderia ainda ter pensado de maneira correta, mas inverteu o numerador com o denominador.
x
31 o aluno ao responder dessa maneira poderia estar indicando o
Consideraremos como resposta correta, aquela que o aluno escreva 41 de “pizza”. Não será considerada como resposta correta aquela que o aluno simplesmente passe um traço na metade do ícone constante na questão.
Como na primeira questão, acreditamos que os alunos não terão dificuldade em resolver a questão, pois refere-se ao significado parte-todo, e está bem explicitado no texto: quem é o todo que foi dividido e qual número de partes tomadas .
Questão 3
CARLOS GANHOU UMA BARRA DE CHOCOLATE. ELE CORTOU EM 6 PEDAÇOS IGUAIS E COMEU 4 PEDAÇOS. PINTE OS PEDAÇOS QUE ELE COMEU E ESCREVA A FRAÇÃO.
Resposta
Esta questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade contínua, e utiliza ícone para retratar a situação e tem por objetivo verificar se o aluno consegue identificar o todo, as partes e, por fim, representar uma fração que exprima a situação.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x
6
4 indicando que o aluno utilizou de relações parte-todo.
x
32 , o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os
elementos do conjunto
x
4 6 ou
2
3 para essas representações, o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
x
4
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva,
6 4
ou 3
2 . Não será considerada como resposta correta aquela em que o aluno apenas pintar o ícone ele deverá também escrever a fração.
Nesta questão, nossa expectativa é que os alunos não apresentem muita dificuldade e tenham uma grande quantidade de acertos, visto que o ícone é um fator facilitador.
Questão 4
NUMA LOJA DE PRESENTES TEM 2 BONÉS AZUIS E 1 BONÉ BRANCO, TODOS DO MESMO TAMANHO. VOCÊ PODE ESCREVER UTILIZANDO NÚMEROS A FRAÇÃO QUE REPRESENTA A
QUANTIDADE DE BONÉ BRANCO EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BONÉS?
Resposta
Esta questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade discreta e utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica o todo e utiliza a dupla contagem para representar a situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
x
31 indicando que o aluno utilizou a dupla contagem, o que caracteriza o
significado parte-todo.
x
1
3 para essas representação, o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador
x
2
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva a fração
31 .
Nossa previsão é que também os alunos não apresentem dificuldades nesta questão, visto que o ícone pode ser um fator facilitador, pois retrata de maneira clara a situação.
Questão 5
NO RETÂNGULO ABAIXO, LAÍS PINTOU DUAS CARETINHAS. VOCÊ PODE REPRESENTAR NUMERICAMENTE, EM FORMA DE FRAÇÃO, ESSAS CARETINHAS PINTADAS EM RELAÇÃO À QUANTIDADE TOTAL DE CARETINHAS?
Resposta
A questão enfatiza o significado parte-todo com quantidade discreta e utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica o todo e utiliza a dupla contagem para representar a situação.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
x
4
2 indicando que o aluno está usando a relação parte-todo.
x
2
1 o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os elementos do conjunto.
x
2 4 ou
1
2 para estas representações, o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva, a fração
4
2 ou a fração equivalente 2 1 .
Como na primeira questão, acreditamos que os alunos não terão dificuldade nessa questão, visto que o ícone pode ser um fator facilitador, pois retrata de maneira clara a situação.
Questão 6
NUMA LOJA DE BRINQUEDOS HAVIA 5 BONECAS IGUAIS. SARA COMPROU 3 DESSAS BONECAS PARA PRESENTEAR SUAS SOBRINHAS. QUE FRAÇÃO REPRESENTA AS BONECAS QUE SARA
COMPROU EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BONECAS DA LOJA?
Resposta
Desenho
A questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade discreta e não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica o todo e as partes com base na interpretação de um texto, em que o todo deve ser considerado, como um conjunto de objetos e a parte, um de seus subconjuntos.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x
5
3 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza situação parte-todo.
x
32 ou 23 indicando que o aluno está fazendo a relação parte-parte, ou seja, o aluno indica 2 bonecas que sobraram na loja de brinquedo para 3 que Sara comprou ou 3 bonecas que Maria comprou para 2 que restaram na loja .
x
3
5 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 5 3 .
Nossa previsão é que o aluno encontre um pouco mais de dificuldade nesta questão, pelo fato de não apresentar ícone. O aluno terá de imaginar a situação, com base na hipótese que as quantidades discretas não são muito utilizadas no livros didáticos conforme mostram as pesquisa de Merline (2005) e Moutinho (2005).
Questão 7
DAS8 XÍCARAS DE UM CONJUNTO DE CHÁ, 2 ESTÃO QUEBRADAS. VOCÊ PODE ESCREVER A
FRAÇÃO QUE INDICA A QUANTIDADE DE XÍCARAS QUEBRADAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE
XÍCARAS?
Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade discreta e não utiliza ícone para retratar a situação, tem o mesmo objetivo da questão anterior, verificar se o aluno identifica o todo e as partes a partir da interpretação de um texto, em que o todo deve ser considerado como um conjunto de objetos e a parte, um de seus subconjuntos.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
x
82 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza
situação Parte-todo
x
4
1 o aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência entre os elementos do conjunto.
x
2 8 ou
1
4 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
x
86 ou 68 o aluno está indicando que respondeu de maneira equivocada,
ou seja, 6 xícaras que restaram do conjunto que não estão quebradas para 8 que é o total, utilizando a dupla contagem o que também caracteriza o significado parte-todo, ou inverter o numerador com o denominador na mesma situação.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 8 2
ou 4
1 das xícaras.
Nossa previsão para esta questão é a mesma que a anterior, que o aluno encontre um pouco mais de dificuldade, pelo fato de não apresentar ícone, e o aluno ter de imaginar a situação. Partindo, também, da hipótese que as quantidades discretas não são muito utilizadas nos livros didáticos.
Questão 8
NANÁ GANHOU UMA BARRA DE CHOCOLATE, PARTIU EM 3 PARTES IGUAIS E DEU 2 PARTES PARA SUA AMIGA LUANA. VOCÊ PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO REPRESENTA A PARTE QUE
LUANA RECEBEU EM RELAÇÃO AO TOTAL DO CHOCOLATE?
Resposta
Desenho
Esta questão refere-se ao significado parte-todo com quantidade contínua e não utiliza ícone para retratar a situação, tem por objetivo verificar se o aluno identifica o todo e as partes a partir da interpretação de um texto, utilizando-se de dupla contagem.
Na questão, esperamos as seguintes respostas:
x
32 indicando que o aluno está usando a dupla contagem, o que enfatiza
x
2
3 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador
x
31 o aluno demonstra que respondeu de maneira equivocada,
relacionando o todo e o que sobrou.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 3 2 . Não será considerada como resposta correta aquela em que o aluno escrever
3 1 , pois o tipo de resposta demonstra a sobra do todo.
Nossa expectativa é que o aluno não tenha dificuldade nesta questão, visto que, para obter a resposta, ele poderá utilizar o procedimento de dupla contagem, a quantidade de partes do chocolate que foi dividida, como sendo o denominador e o total de partes que Luana recebeu, representar o numerador. Ainda partindo da hipótese que quantidades contínuas são muito abordada pelos livros didáticos, conforme pesquisas já citadas .
Questão 9
NA MESA DO RESTAURANTE TEM 5 CRIANÇAS. A GARÇONETE SERVIU 3 TORTAS PARA DIVIDIR IGUALMENTE ENTRE ELAS. QUAL A FRAÇÃO QUE CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
Resposta
Esta questão apresenta o significado quociente, com quantidade contínua, utilizando-se de ícone para representar a situação. O significado quociente está presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o
aluno consegue, utilizando-se de figuras, responder à questão, operando com grandezas contínuas.
Nesta questão, esperamos, as seguintes respostas:
x
5
3 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 3 chocolates para 5 crianças, o que retrata duas grandezas distintas (torta e crianças).
x
3
5 o aluno demonstra que pensou de maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
Consideramos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 5 3 da torta.
Nossa expectativa é que os alunos tenham um pouco mais de dificuldade nesta questão, embora seja comum as crianças vivenciarem situações que envolvam operação de divisão por partição, mesmo antes de entrar na escola. Questão 10
DIVIDA AS 2 BARRAS DE CHOCOLATE QUE ESTÃO DESENHADAS ABAIXO PARA 4 CRIANÇAS, DE TAL FORMA QUE TODAS GANHEM O MESMO TANTO. QUANTO DO CHOCOLATE CADA UMA IRÁ
RECEBER?
Resposta
A questão aborda o significado quociente, com quantidade contínua, utilizando-se de ícone para representar a situação. O significado quociente está presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é o mesmo da
questão anterior, verificar se o aluno consegue utilizando-se de figuras responder à questão, operando com grandezas contínuas.
Nesta questão, esperamos as seguintes respostas:
x
4
2 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 2 chocolates para 4 crianças, o que retrata duas grandezas distintas, (chocolate e crianças).
x
2
4 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
x
2
1 aluno pode ter utilizado uma relação de equivalência.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva 4 2 ou
2
1 da barra de chocolate e, também, que divida corretamente as barras, ou seja, utilizando-se do ícone.
Partimos da hipótese que a divisão por partição é dada, a partir das séries iniciais, porém o aluno poderá não fazer conexão entre fração e divisão na formalização da resposta. Acreditamos que os alunos também encontrarão dificuldade nesta questão, apesar do ícone ser um fator facilitador, conduzindo-o à resposta. Ressaltamos que isto pode ocorrer pelo fato do conceito de fração estar para o aluno, mais ligado ao significado parte-todo. (NUNES e BRYANT, 1997).
Questão 11
AGORA DIVIDA UMA BARRA DE CHOCOLATE PARA TRÊS CRIANÇAS E PINTE A PARTE QUE UMA DELAS IRÁ COMER.
Resposta
Esta questão aborda o significado quociente, com quantidade contínua, e não utiliza figuras para representar a situação. O significado quociente está presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o aluno consegue responder à questão, operando com grandezas contínuas, sem utilizar ícones.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x
31 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 1
chocolate para 3 crianças, o que retrata duas grandezas distintas, (chocolate e crianças).
x
1
3 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador.
x
3
2 o aluno demonstra que respondeu de maneira equivocada, relacionando o que sobrou do chocolate que foi dividido para 3 crianças. Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva
3 1 da barra ou, simplesmente, a que o aluno apenas pinte e divida o ícone corretamente. Não será considerada correta aquela que o aluno simplesmente passar traços no ícone constante na questão.
Como na questão anterior, acreditamos que o aluno poderá ter dificuldade para responder esta questão, e o outro fator que poderá tornar a questão mais complexa, é o fato de não aparecer o ícone, o aluno terá de imaginar e desenhar a situação.
Questão 12
LANA TEM 8 BARRAS DE CEREAIS. ELA VAI DIVIDIR IGUALMENTE PARA 4 CRIANÇAS. VOCÊ
PODE ESCREVER QUE FRAÇÃO CADA CRIANÇA IRÁ RECEBER?
Resposta
Esta questão aborda o significado quociente com quantidade contínua, e não utiliza ícones para representar a situação. O significado quociente está presente em situações de divisão, idéia de partição. O objetivo é verificar se o aluno encontra a solução, baseando-se na descrição do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x
4
8 indicando que o aluno está usando o significado quociente, ou seja, 8 barras de cereais para 4 crianças, o que retrata duas grandezas distintas, (cereais e crianças), caracterizando o significado quociente.
x
8
4 o aluno demonstra que pensou da maneira correta, mas inverte o numerador pelo denominador .
x
82 este tipo de resposta nos traz uma hipótese que o aluno possa ter utilizado do significado parte-todo, ou seja, cada criança receberá 2 pedaços dos 8 cereais.
x
2
8 o aluno poderá responder invertendo o numerador pelo denominador. Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva
4 8 , 2
4 ou 2 da barra de cereais.
Há fortes indícios que teremos nesta questão uma grande quantidade de acertos.
Questão 13
SILAS COMPROU 6 BALÕES. DESSES BALÕES
21 SÃO VERMELHOS. ESCREVA QUANTOS
BALÕES SÃO VERMELHOS.
Resposta
A questão envolve o significado operador multiplicativo, com quantidade discreta e não utiliza ícone para representar a situação. O objetivo da questão é que o aluno encontre a solução, baseando-se na descrição do problema.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x 3 indica que o aluno utilizou o significado operador.
x
2
1 , possivelmente, o aluno tenha utilizado apenas dados do enunciado.
x
6
3 o aluno utilizou da estratégia parte-todo, ou seja, 3 balões de um total de 6.
Consideraremos como resposta correta aquela em que o aluno escreva ou circule 3 dos balões.
Há grandes indícios que o aluno não terá dificuldade para responder esta questão, tendo uma grande quantidade de acertos.
Questão 14
CARLA GANHOU
6
4 DAS BOLAS ABAIXO. CIRCULE QUANTO ELA GANHOU.
Resposta
A questão enfatiza o significado operador Multiplicativo com quantidade discreta e apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é que o aluno represente a solução da situação, operando com o ícone.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
Consideraremos como resposta correta aquela em que aluno escreva ou circule as 4 bolas.
Há fortes indícios que o aluno não terá dificuldade em responder, pois a situação fornece de maneira explícita todos os elementos para resolução.
Questão 15
FÁBIO TINHA 6 BOLAS. ELE ORGANIZOU AS BOLAS EM DOIS GRUPOS. UM GRUPO ERA DE
BOLAS AZUIS E OUTRO DE BOLAS AMARELAS. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BOLAS
AMARELAS EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLAS?
Resposta
A questão enfatiza o significado operador multiplicativo com quantidade discreta e apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é que o aluno represente a solução da situação, operando com o ícone.
Nesta questão, é possível encontrar as seguintes respostas:
x
6
3 tudo indica que o aluno considerou o conjunto como sendo uma parte.
x
2
1 há claras evidências que o aluno se utilizou da estratégia operador multiplicativo, pois teríamos 1 que representa o grupo de bolas amarelas e 2 que representam o total de grupos.
x
6
2 indicam que o aluno utilizou do significado parte todo, ou seja, dois grupos de um total de 6 bolas.
Consideraremos como resposta correta, aquela em que o aluno escreva 6 3
ou
Nossa expectativa é que haja pouco erros nesta questão, pois o ícone será um fator facilitador.
Questão 16
AGORA FÁBIO TEM 8 BOLAS, ORGANIZADAS EM QUATRO GRUPOS. TRÊS GRUPOS SÃO DE BOLAS VERDES E UM DE BOLA AMARELA. QUAL A FRAÇÃO QUE REPRESENTA AS BOLAS
VERDES EM RELAÇÃO AO TOTAL DE BOLAS?
Resposta
Desenho
Esta questão enfatiza o significado operador multiplicativo com quantidade discreta e não apresenta ícone para retratar a situação. O objetivo da questão é que o aluno encontre a solução, baseando-se na descrição do problema.