PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
NOEMIA NAOMI SENZAKI
CONCEITOS DE ÁREA E DE PERÍMETRO: UM ESTUDO
METANALÍTICO
DOUTORADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO
2019
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC-SP
NOEMIA NAOMI SENZAKI
CONCEITOS DE ÁREA E DE PERÍMETRO:
Um estudo metanalítico
Tese apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de
Doutora em Educação Matemática, sob a
orientação do Professor Doutor Saddo Ag
Almouloud.
SÃO PAULO
2019
Banca Examinadora
_____________________________________ Prof. Dr Saddo Ag Almouloud
_____________________________________ Profª Drª Cileda de Queiroz e Silva Coutinho
_____________________________________ Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima
____________________________________ Prof. Dr. Luiz Marcio Santos Farias
_____________________________________ Profª Drª Marcia Maioli
O presente projeto adere-se ao projeto maior Processo de Ensino e Aprendizagem de Matemática em Ambientes Tecnológicos PEAMAT/DIMAT, aprovado pela FAPESP processo 2013/23228-7, desenvolvido em parceria entre a PUC-SP e a PUC-PERU, pelo grupo de pesquisa PEA-MAT.
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Tese por processos de foto copiadoras ou eletrônicos, desde que citada a fonte.
A meu pai, Hiroshi Senzaki (in memoriam), Ensinou-me a sobreviver. Meu amado filho Gustavo Senzaki Lucente,
O presente estudo foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior- Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Processo: 88887.149118/2017-00
This study was financed in part by the Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior- Brasil (CAPES) - Finance Code 001.
AGRADECIMENTOS
Manifesto minha eterna gratidão ao meu orientador Saddo Ag Almouloud, a quem admiro e estimo, pela sabedoria, paciência e confiança nas pessoas. Obrigada por acreditar em mim.
Meus respeitosos agradecimentos pela contribuição da banca do exame de qualificação e pela participação dos membros da banca examinadora da defesa. Meu imenso carinho e gratidão aos professores do programa, em particular, professoras Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Maria José Ferreira da Silva, Bárbara Lutaif Bianchini, Sonia Barbosa Camargo Igliori e o professor Fumikazu Saito, com vocês aprendi muito. Aos funcionários da PUC-SP, em especial a Suzanne.
Não deixo de agradecer o apoio da CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), que viabilizou a pesquisa financeiramente. Meu muito obrigado a todos que me encorajaram incondicionalmente, em especial as amigas Ana Maria Paias, Edvonete Souza Alencar e Maria Elizabeth Borges.
Agradeço aos Gestores da Escola Estadual Humberto de Souza Mello, que me apoiaram nesta trajetória.
Por fim, agradeço em especial minha família: a meu companheiro de estrada Reinaldo Lucente e aos meu filho Gustavo Senzaki Lucente e ao meu filho de coração Wesley Cunha de Jesus, que compartilham da minha alegria e foram grandes parceiros na minha ausência presente.
RESUMO
Neste estudo, realizamos uma metanálise com base em estudos acadêmicos do Brasil sobre os conceitos de área e perímetro. Procuramos responder a seguinte questão de pesquisa: Quais convergências e/ou divergências revelam
pesquisas acadêmicas brasileiras desenvolvidas entre 1996 e 2017, sobre os processos de ensino e aprendizagem dos objetos matemáticos Área e Perímetro? O objetivo de nossa investigação é explicar os diferentes aspectos
das pesquisas selecionadas, com vistas a analisar as questões investigadas, assim como, as convergências e divergências em relação às dificuldades relacionadas ao ensino e aprendizagem de conceitos de área e perímetro de figuras planas. Para alcançar esse objetivo, focamo-nos nas seguintes metas: Mapear as diferentes pesquisas evidenciando suas questões de pesquisa, seus objetivos, seus fundamentos teóricos e aspectos metodológicos; Evidenciar as possíveis dificuldades que são alguns das restrições para o ensino e aprendizagem dos conceitos de Área e Perímetro de figuras planas; Evidenciar as possíveis convergências e/ou divergências em relação aos problemas relacionados com os processos de ensino e de aprendizagem. Para atendermos aos objetivos específicos de nossa pesquisa, realizamos uma metanálise das pesquisas desenvolvidas em torno do ensino e aprendizagem de conceitos de Área e Perímetro de figuras planas realizadas no Brasil de 1996 a 2017. Em termos gerais, apoiamo-nos em Fiorentini e Lorenzato que caracterizam a metanálise com uma modalidade de pesquisa que objetiva desenvolver uma nova análise do conjunto de estudos já realizados, em torno de um tema ou problema de pesquisa, mas que comporta um número reduzido de pesquisas, no intuito de extrair, mediante contraste, outros resultados, outras sínteses, em relação às análises anteriormente obtidas. A metanálise foi realizada apoiando-se em 19 (dezenove) publicações acadêmicas, dentre elas três teapoiando-ses de doutorado e dezesseis dissertações acadêmicas, que abordaram os temas Área e Perímetro. Os resultados da pesquisa apontam pontos críticos identificados pelas pesquisas analisadas: A utilização dos termos área como medida de superfície e perímetro como a medida do comprimento, é bem frequente; assim como, o tratamento de outros conteúdos que estão relacionados com Área e Perímetro como: Potenciação, Cálculo Numérico, Cálculo Algébrico e o Teorema de Pitágoras, (aspecto numérico); A grandeza Área predomina nas atividades sobre frações de quantidade contínua; além disso, figuras geométricas como: retângulos, círculos e polígonos regulares na representação geométrica de frações, são frequentes; A não dissociação de Área e Perímetro é fonte de dificuldades na apropriação desses dois objetos matemáticos. As pesquisas voltadas para a formação de professor indicam que o trabalho realizado permitiu interações entre sujeitos e pesquisador que geraram aproximações e percepções sobre o ensino e aprendizagem de conceito de Área.
Palavras-chave: Área, Perímetro, Metanálise, Grandeza, Formação de
ABSTRACT
In this study, we conducted a meta-analysis based on the Brazilian academic studies on the concepts of area and perimeter. We seek to answer the following question of research: what convergences and/or divergences reveal Brazilian academic researchers developed between 1996 and 2017, about the teaching and learning processes of mathematical objects area and perimeter? The objective of our investigation is to explain the different aspects of the selected researches, with a view to analyzing the issues investigated, as well as the convergences and divergences in relation to the difficulties related to teaching and learning of Area and perimeter concepts of planar figures. To achieve this goal, we focus on the following goals: to map the different researches highlighting their research questions, their objectives, their theoretical foundations and methodological aspects; To highlight the possible difficulties that are some of the gargals for the teaching and learning of the concepts of area and perimeter of flat figures; Evidence of possible convergences and/or divergences in relation to the problems related to the teaching and learning processes. In order to meet the specific objectives of our research, we conducted a meta-analysis of the researches developed around the teaching and learning of concepts of area and perimeter of flat figures carried out in Brazil from 1996 to 2017. In general terms, we support with Fiorentini and Lorenzato who characterize the meta-analysis with a modality of research that aims to develop a new analysis of the set of studies already carried out, around a theme or research problem, but which carries a Reduced number of researches, in order to extract, by contrast other results, other syntheses, in relation to the previously obtained analyses. The meta-analysis was performed by supporting 19 (nineteen) academic publications, including three doctoral theses and sixteen academic dissertations, which addressed the area and perimeter themes. The research results indicate critical points identified by the research analyzed: the use of the terms area as a measure of surface and perimeter as the measurement of length, is very common; As well as the treatment of other content that is related to area and perimeter such as: potentiation, numerical calculus, Algebraic calculus and the Pythagorean theorem, (numerical aspect); The greatness area predominates in the activities on fractions of continuous quantity; In addition, geometric figures such as: rectangles, circles and regular polygons in the geometric representation of fractions are frequent; The non-dissociation of area and perimeter is a source of difficulties in the appropriation of these two mathematical objects. Research focused on teacher education indicates that the work performed allowed interactions between subjects and researchers who generated approximations and perceptions about the teaching and learning of the area concept.
Keywords: area, perimeter, meta-analysis, greatness, teacher training,
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 - DECOMPOSIÇÃO DO TRIÂNGULO ISÓSCELES . 25 FIGURA 2 - DECOMPOSIÇÃO DE UMA FIGURA EM CAMADAS (TIRAS INDIVISÍVEIS) 26
FIGURA 3 : FRAGMENTO DO PAPIRO DE MOSCOU 29
FIGURA 4 - ANÁLISE MATEMÁTICA PARA LICENCIATURA DE ÁVILA (2006). 33 FIGURA 5 - PESQUISA COM PROFESSORES (ANOS INICIAIS) 77 FIGURA 6: EXPLICAÇÃO PLAUSÍVEL MÚLTIPLAS TEORIAS DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA 84
FIGURA 7 - ESQUEMA DO CAMPO CONCEITUAL 91
FIGURA 8 - CONCEITO - CAMPITELI (1996) 102
FIGURA 9 - MAPA CONCEITUAL, CARVALHO (2012) 104
FIGURA 10 - MAPA CONCEITUAL SOBRE CONCEITO, CHIUMMO (1998) 105
FIGURA 11 - MAPA CONCEITUAL, GRANDO (1998) 106
FIGURA 12 - PROTOCOLO DO ESTUDO DE PESSOA (2010) 110 FIGURA 13 - PROTOCOLO DO ALUNO A06, PESSOA (2010) 111 FIGURA 14 - ATIVIDADE 4, ANÁLISE DO ESTUDO DE FERREIRA 113 FIGURA 15 - FIGURA DO PROTOCOLO SA13ATIV1 DE FERREIRA 114 FIGURA 16 - FIGURA DO PROTOCOLO SA23ATIV2 DE FERREIRA 115 FIGURA 17 - FIGURA DO PROTOCOLO DA ATIVIDADE 3 DE FERREIRA 116 FIGURA 18 – ATIVIDADE DO ESTUDO DE FERREIRA (2010) 116 FIGURA 19 - FIGURA DO PROTOCOLO SEQG6_A31ATIV6 DE FERREIRA (2010) 117 FIGURA 20 - CÁLCULO DA MEDIDA DA ÁREA (CORRETO E INCORRETO) 118 FIGURA 21 - COMPOR E DECOMPOR FIGURAS PELO TANGRAM 120 FIGURA 22 - TAREFA COMPOSIÇÃO DE FIGURAS PELO TRIÂNGULO, MELO (2009) 121
FIGURA 23 – ATIVIDADE 1, NUNES (2011) 122
FIGURA 24 - FALA DE UM ALUNO, NUNES (2011) 123
FIGURA 25 – CONFIGURAÇÃO DA ATIVIDADE PROPOSTA POR NUNES (2011). 123 FIGURA 26 – IDEIA DE MESMA ÁREA, SILVA A (2016). 125
FIGURA 27 - PROTOCOLO ALN1AT2, SILVA A (2016) 126
FIGURA 28 - EXTRATO DO PROTOCOLO ALN 2T2 127
FIGURA 29 - CONVERGÊNCIAS E DIVERGÊNCIAS. 130
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 - PESQUISAS SELECIONADAS - PERÍODO ENTRE 1996 E 2017 ... 42
QUADRO 2: ANALISARAM MATERIAL DIDÁTICO ... 57
QUADRO 3 - COLEÇÕES ANALISADAS POR BARROS (2006) ... 59
QUADRO 4 - CRITÉRIOS DE ANÁLISE DE BARROS (2006). ... 61
QUADRO 5 - CRITÉRIOS INDICADORES DA ANÁLISE DE LIVROS DE SILVA J, (2000) ... 63
QUADRO 6: LEVANTAMENTO E CÓDIGOS DOS LIVROS DIDÁTICOS ANALISADOS ... 68
QUADRO 7 - FORMAÇÃO DO PROFESSOR ... 71
QUADRO 8: CONVERGÊNCIAS ENTRE OS ESTUDOS DE CAMPÍTELLI (1996) E CHIUMMO (1998). . 80
QUADRO 9 - PESQUISA EXPERIMENTAL, ENSINO E APRENDIZAGEM ... 81
QUADRO 10 - MÚLTIPLA FORMAÇÃO ... 83
QUADRO 11: QUADRO TEÓRICO DIDÁTICO ... 86
QUADRO 12 - COMPARAÇÃO TSD E TAD ... 95
QUADRO 13 - ESQUEMA DIALÉTICA FERRAMENTA-OBJETO ... 96
QUADRO 14 - INDICADOR E LEGENDA DAS DIFICULDADES... 108
LISTA DE TABELA
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... 17
1.1. Justificativa e problematização ... 19
1.2. Objetivos e Questão de Pesquisa ... 21
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DA HISTÓRIA E EPISTEMOLOGIA ... 24
2.1. Área e Perímetro ... 27
2.2. Medir a Área e medir o Perímetro ... 31
2.3. Objeto de estudo nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) ... 33
2.3.1. A presença das Fórmulas para calcular a medida de área e perímetro ... 34
2.3.2. O que dizem os PCN sobre os objetos de estudo?... 34
CAPÍTULO 3 – MAPEAMENTO E ESCOLHA DAS PESQUISAS, OBJETO DO ESTUDO ... 39
3.1. Itinerário deste estudo ... 39
3.2. A seleção e o panorama das pesquisas ... 41
3.3. Panorama das pesquisas ... 46
CAPÍTULO 4 – O QUE DIZEM AS PESQUISAS SELECIONADAS ... 53
4.1. Tipos de pesquisa ... 53
4.2. Pesquisas de tipo documental ... 54
4.3. Pesquisas de tipo Experimental ... 71
4.3.1. Teorias em uso nas pesquisas ... 84
4.3.2 Síntese das Teorias contempladas nas pesquisas ... 86
4.3.3. Conceito sobre Área e Perímetro nas pesquisas. ... 101
CAPÍTULO 5 – IDENTIFICAÇÃO E ESTUDO DAS DIFICULDADES REVELADAS PELAS PESQUISAS, OBJETO DE NOSSA INVESTIGAÇÃO ... 107
5.2. Convergências e divergências ... 130
CONSIDERAÇÕES ... 135
1. O papel da revisão da literatura ... 139
2. Fundamentação teórica e metodológica ... 140
3. Principais resultados ... 140
REFERÊNCIAS ... 147
ANEXOS I – FICHAMENTOS DAS PESQUISAS ANALISADAS ... 157
ANEXOS II: DADOS SOBRE AS COLEÇÕES ANALISADA PELOS AUTORES DAS PESQUISAS ANALISADAS ... 185
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Os conceitos de Área e Perímetro são conteúdos ensinados desde os anos iniciais, estendendo-se ao ensino médio e superior. Henriques e Silva (2011), em seus estudos, apresentam dificuldades relacionadas ao ensino dos conteúdos de Área e de Perímetro, principalmente quando o aluno busca solucionar questões que os envolvem.
Diante de pesquisas que evidenciam dificuldades na dissociação dos conceitos de Área e de Perímetro, entendemos ser importante fazer uma metanálise de algumas das pesquisas desenvolvidas no Brasil sobre essa temática, sendo que essas dificuldades podem incorrer a erros.
Compreendendo o solo temático, nosso objetivo é explicar, por metanálise qualitativa, os diferentes aspectos das pesquisas selecionadas, com vistas a analisar as questões investigadas, assim como, as convergências e divergências em relação às dificuldades relacionadas ao ensino e à aprendizagem de conceitos de área e perímetro de figuras planas.
Como referencial teórico de pesquisas do tipo metanálise, nos apropriamos dos estudos de Ferreira (2002), Fiorentini e Lorenzato (2012), Romanowski e Ens (2006) e Bicudo (2014), que investigam e produzem estudos consistentes sobre este referencial.
Crecci, Nacarato e Fiorentini (2017) consideram que o número crescente de pesquisas, que envolvam focos de estudo, devem ser revistos, por um novo estudo. Esse novo estudo pode ser realizado por metanálise qualitativa. Desta forma, entendemos que nosso estudo possa contribuir com novas análises que resultem em reflexões para futuras investigações.
Para o mapeamento, a descrição e sistematização desta crescente produção científica, faz-se necessário um estudo sistêmico do tipo: Estado da arte da pesquisa ou estado do conhecimento, metanálise e metassíntese. Abaixo diferenciamos essas modalidades de investigação.
O Estado do conhecimento ou estado da arte é um estudo primário de uma revisão sistemática de pesquisa, que envolve muitos estudos. Como afirmam Romanowski e Ens (2006) e Fiorentini e Lorenzato (2012), o estado da arte é um mapeamento, que permite caminhar sobre uma análise primária, quanto aos aspectos descontínuos ou contraditórios, descritos nas tendências de um determinado campo do conhecimento.
Alencar (2016) afirma, em sua tese, que as diferenças entre metanálise e metassíntese estão nas características de suas análises, assim como afirma Fiorentini e Cristovão (2006). As modalidades atendem critérios de sistematização de revisões, com número reduzido de pesquisas, o que difere uma da outra é o tipo de interpretação em suas análises.
As interpretações por metanálise e metassíntese se diferem quanto ao tipo de análise. A metassíntese permite configurar, em sua análise, aspectos pessoais do pesquisador; já a metanálise preserva os aspectos originais das pesquisas em nova análise, sem modificar a essência das pesquisas analisadas.
Em termos gerais, Fiorentini e Lorenzato (2012) caracterizam a metanálise como uma modalidade de pesquisa que objetiva desenvolver uma nova análise do conjunto de estudos já realizados, em torno de um tema ou problema de pesquisa, mas que comporta um número reduzido de pesquisas, no intuito de extrair, mediante contraste outros resultados, outras sínteses, em relação às análises anteriormente obtidas.
Diante dos fatos acima, meu ingresso na pós-graduação, no doutorado e minha participação no grupo de Pesquisa PEAMAT, nortearam a escolha do tema de estudo, esta decisão fortaleceu-se com as leituras prévias dos trabalhos de pesquisa do tipo Estado da Arte que os pesquisadores Fiorentini e Ferreira realizaram.
Nossa investigação está inserida no grupo de pesquisa “Processos de Ensino e Aprendizagem em Matemática – PEAMAT”, que tem como eixo temático o estudo do processo de formação e desenvolvimento de conceitos conforme os paradigmas da Educação Matemática.
1.1. Justificativa e problematização
Nossa decisão, ao realizar a metanálise, se direciona às tendências de pesquisa do professor Fiorentini (2009), quando narra que uma revisão sistemática de natureza qualitativa, envolve um número reduzido de pesquisas. A metanálise torna-se um estudo mais amplo incorporando uma nova análise, com o intuito de produzir resultados mais amplos mais gerais. Este procedimento sumariza a quantidade de conclusões e resultados desta nova análise. Esses resultados, examinados com atenção, podem definir um novo caminho estrutural qualitativo.
Taylor e Bogdan (1989), Denzin e Lincoln (2005) identificam a metanálise como um caminho metodológico e investigativo de cunho qualitativo, que se realiza por uma revisão sistêmica de estudos, com um número considerável de pesquisas que envolvem possíveis análises, como um objeto de estudo se apresenta no período escolhido para determinadas pesquisas.
A escolha da metodologia do tipo metanálise, foi decisiva após o levantamento final e seleção dos estudos. Inicialmente, a pretensão era realizar uma pesquisa do tipo estado da arte, já que em nossa primeira seleção, identificamos 47 pesquisas de mestrado e doutorado.
Após uma nova leitura, notamos que algumas pesquisas não atenderiam ao nosso propósito, assim, em nova filtragem selecionamos somente os estudos de programas de pós-graduação em educação matemática, ensino e educação. As pesquisas elegidas atendem ao nosso propósito e contêm resultados que dialogam com seus objetivos e questões de pesquisa, sendo essencial para este tipo de estudo.
Selecionamos 19 trabalhos (três teses e dezesseis dissertações) de pesquisas brasileiras em nível acadêmico, publicadas entre os anos de 1996 e 2017 que atenderam ao seguinte critério: Dissertação de mestrado acadêmico e teses de Doutorado; que investigaram o conceito de Área e de Perímetro, com ênfase em ensino e aprendizagem, que continham resultados em suas análises finais. Adotamos critérios para a realização de uma análise mais refinada dos resultados.
No levantamento realizado, optamos por mapear as dissertações de Mestrado e Teses de Doutorado Acadêmicos com base no Parecer CES/CFE 977 de 1965, cujo relator foi Newton Sucupira, que define pós-graduação stricto sensu, mestrados acadêmicos e doutorados que devem atender às características fundamentais presentes nestes níveis de curso: Ser de natureza acadêmica e pesquisa.
A Metanálise, como metodologia de pesquisa, consiste em um processo com procedimentos que agrupem coleta de dados e informações. Sua terminologia surgiu pela primeira vez em um artigo de revista educacional na Educational Research, em novembro de 1976, pelo professor Gene V Glass, estatístico, professor e pesquisador americano que trabalha com psicologia educacional e ciências sociais.
Glass (1976), atentou na época para que as pesquisas fossem mais focadas em termos de perguntas, pois havia percebido que as investigações só se preocupavam com os resultados, com nenhum enfoque para pesquisas analíticas. Clarke e Chalmers (1998) indicam a importância desse tipo de estudo porque acreditam ser uma ação de condição primária para a construção de outros saberes.
Com relação ao nosso objeto de estudo, o PCN do ensino fundamental II, em suas orientações didáticas, aponta alguns fatores que podem dificultar a apropriação correta dos conceitos de Área e Perímetro, ao se ensinar por situações problemas que tratam de grandezas que são produtos de outras grandezas, por exemplo:
[...}, a área 54cm² é o produto dos comprimentos dos segmentos 6 cm por 9 cm. O volume 40 cm³ é o produto da área de 5 cm² pelo comprimento 8 cm². A mudança da dimensão de grandeza, presente nesse caso, traz um grau de complexidade maior para os problemas, o que gera dificuldades na aprendizagem. Uma das dificuldades a esse respeito revela-se quando, por exemplo, se duplicam os lados de um retângulo e sua área fica quadruplicada e não multiplicada por dois, como podem pensar de imediato muitos alunos, (BRASIL, 1998, p. 111),
No caso acima, a operação multiplicativa por racionais embute uma ideia de que a operação multiplicativa sempre resultará em resultados maiores. Esta é uma ideia que predomina, e, quando este resultado não corresponde a esta
expectativa, pode ser um fator que gere dificuldades de interpretar diferentes grandezas.
A proposta de revisitação às pesquisas é um movimento de reclassificar esses estudos, pretende desta forma, contribuir para que futuras pesquisas, repensem os métodos, os percursos e as orientações tendenciosas ou não, transcorridas em um determinado período em relação a este tema.
Pretende-se com isso, evidenciar aspectos diferentes, frente a algumas dificuldades que foram evidenciadas nas pesquisas, e compreender os conceitos de Área e Perímetro, o que demandará novo olhar e nova ótica. Por esta trajetória atender nossos objetivos e responder questões inerentes a nossa inquietação e problemas de pesquisa.
1.2. Objetivos e Questão de Pesquisa
Nosso problema de pesquisa vem ao encontro do pensamento de Laville e Dionne (1999), segundo o qual um problema de pesquisa nasce da inquietação de uma pergunta, de um questionamento, assim, buscamos responder à seguinte questão:
Quais convergências e/ou divergências revelam pesquisas acadêmicas brasileiras desenvolvidas entre 1996 e 2017, sobre os processos de ensino e aprendizagem dos objetos matemáticos Área e Perímetro?
O objetivo de nossa investigação é explicar os diferentes aspectos das pesquisas selecionadas, com vistas a analisar as questões investigadas, assim como, as convergências e divergências em relação às dificuldades relacionadas ao ensino e aprendizagem de conceitos de área e perímetro de figuras planas.
Objetivos específicos:
✓ Mapear as diferentes pesquisas evidenciando suas questões de pesquisa, seus objetivos, seus fundamentos teóricos e aspectos metodológicos;
✓ Evidenciar as possíveis dificuldades que são pontos comuns ao ensino e aprendizagem dos conceitos de Área e Perímetro de figuras planas;
✓ Evidenciar as possíveis convergências e/ou divergências em relação aos problemas relacionados com os processos de ensino e aprendizagem. Para atendermos aos objetivos específicos de nossa pesquisa, realizamos uma metanálise das pesquisas desenvolvidas em torno do ensino e da aprendizagem de conceitos de Área e Perímetro de figuras planas.
Os fichamentos, em anexo, das pesquisas selecionadas, foram descritos com as seguintes informações: Curso, Instituição, autor, orientador, título da pesquisa, data da defesa, data da publicação (quando informado), Local, Número de folhas, Link de acesso e Data de acesso. Em relação ao resumo de cada fichamento, este foi transcrito do modo original, sem nenhuma modificação de nossa parte.
O período entre 1996 e 2017 foi estabelecido para a coleta de dados de nossa pesquisa, em virtude de a mais antiga pesquisa brasileira com o tema, que encontramos, ter sido realizada em 1996 e findamos a junho de 2017.
Nosso trabalho é composto por 6 capítulos que passaremos a descrever. No capítulo 1, a introdução na qual problematizamos e definimos nossa questão e objetivos geral e específicos de pesquisa.
No capítulo 2, discutimos alguns elementos da História dos objetos matemáticos de nosso tema e como a epistemologia se relaciona com as fórmulas matemáticas para calcular a medida de área e perímetro, assim como, o papel atribuído a elas pelos documentos oficiais, como o Parâmetro Curricular Nacional.
No capítulo 3, realizamos o mapeamento dos estudos, apresentamos o itinerário que seguimos, a seleção e o panorama geral.
No capítulo 4, apresentamos a análise neste capítulo, separando em dois tipos de pesquisa: a pesquisa documental e a experimental. Na pesquisa documental, exploramos as pesquisas que tratam da investigação do material didático e na pesquisa experimental as demais pesquisas que desenvolveram experiencias com formação de professores, pesquisas com alunos e campos profissionais. Apontamos as teorias que foram adotadas pelos pesquisadores e
buscamos definir o conceito de área e perímetro, segundo apontamentos das pesquisas.
No capítulo 5, apresentamos pontos convergentes e divergentes, com o propósito de discutir nossa análise e os resultados frente as dificuldades que os as pesquisas revelaram.
No último capítulo, as considerações advindas deste estudo, com algumas conclusões e sugestões para futuras pesquisas.
CAPÍTULO 2 – ELEMENTOS DA HISTÓRIA E EPISTEMOLOGIA
Neste capítulo, apresentamos alguns elementos do contexto histórico dos objetos matemáticos Área e Perímetro que consideramos importantes para nosso estudo. Objetivamos apresentar elementos que julgamos relevantes à compreensão da gênese dos conceitos de Área e Perímetro de figuras planas. Não pretendemos contemplar a vasta literatura sobre o assunto, uma vez que não somos historiadores; tampouco, almejamos esgotar a epistemologia de Área e Perímetro.A necessidade humana, como conta Chiummo (1998), dá origem as primeiras necessidades do uso prático para calcular a medida de áreas. Nos livros tradicionais da História da Matemática, os primórdios da Geometria são atribuídos ao Egito, de acordo com os manuscritos de Heródoto (Século V a.C).
A sociedade no antigo Egito era, essencialmente, agrícola, desenvolveu-se ao longo das margens do Rio Nilo; os impostos pagos pelos agricultores de terra eram calculados pela quantidade de terra útil que se colhia. Como a inundação do Nilo era anual, havia necessidade de recalcular o novo plantio, passando ao dono do lote de terra o novo cálculo do imposto devido, proporcionalmente, cobrado de cada agricultor, como pensam Santos; Muniz; Gaspar (2015).
Em seu livro Mathematics in the time of the pharaohs, Gillings (1972) conta como era realizado o cálculo de medida de área pela civilização egípcia;
[..] a título de exemplo do cálculo de medida área por essa civilização, podemos citar o problema 49 do papiro de Rhind
-cálculo de medida da área de um retângulo de comprimento de 10 khet (1000 cúbitos) por 1 khet (100 cúbitos) de altura. A solução é dada por 1000 x 100 = 100.000 cúbitos quadrados. Ainda conforme este autor, o quadrado já era utilizado como unidade de área e calculavam também a medida da área de um retângulo, já para o cálculo de medida da área do triângulo, os egípcios antigos usavam um procedimento que equivalia à fórmula A =1
2bh, em que b representa a medida do lado do
No papiro de Rhind, esse problema é o 51, quando o escriba mostra como calcular a área de um triângulo de lado (a palavra no original era meret que foi traduzida para altura) 10 khet e base (a palavra original era teper traduzida para base) 4 khet. O escriba tomou a metade de 4, depois, multiplicou 10 por 2, obtendo a área como 20 setats de terra. O escriba tomou a metade de 4 multiplicou por 10 por 2 resultando na área de 20
setats de terra. O procedimento da decomposição do triângulo
isósceles, em duas partes congruentes, para formar um retângulo, conforme (SANTOS, MUNIZ e GASPAR, 2015, p.24). Figura 1 - Decomposição do triângulo isósceles1 .
Fonte: A pesquisadora, desenvolvido com software Geogebra.
A idade Helenística, para Boyer (1996), ocorreu no período entre 300 e 220 a.C., ficou conhecida como Idade Áurea da matemática grega, os homens que se destacaram no período foram três matemáticos – Euclides, Arquimedes e Apolônio. Apolônio de Perga escreveu uma obra denominada Resultado Rápido, que poderia ser interpretada como um processo rápido de calcular e outros livros, sendo um deles chamado Corte de Área, que parece ter tratado de processos rápidos de calcular.
No manual chinês datado de 200 a.C. da dinastia Han, Nove Capítulos da Arte Matemática, há textos literários e científicos transcritos, infelizmente parte deste material foi perdida no tempo, Boyer (1996) menciona que tanto os chineses como os egípcios usavam a mesma técnica de cálculo de medida de área de figuras planas por justaposição, mas chama a atenção para o cálculo impreciso de medida de área de figuras geométricas circulares, embora os cálculos de medida da área de retângulos, quadrados e trapézios estejam de acordo.
1 Figura 1: Adaptado do livro paradidático “A construção do conceito de área a partir de atividades fundamentadas na história da Matemática, p. 24”, desenho criado pelo software Geogebra.
A história do cálculo infinitesimal e de suas técnicas recebe um tratamento que remonta aos paradoxos de Zenão; depois pelo método da exaustão grega e pelos métodos de Cavalieri para calcular medidas de áreas até chegar a Leibniz e Newton, no século XVII, conforme Roque (2012).
Deste modo, na análise, Newton e Leibniz entenderam que o estudo de processos infinitos tratava de grandezas contínuas, tais como: comprimentos, áreas, velocidades e acelerações; ao passo que a teoria dos números claramente tem como seu domínio o conjunto discreto dos números naturais.
Discípulo de Galileu, Cavalieri foi professor de matemática em Bolonha e estudou um método para operar com os indivisíveis no cálculo de área e volumes de acordo com Roque (2012). Este tema gerou o livro Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, publicado em 1635.
Conforme a autora acima, Cavalieri caracterizou os elementos infinitesimais nos quais desenvolveu uma técnica baseada na decomposição de uma figura por camadas ou tiras indivisíveis, argumentando que uma linha é composta por pontos, assim, um cordão é formado por contas, um plano é feito de linhas, como uma roupa é tricotada por fios, um sólido é um composto de planos, como as camadas de folhas de um caderno ou um livro, como a figura 2:
Figura 2 - Decomposição de uma figura em camadas (tiras indivisíveis)
Fonte: A pesquisadora2.
Facco (2003) traz em seu contexto histórico, indícios de que ocorreram sociedades avançadas, e estes se instalaram nas margens do rio Nilo, Egito, Tigre e Eufrates, na Mesopotâmia, Indo e Ganges, na região centro-sul da Ásia e, Hwang Ho e Yangtzé, na Ásia Oriental. Essas sociedades consideradas
2 Desenho extraído e modificado do blog de
avançadas dominavam técnicas de engenharia em drenagem de pântanos e irrigações; e, habilidades nas construções civis, com estruturas seguras e edifícios que para serem estruturadas exigiam conhecimento e prática geométrica.
2.1. Área e Perímetro
Olhando para as pesquisas de nosso estudo, notamos que o contexto histórico está presente. Entendemos que contar um pouco da história do objeto de estudo de nossa análise, seja um recurso que ofereça subsídio, suporte e sustentação na construção de um modelo epistemológico de referência para os conceitos de Área e Perímetro. Esse modelo pode auxiliar a entendermos um pouco mais, sobre os conteúdos matemáticos Área e Perímetro, e, de que forma, esses conteúdos foram sendo constituídos e construídos no decorrer do tempo. Embora calcular a medida de área tenha tomado força no século XVII, as noções da geometria analítica, desenvolvidas por Descartes (1596-1650), colaboravam entre a Álgebra e a Geometria, com o propósito de que a matemática viesse a ter melhores aspectos como destaca Boyer (1992).
Os babilônios sabiam calcular a medida das áreas de plantações e conheciam alguns cálculos, como calcular a medidas de áreas de figuras planas (retângulo, triângulos retângulos e isósceles, trapézio), bem como, o volume de um paralelepípedo, como afirma Kurokawa (2015).
A Geometria desenvolvida pelos Babilônios era essencialmente focada na aplicação para os problemas de cálculo de comprimentos, área e volume que eram fatores de necessidade humana; sendo assim, não havia para aquele período, a preocupação com demonstrações de fórmulas. As fórmulas foram desenvolvidas pelos Egípcios, para mensurar áreas de terras e volume para a colheita de grãos, diz Kurokawa (2015).
Para Facco (2003), os babilônios do período de 2000-1600 a.C., tinham bom conhecimento sobre regras gerais para calcular a medida de área de figuras poligonais (retângulos, triângulos retângulos e isósceles, trapézio retângulo) e do volume do paralelepípedo retângulo, com vistas as construções realizadas por eles.
Aos registros históricos, retornamos aos documentos que atestam os conhecimentos geométricos das antigas civilizações, esses conhecimentos geométricos conhecidos como Papiro de Moscou, escrito aproximadamente em 1890 a.C. por um escriba desconhecido. Conhecido como Papiro de Golenishchev, em homenagem ao egiptólogo V. S. Golenishchev, que o adquiriu em 1893, como cita Beck (2010).
O papiro de Rhind, segundo Beck (2010), tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento, foi escrito em hierático (hieróglifos que se lê da direita para a esquerda), contém tabelas com quocientes de vários tipos de divisão de números naturais, e 84 problemas do cotidiano do período de (1850-1650 a.C), aproximadamente.
Já o Papiro de Golenishchev (Papiro de Moscou), difere-se do outro papiro, por conter 25 problemas, acompanhados de resolução. Estes problemas são diferentes e de ordem prática. Devido seu grau de degradação, nem todos os problemas puderam ser traduzidos.
Sobre os papiros Zuin (2013) diz:
Os papiros de Rhind e de Moscou, representando as melhores fontes de informação e constituem-se nos mais antigos documentos egípcios de cunho matemático que chegaram até os dias de hoje. Os papiros contem problemas de ordem prática, mas também problema que podem ser denominados recreativos (ZUIN, 2013, p.4)
No papiro de Golenishchev (Papiro de Moscou, Figura 3), há 25 problemas, dos quais muitos são parecidos com os problemas do Papiro de Rhind, cita Beck (2010):
Contém 25 problemas, dos quais muitos se parecem com os do Papiro Rhind. No entanto, alguns problemas são bastante distintos, como um que se refere à área de uma superfície curva e outro que se refere à área de uma pirâmide truncada, além de problemas que resultarão na equação 2x + x = 9 (BECK. 2010, p.51)
Figura 3 : Fragmento do Papiro de Moscou
Fonte: Zuin, 2013, p. 4
O problema de calcular a medida da área, está presente no livro Cálculo 1, Stewart (2012), como conteúdo histórico, livro este para uso no ensino superior. O livro busca apresentar o cálculo da medida da área pelo método da exaustão e o contexto histórico juntos, para que o conteúdo faça sentido, entrelaçando a matemática e a história.
Os Gregos dominavam a técnica de calcular, sabiam como encontrar a medida da área de qualquer polígono, decompondo a figura plana poligonal em vários triângulos, calculando a medida de cada área triangular, e em seguida, somando-se todas as medidas de áreas de figuras triangulares.
Em se tratando do conteúdo histórico, Roque (2012) relata que os resultados do livro II de Euclides, possam ser mais antigos do que o Livro I, já que as técnicas de cálculo para o livro II, eram empregadas da mesma forma que as aplicações do cálculo de medidas de áreas e do teorema pitagórico, não havendo separação entre as técnicas matemáticas.
E quanto ao Livro VI Elementos, a autora tem convicção de que o tema (medir área) fora deixado somente para a VI edição por conta do interesse pelas proposições da teoria das proporções e razões de Eudoxo. Embora o teorema de Pitágoras apareça somente no livro VI, acredita-se que o teorema já era
utilizado de forma prática antes desse período, já que o método da aplicação de áreas era muito usado no século IV, a.C 3.
Roque (2012) relata as influências citadas por Heródoto no século V a.C. Essas influências foram creditadas aos egípcios, sobretudo em relação à descoberta e invenção da Geometria. As construções arquitetônicas do Egito com suas exuberantes pirâmides e templos indicavam que o Egito seria o local de onde surgiu toda a ideia e o modo de pensar geométrico, beneficiando a imagem de que lá seria o lugar em que tudo começou. Este ponto de vista foi expresso em narrativas dos mais variados tipos, muitas influenciadas pela citação de Heródoto (século V, a.C.) que creditou aos egípcios a invenção da geometria.
Este breve estudo histórico permitiu caracterizar o conceito de Área com grandeza (objeto matemático), perspectiva que norteia nosso ponto de vista sobre o conceito de Área de figuras planas. Tendo em vista essa perspectiva, tecemos reflexões sobre o que seriam Área e Perímetro de figura planas.
Na gênese linguística, o dicionário (BORBA, 2011) apresenta os sinônimos dos substantivos Área e Perímetro, tornando possível invalidar as dúvidas sobre as palavras e seus significados. Os diversos dicionários da língua portuguesa do Brasil reúnem informações muito parecidas, até algumas idênticas, cada um tem particularidades conforme a publicação de cada autor. Abaixo, descrevemos integralmente o significado de Área e Perímetro, de acordo com o dicionário escolhido.
Área é:
Sf [Co] 1) Superfície delimitada; extensão de terreno: Os canaviais ocupavam uma extensa área. 2) Região: O hemisfério sul é uma área livre de armas nucleares. 3) Espaço bem delimitado: O prédio conta com uma vasta área de lazer. 4) Lugar determinado; ponto: A empresa promete que 80 funcionários estarão na área para atender aos usuários. 5) Reserva: No sul do Pará foram delimitadas mais duas áreas indígenas. 6) Nas residências, espaço coberto destinado a lazer ou serviço: Descansava todas as tardes numa cadeira de balanço na área do casarão. 7) Em campos ou quadras
esportivas, espaços retangulares demarcados por linhas: Marcou o gol depois de um drible na pequena área. 8) (Matemática) medida da superfície de uma figura geométrica: Calcular a área do triangulo. [Ab] 9) Setor: Foram aprovados vários projetos na área econômica, ela trabalha na área de ensino. 10) Domínio; Âmbito: Meu tio é versado em várias áreas científicas, (BORBA, 2011, p. 105).
E a definição do termo Perímetro é:
[Sm] 1) Linha que forma o contorno de uma figura traçada num
plano ou numa superfície: O perímetro da figura deve ser calculado em primeiro lugar. 2) Medida do contorno de uma propriedade: O perímetro da chácara é de 450 metros. 3) Linha
que limita uma área ou região: A casa se localiza numa ampla
praça no extremo norte do perímetro urbano. 4) Medida do
contorno de um corpo: De ordinário vê-se unicamente estatura,
perímetro torácico e peso. 5) No jogo de basquetebol, área mais
afastada das tabelas: Apertaram a marcação no perímetro, (BORBA, 2011, p. 1060).
De acordo com Borba (2011), os significados matemáticos para os
substantivos Área e Perímetro são, respectivamente, definidos como a superfície de uma figura geométrica e o contorno de uma figura em um plano. As definições propostas por este autor reforçam nosso entendimento sobre os conceitos de Área e Perímetro, ou seja, são grandezas cujas medidas dependem da unidade escolhida.
2.2. Medir a Área e medir o Perímetro
Área é o espaço bidimensional dentro de uma região. Os conceitos fundamentais da matemática de Caraça (1970) ajudam a compreender que a ação de medir envolve comparação entre duas grandezas de mesma espécie, como dois perímetros, dois volumes, dois pesos. Tecnicamente uma medida é um número que indica uma comparação entre o atributo do objeto que está sendo medido e o mesmo atributo de uma determinada unidade de medida.
Referindo-se a conceitos construídos no Ensino Fundamental, Caraça (1970) entende que:
[...] os conceitos matemáticos surgem, uma vez que sejam postos problemas de interesse capital, prático ou teórico: - é o número natural; surgindo da necessidade da contagem, o número racional, da medida, o número real, para assegurar a compatibilidade logica de aquisições diferentes. (CARAÇA, 1970, p. 115).
O problema da medida tratada por Caraça (1970), é um aspecto importante, já que medir está relacionado diretamente ao número. Essa associação se deve ao entendimento das necessidades do homem, diante de situações do cotidiano como medir terras e que requerem conhecimento da geometria, assim como quantidades de sementes necessárias para um plantio, entendimento de um contrato de compra e venda de terras, que são alguns exemplos citados pelo autor.
As proposições de Caraça (1970) caracterizam o problema da medição em três fases: a primeira, é a escolha da unidade de medida; a segunda, é a comparação entre as medidas, e, a terceira a quantificação desta unidade de medida.
Essas proposições alertam para a interdependência dos aspectos, ou seja, as unidades de medida, não são convenientes a todas as situações: não há comodidade em usar uma unidade de medida de tecidos para medir léguas, nem tampouco, usar o milímetro, como unidade de medida, para calcular as distâncias geográficas.
Caraça afirma que o aspecto quantitativo se realiza da seguinte forma: 1º estabelecer um estalão único de comparação para todas as grandezas da mesma espécie; este estalão chama-se unidade de medida da grandeza de que se trata – é por exemplo, o centímetro para o comprimento, o grama-peso para os pesos, o segundo para os tempos etc., 2º Responder à pergunta: Quantas vezes? Acima posta, o que se faz dando um número que exprima o resultado da comparação com a unidade (CARAÇA, 1970, p. 30).
Para Caraça (1970), medir envolve comparação, exige operações aditivas entre duas grandezas de mesma espécie ou dois valores relacionados a uma mesma grandeza, comparando-as. Podemos exemplificar, assim, esse problema de grandeza:
Em dois segmentos AB̅̅̅̅ e CD̅̅̅̅, diz-se que a razão AB/CD é o número racional m/n, há um terceiro segmento EF tal que AB seja m vezes EF e CD n vezes esse mesmo segmento EF, conforme a figura 3, adaptado do livro Análise Matemática para Licenciatura de Ávila (2006).
Figura 4 - Análise Matemática para Licenciatura de Ávila (2006).
Fonte: A pesquisadora, adaptado do livro de Ávila (2006)
No campo de estudo, as propriedades do campo racional dividem-se em: Ordenação: quando são estabelecidas as definições de igualdade e igualdade;
Igualdade: Define-se por igualdade dois números racionais r = 𝑚
𝑛 e s = 𝑝
𝑞 são iguais, são relativos à medida do mesmo segmento, com a mesma unidade. Para que esta condição de existência de igualdade prevaleça, os produtos mq e pn têm se mq = pn, assim: 𝑚
𝑛 = 𝑝
𝑞 ↔ mq = pn
Desigualdade: definição – no caso de dois números racionais: r e s, chamamos de maior aquele que com o mesmo segmento de unidade, mede um segmento maior.
C1. Consequência 1 – se os dois números têm o mesmo denominador, será maior o que tiver maior numerador.
C2. Consequência 2 – se os dois números têm o mesmo numerador, será maior o que tiver menor denominador. (CARAÇA, 1970, p. 38 e 39)
A construção do campo racional para o problema de medida, como afirma Caraça (1970), deriva de operações e da natureza dos números e, sobretudo, a operação mental que leva à definição de suas propriedades.
Para compreender os conceitos de Área e de Perímetro, entendemos ser fundamental a construção do conceito de medida.
2.3. Objeto de estudo nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN)
Apresentamos o que sugerem os PCN (1997) sobre a presença de fórmulas para calcular e medir áreas e medir perímetros de figuras planas, depois estudamos as sugestões do mesmo documentos sobre o ensino dos conceitos de Área e Perímetro de figuras planas.
2.3.1. A presença das Fórmulas para calcular a medida de área e perímetro
Nos PCN (BRASIL, 1997, p. 61), Ensino Fundamental I, não se sugere o uso de fórmula, mas sim o uso do cálculo do perímetro de figuras que são desenhadas em malhas quadriculas, que favoreçam a comparação pela visualização de área de figuras. O mesmo ocorre com o Ensino Fundamental II para o 6º e 7º anos, fortalecendo a sugestão de atividades que envolvam resolução de problemas, mas sem aplicação de fórmulas.
A sugestão e inferência do uso de fórmulas inicia-se no Ensino Fundamental II para os anos finais. O documento visa o desenvolvimento do pensamento numérico com foco na exploração de situações de aprendizagem, em que o aluno possa desenvolver e utilizar diferentes procedimentos de cálculo, com números racionais, inteiros e irracionais.
A proposta dos PCN, frente à competência métrica, sugere a exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, utilizando dígitos significativos para representar as medidas, efetuar cálculos; [...] * obter e utilizar fórmulas para cálculo de área de superfícies planas e para cálculo de volumes de sólidos geométricos (prismas retos e composições desses prismas), (BRASIL, 1998, p. 82).
No ensino de matemática, as fórmulas são expressões algébricas, e, há muitas fórmulas para o cálculo de medidas de área, principalmente para as figuras poligonais. A diversidade, entre as fórmulas para estudar o cálculo da medida da área e do perímetro, caracteriza a diferença entre elas.
Há fórmulas especificas para cada figura geométrica regular ou não, e, fórmula para perímetro distintamente. Melo (2009) afirma que o uso de “soma das medidas dos lados” para medida do perímetro, e, "multiplicar medidas de lados”, induzam a erros, já que essas técnicas não se aplicam a todos os casos, como ratifica Barros (2006).
2.3.2. O que dizem os PCN sobre os objetos de estudo?
A discussão sobre a seleção e a organização de conteúdos para o Ensino Fundamental I e II nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p. 48) tem por princípio que os conteúdos arrolados na estrutura organizacional
curricular na Matemática, possibilitem o desenvolvimento das funções básicas do cidadão.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997) e (BRASIL, 1998), sugere-se que o bloco Grandezas e Medidas esteja trabalhado e articulado aos conteúdos matemáticos que se relacionam com o cotidiano.
Para o ensino de Grandezas e Medidas para o segundo ciclo (Atuais anos Iniciais 3º ao 5º ano), sugere-se calcular a medida da Área e do Perímetro utilizando-se de recursos didáticos, assim como, a utilização de figuras desenhadas em malhas quadriculas e comparando-se o Perímetro e a Área de duas figuras sem a utilização de fórmulas, (BRASIL, 1997).
Como sugestão nas orientações didáticas do Ensino Fundamental I para o cálculo com números racionais, os PCN (BRASIL, 1997) apontam a importância de atividades com cálculo com números decimais que relacionam diferentes contextos, que subsidiem estimativas ou enquadramento do resultado, como no exemplo a seguir:
[...] por exemplo, diante da situação: “Qual é o valor do perímetro de uma figura retangular que mede 13,2 cm de um lado e 7,7 cm do outro?”, o aluno pode recorrer a um procedimento por estimativa, calculando um resultado aproximado (2 x 13 + 2 x 8), que lhe dará uma boa referência para conferir o resultado exato, obtido por meio de um procedimento de cálculo escrito, (BRASIL, 1997, p. 80).
Na seleção de conteúdo para o ensino fundamental I, os blocos contemplam o estudo dos números e das operações no campo da Aritmética e da Álgebra, o estudo do espaço e das formas no campo da Geometria.
Para Grandezas e Medidas, é sugerido que se trate diferentes grandezas, como comprimento, massa, tempo, capacidade, temperatura, entre outros, que se relacionam a outras grandezas (velocidade, energia, densidade demográfica etc.) (BRASIL, 1998, p. 52).
No ensino fundamental I, os PCN sugerem que se compare grandezas de mesma natureza por meio de estratégias pessoais e/ou uso de instrumentos de medidas conhecidas (fita métrica, régua etc.); e, nos conteúdos atitudinais,
valorizar a importância das medidas e estimativas para resolver problemas do cotidiano.
Em se tratando dos objetos matemáticos Área e Perímetro, ambos se apresentam separados nos PCN (BRASIL, 1998) do Ensino Fundamental II e são sugeridos para o Terceiro Ciclo. Neste documento, a sugestão para os conceitos e procedimentos ao professor, para ensinar como calcular medida de perímetro e medida de área, indica-se usar a:
Ampliação e redução de figuras planas segundo uma razão e identificação dos elementos que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que se modificam (medidas dos lados, do perímetro e da área), (BRASIL, 1998, p. 73).
No quarto ciclo, os PCN sugerem a inserção de demonstrações matemáticas, dentro do nível de compreensão do aluno, e até demonstrações. Com objetivo de desenvolver no aluno a capacidade de produzir, conjecturar e ampliar o grau de compreensão dos conceitos que envolvam o desenvolvimento e a noção de semelhança de figura, busca-se abandonar o empirismo na resolução de problemas.
[...] desenvolvimento da noção de semelhança de figuras planas a partir de ampliações ou reduções, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro). (BRASIL, 1997, p. 89)
Nos objetivos de Matemática para o terceiro ciclo, visa-se a competência métrica pela exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:
ampliar e construir noções de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no contexto social e da análise de alguns dos problemas históricos que motivaram sua construção; (BRASIL, 1998, p. 65).
Espera-se que o aluno possa desenvolver as habilidades relativas à proporcionalidade, pela exploração de situações de aprendizagem, relacionando as variações entre as grandezas, deste modo, construa estratégias e soluções para resolver situações que envolvam proporcionalidade.
Para o conteúdo específico de área e perímetro das figuras geométricas planas, no bloco estruturado Espaço e Forma, os PCN objetivam a importância que os alunos estabeleçam relações entre as figuras geométricas (planas e
espaciais), propõem ao aluno que desenvolva situações problemas a partir da composição e decomposição de figuras planas; ampliação e redução de figuras, segundo uma razão e com vistas a identificar os elementos da figura que não se alteram (medidas de ângulos) e dos que modificam (medida dos lados, do perímetro e da área), (BRASIL, 1998, p. 73)
Em continuidade, no bloco estruturado Grandezas e Medidas, os PCN estimam que o aluno compreenda a noção de medida de superfície e de equivalência de figuras planas pela composição e decomposição de figuras. E que o aluno calcule a medida de área de figuras planas pela composição e decomposição de figuras de áreas conhecidas ou por meio de estimativas, (BRASIL, 1998, p. 74).
Os PCN sugerem que o aluno desenvolva o raciocínio de observar, examinar, e estabelecer relações com o mundo em que está inserido, desta forma, o mundo no seu espaço bidimensional e tridimensional. Ações como calcular a medida das distâncias, observar e resolver problemas matemáticos que exijam além do cálculo aritmético também o uso da vista sobre objetos e outras relações que a Geometria pode e deve auxiliar no desenvolvimento cognitivo e lógico do aluno:
[...] Os alunos podem, por exemplo, estabelecer como varia o perímetro (ou Área) de um quadrado, em função da medida de seu lado, determinar a expressão algébrica que representação a variação, assim, como esboçar o gráfico cartesiano que representa essa variação, (BRASIL, 1997, p. 118).
E para os anos finais do ensino fundamental, a construção de uma série de retângulos semelhantes, pode-se auxiliar na análise da variação da área em função da variação da medida da base, que determina a sentença algébrica que relacionando as medidas e expressando-as em gráficos cartesianos.
Realizamos uma leitura previa da Nova Base Nacional Curricular, referente a quarta revisão de 2017. Notamos que sua estrutura no âmbito geral, assemelha-se aos PCN, mas não citamos ela neste trabalho, devido as pesquisas de nossa análise não terem se apropriado deste documento, e, foram de período anterior a nova implementação.
Em nossas análises sobre as pesquisas selecionadas, procuramos evidenciar como as sugestões dos PCN sobre a introdução de conceitos de Área e Perímetro foram levadas em consideração, principalmente, como esses objetos matemáticos foram definidos: são medidas ou grandezas?
CAPÍTULO 3
– MAPEAMENTO E ESCOLHA DAS PESQUISAS,
OBJETO DO ESTUDO
Neste capítulo, discutimos o itinerário da escolha das obras analisadas e caracterizamos os tipos de pesquisas que analisamos em pesquisas documental e experimental.
3.1. Itinerário deste estudo
Inicialmente, a busca e seleção das pesquisas foi na plataforma do banco de teses e dissertações da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes). A primeira ação na procura das pesquisas nesta plataforma de publicações acadêmicas deve-se à confiança e veracidade do material disponível, também procuramos pesquisas nas bibliotecas físicas (USP Campus Educação, PUC-SP Campus Marques e na Unifesp – Osasco).
Na Capes, buscamos as instituições de ensino superior que comungam com programas de pós-graduação nas áreas de educação, educação matemática, ensino de ciências e matemática publicações acadêmicas com o mesmo tema investigativo.
Encontramos as pesquisas das Universidade Federal de Santa Catarina, Universidade Federal de São Carlos, Universidade Estadual de Londrina, Universidade Católica de Brasília e Universidade Federal da Bahia, nas suas bibliotecas digitais que disponibilizaram os estudos até final de novembro de 2017.
Na consolidação desta coleta, outras pesquisas foram realizadas, como filtros e restrições às palavras-chave (área, perímetro, Área e Perímetro, grandeza área) aos buscadores virtuais (acadêmicos e alertas). A necessidade de se ter palavra chave na busca de qualquer natureza investigativa se fez presente, já que as inúmeras informações hospedadas na rede virtual podem levar a resultados equivocados.
Para não assumirmos tais respostas equivocadas, descartamos todas as informações que não eram pertinentes a nossa área de pesquisa e foco em pesquisa, já que ao buscarmos, como exemplo, perímetro no google acadêmico,
este remonta a perímetro na área médica, na área geográfica, no segmento financeiro, entre outros, que não são de nosso interesse. Isso ocorre com qualquer palavra chave, por isso, é importante a seleção e triagem dos resultados.
Palavras-chave - foram indexadas no “Google Acadêmico” para pesquisas brasileiras e indexadas ao “Google Alerta”. O Google Alerta é uma ferramenta oferecida aos usuários que possuem uma conta Gmail que, ao indexarmos palavras-chave e até frases sobre um determinado assunto, ele compila estas informações ao período solicitado pelo usuário, a fim de mensurar o quanto o assunto está sendo citado.
Em nosso caso, determinamos o período de 5 dias para o aviso de alerta, a cada período uma nova atualização era exibida. Nesta atualização nada de novo foi agregado como pesquisa acadêmica; mas, novas publicações de artigos, revistas eletrônicas e material acadêmico, foram importantes para filtrar mais nos busca por referências bibliográficas.
Melhoramos nossa coleta de publicações ao recorrermos à Biblioteca Brasileira de Teses e Dissertações o BDTD4, ao banco de teses das
Universidades e Faculdades que têm o programa de pós-graduação correspondente a nossa área de pesquisa de interesse (ensino e educação; educação matemática) que são correspondentes a nossa área de pesquisa, não sendo considerados os estudos dos cursos de Matemática pura e aplicada, das ciências da computação e estatística.
Para completarmos nossa busca, localizamos os repositórios virtuais das Universidades que ofertam programas de Mestrado e Doutorado com linhas de pesquisa em Geometria ou não, que comungam com cursos de capacitação, formação de professores e preocupam-se com o ensino de Matemática, especificamente, a estes objetos de estudo.
4 BDTD-IBICT - O Ibict Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia é um órgão do
Ministério da Ciência, Tecnologia, Inovação e Comunicações, desenvolveu e coordena a Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD), que integra os sistemas de informação de teses e dissertações existentes nas instituições de ensino e pesquisa do Brasil, e estimula o registro e a publicação de teses e dissertações em meio eletrônico.
Na Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações, localizamos parte do acervo de teses e dissertações publicadas; este sistema de publicação eletrônica chama-se (TEDE) que, de acordo com o Instituto Brasileiro de Informação em Tecnologia, o IBCT, é um Sistema Nacional de Publicação Eletrônica de Teses e Dissertações desenvolvidas e mantidas pela IBICT5. Este
último repositório, até o mês de novembro de 2017 mostrou-se mais atualizado do que a plataforma da Capes.
Os repositórios virtuais das Universidades, bem como a plataforma Capes foram as ferramentas fundamentais para a coleta global de informações. Encontramos publicações com o tema, sendo artigos, revistas, anais, entre outros, mas escolhemos analisar em nossa pesquisa Dissertações e Teses.
Indexamos com palavras de alerta no Google analítico as palavras-chave: Área e Perímetro, Grandezas e Medidas. Com esta indexação, foi possível localizar mais pesquisas, novas publicações e material que não se encontra disponível nos sítios já citados.
Finalizando a coleta de dados, foram selecionados os estudos, e assim, buscamos identificar em nossa leitura prévia como foram estruturadas as pesquisas, como a metodologia foi aplicada, quais os sujeitos de pesquisa e como a problematização e os objetivos de cada pesquisa preocuparam-se com o processo de ensino e aprendizagem.
3.2. A seleção e o panorama das pesquisas
Selecionamos 19 (dezenove) publicações acadêmicas, dentre elas três teses de doutorado e dezesseis dissertações acadêmicas, que abordaram os temas Área e Perímetro.
Os dados do quadro 1 indicam o número de pesquisas por instituição, o nível e um total geral das publicações selecionadas.
5 BDTD-IBICT - O Ibict Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia é um órgão do
Ministério da Ciência, Tecnologia, Inovação e Comunicações, desenvolveu e coordena a Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD), que integra os sistemas de informação de teses e dissertações existentes nas instituições de ensino e pesquisa do Brasil, e estimula o registro e a publicação de teses e dissertações em meio eletrônico
Quadro 1 - Pesquisas selecionadas - Período entre 1996 e 2017
Instituição Ano Nível Autor (a)
1 Universidade Federal de
Santa Catarina 1996 Mestrado em Educação Heliana Cioccia Campiteli
2 Universidade Federal de São Carlos 1998 Doutorado em Educação Neiva Ignês Grando 3 PUC – São Paulo 1998 Mestrado em Ensino da
Matemática Ana Chiummo 4 PUC – São Paulo 2000 Mestrado em Educação
Matemática Gisela Hernandes Gomes 5 PUC – São Paulo 2003 Mestrado em Educação
Matemática Sonia Regina Facco 6 Universidade Estadual de
Londrina 2004 Mestrado
Loreni Aparecida Ferreira Baldini
7
UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2004 Mestrado Interinstitucional Suelly Gomes Teixeira
8 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2006 Mestrado em Educação Alexandre Luís de Souza Barros
9 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2006 Mestrado em Educação
Walenska Maysa Gomes de Santana
10 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2007 Doutorado em Educação Rosinalda Aurora de Melo Teles
11 Universidade Católica de
Brasília 2007 Mestrado em Educação Mônica Gontijo da Silva
12 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2009 Mestrado em Educação Monica Maria Campelo de Melo
13 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2010
Mestrado em Educação
Matemática e Tecnológica Gracivane da Silva Pessoa 14 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2010 Mestrado em Educação Lúcia de Fátima Durão Ferreira
15 PUC – São Paulo 2011 Doutorado em Educação
Matemática José Messildo Viana Nunes 16 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2011
Mestrado em Educação
Matemática e Tecnológica José Valério Gomes da Silva 17 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2012
Mestrado em Educação
Matemática e Tecnológica Dierson Gonçalves de Carvalho 18 UFPE-Universidade Federal
de Pernambuco 2016
Mestrado em Educação Matemática e Tecnológica
Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva 19 UFBA – Universidade
Federal da Bahia 2017 Mestrado em Educação
Lucia De Fátima Carneiro Ferreira Lessa Fonte: A pesquisadora
Apresentamos na tabela 1, os dados do total de pesquisas selecionadas, o nível correspondente e a quantidade relacionada à instituição de ensino.
Tabela 1 - Pesquisas acadêmicas por instituição
Instituição Mestrado Doutorado Total
PUC SP 03 01 04 UCB 01 00 01 UEL 01 00 01 UFBA 01 00 01 UFPE 09 01 10 UFSC 01 00 01 UFSCAR 00 01 01 Total 16 03 19 Fonte: A pesquisadora
Nos dados da tabela, observamos que a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, a Universidade Federal de Pernambuco e a Universidade Federal de São Carlos são as três instituições de ensino que publicaram teses de doutorado.
Destacamos a UFPE e a PUC-SP, como as instituições que possuem programas de pós-graduação que pesquisaram o maior número de trabalhos sobre o tema. Nesta classificação, o número de pesquisa da UFPE se destaca na pesquisa sobre Grandezas e Medidas, como um número expressivo de trabalhos que vêm sendo desenvolvidos há mais de duas décadas, que são resultados da composição dos trabalhos de pesquisa do grupo de pesquisa Pró-Grandezas: ensino e aprendizagem das Grandezas e Medidas, da Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), grupo este cadastrado oficialmente no diretório dos grupos de pesquisa do CNPq, desde 2000.
No entanto, as raízes desse grupo remontam ao final da década de 1980 e tem suas origens nas atividades dos professores Paulo Figueiredo Lima e Maria Auxiliadora Vilela Paiva, no Laboratório de Ensino de Matemática (LEMAT) da UFPE, e do professor José Maurício de Figueiredo Lima, no Colégio de Aplicação da UFPE.
Desde aquela época, as atividades iniciais desses docentes dirigidas às questões de ensino e aprendizagem das Grandezas e Medidas têm recebido sucessivas e significativas contribuições de estudos, pesquisas e experimentos de um número crescente de colaboradores que fizeram e continuam a fazer a história do grupo.
